二阶非齐次方程的解法

代入方程, 得 Ax 2 (4A B)x (2A 2B C ) x 2
A 1 4A B 0
2A 2B C 0
A 1 B 4 C 6
于是 y* x2 4x 6.
例2 求方程 y 2 y 3 y e x 的一个特解.
y 4 y f1 ( x)的特解可设为 y1 * Ax B,
y 4 y f2 ( x)的特解可设为 y2* C cos x D sin x, y* y1 * y2 *
原方程的通解为：y Y y * .
★请设出下列方程的一个特解：
1. y 5 y 4 y 4x2 3 1. y* Ax2 Bx C
特征根的情况
通解的表达式
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
二阶常系数非齐次线性方程的解法
y py qy f ( x) (P,q为常数)
难点：如何求特解y*？ 方法：待定系数法.
一、 f ( x) ex Pm ( x)型
设非齐方程特解为 y* Q( x)ex 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) (2 p q)Q( x) Pm ( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
例6
受 害 者 的 尸 体 于 晚 上7 : 30被 发 现,法 医 与 晚 上8 : 20 赶 到 凶 案 现 场,测 得 尸 体 温 度 为32.6C； 一 小 时 后 ， 当 尸 体 即 将 被 抬 走 时 ， 测得 尸 体 温 度 为31.4C ,室 温 在 几 小 时 内 始 终 保 持 在21.1C .此 案 的 最 大 嫌 疑 犯 是 张某, 但 张 某 声 称 自 己 是 无 罪 的,并 有 证 人 说:“ 下 午 张 某 一 直 在 办 公 室 上 班,5 : 00时 打 了 一 个 电 话,打 完 电 话 就 离 开 了 办 公 室.” 从 张 某 的 办 公 室 到 凶案 现 场 步 行 需5分 钟.问 : 张 某 不 在 现 场 的 证 言 能 否 使他 被 排 除 在 嫌 疑 犯 之 外?
★特别地 y py qy Aex （A是常数）
0 不是特征根
y* Bxk ex k 1 是 特 征 单 根, B是待定常数
2 是 特 征 重 根
★特别地 y py qy Pm ( x)
0 0不 是 根 即q 0
y* x k Qm ( x) k 1 0是单 根, 即q 0, p 0
这里 f ( x) e x (cos 2x 0 sin2x) 1, 2
i 1 2i不是特征根,
故设 y* e x (C cos 2x D sin2x),
将y*, y*, y * 代入原方程，得 e x [(10D C )cos 2x (D 10C )sin2x] e x cos 2x
可设 Q( x) Qm ( x), y* Qm ( x)e x ;
(2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) xQm ( x), y* xQm ( x)e x ;
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
故死者死亡的时间是
t 8时20分 2时57分 5时23分.
故张某不能被排除在嫌疑犯之外.
本章主要内容
一阶方程
基本概念
二阶方程
类型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.线性方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 二阶常系数线 定 性齐次方程的解
系 数
法 f(x)的形式及 二阶常系数非齐次 线性方程的解
i i 是特征单根,
故 y* x(C cos x D sin x), 代入原方程
2C sin x 2Dcos x sin x, C 1 , D 0
所求非齐方程特解为 y* 1 x cos x, 2
原方程通解为
y

C1
cos x

2
C2
sin x
可设
Q( x)

x
Q 2 m
(
x
),
y* x 2Qm ( x)e x .
综上讨论：非齐次方程 y py qy ex Pm ( x)
的通解y*可以设为：
0
y* x k exQm ( x) , k 1
2
不 是 特 征 根 是 特 征 单 根, 是 特 征 重 根

10D C D 10C

1 0

C


1 101
,
D

10 101
所求非齐方程特解为 y* e x ( 1 cos 2x 10 sin2x)
101
101
例4 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 特征方程 r 2 1 0, r1,2 0 i, 对应齐次方程的通解 Y C1 cos x C2 sin x, 这里f ( x) e0x (0 cos x 4sin x), 0, 1
解 特征方程 r 2 2r 3 0, r1 1, r2 3，
这里f ( x) e x , 1,而 1 是特征单根，
设 y* Bxe x , y* Be x Bxe x ,
y* 2Be x Bxe x , 将y*代入原方程, 得
设y* x k ex [C cosx Dsinx],
0 k 1
ii不是是特特征征根根,C,D是待定常数.
以上的推导过程省略,只要求我们会用它.
例3 求方程 y 3 y y e x cos 2x 的一个特解.
解 特征方程为 r 2 3r 1 0, 有实根.
2 0是 重 根 即p q 0
r 2 pr q 0
例1 求方程 y 2 y y x2 的一个特解.
解 特征方程 r 2 2r 1 0, r1 r2 1，
这里f ( x) x 2e 0x , 0不 是特征根，
设 y* Ax2 Bx C,

1 2
x cos x.
例5 求方程 y 4 y 2x 4 6sin x 的通解.
解 f ( x) f1 ( x) f2 ( x), f1 ( x) 2x 4, f2 ( x) 6sin x
特征方程 r 2 4 0 , r1,2 0 2i , Y C1 cos 2x C2 sin2x ,
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
注意:
1.认准方程的类型(方程的阶数和特点) 每一种类型都有固定的解法. 2.看清是求通解还是求特解.
作业：P175. 3. 4.(1) (2) 要求：只设出 y*.
设
y*

x k exQm ( x)
,k

1 2
是特征单根 , 是 特 征 重 根
(2) f ( x) ex[Acosx B sinx] 型
设 y* xk ex[C cosx Dsinx],
0 i不是特征方程的根时; k 1 i是特征方程的单根时.
对应齐次方程 y py qy 0, r 2 pr q 0
通解结构 y Y y *即y C1 y1 C2 y2 y*, f(x)常见类型 Pm ( x), Pm ( x)ex ,
Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
6. y 2 y 3 y e 4x (cos x 4sin x) 6. y* e 4x (C cos x D sin x)
三、小结
二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 待定系数法.
(1) f ( x) ex Pm ( x) 型 0 不 是 特 征 根
2. y 3 y x 2
2. y* x( Ax百度文库 B)
3. y 2 y y e x
3. y* Bx2e x
4. y 9 y x 2e x
4. y* ( Ax 2 Bx C )e x
5. y 2 y 5 y e x sin 2x 5. y* xe x (C cos 2x Dsin 2x)
解 人死后体温调节功能消失，尸体温度T(t)受外界
环境的影响，服从牛顿冷却定理.
dT k(T 21.1) 通解为T (t) 21.1 aekt
dt
0
1
t 8:20 9:20
T(0) 32.6,T(1) 31.4 T 21.1 11.5e0,11t
若死者的体温正常，为T 37C 37 21.1 11.5e0,11t t 2.95小时 2时57分
复习 y p( x) y q( x) y 0
通解为：y C1 y1 C2 y2 y p( x) y q( x) y f ( x)
通解为：y C1 y1 C2 y2 y *
y py qy 0( p,q为常数) r 2 pr q 0
2Be x Bxe x 2Be x 2Bxe x 3Bxe x e x
4Be x e x e x 0
于是 y* 1 xe x . 4
B 1. 4
二、f ( x) ex [Acosx B sinx] 型
A,B,λω是常数
y py qy f ( x) 的特解y*可设为：