第4讲 等差数列及其应用
等差数列及其前n项和讲义
等差数列及其前n 项和讲义一、知识梳理1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系：S n ＝d 2n 2＋)2(1d a -n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．注意：等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( )(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( ) 题组二：教材改编2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．343．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.题组三：易错自纠4．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤3255．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．三、典型例题题型一：等差数列基本量的运算1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( )A ．100B ．99C ．98D ．97思维升华：等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．题型二：等差数列的判定与证明典例 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．引申探究：本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式． 思维升华：等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．跟踪训练 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式． 题型三：等差数列性质的应用命题点1：等差数列项的性质典例 已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.命题点2：等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 018＝________. 思维升华：等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727 B.1914 C.3929 D.43等差数列的前n 项和及其最值典例1(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.典例2在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．四、反馈练习1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．62．由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列3．若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( )A ．54B ．50C ．27D ．254．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10等于( ) A ．0 B ．－9 C ．10 D ．－105．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( )A ．18B ．12C ．9D ．66．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 0337．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________．8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则14log a 1 010＝________.9．张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.11．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.12．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．13．设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是______．14．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.16．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________．。
苏教版学高中数学必修五数列等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的概念及通项公式讲义
学习目标核心素养１．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．（重点）２．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．（重点）３．等差数列的证明及其应用．（难点）１．通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．２．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.１．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．思考１：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？[提示] 第１项前面没有项，无法与前一项作差．思考２：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？[提示] 不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．２．等差数列的通项公式对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a１＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.思考３：已知等差数列{a n}的首项a１和公差d能表示出通项公式a n＝a１＋（n—１）d，如果已知第m项a m和公差d，又如何表示通项公式a n？[提示] 设等差数列的首项为a１，则a m＝a１＋（m—１）d，变形得a１＝a m—（m—１）d，则a n＝a１＋（n—１）d＝a m—（m—１）d＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.１．已知等差数列{a n}的首项a１＝４，公差d＝—２，则通项公式a n＝（）Ａ．４—２nＢ．２n—４Ｃ．6—２nＤ．２n—6C[a n＝a１＋（n—１）d＝４＋（n—１）×（—２）＝４—２n＋２＝6—２n.]２．等差数列—6，—３,0,３，…的公差d＝________.３[（—３）—（—6）＝３，故d＝３．]３．下列数列：１0,0,0,0；２0,１,２,３,４；３１,３,５,7,9；４0,１,２,３，….其中一定是等差数列的有________个．３[１２３是等差数列，４只能说明前４项成等差数列．]４．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以２B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝１80°，所以３B＝１80°，所以B＝60°.]等差数列的判定与证明【例１】（１）在数列{a n}中，a n＝３n＋２；（２）在数列{a n}中，a n＝n２＋n.思路探究：错误!―→错误!―→错误![解] （１）a n＋１—a n＝３（n＋１）＋２—（３n＋２）＝３（n∈N*）．由n的任意性知，这个数列为等差数列．（２）a n＋１—a n＝（n＋１）２＋（n＋１）—（n２＋n）＝２n＋２，不是常数，所以这个数列不是等差数列．１．