角动量定理、天体运动
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力学_舒幼生_第四章角动量定理、天体运动
7
若过程中 M 恒为零，则过程中 L 为守恒量
M 0 L 常矢量
若过程中 Mz 恒为零，则过程中 Lz 为守恒量
M z 0 Lz 常量
有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。
8
例1
相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量
参考点A： 重力矩 角动量 参考点B： 重力矩 角动量
A
v
mg
M mgd 1
L0
d2
B
d1
M mgd 1
L mvd2
9
例2
匀速圆周运动
选择圆心O为参考点 力矩 角动量
v
R
⊙
M 0
L mvR
F心
O
角动量守恒 其它任何点则没有这种情况
O
10
例3
地球绕太阳公转
选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零
M 0 LC
15
（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动
dW T dr Tdr
2 m v2 m v0 r02 T r r3
W
r0 / 3 2
r0
2 m v0 r02 1 2 3 dr m v0 ( 4 1) 3 r 2
它恰好等于小球的动能增量
1 2 1 2 1 2 3 Ek mv mv 0 mv 0 ( 4 1) 2 2 2
16
4.1.1 质点系角动量定理 角动量守恒定律
在惯性系S中，质点系相对O点的角动量 L
L Li
i
M内 0
质点系角动量定理： 质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和 等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。
若过程中 M 恒为零，则过程中 L 为守恒量
M 0 L 常矢量
若过程中 Mz 恒为零，则过程中 Lz 为守恒量
M z 0 Lz 常量
有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。
8
例1
相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量
参考点A： 重力矩 角动量 参考点B： 重力矩 角动量
A
v
mg
M mgd 1
L0
d2
B
d1
M mgd 1
L mvd2
9
例2
匀速圆周运动
选择圆心O为参考点 力矩 角动量
v
R
⊙
M 0
L mvR
F心
O
角动量守恒 其它任何点则没有这种情况
O
10
例3
地球绕太阳公转
选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零
M 0 LC
15
（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动
dW T dr Tdr
2 m v2 m v0 r02 T r r3
W
r0 / 3 2
r0
2 m v0 r02 1 2 3 dr m v0 ( 4 1) 3 r 2
它恰好等于小球的动能增量
1 2 1 2 1 2 3 Ek mv mv 0 mv 0 ( 4 1) 2 2 2
16
4.1.1 质点系角动量定理 角动量守恒定律
在惯性系S中，质点系相对O点的角动量 L
L Li
i
M内 0
质点系角动量定理： 质点系各质点所受外力相对同一参考点的力矩之和 等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。
角动量守恒定律 历史
角动量守恒定律历史角动量守恒定律是物理学中的一个基本定律，它描述了系统在旋转运动中的动量变化规律。
这个定律的历史可以追溯到17世纪，从最早的行星运动规律到现代的量子力学和天体物理学，角动量守恒定律一直是研究旋转运动的关键工具。
17世纪是科学革命的时代，许多科学家开始研究天体运动规律。
当时，行星运动的规律是一个热门话题。
科学家们通过观察行星的运动，发现行星绕太阳旋转的轨道是一个椭圆，而且它们的运动速度并不是均匀的，而是时快时慢。
这引发了科学家们对行星运动规律的探索。
科学家们发现，行星绕太阳旋转的角动量是一个守恒量，即行星绕太阳旋转的动量大小和方向始终保持不变。
这一发现为角动量守恒定律的建立奠定了基础。
随后，科学家们又发现了其他一些守恒定律，如能量守恒定律和动量守恒定律，这些定律成为了经典力学的基石。
随着科学的发展，角动量守恒定律的应用范围不断扩大。
在19世纪，科学家们开始研究微观粒子的运动规律，发现微观粒子也遵循角动量守恒定律。
这一发现为量子力学的发展奠定了基础。
