解三角形1.1正弦定理和余弦定理知识点总结

第一章 解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

一、知识必备：

1．直角三角形中各元素间的关系：

在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）

（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；

（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）

sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b

a 。 二、正弦定理

（一）知识与工具：

正弦定理：在△ABC 中， R C

c B b A a 2sin sin sin ===。（外接圆圆半径） 在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。 注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

(1)三内角和为180°

(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

(3)面积公式：S=21absinC=R

abc 4=2R 2sinAsinBsinC 111sin ()222

a S ah a

b C r a b

c ===++（其中r 为三角形内切圆半径） )(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)

(4)三角函数的恒等变形。

(5) sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）

sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin 2B A +=cos 2C ，cos 2

B A +=sin 2

C 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（6）(边化角公式）

sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R

=

==（7）(角化边公式） ::sin :sin :sin a b c A B C =（8）

sin sin sin (9),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === （10）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）

（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型

题型1 利用正弦定理公式原型解三角形

题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。

题型3 三角形解的个数的讨论

已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:

如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A

如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.

方法一：画图看

方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。

三、余弦定理

（一）知识与工具：

a 2=

b 2+

c 2﹣2bccosA cosA=bc

a 2c

b 222-+ b 2=a 2+

c 2﹣2accosB cosB=ac

b c a 22

22-+ c 2=a 2+b 2﹣2abcosC

cosC=ab c b a 22

22-+ 注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

(1)三内角和为180°；

(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

(3)面积公式：S=2

1absinC=R abc 4=2R 2sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。

（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型

题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形

题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

题型3 判断三角形的形状

结论：根据余弦定理，当a 2+b 2＜c 2、b 2+c 2＜a 2、c 2+a 2＜b 2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a 2+b 2＞c 2、b 2+c 2＞a 2，c 2+a 2＞b 2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。

判断三角形形状的方法：

(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。

(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A+B+C=π这个结论。

在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解

四、思维总结

1．解斜三角形的常规思维方法是：

（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ；

（2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角；

（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；

（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C 。

2．三角形内切圆的半径：2S r a b c

∆=++，特别地，2a b c r +-=斜直； 3．三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…

4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…

5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

五、判断三角形的类型

（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形

∆

（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）

(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=

+B A .

本章浙江高考理科试卷分析：2013年选择一道（定比分点与向量）

填空一道（模的最大值）

2012年选择一道（向量的数量积）

解答一道（正余弦求值与面积）

2011年填空一道（面积与取值范围）

解答一道（求值与取值范围）

2010年填空一道（平面向量取值范围）

解答一道（求值与边）