数学史上三大数学危机(PPT-45)
历史上的三次数学危机+课件
第一次数学危机的解决
戴德金分割定义无理数
有理数集ℚ的一个分割为集合, ，满足：
• ∪=ℚ
• ∩=∅
• 对任意 ∈ , ∈ ，有 <
则对任意有理数集ℚ的一个分割, ，仅有4种可能
戴德金（1831-1916）
德国数学家
① 集合中有最大数， 中无最小数
其中, 均为整数
例： 与
= ×
=×
万物皆数！
例： 与 与
= ×
= ×
= ×
第一次数学危机的产生
1
=?
1
希帕索斯，毕达哥拉斯的学生
第一次数学危机的产生
希帕索斯发现： 与 无法公度！
本质原因： 是无理数
② 集合中无最大数， 中有最小数
③ 集合中无最大数， 中无最小数
④ 集合中有最大数， 中有最小数
第一次数学危机的解决
对任意有理数集ℚ的一个分割, ，仅有4种可能
①集合中有最大数， 中无最小数
②集合中无最大数， 中有最小数
③集合中无最大数， 中无最小数
④集合中有最大数， 中有最小数
情况④不可能出现（为什么）
情况③可能出现，此时就称该切割确定了一个无理数
第一次数学危机的解决
总结：
• 有理数之间存在“空隙”，那些空隙就对应了无理数
• 实数集=有理数集∪无理数集
• 可以继续由戴德金分割证明，实数间不存在空隙，从
(完整版)简述数学史上的三大危机
简述数学史上的三大危机世界曾经发生过金融危机，比如美国的金融危机席卷全球，造成了史无前例的影响。
实际上，在数学界也发生过翻天覆地的变革，那就是数学史上的三次数学危机。
在古希腊，哲学家都是格外重视数学。
像无论是最早的唯物主义哲学家泰勒斯，还是最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都特别推崇数学。
在那些伟大的数学家中，在数学上成就最大的，当推毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯建立了一个带有神秘色彩的团体，被称为毕达哥拉斯学派。
这个学派传授知识，研究数学，还很重视音乐。
“数”与“和谐”是他们的主要哲学思想。
他们认为数是万物的本源，数产生万物，数的规律统治万物，也就是“万物皆数”的观点。
“万物皆数”就是万物皆可用自然数或分数表示。
然而，这一观点在后来确被毕达哥拉斯自己给推翻了。
这还得从一个有趣的故事说起。
有一次毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板上的方形图案很有意思，凭借着他数学家头脑的直觉，得出了我们今天所学的勾股定理以及证明。
然而根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长度应当是根号2，毕达哥拉斯发现根号2既不是自然数，也不是分数。
这个事实的发现，是毕达哥拉斯学派的一大成就，它标志着人类思维有了更高的抽象能力。
但这一发现引起了毕达哥拉斯学派的惶恐不安。
因为他们心目中的数只有自然数与自然数之比---分数。
如今发现边长为1的正方形的对角线这个明明白白地摆在那里的东西竟不能用“数”表示。
这难道不是自己否定自己信仰的真理吗？于是毕达哥拉斯学派千方百计封锁消息，但是纸包不住火终于还是传开了。
当时研究数学的希腊学者们便对数的重要性有了怀疑。
哲学家们认为世界上的量都可以用数表示，任何两个分数，无论多么近，他们之间还有无穷对个分数，这么多的数居然还不能表示出线段上某些点的长度，数的万能的力量因为根号2的出现被否定了，这就是所谓的第一次数学危机。
第二次数学危机我们生活着的这个世界，在一刻不停地变化着。
古希腊哲学家赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。
三次数学危机及其影响ppt课件
一. 第一次数学危机
一. 第一次数学危机
1.危机的起因：
第一次数学危机是由 不 能写成两个整数 2 之比引发的。
毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家
例：如边长为1的正方形，对角线的 长度就不能以整数之比表示。
危机的实质： 是无理 2
数，全体整数之构成的
最后，这些既属于自己而又不属于自己
的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾， 引发起第三次数学危机。
危机的消除
危机出现以后，包括罗素本人在内的许多 数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产 生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可 能。
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算 术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现 了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了
由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再 后来，还有改进的ZFC-系统。
这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过
是有理数系，有理数系
需要扩充，需要添加无
理数.