在20世纪，科学家们又将角动量守恒定律应用于天体物理学中，研究了星系、恒星等天体的旋转运动规律。
在现代物理学中，角动量守恒定律已经成为一个非常重要的工具。
在研究粒子物理、光学、电磁学等领域时，科学家们都需要用到角动量守恒定律来描述粒子的旋转运动。
同时，角动量守恒定律也为工程学、航空航天等领域提供了重要的理论支持。
总之，角动量守恒定律是物理学中的一个重要定律，它的历史可以追溯到17世纪。
这个定律的发展历程不仅体现了科学方法的进步和实验观测的精密度提高，而且也反映了人类对自然界认识的不断深入和拓展。
在物理学中，角动量守恒定律描述的是一个系统在旋转运动中保持动量不变的规律。
这个定律不仅适用于行星绕太阳的旋转运动，还适用于微观粒子的旋转运动。
在现代物理学中，角动量守恒定律已经成为描述旋转运动的基本工具之一，为科学研究和技术应用提供了重要的理论支持。
角动量 角动量守恒定律
角动量与线动量关系
角动量与线动量的关系
角动量是线动量在物体绕某点或某轴 转动时的表现形式，二者之间存在密 切关系。
动量守恒定律
在不受外力作用的情况下，物体的总 动量（包括线动量和角动量）保持不 变，即动量守恒定律。
02
角动量守恒定律
守恒条件及适用范围
守恒条件
当系统不受外力矩作用时，系统的角动量守恒。即在没有外力矩的情况下，系统内部各部分之间的相 互作用力不会导致系统总角动量的改变。
06
总结与展望
课程内容回顾与总结
角动量的定义与性
质
角动量是物体绕某点或某轴转动 的动量，具有矢量性质，其大小 与物体的质量、速度和转动半径 有关。
角动量守恒定律的
表述
在没有外力矩作用的情况下，系 统内的角动量保持不变，即角动 量守恒。
角动量守恒定律的
应用
角动量守恒定律在天体物理、刚 体转动、分子运动等领域有广泛 应用，如行星运动、陀螺仪工作 原理等。
对未来研究方向的展望
角动量守恒定律在复 杂系统较成熟，但在复 杂系统中的应用还有待深入研究， 如多体问题、非线性问题等。
角动量与其他物理量 的关系研究
角动量与能量、动量等物理量之 间存在一定的联系，未来可以进 一步探讨它们之间的关系，以及 如何利用这些关系解决实际问题。
在机械工程中，飞轮储能系统被应用 于能量回收和节能领域。飞轮储能系 统利用刚体定轴转动的角动量守恒定 律，通过加速和减速飞轮来储存和释 放能量。这种储能方式具有高效率、 环保等优点，在电动汽车、风力发电 等领域具有广阔的应用前景。
04
质点和质点系相对于固定 点角动量守恒
质点相对于固定点角动量定义和性质
双星系统由两颗互相绕转的恒星组成。在双星系统中，两颗恒星的角动量守恒，因此它们的轨道周期、距离和质量之 间存在一定关系。
第5章 角动量定理天体运动_2
������������2
=
������������(������������������������ + ������������03
������������������������)
������������ = ������������������������2������������
13
14
Mm
M +m
将引力公式代入
−
G
Mm r3
r
=
µa
24
上式可改写为
−
G
(M
+ m)m r3
r
=
ma
除了将太阳质量 M 换成 M+m 以外，所有结果保持不变。
开普勒第一、第二定律不依赖于太阳质量，保持不变。
小 行 星 带
15
行星的轨道方程 r =
p
1+ ε cosθ
p
=
L2 GMm2
,
ε=
1
+
2EL2 G2M 2m3
都与行星质量无关
三种可能的轨道：
(1) E > 0时, ε > 1, 为双曲线之一, M位于内焦点 (2) E = 0时, ε = 1, 为抛物线, M位于焦点 (3) E < 0时, ε < 1, 为椭圆, M位于其中一个焦点
作圆周运动的三体系统的平衡点是十八世纪末意大利数学家拉格朗日发现的， 但是直到二十世纪早期，在太阳-木星系统中，才首次观测到一个特洛伊小行 星。拉格朗日计算表明，对于作圆周运动、有引力相互作用的三个物体，第三 个物体可以处于五个特殊位置之一，在此处它是平衡的，原则上相对太阳和行 星可以保持一个固定的构型，这些位置称作拉格朗日点。
角动量守恒定律的应用
角动量守恒定律的应用李小芳; 王志梅【期刊名称】《《长春工业大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(040)004【总页数】5页(P378-382)【关键词】角动量; 守恒; 应用【作者】李小芳; 王志梅【作者单位】中北大学信息商务学院山西晋中 030600; 太原师范学院物理系山西晋中 030619【正文语种】中文【中图分类】O313.30 引言角动量守恒定律是物理学的基本守恒定律之一，大到宇宙天体，小到原子内部都服从这一定律，它在生产、生活、工程技术等方面有着广泛的应用。