定义法是判定（或证明）数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：（１）作差a n＋１—a n；（２）对差式进行变形；（３）当a n＋１—a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋１—a n不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．２．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．提醒：当n≥２时，a n＋１—a n＝d（d为常数），无法说明数列{a n}是等差数列，因为a２—a１不一定等于d.１．已知函数f（x）＝错误!，数列{x n}的通项由x n＝f（x n—１）（n≥２且x∈N*）确定．（１）求证：数列错误!是等差数列；（２）当x１＝错误!时，求x２0１9.[解] （１）因为f（x）＝错误!，数列{x n}的通项x n＝f（x n—１），所以x n＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!，所以错误!—错误!＝错误!，所以错误!是等差数列．（２）x１＝错误!时，错误!＝２，所以错误!＝２＋错误!（n—１）＝错误!，所以x n＝错误!，所以x２0１9＝错误!.等差数列的通项公式【例２】已知数列{a n}是等差数列，且a５＝１0，a１２＝３１．（１）求{a n}的通项公式；（２）若a n＝１３，求n的值．思路探究：建立首项a１和d的方程组求a n；由a n＝１３解方程得n.[解] （１）设{a n}的首项为a１，公差为d，则由题意可知错误!解得错误!∴a n＝—２＋（n—１）×３＝３n—５．（２）由a n＝１３，得３n—５＝１３，解得n＝6．１．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n＝a１＋（n—１）d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．２．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n＝a m＋（n—m）d.２．已知递减等差数列{a n}前三项的和为１8，前三项的积为66．求该数列的通项公式，并判断—３４是该数列的项吗？[解] 依题意得错误!∴错误!解得错误!或错误!∵数列{a n}是递减等差数列，∴d<0．故取a１＝１１，d＝—５．∴a n＝１１＋（n—１）·（—５）＝—５n＋１6，即等差数列{a n}的通项公式为a n＝—５n＋１6．令a n＝—３４，即—５n＋１6＝—３４，得n＝１0．∴—３４是数列{a n}的第１0项．等差数列的应用[探究问题]１．若数列{a n}满足错误!＝错误!＋１且a１＝１，则a５如何求解？[提示] 由错误!＝错误!＋１可知错误!—错误!＝１．∴{错误!}是首项错误!＝１，公差d＝１的等差数列．∴错误!＝１＋（n—１）×１＝n，∴a n＝n２，∴a５＝５２＝２５．２．某剧场有２0排座位，第一排有２0个座位，从第２排起，后一排都比前一排多２个座位，则第１５排有多少个座位？[提示] 设第n排有a n个座位，由题意可知a n—a n—１＝２（n≥２）．又a１＝２0，∴a n＝２0＋（n—１）×２＝２n＋１8．∴a１５＝２×１５＋１8＝４8．即第１５排有４8个座位．【例３】某公司经销一种数码产品，第１年可获利２00万元．从第２年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少２0万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．[解] 由题设可知第１年获利２00万元，第２年获利１80万元，第３年获利１60万元，…，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第１年起，第n年的利润为a n，则a n—a n—１＝—２0，n≥２，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a１＝２00，公差d＝—２0．所以a n＝a１＋（n—１）d＝２２0—２0n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝２２0—２0n<0，得n>１１，即从第起，该公司经销此产品将亏损．１．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．２．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．３．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t（s）１２３...？ (60)距离s（cm）9．8１9．6２9．４…４9…？（２）利用建立的模型计算，甲虫１min能爬多远？它爬行４9 cm需要多长时间？[解] （１）由题目表中数据可知，该数列从第２项起，每一项与前一项的差都是常数9．8，所以是一个等差数列模型．因为a１＝9．8，d＝9．8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9．8t.（２）当t＝１min＝60 s时，s＝9．8t＝9．8×60＝５88 cm.当s＝４9 cm时，t＝错误!＝错误!＝５s.１．判断一个数列是否为等差数列的常用方法（１）a n＋１—a n＝d（d为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（２）２a n＋１＝a n＋a n＋２（n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（３）a n＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．２．由等差数列的通项公式a n＝a１＋（n—１）d可以看出，只要知道首项a１和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a１，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．１．判断正误（１）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（）（２）等差数列{a n}的单调性与公差d有关．（）（３）若三个数a，b，c满足２b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．（）[答案] （１）×（２）√（３）√[提示] （１）错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．（２）正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．（３）正确．若a，b，c满足２b＝a＋c，即b—a＝c—b，故a，b，c为等差数列．２．在等差数列{a n}中，若a１＝8４，a２＝80，则使a n≥0，且a n＋１<0的n为（）Ａ．２１Ｂ．２２Ｃ．２３Ｄ．２４B[公差d＝a２—a１＝—４，∴a n＝a１＋（n—１）d＝8４＋（n—１）（—４）＝88—４n，令错误!即错误!⇒２１<n≤２２．又∵n∈N*，∴n＝２２．]３．若数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝a n＋２，则a n＝________.２n—１[由a n＋１＝a n＋２，得a n＋１—a n＝２，∴{a n}是首项a１＝１，d＝２的等差数列，∴a n＝１＋（n—１）×２＝２n—１．]４．已知数列{a n}，a１＝a２＝１，a n＝a n—１＋２（n≥３），判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n＝a n—１＋２（n≥３），所以a n—a n—１＝２（常数）．又n≥３，所以从第３项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数２，而a２—a１＝0≠a３—a２，所以数列{a n}不是等差数列．。
等差数列的性质及其应用
an－am 类比直线方程的斜率公式得 d＝ . n－m
