数学物理方法第5章数学物理方程定解问题78页
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2018/7/5
u 0
5
二、定解条件
1 边界问题---边界条件 体现边界状态的数学方程称为边界条件 2 历史问题----初始条件 体现历史状态的数学方程称为初始条件 例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 → 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在 给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。 定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
ut a 2 3 u F ( x , y, z , t )
如果所研究的空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比， 即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)这时扩散方程修改为
2018/7/5
ut a 2 3 u b2 u( x, y, z , t )
26
5.1.3 泊松方程或拉普拉斯方程:
2018/7/5
7
5.1 数学模型（泛定方程）的建立
建模步骤：
（1）明确要研究的物理量是什么？ 从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部 分与它的相互作用。 （2）研究物理量遵循哪些物理规律？ （3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。
2018/7/5 8
5.1.1 波动方程
(一）均匀弦横振动方程
k udV dt k udV dt
2 V t1 3 V
t2
29
Q1 流入的热量： t
t2
1
k udV dt
3 V
③流入的热量导致V内的温度发生变化
S
V
ˆ n
M
u( x, y, z, t1 ) u( x, y, z , t2 )
Q2 c u( x , y, z , t 2 ) u( x , y, z , t1 )dV t2 u t V u c dtdV c dVdt t t1 t t V V t2 t2 u Q1 Q2 k 3 udV dt c dVdt t1 t1 t V V
z
考察沿x-方向扩散流情况： 单位时间沿x-方向净流入量
(q
x dx
( x dx , y dy , z dz )
dz
q
x
q q x )dydz dxdydz x
q xdx
y
dy
负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反
( x, y, z ) dx
x
q q d x d y d z , dxdydz 同理沿y 和沿z方向净流入量 y z 单位时间内向V的净流入量 q dxdydz q dxdydz q dxdydz x y z u 单位时间内V内粒子数的增加量 dxdydz t
z
( x dx , y dy , z dz )
扩散（裴克）实验定律：
q Du u u u D i j k y z x
扩散系数
24
dz
q
x
q xdx
y
dy
2018/7/5
( x, y, z ) dx
x
下面由粒子数守恒定律建立V内粒子数变化规律。
三、定解问题
特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
2018/7/5 6
它反映了问题的共性。
6
具体问题求解的一般过程：
1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律． 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件——求解所必须的已知条件．
7
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、积分变换法、格林 函数法和变分法
(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：
2018/7/5
f ( x, t ) F ( x, t ) /
质量线密度，
Biblioteka Baidu10
u(x) u
F
u+du 1
T1 x x+dx B
T2 2
B段弦的原长近似为dx. 振动拉伸后：
ds (dx )2 (du)2 dx 1 (du / dx )2 dx
u( x, y, z, t )
设定： 温度不均匀: 用温度梯度u 表示；
传热的强弱即热流强度：用单位时间内通过单 位面积的热量 q 表示；
物理规律：采用傅里叶实验定律
傅里叶定律：
q k u
热传导系数
u ˆ n 沿曲面法向流出热量：qn k n
2018/7/5 28
处理方法：在温度不均匀的无源空间，划出任一封闭曲面S包 围的体积元V（如图）。 ①在S 上选取任一足够小的微面元dS，在此 面元范围内热流强度近似为常量。
处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体 V为研究对象，分析浓度变化规律。
2018/7/5 23
不处理方法：在浓度均匀的无源空间，划出任一小立方体V 为研究对象，分析浓度变化规律。
设定： 浓度不均匀: 用浓度梯度u 表示； 体元Ｖ内粒子数： u x, y, x, t dxdydz
扩散流强弱（强度）：用单位时间通 过单位面积的物质的量 q 表示； 扩散流强度与浓度梯度间关系：采用裴克实验定 律确定
三类典型的数学物理方程
三类典型的数学物理方程
双曲型方程 波动方程为代表
抛物型方程 扩散方程为代表
椭圆型方程 泊松方程为代表
utt a uxx
2
u 2 a 2 u F ( x, y, z ) a u F ( x, y, z, t ) f ( x, t ) t F 0
退化为拉普拉斯方程
qn qn
ˆ n
M
ˆ 向为正)： 那么在dt时间内从dS流入V的热量为( n
u dQ qn dSdt qn dSdt k dSdt n u ˆ un
n
dS
V
S
ˆ dSdt ku dSdt k u n
热场 q
n
k
u n n
F ( x, t ) Tuxx F ( x, t ) utt
波速a
ux
dx 2 a T/
f ( x, t ) F ( x, t ) /
波动方程：
utt a 2 uxx f ( x, t )
受迫振动方程
2018/7/5
单位质量弦所受 外力，线力密度
13
………一维波动方程
T2 cos 2 T1 cos 1 0
T1 x
x+dx
（ 1）
②沿垂直于x-轴方向：
由牛顿运动定律得运动方程