1 角动量守恒定律角动量定理的微分式为对一固定点O或转轴,当物体不受力矩或所受的合外力矩M=0时，物体的角动量L保持不变，这个结论就叫角动量守恒定律[1]。
对于质点，角动量守恒定律的表达式为L=r×mv=常矢量,对于刚体，角动量守恒定律的表达式为[1]L=Jω=常矢量。
2 角动量守恒定律在天体运动方面的应用2.1 证明开普勒第二定律开普勒行星运动第二定律，也称面积定律，指的是对任一行星，太阳和该行星的连线(矢径)在相等时间内扫过的面积相等。
现用角动量守恒定律证明。
行星对太阳角动量的大小为L=rmvsinθ,(1)式中：m----行星的质量;θ----矢径r与速度v之间的夹角，行星速率则(2)式(2)中rsinθds=r⊥ds=2dA,(3)其中，dA为行星矢径在dt时间内扫过的面积，因此(4)式中：----掠面速度。
由于太阳和行星之间的万有引力为有心力，它对力心的力矩为零，故行星的角动量守恒，即L=常量，因此常量,从而证明了行星的矢径在相同时间内扫过的面积相同。
事实上，开普勒第二定律与角动量守恒定律等价。
2.2 证明太阳在焦点位置开普勒第一定律：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。
现用角动量守恒定律及牛顿力学理论证明太阳处在椭圆的一个焦点上。
设椭圆方程为式中：a----长轴;b----短轴。
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
当系统所受外力矩为零时，系统内各物体角动量 之和保持不变。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
物理竞赛-力学_舒幼生_第四章角动量定理天体运动
2 vdt
1
d r (t)
O
过去 未来
41
牛顿第二定律具有时间反演对称性 经典力学中，与牛顿第二定律平行的是力的结构性定律 胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性
阻尼性作用定律给出的空气阻力、摩擦力等
不具有时间反演对称性
f
v
时间倒流在真实世界是不可能发生的
42
时间平移对称性 系统在时间平移，即在
mi ghi mihi g mghG
i
i
ri (mi g)
mi ri
g
mrG
g
rG
mg
i
i
重心是质点系重力分布中心
猫的空中转体
26
对称球的外引力分布中心
P
球心是对称球的外引力分布中心
27
例 质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。 质9量 m 的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫
角动量 L 守恒，横向力为零
F 2mvr 2Lr 2
径向力应合成mar
Fr
m
d 2r dt 2
r
d
dt
2
mr 2
2mv
mr 2 2Lr 1 L2 (1 2 2r 2 )r 3
m
22
*** 外力矩 重心 对称球的外引力分布中心
外力矩是质点系角动量变化的原因
合力为零的外力矩
质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。
mv
2 0
(3
4 1)
它恰好等于小球的动能增量
Ek
1 2
mv2
1 2
mv02
1 2
mv02 (3
4
1)
角动量守恒定律
0 L v0 ; L v 2 2
得：
v0 v 9
注意：区分两类冲击摆 质点 质点 柔绳无切向力 （1） o • 水平方向： Fx =0 ， px 守恒
v0
l
m (2)
Fy
M
L • 对 o 点：M 0 ，
m v 0l = ( m + M ) v l
m v 0= ( m + M ) v
守恒
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
o
v0
m
l
轴作用力不能忽略，动量不守恒， 但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒
M
mv 0 l ml 2 1 Ml 2 3
v l
回顾习题
P84 4 -10
F
O
m M
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
角动量守恒定律： 当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢 量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量 守恒。
注意
1.与动量守恒定律对比
当 F外 0 时，
当 M外 0 时，
2.守恒条件 能否为
p 恒矢量 L 恒矢量
或
?
彼此独立
M外 0
M轴 0
M 外 dt 0
m 以速度v 0 撞击 m 2 ，发生完全非弹性碰撞
求：撞后m 2的速率 v ?
