chapt8-2 正态总体的假设检验

1 2 1 > 2 1 < 2
U
X Y σ σ n1 n2
2 1 2 2
U zα
U zα
1 2
T 检验法 σ ，σ 未知，但 σ σ ） （
2 1 2 2 2 1 2 2
类型 原假设 备择假设 H0 H1
检验统计量
( X Y ) T 1 1 Sw n1 n2
四、两个正态总体方差的假设检验 P198
F 检验法 （已知 μ1 ，μ2时）
类型 原假设 备择假设 检验统计量 H0 H1
拒绝域
F 1 F ( n2，n1 )
2 2
双边 检验
单边 检验
2 2 2 2 σ1 σ 2 σ 1 σ 2
2 2 σ1 σ 2 σ σ 2 1 2 2 2 2 2 2 σ1 σ 2 σ1 σ 2
1 X i μ1 2 n1 i 1 F 1 n2 Yi μ 2 2 n 2 i 1
n1
F F ( n1，n2 )
F Fα (n1，n2 )
F F1α (n1，n2 )
（ F 检验法 μ1 ，μ2未知时）
类型 原假设 备择假设 检验统计量 H0 H1 双边 2 2 2 2 σ1 σ 2 σ 1 σ 2 检验
炼的男生平均身高要高些？ （α=0.05 ）
解:
x 174 . 34，y 172 . 42， x y，
备择假设 H 1 : μ1 μ2 ，
2
原假设 H 0 : μ1 μ2 ，
2 1 2
2 2
σ 5.35 ， σ 6.11 ，
检验统计量： U
X Y
2 σ 12 σ 2 n1 n2
s 5.9292
t
x 0 s n

67.4 72 5.9292 / 10
2.4534 2.2622
因为 t W ， 所以拒绝H0， 即在显著性水平0.05下，乙基四铅中毒者和正常
人的脉搏有显著的差异。
例2.一台机床加工轴的椭圆度 X 服从正态分布 N(0.095, 0.022）（单位：mm)。机床经调整后随机 取20根测量其椭圆度，算得 x 0.088 mm 。已知
2 因为 χ W
所以拒绝H0，
即在显著性水平α=0.05下，认为这批导线的标准差显 著地偏大.
三、两个正态总体均值的假设检验 P197
2 （已知 σ 12 ，σ 2 时） U 检验法
类型
双边 检验 单边 检验
原假设 H0
备择假设 检验统计量 H1
拒绝域
U zα
2
1 2 1 2
2 2 χ 1 α (n 1) χ 0.95 (9) 3.325 n=10 ，α=0.1，
2
2 2 χ α (n 1) χ 0.05 (9) 16.919
2
W { χ 2 3.325，χ 2 16.919}
s 2 87.6823
2 因为 χ W
( n 1) S 2 9 87.6823 χ2 13.15235 2 σ 60
2 2 σ1 σ 2 单边 σ σ 检验 2 2 2 2 σ1 σ 2 σ1 σ 2 2 1 2 2
拒绝域
F 1 F ( n2 1，n1 1 )
2 2
S 12 F 2 S2
F F ( n1 1，n2 1 )
F Fα (n1 1，n2 1)
F F1α (n1 1，n2 1)
检验统计量
拒绝域
2 χ 2 χ 1 α ( n 1)
2
( n 1) S χ 2 σ0
2
2
2 χ 2 χ α ( n 1)
2
2 χ 2 χ α (n 1)
2 χ 2 χ 1α (n 1)
例3. 在生产线上随机地取10只电阻测得电阻值
（单位：欧姆）如下：114.2，91.9，107.5，89.1，
类型 原假设 备择假设 H0 H1 检验统计量
拒绝域
2 χ 2 χ 1 α ( n )
2
双边 2 2 2 σ σ0 σ 2 σ0 检验
单边 σ σ σ σ 检验 2 2 σ 2 σ0 σ 2 σ0
2 2 0 2 2 0
χ2 X i μ0 σ i 1 0
双边 检验
单边 检验
0 0 0
0 > 0 < 0
U X μ0 σ0 / n
U zα
U zα
U 推导： 当H0为真时，
X μ0 σ0 n
~N(0, 1)
| 此时，因为 X 是μ0的无偏估计量, | X μ0 不应太大.
P ( X 0 k ) P {
第二节 正态总体的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验 二、单一正态总体方差σ2的假设检验 三、两个正态总体均值的假设检验 四、两个正态总体方差的假设检验
一、单一正态总体均值μ的假设检验
U 检验法 (已知 0 时 )
2 2
P193 拒绝域
U zα
2
类型
原假设 H0
备择假设 H1
检验统计量
解: x 63.4 65 原假设 H0 : 65， 检验统计量：T
X μ0 S n
备择假设 H1 : 65
拒绝域： {T t（n 1 } W ）
n=10， α=0.05， t ( n 1 ) t0.05 ( 9 ) 1.8331
备择假设 检验统计量 H1
拒绝域
T t（n 1） α
2
0 0 0
0 > 0 < 0
T X μ0 S/ n
T t（n 1） α
T t（n 1） α
注：统计中把拒绝域在某个区间的两侧的检验称为双 边检验，在某个区间的某一侧的检验称为单边检验
( n 1 )S 2
02
2 W { χ 2 χ α (n 1) }
n=9 , α=0.05，
W { χ 2 15.507}
2 2 χ α ( n 1) χ 0.05 (8) 15.507
2
( n 1 )S 2
02
8 0.007 2 15.68 15.507 2 0.005
α
n=20，α=0.05，
z α z 0.05 1.645
W { U z } {U 1.645}
u
x μ0 σ0 / n