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )dx ( dx )utt
在微小振动近似下： 1， 2 0, cos 1， 2 1. 由（1）式，弦中各点的张力相等
讨论：
如果扩散是均匀的,即D是一常数，则可以令D=a2，则有
2 2 2 u u u u u u 2 a 2 2 2 a 22 u a 2 3 u 0 t t y z t x
如果所研究的空间存在扩散源，源强度与u(x,y,z,t)无关， 且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为
------非齐次方程
………一维波动方程
------齐次方程
14
2018/7/5
15 15
2018/7/5
16 16
R电阻，G电漏，C电容，L电感, j电流，v电压
2018/7/5
17 17
2018/7/5
18 18
2018/7/5
19
2018/7/5
20
2018/7/5
21 21
2018/7/5
现象描述（如图） ：沿x轴绷紧的均匀柔软的细
弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动
目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程
设定: (1)弦不振动时静止于x轴;
(2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于
x轴方向上的横向位移（偏离）情况 弦的横振动
2018/7/5 9
研究对象: 选取不包括端点的一微元
由粒子数守恒定律，有
2018/7/5
q q q u dxdydz dxdydz dxdydz dxdydz x y z t
25
q q q u dxdydz dxdydz dxdydz dxdydz x y z t
代入扩散定律
u u u u (D ) (D ) (D ) 0 三维扩散方程 t x x y y z z
[x, x+dx]弧B段作为研究对象. 假设与近似： (2)振幅极小,
u(x) u+du u
T1
F B
T2 2
1 x
0
x+dx
(1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向 张力与水平方向的夹角1和2 很小， 仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量 (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略
22 22
5.1.2
输动问题--扩散问题
扩散现象：系统的浓度 不均匀时，将出现物质从高浓度处 向低浓度处转移的现象，称之为扩散。 数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)的方程
物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础
①扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律 ②粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积的 粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积 内的单位时间内粒子数的增加量
0
B段的质量：弦长dx ，质量线密度，则B段质量 m= dx 物理规律： 用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：
2018/7/5
牛顿运动定律：
d2 u f m 2 mutt dt
11
u(x) u+du u 0 1
F B
T2 ①沿x-方向： 2 弦横向振动不出现x方向平移， 得力平衡方程
艾萨克· 牛顿 （Isaac Newton，16431727）
1
2018/7/5
2
2018/7/5
3
一、数学物理方程: 物理规律的数学表示
数学物理方程 (泛定方程)：从物理问题中导出的函 数方程，特别是偏微分方程和积分方程。 物理现象
数学语言描述
物理量u 在空间和时间中的变
化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值 之间的联系。 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条 件无关。 例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律， 跟具体条件无关。 2018/7/5重点讨论：二阶线性偏微分方程。 4
②有限时间内即时刻t1到t2通过闭曲面S流入V的热量为 t2 ku dS ku dV Q1 k u dS dt t1 S S V 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量对包围该体积的面积分）
2018/7/5
Q1
t2
t1
u(x) u+u u 0 1
F B
T2 2
讨论：
如考虑弦的重量： 沿x-方向，不出现平移
T2 cos 2 T1 cos 1
T1 x
gdx
x+x
（ 1） （ 2）
沿垂直于x-轴方向
dx 0
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )dx gdx ( dx )utt
稳定场问题
密度场：密度在空间的分布构成一个标量场。
有扩散源时系统的密度场满足非齐次扩散方程
u a 2 3 u F t
稳定状态：密度u 不随时间变化，则
a 2 3u F
无扩散源： F=0
泊松方程
3 u 0
2018/7/5
拉普拉斯方程
27
例1 热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 数学建模： 所要研究的物理量： 温度
T2 T1 u sin 1 tan 1 x
2018/7/5
（ 2）
x
ux
x dx
T2 sin 2 T1 sin 1
x
sin 2 tan 2 ux
T ux
x dx
ux
x
12
T （ux
T
令
x dx
x dx
ux
ux
x
x
） F ( x, t )dx ( dx )utt
因为： T2 sin 2 T1 sin 1 T ux
2 2 u u 2 所以有： a f g 2 2 t x 忽略重力和外力作用： 2 2u u 2 2018/7/5 a 0 2 2 t x
du x dx ux x Tdux Td dx du Td F ( x , t )dx gdx ( dx )utt dx
u 0
5
二、定解条件
