江苏专版高考物理一轮复习第五章第1节功和功率讲义含解析

江苏专版高考物理一轮复习第五章第1节功和功率讲义
含解析
,
(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。

(×)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。

(√)
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。

(×)
(4)力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。

(√)
(5)由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比。

(√)
(6)汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。

(√)
突破点(一) 功的正负判断与计算
1．功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。

(2)曲线运动中做功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功。

(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。

此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。

2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F 合，再用W 合＝F 合l cos α求功。

方法二：先求各个力做的功W 1、W 2、W 3、…，再应用W 合＝W 1＋W 2＋W 3＋…求合力做的功。

[题点全练]
1．[多选](2019·姜堰模拟)如图所示，物体在水平桌面上，第一次对物体施加图A 的拉力F ，使物体由静止发生位移x ，第二次对物体施加图B 的推力F ，使物体由静止发生位移x ，两次施力过程中F 与水平方向的夹角均为α。

关于做功的下述说法中正确的是( )
A ．图
B 中F 做功多 B ．A 、B 两图中F 做功相同
C ．图B 中克服摩擦力做功多
D ．A 、B 两图中克服摩擦力做功相同
解析：选BC 由W ＝Fx cos α知，恒力F 对两种情况下做功一样多，即W A ＝W B ，故A 错误，B 正确；根据题意可知，图B 中物体对地面的压力大于图A 中物体对地面的压力，所以图B 中物体受到的滑动摩擦力比图A 中物体受到的摩擦力大，则图B 中克服摩擦力做功多，故C 正确，D 错误。

2．一物块放在水平地面上，受到水平推力F 的作用，力F 与时间t 的关系如图甲所示，物块的运动速度v 与时间t 的关系如图乙所示。

10 s 后的v ­t 图像没有画出，重力加速度
g 取10 m/s 2。

下列说法正确的是( )
A ．物块滑动时受到的摩擦力大小是6 N
B ．物块的质量为1 kg
C ．物块在0～10 s 内克服摩擦力做功为50 J
D ．物块在10～15 s 内的位移为6.25 m
解析：选D 由题图乙可知，在5～10 s 内物块做匀速运动，故受到的摩擦力与水平推力相等，故摩擦力f ＝F ′＝4 N ，故A 错误；在0～5 s 内物块的加速度为a ＝Δv Δt ＝55
m/s
2
＝1 m/s 2
，根据牛顿第二定律可得F －f ＝ma ，解得m ＝2 kg ，故B 错误；在0～10 s 内物块通过的位移为x ＝1
2(5＋10)×5 m＝37.5 m ，故克服摩擦力做功为W f ＝fx ＝4×37.5 J＝150 J ，
故C 错误；撤去外力后物块产生的加速度为a ′＝－f m
＝－2 m/s 2
，减速到零所需时间为t ′
＝0－5－2 s ＝2.5 s<5 s ，减速到零通过的位移为x ′＝0－v 22a ′＝0－52
2×－2 m ＝6.25 m ，故D 正确。

3.(2019·镇江月考)如图所示，一个质量为m ＝2 kg 的物体受到与水平面成37°角的斜向下方的推力F ＝10 N 的作用，在水平地面上移动了距离
s 1＝2 m 后撤去推力，此物体又滑行了s 2＝1.6 m 的距离后停止运动。

已知
物体与地面间的动摩擦因数为0.2，g 取10 m/s 2
，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

求：
(1)推力F 对物体做的功；
(2)全过程中摩擦力对物体所做的功。

解析：(1)推力F 对物体做功为：
W ＝Fs 1cos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J 。

(2)撤去推力F 前，
W 1＝－f 1s 1＝－μ(F sin 37°＋mg )s 1
＝－0.2×(10×0.6＋2×10)×2 J＝－10.4 J 撤去推力F 后，
W 2＝－f 2s 2＝－μmgs 2＝－0.2×2×10×1.6 J＝－6.4 J
全过程中摩擦力对物体做功
W 总＝W 1＋W 2＝－16.8 J 。

