运筹学-运输问题的表上作业法

7 ⑦ 5 ④ 18 12 ② 4 ⑤ 12 5 ④ 23 ③ 36
17
23
图1-14 用位势法求解实例
§3 表上作业法 （13）
i) 令si，tj分别为行值和列值
求解方程：si+tj=cij [xijB基集]
从方程知，共有m+n－1个方程和m+n个未知量。由于我们
感兴趣的是相对值，故可令任一个行值或列值等于某个固定
24 18 0 12 0
36
22
28
17
23
10
5 图1-9 最小元素法第2步
③依此类推，最后获初始基础可行解示如图1-10中。
§3 表上作业法 （4）
22③ ④ ⑥ ⑤
2⑨ 18① ⑧ 8⑤
⑤ ⑦ 12② 5④
⑥ ⑤ ⑤ 23③
图1-10 初始基础可行解
即基础解为： x11=22，x12=18，x33=12，x42=8，x43=5，x44=23。 此时总费用为225。
§3 表上作业法 （2）
以上例考察，观察图1-7。 ①∵min{cij}=c22=1。故优先分配源2和目的地2之间的产品
③⑨⑤⑥
24
④ 18 ① ⑦ ④ 18 0
⑥⑧②⑤
12
⑤⑤④③
36
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22
28
17
23
10
图1-8 最小元素法第1步
§3 表上作业法 （3）
②余下元素中，最小值为c32=2。 ③⑨⑤⑥ ④ 18 ① ⑦ ④ ⑥ ⑧ 12 ② ⑤ ⑤⑤④③
§3 表上作业法 （8）
对每个非基变量计算后，将其检验值填入图1-12中。
22 ③ 2 ⑨
-3 ⑤ -1 ⑥ 24
9 ④ 18①
7 ⑦ 5 ④ 18
9⑥ 6⑤
22
5⑧ 8⑤
28
12 ② 4 ⑤ 12 5 ④ 23 ③ 36
17
23
图1-12 回路法计算结果
其中： 内表示费用元素 内表示检验值 表内其它值为基础解。
值”。确定原则为使得每个基础变量之费用cij等于相应得
行、列值之和，根据该原则求出行列值之后，用这些值再去 求解每个非基本变量的检验数。
结合本例阐述该步骤：（见图1-14）
§3 表上作业法 （12）
t1
t2
S1 22 ③ 2 ⑨
S2
9 ④ 18①
S3
9 ⑥ 5⑧
S4
6 ⑤ 8⑤
22
28
t3
t4
-3 ⑤ -1 ⑥ 24
§3 表上作业法 （9）
ii) 观察表格，或检验值全部≥0，已达最优胜，结束。 否则，选取最负的检验值所对的非基变量，令其进基。图112中，x13的检验值为最负，故令x13进基，应使x13尽量大，但 又 必 须 使 其 它 变 量 非 负 。 观 察 x13 变 化 规 律 ： x13↑→x12↓→x42↑→x43↓。 应 取 下 降 变 量 中 的 最 小 值 作 为 x13 的 值 。 此 时 min{x12 ， x43}=min{2，5}=2。故令x13=2则x12=0，x42=10，x43=3。 将图1-12修正后，再求出当前非变量的检验值，示如图1-13。 非基础解的检验数合为正，故获最成解，总费用为249。
现继上图继续改进基础解，直至达优。
i)
参见图1-11，分析非基变量x32增加d单位以后，其它
基础解及费用变化。
§3 表上作业法 （6）
2．求出最优解
22③ 2⑨
⑤
⑥
24
④
18① ⑦
④
18
⑥
⑧+d 12②-d ⑤
12
⑤
8⑤-d 5④+d 23③ 36
22
28
17
23
图1-11 回路法原理
§3 表上作业法 （7）
j 1
(4)
aj——目的地j的需求量。
§3 表上作业法 （1）
与单纯形表格法一样，该法亦分两步进行： ·求出初始基础可行解 ·求出最优解
1． 用最小元素法求出满意的初始基础可解 其方法是，按照费用矩阵元素Cij增长顺序逐个选择引入基 本解的变量xij，非退化情况下，每选择1个，就必然排除1 个源点或目的地，最后一步可一次排除1个源点和1个目的 地，这样便可得到一个初始基础可行解。
2
18
3
17
3
12
4
23
4
36
总计
90
总计
90
其源点到目的地的单位产品的运费价格见图1-7。
§1 运输问题事例 （2）
费目
用的 1
2
3
4
源点 地
1
③ ⑨ ⑤ ⑥ 24
2
④ ① ⑦ ④ 18
3
⑥ ⑧ ② ⑤ 12
4
⑤ ⑤ ④ ③ 36
22 28 17 23 图1-7 运输费用矩阵
表格旁边数字为产量和需要求量
值，例如令t1=0，即可求出各行、列值，可见“行”“列”
§3 表上作业法 （5）
2．求出最优解
这有两种方法：闭回路法和位势法。
①闭回路法，其思路是令表中空格（即非基础解），对应的 变量由0增加d单位，然后在保持产品供求平衡（即满足约束 条件）情况下，使基础解参与变动，看其费有如何变化，若 费用减少，则该非基变量可进入基，否则，加以排除，其思 路与单纯形法一致。
§2 运输问题的一般形式
mn
min z
cij xij (m个源点，n个目的地) (1)
i1 j1
n
约束：
xij ri
(i 1,, m)
( 2)
j 1
m
xij a j ( j 1,, n)
(3)
i 1
m
n
ri——源i产量，
ri a j
i1
第十讲 运输问题的表上作业法
§1 运输问题事例 §2 运输问题的一般形式 §3 表上作业法
§1 运输问题事例 （1）
已知，有4个产地（源点）生产的产品需销售到4个需求地（目 的地或汇点），其源点产量和目的地需求量见表1-5。
表1-5 运输问题的需求量及产量
目的地 需求量 源点
产量
1
22
1
24
2
28
为使供求平衡，必须符合： x32+d→x42－d→x43+d→x33－d
变动后，费用增加值为：8d－5d+4d－2d=5d，即费用增加， x32不能进基，为比较，把增加1个单位产品所引起的费用增加 值填入相应的非基变量表格内，这又称检验值。 注意，在用回路法求解每个非基变量检验值时，在根据供求 平衡寻找闭合回路过程中，其回路转折点必须是基础解！ 例如，分析非基解 x31↑→x11↓→x12↑→x42↓→x43↑→x33↓→x31。
§3 表上作业法 （10）
22 ③
6④ 6⑥ 3⑤
22
3⑨ 18① 5⑧ 10⑤
28
2 ⑤ 2 ⑥ 24 7 ⑦ 5 ④ 18 12 ② 4 ⑤ 12 3 ④ 23 ③ 36
17
23
图1-13 回路法所得最优表格
§3 表上作业法 （11）
② 位势法（简捷法）
该法对运输费用矩阵表格每次可确定一组“行值”和“列