1 边界问题---边界条件 体现边界状态的数学方程称为边界条件 2 历史问题----初始条件 体现历史状态的数学方程称为初始条件 例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 → 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在 给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。 定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
ut a 2 3 u F ( x , y, z , t )
如果所研究的空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比， 即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)这时扩散方程修改为
2018/7/5
ut a 2 3 u b2 u( x, y, z , t )
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5.1.3 泊松方程或拉普拉斯方程:
2018/7/5
7
5.1 数学模型（泛定方程）的建立
建模步骤：
（1）明确要研究的物理量是什么？ 从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部 分与它的相互作用。 （2）研究物理量遵循哪些物理规律？ （3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。
2018/7/5 8
5.1.1 波动方程
(一）均匀弦横振动方程
k udV dt k udV dt
2 V t1 3 V
t2
29
Q1 流入的热量： t
t2
1
k udV dt
3 V
③流入的热量导致V内的温度发生变化
S
V
ˆ n
M
u( x, y, z, t1 ) u( x, y, z , t2 )
Q2 c u( x , y, z , t 2 ) u( x , y, z , t1 )dV t2 u t V u c dtdV c dVdt t t1 t t V V t2 t2 u Q1 Q2 k 3 udV dt c dVdt t1 t1 t V V
z
考察沿x-方向扩散流情况： 单位时间沿x-方向净流入量
(q
x dx
( x dx , y dy , z dz )
dz
q
x
q q x )dydz dxdydz x
q xdx
y
dy
负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反
( x, y, z ) dx
x
q q d x d y d z , dxdydz 同理沿y 和沿z方向净流入量 y z 单位时间内向V的净流入量 q dxdydz q dxdydz q dxdydz x y z u 单位时间内V内粒子数的增加量 dxdydz t
z
( x dx , y dy , z dz )
扩散（裴克）实验定律：
q Du u u u D i j k y z x
扩散系数
24
dz
q
x
q xdx
y
dy
2018/7/5
( x, y, z ) dx
x
下面由粒子数守恒定律建立V内粒子数变化规律。
三、定解问题
特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
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它反映了问题的共性。
6
具体问题求解的一般过程：
1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律． 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件——求解所必须的已知条件．
7
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、积分变换法、格林 函数法和变分法
(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：
2018/7/5
f ( x, t ) F ( x, t ) /
质量线密度，
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u(x) u
F
u+du 1
T1 x x+dx B
T2 2
B段弦的原长近似为dx. 振动拉伸后：
ds (dx )2 (du)2 dx 1 (du / dx )2 dx
u( x, y, z, t )
设定： 温度不均匀: 用温度梯度u 表示；
传热的强弱即热流强度：用单位时间内通过单 位面积的热量 q 表示；
物理规律：采用傅里叶实验定律
傅里叶定律：
q k u
热传导系数
u ˆ n 沿曲面法向流出热量：qn k n
2018/7/5 28
处理方法：在温度不均匀的无源空间，划出任一封闭曲面S包 围的体积元V（如图）。 ①在S 上选取任一足够小的微面元dS，在此 面元范围内热流强度近似为常量。
处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体 V为研究对象，分析浓度变化规律。
2018/7/5 23
不处理方法：在浓度均匀的无源空间，划出任一小立方体V 为研究对象，分析浓度变化规律。
设定： 浓度不均匀: 用浓度梯度u 表示； 体元Ｖ内粒子数： u x, y, x, t dxdydz
扩散流强弱（强度）：用单位时间通 过单位面积的物质的量 q 表示； 扩散流强度与浓度梯度间关系：采用裴克实验定 律确定
三类典型的数学物理方程
三类典型的数学物理方程
双曲型方程 波动方程为代表
抛物型方程 扩散方程为代表
椭圆型方程 泊松方程为代表
utt a uxx
2
u 2 a 2 u F ( x, y, z ) a u F ( x, y, z, t ) f ( x, t ) t F 0
退化为拉普拉斯方程
qn qn
ˆ n
M
ˆ 向为正)： 那么在dt时间内从dS流入V的热量为( n
u dQ qn dSdt qn dSdt k dSdt n u ˆ un
n
dS
V
S
ˆ dSdt ku dSdt k u n
热场 q
n
k
u n n
F ( x, t ) Tuxx F ( x, t ) utt
波速a
ux
dx 2 a T/
f ( x, t ) F ( x, t ) /
波动方程：
utt a 2 uxx f ( x, t )
受迫振动方程
2018/7/5
单位质量弦所受 外力，线力密度
13
………一维波动方程
T2 cos 2 T1 cos 1 0
T1 x
x+dx
（ 1）
②沿垂直于x-轴方向：
由牛顿运动定律得运动方程