答案：(1)16 J (2)－16.8 J
突破点(二) 变力做功的五种计算方法
一利用动能定理求变力做功
利用公式W ＝Fl cos α不容易直接求功时，尤其对于曲线运动或变力做功问题，可考虑由动能的变化来间接求功，所以动能定理是求变力做功的首选。

[例1] 如图所示，板长为L ，板的B 端静止放有质量为m 的小物体，物体与板间的动摩擦因数为μ。

开始时板水平，在缓慢转过一个小角度
α的过程中，小物体保持与板相对静止，则在这个过程中( )
A ．摩擦力对小物体做功为μmgL cos αsin α
B ．合力对小物体做功为mgL sin α
C ．弹力对小物体做功为0
D ．板对小物体做功为mgL sin α
[解析] 摩擦力的方向与物体运动的方向垂直，则摩擦力不做功，故A 错误；物体受重力、支持力和静摩擦力，重力做功为－mgL sin α，摩擦力不做功，合外力做功为零，根据动能定理，有：W G ＋W f ＋W N ＝0，故W N ＝mgL sin α，故B 、C 错误；摩擦力不做功，故板对物体做的功等于支持力做的功，即为mgL sin α，故D 正确。

[答案] D
二利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。

此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。

[例2] 用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F ，将质量为m 的小物体沿半径为R 的固定圆弧轨道从A 点推到B 点，圆弧对应的圆心角为60°，如图所示，则在此过程( )
A ．力F 对物体做的功为FR sin 60°
B ．力F 对物体做的功为
mgR
2
C ．力F 对物体做的功为πRF
3
D ．力F 是变力，无法计算做功大小
[解析] 题图中，力F 虽然方向不断变化，是变力，但由于该力的方向始终与物块运动的方向相同，所以该力做的功与路程成正比，即：
W ＝Fs ＝F ·
60°360°·2πR ＝πRF
3。

故C 正确，A 、B 、D 错误。

[答案] C
三化变力为恒力求变力做功
有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W ＝Fl cos α求解。

此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。

[例3] 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升。

若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1和W 2，滑块经B 、C 两点的动能分别为E k B 和E k C ，图中AB ＝BC ，则( )
A ．W 1＞W 2
B ．W 1＜W 2
C ．W 1＝W 2
D ．无法确定W 1和W 2的大小关系
[解析] 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F 对轻绳做的功，而拉力F 为恒力，W ＝F ·Δl ，Δl 为轻绳拉滑块过程中力F 的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图可知，Δl AB ＞Δl BC ，故W 1＞W 2，A 正确。

[答案] A
四利用平均力求变力做功
若物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F ＝
F 1＋F 2
2
的恒力作用，F 1、F 2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W ＝F l cos α
求此变力所做的功。

[例4] [多选]如图所示，n 个完全相同、边长足够小且互不
粘连的小方块依次排列，总长度为l ，总质量为M ，它们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。

小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为( )
A.12
Mv 2
B ．Mv 2
C.12
μMgl D ．μMgl
[解析] 总质量为M 的小方块在进入粗糙水平面的过程中滑动摩擦力由0均匀增大，当全部进入时摩擦力达最大值μMg ，总位移为l ，平均摩擦力为F f ＝1
2
μMg ，由功的公式可得
W f ＝－F f ·l ＝－1
2μMgl ，功的大小为12
μMgl ，C 正确，D 错误；用动能定理计算，则为：W f ＝0－12Mv 2＝－12Mv 2，其大小为12
Mv 2，A 正确，B 错误。

[答案] AC
五利用F ­x 图像求变力做功
在F ­x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移内所做的功，且位于x 轴上方的“面积”为正功，位于x 轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。

[例5] 某中学的部分学生组成了一个课题小组，对海啸的威力进行了模拟研究，他们设计了如下的模型：如图甲，在水平地面上放置一个质量为m ＝4 kg 的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F 随位移x 变化的图像如图乙所示。