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等差数列的“子数列”的性质 2． 若数列{an}是公差为d的等差数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列； 偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列 (3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列；公差为ad (4)从等差数列{an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列， 当然公差也随之发生变化．
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解 (1)法一 设等差数列的等差中项为a，公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化简得d2＝16，于是d＝±4， 故三个数为－2,2,6或6,2，－2. 法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d， 依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24， 得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12， 即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2. (2)法一 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)
公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为 递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．
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性质分析
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等差数列的定义与性质
等差数列的定义与性质基本知识点1 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），（累加）q pn d n a a n+=-+=)1(1等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+前n 项和：（倒序相加）Bn An 2+=-+=+=d n n n a a a n S n n 2)1(2)(112、等差数列的证明与判断：证明方法：①递推关系（定义）：)(1*+∈=-N n d d a a n n 为常数，②等差中项法：112+-+=n n na a a )1(>n判断方法：③通项公式q pn d n a a n +=-+=)1(1（其中p,q 为常数）④前n 项和Bn An 2+=-+=+=d n n n a a a n Sn n2)1(2)(11(A,B 为常数） 等差概念及其基本公式应用1．（2013年高考辽宁卷（文））下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题 A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p2、已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则10S 等于（ ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．1203.如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( )A 1a 8a >45a aB 8a 1a <45a aC 1a +8a >4a +5aD 1a 8a =45a a 等差性质（1）一个等差数列。
按照一定规则选出来还是等差。
1.（课标Ⅱ卷）已知等差数列{}n a 的公差不为零,a 1=25,且a 1,a 11,a 13成等比数列. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求14732n a a a a -++++ .（2）若,2k q p n m =+=+则k q p n m a a a a a 2=+=+1、在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.3002、在等差数列}{n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项和=8S （ ） A 12 B 24 C 36 D 483．在等差数列{n a }中，若3a ＋4a ＋10a ＋11a ＝200，则5a ＋7a ＋9a ＝(3）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2 1．在等差数列}{n a 中，若18,063-==S S ，则=9S2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++= （4）数列奇数项与偶数项的关系： ① 项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有nd S S =-奇偶，1+=n n a a S S 偶奇. ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S 。
高中数学《等差数列前n项和公式的推导及简单应用》知识点讲解及重点练习
4.2.2 等差数列的前n 项和公式第1课时 等差数列前n 项和公式的推导及简单应用学习目标 1.了解等差数列前n 项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n 项和公式.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点 等差数列的前n 项和公式已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2S n ＝na 1＋n (n －1)2d1．等差数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加．( √ ) 2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝kn (k ∈R )，则{a n }为常数列．( √ ) 3．等差数列的前n 项和，等于其首项、第n 项的等差中项的n 倍．( √ ) 4．1＋2＋3＋…＋100＝100×(1＋100)2.( √ )一、等差数列前n 项和的有关计算 例1 在等差数列{a n }中：(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10； (2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d . 解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39， ∴d ＝5. ∴a 8＝39，d ＝5.反思感悟 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用．跟踪训练1 在等差数列{a n }中： (1)a 1＝1，a 4＝7，求S 9； (2)a 3＋a 15＝40，求S 17；(3)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 4＝a 1＋3d ＝1＋3d ＝7， 所以d ＝2.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9＋9×82×2＝81.(2)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.(3)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，所以d ＝－16，所以n ＝15，d ＝－16.二、等差数列前n 项和的比值问题例2 有两个等差数列{a n }，{b n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5.