解1：m 和 m 2 系统动量守恒
m v 0 = (m + m 2 ) v
A
解2： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒
04-3角动量定理(新)
将:L＝0.40m M =1.0kg 、 m ＝8.0g v＝200m/s代入后得:
16
9 m2v 2
L
θ = 94.18´
o
v
M
例题：质量为M 长度为L 的均质细杆可绕一水平轴自由
转动。开始时杆子处于铅直状态。现有一质量为m 的子 弹以水平速度v 射入细杆后而不复出。试求（1）子弹射 入细杆后系统的转动惯量（2）若细棒被击中后上摆的 最大角度为θ，求：子弹击中细棒前的速度。
2
＝ω （m 10 ＋ m 10 ） ＝ 200 mω
2 2
L＝20cm
等式的左边 ＝ 等式的右边
50 mω ＝ 200 mω
0
1ω 得：ω ＝ 4
0
例题：一根杆长l＝50cm ，可绕上端的光滑固定轴0在
竖直平面内转动，相对于0轴的转动惯量J＝5kg.m2, 原来杆静止并自然下垂。若在杆的下端水平射入质量 m＝0.01kg、速率为v = 400m/s的子弹并陷入杆内 此时杆的角速度为多少？ （练习册P9填充题1）
一个质量为m 的质点，绕 坐标中心0作半径为r 的圆 周运动，其线速度为v、 动 量p＝mv 且r⊥v 。
ω
o
z
L
y
d x
r
m
p＝mv
定义
L 为该质点m 对0的角动量。
L = mvd = m v r sin = p r sin L = r ×p
质点的角动量L 是个 矢量，有大小有方向 方向：遵守右手螺 旋前进法则 （右螺旋法则）
0
·
L
分析： 作为一个系统子弹和细杆所受的合外力
矩为0，所以系统角动量守恒。另外：子弹与细杆 是完全非弹性碰撞。 可列出方程：
16
9 m2v 2
L
θ = 94.18´
o
v
M
例题：质量为M 长度为L 的均质细杆可绕一水平轴自由
转动。开始时杆子处于铅直状态。现有一质量为m 的子 弹以水平速度v 射入细杆后而不复出。试求（1）子弹射 入细杆后系统的转动惯量（2）若细棒被击中后上摆的 最大角度为θ，求：子弹击中细棒前的速度。
2
＝ω （m 10 ＋ m 10 ） ＝ 200 mω
2 2
L＝20cm
等式的左边 ＝ 等式的右边
50 mω ＝ 200 mω
0
1ω 得：ω ＝ 4
0
例题：一根杆长l＝50cm ，可绕上端的光滑固定轴0在
竖直平面内转动，相对于0轴的转动惯量J＝5kg.m2, 原来杆静止并自然下垂。若在杆的下端水平射入质量 m＝0.01kg、速率为v = 400m/s的子弹并陷入杆内 此时杆的角速度为多少？ （练习册P9填充题1）
一个质量为m 的质点，绕 坐标中心0作半径为r 的圆 周运动，其线速度为v、 动 量p＝mv 且r⊥v 。
ω
o
z
L
y
d x
r
m
p＝mv
定义
L 为该质点m 对0的角动量。
L = mvd = m v r sin = p r sin L = r ×p
质点的角动量L 是个 矢量，有大小有方向 方向：遵守右手螺 旋前进法则 （右螺旋法则）
0
·
L
分析： 作为一个系统子弹和细杆所受的合外力
矩为0，所以系统角动量守恒。另外：子弹与细杆 是完全非弹性碰撞。 可列出方程：
角动量
根据，如果M=0，则dL/dt=0，因而
L=常量（M=0）
这就是说，如果作用在质点上的外力对某给定点O的力矩（r×F）为零，则质点对O的角动量在运动过程中保 持不变，这就叫做质点的角动量守恒定律。
另：某段时间内若质点所受合力对原点力矩M不为零，但是M的某分量（对某坐标轴力矩）总是零，则该段时 间内质点对原点角动量的该分量守恒，或质点对该轴角动量守恒.
质点系的总
在惯性系S系中，取某点为坐标原点O，则质点系对某点点和参考系）两个参考系中位矢和速度的变换关系是 由质心系性质得 整理得 上式右边的两项分别是质心系中质点系的总角动量L'（称为固有角动量或是自转角动量）和惯性系S系中质 量集中在质心后质心对O点的角动量Lc，于是有 L=L'+Lc
定义
质点动量p对O点之动量矩（通常称为角动量）L（O）（简记为L）为 L=r×p 其中r是质点相对O点的位矢。 角动量L的大小为L=rpsinφ（φ为r与p的夹角），方向垂直于位矢r和动量p所组成的平面，指向是由r经小 于180°的角转到p的右手螺旋前进的方向. 角动量大小的量纲[L]=[r][p]=[r][m][v]=[s]2[m][t] -1=L2MT-1， 单位有N·m·s，kg·m²/s。
感谢观看
几何意义
位矢r在单位时间内扫过的面积，称为它的掠面速度。 可以证明，掠面速度为S‘=|r×v|/2. 角动量大小L=|r×p|=|r×mv|=m|r×v|=2mS'. 角动量守恒定律指出，当合外力矩为零时，角动量守恒，物体与中心点的连线单位时间扫过的面积不变，在 天体运动中表现为开普勒第二定律。
相关定理
质点的定理
质点的守恒定 律
证明：由于L=r×p，故角动量对时间的变化率为== 在上式中，右端第一项的，，因此，矢积×p=0.这样，上式就成为. 由牛顿第二定律得，，把上式改写成. 式中的r×F是力矩的定义.（力的作用点相对给定点的位矢r与力F的矢积为力对给定点的力矩，以M表示，即 M=.） 于是有=M 即质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率.这个结论叫做质点的角动量定理. 质点系的角动量定理也可写成同样的形式 不过M是质点系所受的总外力矩，L是质点系的总角动量. 由得dL=Mdt， 两边积分得质点角动量的积分形式
角动量 角动量定理
d M (r P) dt
定义： L r P ——角动量
——角动量定理
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
3
作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。 此即质点对固定点的角动量定理。
t
t0
Mdt L L0
t
t0
Mdt
叫冲量矩
1
1
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理 用绳系一质量为m小球使之在光滑的桌面上作圆周运动，球的速率
12
vo ，半径为ro 。问：当缓慢拉下绳的另一端，圆的半径变为 r 时 ，小球的速率v是多少？
解：因为通过转轴的合力矩为零，所以小球的角动量 守恒
Z
vo
ro
L
mr o vo mr v
ro v vo r
F
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
13
判断：匀速圆周运动的质点受到向心力的作用，所 以其角动量一定守恒。
L
mv
F
r
L
O
r
mv
F
O’
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–5 角动量 角动量定理
14
角动量守恒的情况: 匀速直线运动。 (1) 力 F等于零； (2) 力 F的作用线与通过固定点，即 r =0。 (3) 力 F 的作用线与矢径 r 共线即(sin=0)。
角动量
1. L r P
L 的方向符合右手法则.