已知物体与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，g ＝10 m/s 2。

求：
(1)运动过程中物体的最大加速度为多少？ (2)在距出发点什么位置时物体的速度达到最大？ (3)物体在水平面上运动的最大位移是多少？ [解析] (1)由牛顿第二定律得：F －μmg ＝ma 当F ＝100 N 时，物体所受的合力最大，加速度最大 则有：a ＝F m
－μg ＝⎝
⎛⎭
⎪
⎫1004－0.5×10m/s 2＝20 m/s 2。

(2)由题给图像可得推力F 随位移x 变化的函数关系为：
F ＝100－25x (N)
速度最大时加速度为0，则有：
F ＝μmg ＝0.5×4×10 N＝20 N
代入解得：x ＝3.2 m 。

(3)由图像可得推力对物体做功等于图像与横轴所围图形的面积，即：W ＝1
2×100×4 J
＝200 J
根据动能定理物体在水平面上运动有：W －μmgx m ＝0 代入数据解得：x m ＝10 m 。

[答案] (1)20 m/s 2
(2)3.2 m (3)10 m
突破点(三) 功率的分析与计算
1．平均功率的计算 (1)利用P ＝W t。

(2)利用P ＝F v cos α，其中v 为物体运动的平均速度。

2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P ＝Fv cos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度。

(2)利用公式P ＝Fv F ，其中v F 为物体的速度v 在力F 方向上的分速度。

(3)利用公式P ＝F v v ，其中F v 为物体受的外力F 在速度v 方向上的分力。

[题点全练]
1．(2018·苏北四市模拟)如图所示，四个相同的小球A 、B 、C 、D ，其中A 、B 、C 位于同一高度h 处，A 做自由落体运动，B 沿光滑斜面由静止滑下，C 做平抛运动，D 从地面开始做斜抛运动，其运动的最大高度也为h 。

在每个小球落地的瞬间，其重力的功率分别为P A 、
P B 、P C 、P D 。

下列关系式正确的是( )
A ．P A ＝P
B ＝P
C ＝P
D B ．P A ＝P C >P B ＝P D C ．P A ＝P C ＝P D >P B
D ．P A >P C ＝P D >P B
解析：选C 小球落地时，A 的重力的瞬时功率：P A ＝mg 2gh ；B 落地的瞬时功率：P B
＝mg 2gh cos θ，θ为速度
与竖直方向的夹角；C 落地的瞬时竖直速度为v y ＝2gh ，则落地时重力的瞬时功率：
P C ＝mg 2gh ；因D 中小球上升的最大高度为h ，则落地的瞬时竖直速度为v y ＝2gh ，则落
地时重力的瞬时功率：P D ＝mg 2gh ；故P A ＝P C ＝P D >P B ，故选项C 正确，A 、B 、D 错误。

2.(2019·东海模拟)如图所示，从某高度以初速度v 0水平抛出一个质量为m 的小球，在小球下落的过程中(落地前)，其速度v 、速度变化量Δv 、重力的功率P 和重力的功W 与时间t 的关系图像，正确的是( )
解析：选C 小球t 时刻的速度为：v ＝v 02
＋v y 2
＝v 02
＋gt
2
，由数学知识知，t ＝
0时，v ≠0，所以v ­t 图像是不过原点的开口向上的抛物线，故A 错误。

由Δv ＝at ＝gt 分析可知，Δv ­t 图像是过原点的直线，故B 错误。

重力的功率P ＝mgv y ＝mg ·gt ＝mg 2
t ，P 与t 成正比，P ­t 图像是过原点的直线，故C 正确。

重力的功 W ＝mgh ＝mg ·12gt 2＝12
mg 2t 2，
W ­t 图像是过原点的开口向上的抛物线，故D 错误。

突破点(四) 机车启动问题
1．两种启动方式的比较
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动 P ­t 图像和v ­t 图像
OA 段
过程分析
v ↑⇒F ＝P
v
↓
a ＝F －F 阻m
不变⇒F 不变
⇒v ↑
P ＝Fv ↑直到P 额＝Fv 1。