解 方法一 设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2， 则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝na 1＋n (n －1)2d 1nb 1＋n (n －1)2d 2＝a 1＋n －12d1b 1＋n －12d2，则有a 1＋n －12d1b 1＋n －12d2＝7n ＋2n ＋3，①又由于a 5b 5＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2，②观察①，②，可在①中取n ＝9，得a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝7×9＋29＋3＝6512.故a 5b 5＝6512.方法二 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 则有A n B n ＝7n ＋2n ＋3，其中A n ＝(a 1＋a n )n 2，由于a 1＋a 9＝2a 5.即a 1＋a 92＝a 5，故A 9＝(a 1＋a 9)·92＝a 5×9.同理B 9＝b 5×9.故A 9B 9＝a 5×9b 5×9.故a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512. 方法三 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ， 因为等差数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ＝an ⎝⎛⎭⎫n ＋b a ， 根据已知，可令A n ＝(7n ＋2)kn ，B n ＝(n ＋3)kn (k ≠0)． 所以a 5＝A 5－A 4＝(7×5＋2)k ×5－(7×4＋2)k ×4＝65k ， b 5＝B 5－B 4＝(5＋3)k ×5－(4＋3)k ×4＝12k . 所以a 5b 5＝65k 12k ＝6512.方法四 设{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，由A 2n －1B 2n －1＝a n b n ，有a 5b 5＝A 9B 9＝7×9＋29＋3＝6512.反思感悟 设{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则a n ∶b n ＝S 2n －1∶T 2n －1.跟踪训练2 已知等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n ＝2n ＋33n －1，则S 11T 11等于( )A.1517B.2532 C ．1 D ．2 答案 A解析 由等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，同理可得T 11＝11b 6，因此，S 11T 11＝11a 611b 6＝a 6b 6＝2×6＋33×6－1＝1517.1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，n ∈N *，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2答案 A解析 ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1， ∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A ．18 B ．27 C ．36 D ．45 答案 C解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 为( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3答案 C解析 因为S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4， 所以a 1＝0， 所以d ＝a 3－a 12＝2.4．在等差数列{a n }中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 答案 190解析 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19×2a 102＝190.5．已知在等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，则n ＝________，a 12＝________.答案 12 －4解析 ∵S n ＝n ·32＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4.1．知识清单：(1)等差数列前n 项和及其计算公式． (2)等差数列前n 项和公式的推导过程． (3)由a n 与S n 的关系求a n .(4)等差数列在实际问题中的应用．2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想． 3．常见误区：由S n 求通项公式时忽略对n ＝1的讨论．1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝a 8＋6，则S 7等于( ) A ．49 B ．42 C ．35 D ．28 答案 B解析 2a 6－a 8＝a 4＝6，S 7＝72(a 1＋a 7)＝7a 4＝42.2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，d ＝2，S n ＝580，则n 等于( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．30 答案 C解析 因为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝10n ＋12n (n －1)×2＝n 2＋9n ，所以n 2＋9n ＝580， 解得n ＝20或n ＝－29(舍)．3．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1等于( ) A ．18 B ．20 C ．22 D ．24 答案 B解析 由S 10＝S 11， 得a 11＝S 11－S 10＝0，所以a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.4．(多选)在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于( ) A ．－1 B ．3 C ．5 D ．7 答案 AB解析 由题意知a 1＋(n －1)×2＝11，① S n ＝na 1＋n (n －1)2×2＝35，②由①②解得a 1＝3或－1.5．在等差数列{a n }中，已知a 1＝－12，S 13＝0，则使得a n >0的最小正整数n 为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 由S 13＝13(a 1＋a 13)2＝0，得a 13＝12，则a 1＋12d ＝12，得d ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为 a n ＝－12＋(n －1)×2＝2n －14，由2n －14>0，得n >7，即使得a n >0的最小正整数n 为8.6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其首项a 1＝________，公差d ＝________. 答案 1 12解析 a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，① S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10，②由①②联立解得a 1＝1，d ＝12.7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝________. 答案 5解析 因为S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，所以k ＝5.8．在等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d ＝________.答案 12解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得10a 1＋12×10×9d ＝4⎝⎛⎭⎫5a 1＋12×5×4d ，所以10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， 所以10a 1＝5d ，所以a 1d ＝12.9．