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )dx ( dx )utt
在微小振动近似下： 1， 2 0, cos 1， 2 1. 由（1）式，弦中各点的张力相等
讨论：
如果扩散是均匀的,即D是一常数，则可以令D=a2，则有
2 2 2 u u u u u u 2 a 2 2 2 a 22 u a 2 3 u 0 t t y z t x
如果所研究的空间存在扩散源，源强度与u(x,y,z,t)无关， 且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为
------非齐次方程
………一维波动方程
------齐次方程
14
2018/7/5
15 15
2018/7/5
16 16
R电阻，G电漏，C电容，L电感, j电流，v电压
2018/7/5
17 17
2018/7/5
18 18
2018/7/5
19
2018/7/5
20
2018/7/5
21 21
2018/7/5
现象描述（如图） ：沿x轴绷紧的均匀柔软的细
弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动
目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程
设定: (1)弦不振动时静止于x轴;
(2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于
x轴方向上的横向位移（偏离）情况 弦的横振动
2018/7/5 9
研究对象: 选取不包括端点的一微元
由粒子数守恒定律，有
2018/7/5
q q q u dxdydz dxdydz dxdydz dxdydz x y z t
25
q q q u dxdydz dxdydz dxdydz dxdydz x y z t
代入扩散定律
u u u u (D ) (D ) (D ) 0 三维扩散方程 t x x y y z z
[x, x+dx]弧B段作为研究对象. 假设与近似： (2)振幅极小,
u(x) u+du u
T1
F B
T2 2
1 x
0
x+dx
(1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向 张力与水平方向的夹角1和2 很小， 仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量 (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略
22 22
5.1.2
输动问题--扩散问题
扩散现象：系统的浓度 不均匀时，将出现物质从高浓度处 向低浓度处转移的现象，称之为扩散。 数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)的方程
物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础
①扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律 ②粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积的 粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积 内的单位时间内粒子数的增加量
0
B段的质量：弦长dx ，质量线密度，则B段质量 m= dx 物理规律： 用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：
2018/7/5
牛顿运动定律：
d2 u f m 2 mutt dt
11
u(x) u+du u 0 1
F B
T2 ①沿x-方向： 2 弦横向振动不出现x方向平移， 得力平衡方程
艾萨克· 牛顿 （Isaac Newton，16431727）
1
2018/7/5
2
2018/7/5
3
一、数学物理方程: 物理规律的数学表示
数学物理方程 (泛定方程)：从物理问题中导出的函 数方程，特别是偏微分方程和积分方程。 物理现象
数学语言描述
物理量u 在空间和时间中的变
化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值 之间的联系。 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条 件无关。 例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律， 跟具体条件无关。 2018/7/5重点讨论：二阶线性偏微分方程。 4
②有限时间内即时刻t1到t2通过闭曲面S流入V的热量为 t2 ku dS ku dV Q1 k u dS dt t1 S S V 高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量对包围该体积的面积分）
2018/7/5
Q1
t2
t1
u(x) u+u u 0 1
F B
T2 2
讨论：
如考虑弦的重量： 沿x-方向，不出现平移
T2 cos 2 T1 cos 1
T1 x
gdx
x+x
（ 1） （ 2）
沿垂直于x-轴方向
dx 0
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )dx gdx ( dx )utt
稳定场问题
密度场：密度在空间的分布构成一个标量场。
有扩散源时系统的密度场满足非齐次扩散方程
u a 2 3 u F t
稳定状态：密度u 不随时间变化，则
a 2 3u F
无扩散源： F=0
泊松方程
3 u 0
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拉普拉斯方程
27
例1 热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。 数学建模： 所要研究的物理量： 温度
T2 T1 u sin 1 tan 1 x
2018/7/5
（ 2）
x
ux
x dx
T2 sin 2 T1 sin 1
x
sin 2 tan 2 ux
T ux
x dx
ux
x
12
T （ux
T
令
x dx
x dx
ux
ux
x
x
） F ( x, t )dx ( dx )utt
因为： T2 sin 2 T1 sin 1 T ux
2 2 u u 2 所以有： a f g 2 2 t x 忽略重力和外力作用： 2 2u u 2 2018/7/5 a 0 2 2 t x
du x dx ux x Tdux Td dx du Td F ( x , t )dx gdx ( dx )utt dx