L m vrsin
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
4.1 角动量
1 × m1 v1 + 2 × m2 v2 大小：(m1 + m2 ) 2 ω = 方向：向里⊗
ω=
dθ dt
质点角动量定理 d ( 2 ω) dω dθ = (m1 + m2 ) · dt dθ dt dω = (m1 + m2 ) ω dθ m 例4，光滑轻滑轮半径 R，香蕉 。小猴重 m，抓住细绳从静止开始上爬而不下降， 2 相对绳子上爬 amin ＝？ 解：相对地面，猴 u，蕉 v du dv + 猴相对绳，u + v, a = dt dt (m2 − m1 )g cos θ = (m1 + m2 ) “猴＋绳＋蕉”系统：合外力矩？角动量？ mgR − 1 d 1 = ( mvR − muR) 2 dt 2
F m
v rC rB mg
C
3、角动量定理是由牛顿定律展开得到的第三组基本定理，结合力学问题，讨论如 下：
• 质点匀速圆周运动，所受合力指向圆心O 相对圆心O点，r × mv不变，L 守恒， M = 0； 相对圆心以外的任何点， L 均不守恒， M 0。 欲使力矩 M = 0，参考点O要选在 F 的作用线或其反延长线上。如何找呢？ 任取不同时刻 t1 , t2 ，做出相应的两条 F 的作用线，两线交点作为参考点O。 • 太阳—行星系统：行星只受太阳引力 Fg ，忽略其他行星的引力。 设太阳恒静，行星绕日运行，以日心为参考点：r × Fg = 0，L 守恒，即掠面速度不 变，这表明开普勒第二定律（面积定律）成立。 • 圆锥摆： 以O 为参考点，绳张力 T 不产生力矩 大小：mgr sin θ M = r × mg = 方向：与v同向 M 是水平旋转矢量，角动量 L = r × mv，L ⊥ M ， dL ？ 二者方向不同，能否满足角动量定理 M = dt ∵ M = M⊥ + M∥ , M⊥ = 0 ∴L⊥ 守恒量 L 变化方向沿着 v 方向，正交分解，验证分量守恒：L∥ = r cos θ · mv，大小、方向？ L⊥ = r sin θ · mv，大小、方向？ 2
ω=
dθ dt
质点角动量定理 d ( 2 ω) dω dθ = (m1 + m2 ) · dt dθ dt dω = (m1 + m2 ) ω dθ m 例4，光滑轻滑轮半径 R，香蕉 。小猴重 m，抓住细绳从静止开始上爬而不下降， 2 相对绳子上爬 amin ＝？ 解：相对地面，猴 u，蕉 v du dv + 猴相对绳，u + v, a = dt dt (m2 − m1 )g cos θ = (m1 + m2 ) “猴＋绳＋蕉”系统：合外力矩？角动量？ mgR − 1 d 1 = ( mvR − muR) 2 dt 2
F m
v rC rB mg
C
3、角动量定理是由牛顿定律展开得到的第三组基本定理，结合力学问题，讨论如 下：
• 质点匀速圆周运动，所受合力指向圆心O 相对圆心O点，r × mv不变，L 守恒， M = 0； 相对圆心以外的任何点， L 均不守恒， M 0。 欲使力矩 M = 0，参考点O要选在 F 的作用线或其反延长线上。如何找呢？ 任取不同时刻 t1 , t2 ，做出相应的两条 F 的作用线，两线交点作为参考点O。 • 太阳—行星系统：行星只受太阳引力 Fg ，忽略其他行星的引力。 设太阳恒静，行星绕日运行，以日心为参考点：r × Fg = 0，L 守恒，即掠面速度不 变，这表明开普勒第二定律（面积定律）成立。 • 圆锥摆： 以O 为参考点，绳张力 T 不产生力矩 大小：mgr sin θ M = r × mg = 方向：与v同向 M 是水平旋转矢量，角动量 L = r × mv，L ⊥ M ， dL ？ 二者方向不同，能否满足角动量定理 M = dt ∵ M = M⊥ + M∥ , M⊥ = 0 ∴L⊥ 守恒量 L 变化方向沿着 v 方向，正交分解，验证分量守恒：L∥ = r cos θ · mv，大小、方向？ L⊥ = r sin θ · mv，大小、方向？ 2
第5讲 角动量定理和角动量守恒定律
2）动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律 如行星运动
动量不守恒
角动量守恒
3）向心力： 力始终过某一点。
M 0
o
角动量守恒
F
行星在速度和向心力所组成的平面内运动。
9
例：开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相等的时间
内扫过相等的面积
M 0
dr
L
＝常矢量
L mrsin
方向：垂直 r , F组成的平面
1
M
M
O
z
r
F
*
d
P
确定力矩方向的右手螺旋法则示意图
2
2、质点对定点的角动量
t 时刻 质量m 速度 相对固定o的矢径 r
• 质点动量
p m
为质点对定点o 的角动量
• 定义 L r p
• 大小： r p sin mr sin L
M xi M y j M z k
M x yFz zF y 比较可得： M y zFx xFz M xF yF y x z
M rF x Fx i j y Fy k z Fz
6
3. 质点的角动量定理
Lrp
Lx ypz zp y 比较可得： Ly zp x xp z L xp yp y x z