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d .则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S 7＝7，S 15＝75，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n项和T n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝－2＋n －12，∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且其首项为－2，公差为12.∴T n ＝14n 2－94n .11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100， ∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S n ＝________. 答案 －1n解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1， 所以1S 1＝－1.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1， 所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝(－1)＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n.13．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________. 答案1113解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列， ∴S 9T 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝a 5b 5＝2×5＋13×5－2＝1113.14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________． 答案 10解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210>200. ∴当n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )A.3n 22B.n (n ＋1)2C.3n (n －1)2D.n (n －1)2答案 C解析 由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12， 所以a n ＝3n －3，n ≥2，所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝(n －1)(3＋3n －3)2＝3n (n －1)2. 16．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解 (1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14， ∴a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0， ∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . 又{b n }也是等差数列， ∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c ， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．。
等差数列
等差数列许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和．大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢?当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法．通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题．什么叫等差数列呢?我们先来看个例子：①1，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13…③2，4，6，8，10，12，14…④3，6，9，12，15，18，21…⑤100，95，90，85，80，75，70…上面五组数都是数列。
数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项,第二个数叫第二项……以此类推,最后一个数叫做这个数列的末项。
项的个数叫做项数。
这五个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，象这样的数列就称为等差数列．一个数列中,如果从第二项起,每一项与它前面一项的差都相等,这样的数列叫等差数列。
后项与前项的差叫做这个等差数列的公差。
如等差数列：4,7,10,13,16,19,22,25,28。
首项是4,末项是28,公差是3。
下面我们就来学习有关等差数列的知识。
【例1】 1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+100=?[分析]我们通过观察,发现数列中的数有这样的关系：l+100=101,2+99=101,3+98=101,……一共有多少个10l呢?因为一共有100个数,每两个数一组,所以,一共有100÷2=50(组)。
也就是说有50个101。
[解]原式=(1+100)×(100÷2)=5050答：和是5050。
点评从1开始的连续自然数列求和，而且个数正好可以两两配对，这类题目的解题方法就同高斯的做法相同。
等差数列前n项和性质及应用
2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。
a6 a7 0 S12 0 注意： S13 0 a7 0
等差数列绝对值的前n项和
例5、等差数列{ a n }， S n n 32 n ，
2
求{| a n |}的前n项和为 S
'
n
例.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
n（a1 an ) 形式1: Sn 2
形式2:
n（n 1) Sn na1 d 2
.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么 特点？
n(n 1)d S n na1 2
d d 令 A , B a1 2 2
2
求 n 为何值时， S n 最大？
变式、等差数列{ a n }， S n n 7n ，
2
求 n 为何值时， S n 最小？
3n 21 例 2、 等差数列{ a n }，a n , 求 2 2
n 为何值时， S n 最小？
方法（二） ：不等式组法（已知 a n 的表达式用此法）
a n 0 d<0时，前n项和有最大值，可由 求得n的值 a n 1 0
4 1 例6：已知a n 数列满足a1 =4,a n =4- ，令bn . a n-1 an 2 (1)求证数列b n 是等差数列。
(2)求数列an 的通项公式。
4 2(an 2) 解：（） 1 a n+1 2 2 an an 1 an 1 1 a n+1 2 2(an 2) 2 an 2 1 1 1 1 . bn1 bn . a n+1 2 an 2 2 2
高中数学人教版必修5——第四讲：等差数列的概念、性质(解析版)
等差数列的概念、性质考查重点：等差数列的通项公式、等差中项以及等差数列的判定 所占分数：10--25分教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系；教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。
1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。
用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。