0.088 0.095 0.02 / 20
1.5652 1.645
因为 u W ， 所以接受H0， 在显著性水平0.05下，认为调整后机床加工轴 的椭圆度的均值无显著降低.
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例1(作业2) 正常人的脉搏平均为72次/分，现某医生测得
10例慢乙基四铅中毒患者的脉搏（次/分）如下：
54 67 78 68 70 67 66 70 69 65
已知乙基四铅中毒者的脉搏服从正态分布，试问：乙基 四铅中毒者和正常人的脉搏有无显著的差异? ( 0.05 )
解： 原假设 H0 : 72， 备择假设 H1 : 72
练习 (作业4) 某种导线，要求其电阻的标准差不得
超过0.005欧姆，今在生产的一批导线中取样本9
根，测得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布，参数
均未知，问在显著性水平α=0.05下，能否认为这
批导线的标准差显著地偏大？
解: s 0.007 0.005
2 2
2
原假设 H 0 : σ 2 0.0052，备择假设 H 1 : σ 2 0.0052 检验统计量： 2 拒绝域：
02
2 ( n 1 ) 02.05 ( 9 ) 16.919 n=10，α=0.05，
W { 2 16.919 }
( n 1 )S 2 9 124.2668 2 13.9800 16.919 2 0 80
因为 2 W 所以接受H0， 即认为熔化时间的方差不超过80。
87.2，87.6，95.8 ，98.4，94.6，85.4
设电阻的电阻值总体服从正态分布，问在显著性
水平α=0.1下方差与60是否有显著差异？
解: 原假设 H 0 : σ 2 60， 备择假设 H1 : σ 2 60
检验统计量：
( n 1) S 2 χ2 σ2
α 2 α 2
拒绝域：W { χ 2 χ 12 (n 1)，χ 2 χ 2 (n 1) }
练习作业3(1) 检查一批保险丝，抽取10根，在通过强 电流后熔化后需时间（秒）为：65 42 78 75 71 69 68 57 55 54, 在 0.05 下，问（已知熔化时间服从
N( , 2 ) ）。
（1）能否认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒？ （2）能否认为熔化时间的方差不超过80？
W {T t ( n 1 )} {T 1.8331 }
x 0 63.4 65 t 0.4539 1.8331 11.1475 / 10 s n
因为 t W
所以接受H0，
即不能认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒。
二、单一正态总体方差σ2的假设检验 P195 χ2 检验法（已知 0 时）
总体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均
值有无显著降低？α 0.05) ( 解:
x 0.088 0.095
原假设H 0 : μ 0.095 备择假设H : μ 0.095 ， 1 由σ2 =0.022知，检验统计量为 U X μ0 σ0 / n 拒绝域： W {U z }
( n1 1 )S12 ( n2 1 )S22 n1 n2 2
拒绝域
双边 检验
单边 检验
1 2 1 2
1 2
1 2 1 > 2 1 < 2
T t（n1 n2 2） α
2
Sw
T t（n1 n2 2） α
T t（n1 n2 2）
n

2
2 χ 2 χ α ( n)
2
2 χ 2 χ α (n)
2 χ 2 χ 1α (n)
χ2 检验法（ 未知）
类型 原假设 备择假设 H0 H1 双边 σ 2 σ 2 σ 2 σ 2 0 0 检验
2 2 单边 σ 2 σ 0 σ 2 σ 0 检验 2 2 σ 2 σ0 σ 2 σ0
检验统计量： T X μ0
S n
拒绝域：
W { T t（n 1） } α
2
n=10， α=0.05，
t / 2 ( n 1 ) t0.025 ( 9 ) 2.2622
W { T t / 2 ( n 1 )} {|T | 2.2622 }
由样本值计算得： x 67.4 ,
例5.某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出 50名，测得平均身高174.34cm，从不经常参加体育 锻炼的男生中随机地选出50名，测得平均身高
172.42cm，统计资料表明两种男生的身高都服从正
态分布，其标准差分别为5.35cm和6.11cm，问该校
经常参加体育锻炼的男生是否比不经常参加体育锻
拒绝域：
W {U z α }
α 0.05，
x y σ σ n1 n2
2 1 2 2
z α z 0.05 1.645
174.34 172.42 5.35 2 50 6.11 2 50
所以接受H0，
即在显著性水平α=0.1下，认为方差与60无显著差异.
例4 (作业3（2）) 解:
s 2 124.2668 80
2
原假设 H0 : 80， 检验统计量： 2
( n 1 )S 2
备择假设H1 : 2 80
2 拒绝域：W { χ 2 χ α (n 1) }
| X μ0 | σ0 n k σ0 n }
P{| U |
k σ0 n
}α
所以
k σ0 n
zα / 2 ，
即： P{| U | z α / 2 } α
由此知，拒绝域为： W {| U | z α / 2 }
T 检验法 ( 2 未知)
类型 双边 检验 单边 检验
原假设 H0