Lrp x px i j y py k z pz
5
（b）力矩分量
M ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
动量不守恒
角动量守恒
3）向心力： 力始终过某一点。
M 0
o
角动量守恒
F
行星在速度和向心力所组成的平面内运动。
9
例：开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相等的时间
内扫过相等的面积
M 0
dr
L
＝常矢量
L mrsin
方向：垂直 r , F组成的平面
1
M
M
O
z
r
F
*
d
P
确定力矩方向的右手螺旋法则示意图
2
2、质点对定点的角动量
t 时刻 质量m 速度 相对固定o的矢径 r
• 质点动量
p m
为质点对定点o 的角动量
• 定义 L r p
• 大小： r p sin mr sin L
M xi M y j M z k
M x yFz zF y 比较可得： M y zFx xFz M xF yF y x z
M rF x Fx i j y Fy k z Fz
6
3. 质点的角动量定理
Lrp
Lx ypz zp y 比较可得： Ly zp x xp z L xp yp y x z
Lrp x px i j y py k z pz
5
（b）力矩分量
M ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力学_舒幼生_第四章角动量定理、天体运动
7
若过程中 M 恒为零，则过程中 L 为守恒量
M 0 L 常矢量
若过程中 Mz 恒为零，则过程中 Lz 为守恒量
M z 0 Lz 常量
有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。
8
例1
相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量
参考点A： 重力矩 角动量 参考点B： 重力矩 角动量
系统角动量
Lz (m1 m2 )l 2
19
角动量定理
dLz d 2 d 2 Mz (m1 m2 )l (m1 m2 )l dt dt d
0
0
积分
(m1 m2 ) gl cos (d )
h sin 0 l
0
0
(m1 m2 )l 2d
p
角动量随时间的变化与什么有关呢？
r
其中
dL d (r p) dr dp pr dt dt dt dt dr dp p v p 0, F dt dt
dL r F dt
4
质点所受力相对参考点 O 的力矩
26
对称球的外引力分布中心
P
球心是对称球的外引力分布中心
27
质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。 质量 m 的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫 轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫的质量。
例9
麦管长L，小虫相对麦管速度u，麦管相对桌面左行速度v 系统动量守恒 麦管移入桌面长度
22
角动量 L 守恒，横向力为零 径向力应合成mar
4.1.3 外力矩 重心 对称球的外引力分布中心
若过程中 M 恒为零，则过程中 L 为守恒量
M 0 L 常矢量
若过程中 Mz 恒为零，则过程中 Lz 为守恒量
M z 0 Lz 常量
有心力：质点所受力 F 若始终指向一个固定点 O，O为力心。
8
例1
相对不同参考点A、B，计算重力矩和角动量
参考点A： 重力矩 角动量 参考点B： 重力矩 角动量
系统角动量
Lz (m1 m2 )l 2
19
角动量定理
dLz d 2 d 2 Mz (m1 m2 )l (m1 m2 )l dt dt d
0
0
积分
(m1 m2 ) gl cos (d )
h sin 0 l
0
0
(m1 m2 )l 2d
p
角动量随时间的变化与什么有关呢？
r
其中
dL d (r p) dr dp pr dt dt dt dt dr dp p v p 0, F dt dt
dL r F dt
4
质点所受力相对参考点 O 的力矩
26
对称球的外引力分布中心
P
球心是对称球的外引力分布中心
27
质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。 质量 m 的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫 轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫的质量。
例9
麦管长L，小虫相对麦管速度u，麦管相对桌面左行速度v 系统动量守恒 麦管移入桌面长度
22
角动量 L 守恒，横向力为零 径向力应合成mar
4.1.3 外力矩 重心 对称球的外引力分布中心
角动量定理角动量守恒定律
应用牛顿第二定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
角动量定理及角动量守恒定律