6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =A.672B.673C.662D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-⨯=-令2015n a =，解得673n = 答案：B练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥< 所以有115235062360a d d a d d +=+≥+=+<解得2323,456d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==-其中n N +∈设221n n b a =-（1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2） 求数列{}n a 的通项公式解析：（1）1144222222121212121n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++--=-=-==----- 所以数列{}n b 是等差数列（2）()111121,21221212,212n n n a b b b n d n a n n a a n=∴==∴=+-=-+∴==-答案：（1）略 （2）12n n a n +=练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1n nb a =（1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式 答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列 （2）443n a n =- ，34n b n =- 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d 答案：15,1a d =-=例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得8252a +== ；2为,ab 的等差中项得1b =-；由b 为2与c 的等差数列，得4c =- 答案：5，-1，-4练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 答案：2016例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得20151,20152015201520150n k b a n a =-=∴=-+∴=-+=答案：0练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2 答案：D练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b （1） 求1b 和2b （2） 求{}n b 的通项公式 （3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列 （1）()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+--=- 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==-==-（2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n mb a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n -=+-=-∴===--=- 则1320n b n =-（3）503132*********b =-⨯=- ，设它是{}n a 中的第m 项，则1004785m -=-，则2011m =，即{}n b 中的第503项是{}n a 中的第2011项1.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：A2.在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a101的值为()A．49 B．50 C．51 D．52答案：D3. 如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21 C．28 D．35答案：C4. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0D．a51＝0答案：D5. 等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30 B．27 C．24 D．21答案：B6. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63答案：B_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A ．11B ．12C ．13D ．14 答案：C2. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．33 答案：D3. 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( )A ．15B ．30C ．31D ．64 答案：A4. 等差数列中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝420，则a 2＋a 10等于( )A ．100B ．120C ．140D ．160 答案：B 5. 已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A.3 B.2 C.13 D.12答案：A6. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案： 747. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______. 答案： 858. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案：C9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：4210. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 答案：411. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． 答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案：D13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 答案：C14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12 C.23 D ．－1答案：B15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A.32B.23C.43D.34 答案：C16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案：676617. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根答案：A18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1答案：C19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：12(A ＋B )20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________． 答案：4,6,821. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：2022. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝3813∉N ＋.∴－101不是数列{a n }中的项． (3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝423.∵n ∈N ＋，∴n ≥5， 即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴423<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？