当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一
危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个 量之比”的新说法，回避了它是无理数的实 质，而是用几何的方法去处理不可公度比。 这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何 原本》中也采用了这一说法，以致在以后的 近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数 学的基础。
《数学史上的三次危机》课件
Three crises in Mathematics
第一次危机 first
出现
1
希帕索斯发 现：两直角边都 为1的等腰直角三 角形，其斜边的 长度是上帝都不 知道的数。这是 人类数学史上发 现的第一个无理 数。
2 a ？ b
2 因为这一背
经离道的发现， 希帕索斯被扔 到海里淹死了。
4 毕达哥拉斯认定类似于“根号
2
第一个图形 反比例函数图形
第二个图形 双曲线的图形
Three crises in Mathematics
第二次危机 Second
背景 2、无穷小与0
3 中国庄周所著《庄子》
一书的《天下篇》中， 也记有“一尺之棰，日 取其半，万世不竭”。
5
而现在，我们高中生都 知道，无穷小不是一个实数， 而是一个以0为极限的变量。 无穷小不一定是0，但0是 无穷小，不仅如此，0还是 实数内唯一一个无穷小。
Three crises in Mathematics
第二次危机
Second
出现
2 无穷小量的概念对于
微积分理论乃至高等数学 的发展有着基石性的作用， 当时人们的认知是不严谨 和不完整的，牛顿和莱布 尼兹纷纷采用“先用了再 说”的方式进行研究，才 照成了第二次数学危机。
1
1734 年 ， 英 国 哲 学 家 、 大 主 教贝克莱把矛头指向微积分的基 础--无穷小的问题。他指出微积分 理论在推导过程中存在逻辑上的 自相矛盾：“无穷小量是一个幽 灵，说它是0吧，又可以做为分母， 不是0吧，又可以舍去。总之看起 来是0又不是0。与其相信无穷小 的灵魂，还不如相信上帝”。微 积分的合理性就这样遭到严重质 疑，险些要把整个微积分理论推 翻
4
史上数学三大危机简介
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。
罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。
1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
数学的三次危机
数学的三次危机在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革。
数学的进展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也确实是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴盛的时期为公元前500年左右。
他们认为，〝万物皆数〞(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且能够应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观看、直觉和日常体会。
整数是在关于对象的有限整合进行运算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要运算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时刻。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
因此，假如定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，因此关于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何说明。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，假如令它的定端点和右端点分别表示数0和1，那么可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，能够用每一单位间隔分为q等分的点表示。
因此，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，如此能把直线上所有的点用完。
然而，毕氏学派大约在公元前400年发觉：直线上存在不对应任何有理数的点。
专门是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，那个地点距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
因此就必须发明新的数对应如此的点，同时因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
无理数的发觉，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
无理数的发觉，引起了第一次数学危机。
第一，关于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。
其次，无理数看来与常识看起来相矛盾。
在几何上的对应情形同样也是令人惊奇的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。
论数学史上的三次危机
论数学史上的三次危机提到数学，我有一种感觉，数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。
就人类发展史而言，数学在其中起的作用是巨大的，难怪有人说数学是人类科学中最美的科学。
但在数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。
人类数学史上出现过三次“危机”，这实际上是数学发展中三次伟大的突破，都是人们认识领域中的变革性发展，都是人们头脑中数学认识结构的转换。
第一次数学危机使数系扩展了，万物皆数的整数算术观念被动摇了，世界上竟存在着不能用整数表示的、不可通约的非比实数，被认为是“异物”的东西，成了新体系中合理的“存在物”。
第二次数学危机是方法论的领域扩大了，确立了一种崭新的“分析方法”。
“分析”的结果与“运算”或“证明”的结果有着同等程度的确定性。
第二次数学危机先后沿续一百多年，无非是为“分析”结果的确定性寻找基础，寻求证明和建立“分析”的步骤程序。
这在数学发展史上被称之为“分析中注入严密性”。
第三次数学危机是人的认知领域扩展到无穷，扩大了人们的思维方式，通过对一系列悖论的研究，确立了关于无穷运算的规则。
人类对数的认识经历了一个不断深化的过程，在这一过程中数的概念进行了多次扩充与发展。
其中无理数的引入在数学上更具有特别重要的意义，它在西方数学史上曾导致了一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
微积分(一)三次数学危机
微积分（一）三次数学危机这三次数学危机其实对东方(主要是中国和印度)影响不大，所以只能算是西方的三次数学危机。
三次数学危机对数学及其哲学产生了重大影响。
虽然他们在当时造成了一些困难，但他们从未阻碍数学的发展和应用。
但困境过去后，又给数学带来了新的活力。
从历史阶段上看，数学的三次危机分别发生在公元前5世纪、17世纪和19世纪末，都是发生在西方文化大发展的时期，因此，数学危机的产生，都有其一定的文化背景。
第一次危机是古希腊时代，由于不可公度的线段——无理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引发的;第二次危机是在牛顿和莱布尼茨建立了微积分理论后，由于对无穷小量的理解未及深透而引发的;第三次危机是当罗素发现了集合论中的悖论，危及整个数学的基础而引起的。
一、第一次数学危机公元前5世纪古希腊的数学非常发达，尤其是毕达哥拉斯创立的学派。
毕达哥拉斯游历埃及和波斯，学习几何、语言和宗教，知识渊博。
后来，他定居在意大利一个叫克罗顿的海滨城市，并招收了300名弟子，被称为毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派对几何学贡献很大，最着名的是所谓毕达哥拉斯定理(中国称勾股定理)的发现：即任何直角三角形的两直角边a、b和斜边c,都有的关系式。
据说当时曾屠牛百头欢宴庆贺。
华达哥拉斯学派研究数学，还很重视音乐，倡导一种“惟数论”的哲学观，“数”与“和谐”是他们的主要的哲学思想。
他们认为，宇的宙的本质是数的和谐。
一切事物都必须而且只能通过数学得到解释。
他们坚持的信条是：“宇宙间的一切现象都可归结为整数或整数与整数的比。
”也就是一切现象都可以用有理数来描述。
例如，他们认为“任何两条不等的线段，总有一个最大公度线段。
”其求法如下(如图 32-1)：设两条线段AB>CD,在AB上用圆规从一端A起，连续截取长度为CD的线段，使截取的次数尽可能地多。
若没有剩余，则CD 就是最大公度线段。
若有剩余，则设剩余线段为EB (EB<CD),再在CD上截取次数尽可能多的EB线段，若没有剩余，则EB 就是最大公度线段，若有剩余，则设为FD (FD<EB),再在EB 上连续尽可能多地截取线段长度等于FD的线段，如此反复下去。
数学历史上的三次危机优秀课件
当时，毕达哥拉斯倡导的是一 种称为“唯数论〞的哲学观点，他 们认为宇宙的本质就是数的和谐。 他们认为万物皆数〔数字神化〕， 而数只有两种，就是不再有别的数，即是说世
界上只有整数或分数。
3 2
•
1
0.3
3
有理数〔有道 理的数〕
无理数〔没道 理的数〕
•
0.9 1
在微积分的知识中，无穷小量界定的不严谨一直惹人诟病。
···
危机：既是危险，也是机遇。数 学史上的每一次危机都极大地推动 了数学的开展。每一次开展都是人 们认识这个世界的更进一步。数学 也有着自己独特的文化与韵味。
数学史上三大危机
数学史上三大危机数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。
第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580~约前500)建立了毕达哥拉斯学派。
他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。
经过一番刻苦实践，他提出"万物皆为数"的观点:数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。
公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数)，这一不可公度性与毕氏学派的"万物皆为数"(指有理数)的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。
被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。
科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的"孔隙"。
而这种"孔隙"经后人证明简直多得"不可胜数"。