角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩：如图所示,定义力F对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为: θsin Fr M ＝力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直,其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时,拇指指向的方向就是力矩的方向.二、力对转轴的力矩:力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M;2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩,用M表示。
力矩的大小为： Fd M ＝或： θsin Fr M ＝其中θ是F 与r的夹角.3）若力F不在垂直与转轴的平面内,则可把该力分解为两个力,一个与转轴平行的分力1F，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响.对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向.三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M＝即 ∑i M M＝四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。
角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线）动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时,考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时,引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。
至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容.本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。
角动量定理、天体运动PPT文档共86页
。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
角动量定理、天体运动
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
角动量定理、天体运动
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
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m
M m m M m
28
§2 对称性与守恒律
2.1 对称性
29
德国数学家魏尔（H. Weyl）
对称性：系统在某种变换下具有的不变性。 例 左右对称，
上下对称， 也称镜面对称
30
空间变换对称性
z
O x
y
系统相对点、线、面的变换
31
镜面反演对称性
镜面反演：对平面直角坐标系，仅取x到-x （或y到-y，或z到-z）的变换。
i i i
O
ri
R
O
ri
Fi
22
一对力偶 大小相同、方向相反且不在同一直线上的两个力
F2
r21 r12
2
M r12 F1 r21 F2
1 力偶的力矩不依赖于参考点的选择
F1
23
重心
位于rG的几何点称为质点系的重心
rG
系统角动量
Lz (m1 m2 )l 2
18
角动量定理
dLz d 2 d 2 Mz (m1 m2 )l (m1 m2 )l dt dt d
0
0
积分
(m1 m2 ) gl cos (d )
h sin 0 l
0
0
(m1 m2 )l 2d
m(u v) Mv
t m m x vdt udt L 0 M m 0 M m t
27
分两种情况讨论： （1） M m,
L x 2
麦管全部进入桌面，第二个小虫可取任何值。
L （2） M m, x 2
麦管和二个小虫相对桌边的重力矩应该满足
L (m m) g x Mgx 2
重力势能 重力的力矩
mi ghi mi hi g mgh G i i
ri (mi g ) mi ri g mrG g rG mg i i
重心是质点系重力分布中心
猫的空中转体
p
角动量随时间的变化与什么有关呢？
r
其中
dL d (r p) dr dp pr dt dt dt dt dr dp p v p 0, F dt dt
dL rF dt
3
质点所受力相对参考点 O 的力矩
1 dS r v dt 2
dS 1 r v 面积速度 dt 2
O
r (t dt)
d
v dt
r (t )
速度 动量 动量定理
面积速度 角动量 角动量定理
2
质点在 S 系中相对参考点O的角动量 L
L
L r mv r p
T
B
分析物理过程 以O为参考点，力矩为零，角动量守恒。 T0极缓慢增大，径向速度可略，中间过程近似为圆周运动。
13
解
（1）
2 v0 T0 m r0
v0
O
A
r0
（2）
角动量守恒
mvr mv0 r0
2m v mv 2T0 r r0
3
2 2 0
T
B
圆周运动