答案：设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项．24. 已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，∴a 1＋5d ＝13.∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1，∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23. 27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．答案：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3. ∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ，即sin 2B ＝sin A ·sin C ，∴sin A sin C ＝34. 又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ，∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )2， ∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3，A ＝B ＝C . 故△ABC 为等边三角形．。
《7.4 等差数列与等比数列的应用》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模
《等差数列与等比数列的应用》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：理解等差数列和等比数列的概念，掌握其通项公式和前n项和公式。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生的观察、比较、归纳总结的能力。
3. 情感态度价值观：理解数列在人类文明发展中的作用，体会数学的美。
二、教学重难点1. 教学重点：等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的应用。
2. 教学难点：如何根据实际问题，建立数学模型，提出合理的猜想。
3. 教学关键：引导学生运用观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维方式，掌握数列的基本概念和基本公式。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何图形工具等。
2. 搜集相关实例，为新课引入做准备。
3. 设计课程问题，引导学生思考和讨论。
4. 结合实际，准备数列应用的相关案例。
四、教学过程：1. 引入：通过展示生活中的实例，如存款利率、贷款利率、折旧公式等，引出等差数列和等比数列的概念。
通过与学生讨论这些例子，引导他们发现这些数列的共同特征，并引入等差数列和等比数列的定义。
设计意图：将抽象的数学概念与实际生活相联系，激发学生的学习兴趣，并为后续的探究活动打下基础。
2. 探究：让学生通过小组合作，探究等差数列和等比数列在实际问题中的应用。
例如，可以设计一些与折旧、存款利率、贷款利率、人口增长等问题相关的探究任务，让学生通过观察、分析、比较，发现其中的规律。
设计意图：培养学生的观察力和分析能力，让他们在实践中体会等差数列和等比数列的应用价值。
3. 讲解：针对学生在探究过程中遇到的问题和困惑，进行有针对性的讲解。
同时，结合具体案例，介绍等差数列和等比数列在实际问题中的计算方法。
设计意图：帮助学生解决疑难问题，加深他们对等差数列和等比数列的理解，为后续的学习奠定基础。
4. 练习：设计一些与等差数列和等比数列相关的练习题，让学生进行练习。
这些练习题应涵盖不同难度和类型的问题，以检验学生对知识的掌握程度。
等差数列的认识与公式运用
一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1知识点拨等差数列的认识与公式运用找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用等差数列的基本认识【例 1】 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
等差数列及其前n项和讲义
等差数列及其前n 项和讲义课前双击巩固1.等差数列中的有关公式已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差是d ,前n 项和为S n ,则 等差数列定义式 (n ≥2,d 为常数) 等差中项 A= (A 是a 与b 的等差中项) 通项公式 或前n 项和公式 S n = =2.等差数列的性质已知{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和.(1)若m+n=p+q=2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则有a m +a n = = .(2)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成 数列. 3.等差数列与函数的关系(1)等差数列{a n }的通项公式可写成a n = ,当d ≠0时,它是关于n 的 ,它的图像是直线y=dx+(a 1-d )上横坐标为正整数的均匀分布的一群 的点.注:当d>0时,{a n }是 数列;当d<0时,{a n }是 数列;当d=0时,{a n }是 . (2)前n 项和公式可变形为S n = ,当d ≠0时,它是关于n 的常数项为0的 ,它的图像是抛物线y=d 2x 2+(a 1-d2)x 上横坐标为正整数的均匀分布的一群 的点.注:若a 1>0,d<0,则S n 存在最 值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最 值. 常用结论 等差数列的性质1.已知{a n },{b n }是公差分别为d 1,d 2的等差数列,S n 是{a n }的前n 项和,则有以下结论: (1){a 2n }是等差数列,公差为 2d 1.(2){pa n +qb n }是等差数列(p,q 都是常数),且公差为pd 1+qd 2. (3)a k ,a k+m ,a k+2m ,…(k,m ∈N *)是公差为 md 1 的等差数列.(4){S nn }成等差数列,其首项与{a n }的首项相同,公差是{a n }的公差的12 .(5)数列{pa n },{a n +p}都是等差数列(p,q 都是常数),且公差分别为pd 1,d 1. 2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质(1)若项数为2n,则S 偶-S 奇= nd ,S 奇S偶=a na n+1.(2)若项数为2n-1,则S 偶=(n-1)a n ,S 奇= na n ,S 奇-S 偶= a n ,S奇S 偶=nn -1 .3.两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,它们之间的关系为an b n =S 2n -1T 2n -1.题组一 常识题1.[教材改编] 在等差数列{a n }中,a 5=9,且2a 3=a 2+6,则a 1= .2.[教材改编] 在等差数列{a n }中,a 2=-1,a 6=-5,则S 7= .3.[教材改编] 在等差数列{a n }中,S 4=4,S 8=12,则S 12= .4.[教材改编] 已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8,则m= . 题组二 常错题◆索引:忽视等差数列中项为0的情况,考虑不全而忽视相邻项的符号,等差数列各项的符号判断不正确5.在等差数列{a n }中,a 1=-28,公差d=4,则前n 项和S n 取得最小值时n 的值为 .6.首项为-20的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是 .7.已知等差数列{a n }的通项公式为a n =11-n ,则|a 1|+|a 2|+…+|a 20|= .