于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。
不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
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二、数学史的分期
数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原则把数学 史分成若干时期。目前学术界通常将数学发展划分为以下五个 时期：
1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）。
从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学 原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料，以及对 数学家的访问记录等等，都是重要的研究对象，其中数学原始 文献是最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说， 可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史；可以研究数 学科学与人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交 流史；可以研究数学家的生平；数学悖论在数学发展过程中的 作用往往会大大的促进数学的发展。
数学史研究的任务在于，弄清数学发展过程中的基本史实， 再现其本来面貌，同时透过这些历史现象对数学成就、理论体 系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究 数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法 与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。
数学史既属史学领域，又属数学科学领域，因此，数学史 研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一 特点，可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段，在 缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对 古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理 论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与 “今”间的一种联系。
第二次数学危机
牛顿
英国数学家、物理 学家、天文学家和 自然哲学家。 牛顿在科学上最 卓越的贡献是微积 分和经典力学的创 建。
莱布尼兹
德国科学家和哲学家。 莱布尼兹把中国阴阳 八卦观念创新为二进 制并应用于计算机中， 在1671年发明了一台 新的机械式计算机。 他独立地发现了微积 分学
贝克莱
英国大主教贝克莱
大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索 斯建立起一套完整的比例论。欧多克索斯
的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的 丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从 而解决了由无理数出现而引起的数学危机。 但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法， 通过避免直接出现无理数而实现的。这
欧多克索斯
就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的 使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的， 不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符 号，而不被当作真正的数。一直到18世纪，当数学家证明了基 本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。 到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理 数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无 理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有 理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次 数学危机。
数学史趣谈
苏步青
—— 三大数学危机
高等数学教研室
五个问题：
一、数学史的研究对象 二、数学史的分期 三、数学史上三大数学危机： 四、数学史的意义
五、数学史上发生的大事
祖冲之
刘徽
吴文俊
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
陈省身
一、数学史的研究对象
数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地 说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的 演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及 历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学 史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、 文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科 。
毕达哥拉斯
小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它 直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为 之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派 的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的 冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量， 在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当 时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发 展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确 信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！ 这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道 的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无 办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了 西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人 们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时 期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹 各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威 力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。 但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都 是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但 他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱 的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻 击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很 长的书《分析学家》。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进 行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先 将 x 取一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科 学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说 是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是 “已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的， 但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。
三、数学史上三大数学危机：
第一次数学危机
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家 与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三 位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达 哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲 学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则 是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由 毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉 斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕氏的一个学生希 帕索斯考虑了这样一个问题：边长为1的正方形其对 角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数， 也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希 帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞 生。