r0 v 2v0 , r 3 2
2 F m r 2mv
合力的横向分量
合力的径向分量
F 2mvr
Fr mr 2 2mv
F 2mvr 2Lr 2
d 2 r d 2 2 Fr m 2 r m r 2m v dt dt 2 L m r 2 2 Lr 1 (1 2 2 r 2 )r 3 m
14
（3）拉动过程中，小球作螺旋线运动
dW T dr Tdr
2 2 r0 m v2 m v0 T r r3
W
r0 / 3 2
r0
2 2 m v0 r0 1 2 3 dr m v0 ( 4 1) 3 r 2
它恰好等于小球的动能增量
1 2 1 2 1 2 3 Ek mv mv 0 mv 0 ( 4 1) 2 2 2
21
角动量 L 守恒，横向力为零 径向力应合成mar
1.3 外力矩 重心 对称球的外引力分布中心
外力矩是质点系角动量变化的原因
合力为零的外力矩
质点系所受外力的合力为零时，外力矩与参考点无关。
(ri R ) Fi M外 ri Fi R Fi M外
⊙z
l T
M z m glsin d Lz m lv m l dt
2
mg
采用小角度近似 利用角动量定理
sin
d 2 g 2 dt l
12
例6
小球绕O作圆周运动，如图所示。 O
v0 r0
A
（1）求B端所受竖直向下的外力T0 （2） T0极缓慢增到 2T0，求v （3）用功的定义式求拉力所作的功。
§1 角动量定理
1.1 质点角动量定理
质点的运动状态： ( r , v )
d (mv ) Fdt 1 d ( mv v ) F dr 2
转动
r
v
相对某参考点的转动：相对某参考点的位置矢量r 速度v
1
惯性系 S 中的一个运动质点 在运动过程中相对某参考点O的径矢 r 会相应的旋转 在 dt 时间 质点位移为 vdt，转过角度dθ r 便会扫过面积 dS
1 2 2(m1 m2 ) gh (m1 m2 )l 2 0 2
此即机械能守恒
0
2 (m1 m2 ) gh l m1 m2
19
例8
水平大圆盘绕中心竖直轴 以角速度ω旋转，质量m的 小球从中心出发，沿阿基米德螺 线运动，角动量 L 守恒。 试求小球所受真实力的 横向分量和径向分量。
40
时间平移对称性 系统在时间平移，即在
t t t0
变换下具有的不变性。
牛顿第二定律和力的结构性定律都具有时间平移对称性
自然界中除了与时空变换有关的对称性以外， 还有其它的对称性，物理学的后续课程中将会讨论。
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§2.2 对称性原理
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v1 m2v2 m1v10 m2v20 2 2 2 2
非惯性系中质点系的角动量定理 dL M惯 M外 dt
17
例7
质量可略、长2l的跷跷板 静坐着两少年，左重右轻，
z
m1
左端少年用脚蹬地， 获得顺时针方向角速度ω0。 求ω0至少多大时，右端少年可着地？
l
O h
l
m2
力矩
M z m1 gl cos m2 gl cos
A
v
mg
d1
M mgd 1
L0
d2
B
M mgd 1
L mvd2
8
例2
匀速圆周运动
选择圆心O为参考点 力矩 角动量
v
R
⊙
M 0
L mvR
O
F心
角动量守恒 其它任何点则没有这种情况
O
9
例3
地球绕太阳公转
选择太阳为参考点 万有引力的力矩为零
M 0 LC
⊙ω
O
阿基米德螺线
角动量 L 守恒
r
d L mr dt
2
m
dr d L 2 r dt dt m
d L 2 r , dt m
20
d 2 L2 5 2 2 r , 2 dt m
圆盘系中小球所受合力
2 d 2r L 2 5 2 r dt 2 m2
i i i
两质点之间一对作用力与反作用力 相对于同一参考点力矩之和必为零。
F1
r1
2 r 1 21 r2
F2
r1 F1 r2 F2 r1 F2 r2 F2 (r2 r1 ) F2 r21 F2 0
i M r F j k
它的三个分量：
x y z
Fx Fy Fz
M z xFy yFx ,
5
质点所受各分力Fi相对同一参考点的力矩之和， 等于合力F相对该参考点的力矩。
M i r Fi r Fi r F M
系统在空间反演，即在
r r ( x x, y y, z z)
变换下具有的不变性。
36
点转动对称性（球对称性）
系统在绕着某点作任意旋转的变换下 具有的不变性。 均匀带电球体相对球心具有球对称性， 它的空间场强分布也具有此种对称性。 R 电 场 强 度 R 半径
37
25
对称球的外引力分布中心
P
球心是对称球的外引力分布中心
26
质量 M 的均匀麦管放在光滑桌面上，一半在桌面外。 质量 m 的小虫停在左端，而后爬到右端。随即另一小虫 轻轻地落在该端，麦管并未倾倒，试求第二个小虫的质量。
例9
麦管长L，小虫相对麦管速度u，麦管相对桌面左行速度v 系统动量守恒 麦管移入桌面长度
1
v v
O
r (t )
过去 未来
a a,
FF
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牛顿第二定律具有时间反演对称性
经典力学中，与牛顿第二定律平行的是力的结构性定律 胡克定律、引力定律、库仑定律具有时间反演对称性