课堂考点探究探究点一 等差数列的基本运算1 (1)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S6=24,S9=63,则a4= ( )A.4B.5C.6D.7(2)公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n,若a6=3a4,且S10=λa4,则λ的值为( )A.15B.21C.23D.25[总结反思](1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,a n,S n,知道其中三个就能求出另外两个.(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.式题(1)等差数列{a n}的前n项和是S n,且a3=1,a5=4,则S13= ( )A.39B.91C.48D.51(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且3a3=a6+4,若S5<10,则a2的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(-∞,0)C.(1,+∞)D.(0,2)探究点二等差数列的性质及应用2 (1)在等差数列{a n}中,a5+a6=4,则log2(2a1·2a2·…·2a10)= ( )A.10B.20C.40D.2+log25(2)在等差数列{a n}中,a1=-2017,其前n项的和为S n,若S20132013-S20112011=2,则S2017=.(3)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若S672=2,S1344=12,则S2016= ( )A.22B.26C.30D.34[总结反思] 利用等差数列的性质“若m+n=p+q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m +a n =a p +a q ”,或者“常用结.式题 (1)在等差数列{a n }中,若a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=45,S 3=-3,那么a 5= ( ) A.4 B.5 C.9 D.18(2)两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且Sn T n =7n+2n+3,则a 2+a 20b 7+b 15= .(3)一个正项等差数列前n 项的和为3,前3n 项的和为21,则前2n 项的和为 ( ) A.18 B.12 C.10D.6探究点三 等差数列的判定与证明 3 已知数列{a n }满足a 1=-23,a n+1=-2a n -33a n +4(n ∈N *).(1)证明:数列{1an +1}是等差数列;(2)求{a n }的通项公式.[总结反思] 判断数列{a n }是否为等差数列,通常有两种方法:①定义法,证明a n -a n-1=d (n ≥2,d 为常数),用定义法证明等差数列时,常选用两个式子a n+1-a n =d a n -a n-1=d ,但它们的意义不同,后者必须加上“n ≥2”;②等差中项法,证明2a n =a n-1+a n+1(n ≥2).式题 已知数列{a n }是等差数列,且a 1,a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2-6x+5=0的两个根. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ;(2)在(1)中,设b n =S nn+c ,求证:当c=-12时,数列{b n }是等差数列.探究点四 等差数列前n 项和的最值问题4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若公差d=-2,S 3=21,则当S n 取得最大值时,n 的值( ) A.10B.9C.6D.5(2)在等差数列{a n }中,a 1<0,S 18=S 36,则当S n 取得最小值时,n 的值为 ( ) A.18 B.27 C.36D. 54[总结反思] 求等差数列前n 项和最值的常用方法:(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *.(2)图像法:利用二次函数图像的对称性来确定n 的值,使S n 取得最值.(3)项的符号法:当a 1>0,d<0时,满足{a n ≥0,a n+1≤0的项数n ,使S n 取最大值;当a 1<0,d>0时,满足{a n ≤0,a n+1≥0的项数n ,使S n 取最小值.即正项变负项处最大,负项变正项处最小.若有零项,则使S n 取最值的n 有两个.式题 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1<0且a6a 5=811,则当S n 取最小值时,n 的值为( )A.11B.10C.9D.8(2) 已知数列{a n }为等差数列,若a11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的n 的最大值为( ) A.11 B.19 C.20D.21课时作业一、 填空题1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于________． 2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________． 3．在等差数列{}a n 中，a 2＝2，a 10＝15，则a 18的值为________．4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．5．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于________． 6．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 4－a 5＋a 6＝8，则S 7＝________．7．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为________．8．已知等差数列{a n }满足a 1>0,5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为________． 9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．10．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.11．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________． 二、解答题12． 设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .。
等差数列教案(多篇)
一、等差数列的定义1. 导入：引导学生回顾数列的概念，进而引出等差数列的定义。
2. 讲解：等差数列是一种特殊的数列，从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。
3. 举例：给出几个等差数列的例子，让学生观察并找出它们的公差。
4. 练习：让学生练习判断一些数列是否为等差数列，并找出它们的首项和公差。
二、等差数列的通项公式1. 导入：引导学生思考如何表示等差数列的任意一项。
2. 讲解：等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。
3. 推导：引导学生利用等差数列的定义和通项公式，推导出前$n$ 项和的公式。
4. 练习：让学生运用通项公式计算等差数列的任意一项，以及求前$n$ 项和。
三、等差数列的性质1. 导入：引导学生思考等差数列有哪些性质。
2. 讲解：等差数列的性质有：①首项和末项的平均值等于中项；②相邻两项的差等于公差；③前$n$ 项和的公式为$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$。
3. 举例：给出一些等差数列，让学生观察并运用性质进行判断。
4. 练习：让学生运用等差数列的性质解决问题，如求等差数列的中项、判断两个数列是否为等差数列等。
四、等差数列的应用1. 导入：引导学生思考等差数列在实际问题中的应用。
2. 讲解：等差数列在实际问题中的应用举例：①计算等差数列的前$n$ 项和；②求等差数列的通项公式；③解决与等差数列相关的实际问题，如工资增长、人口增长等。
3. 举例：给出一些实际问题，让学生运用等差数列的知识进行解决。
4. 练习：让学生运用等差数列的知识解决实际问题，如计算工资总额、预测人口增长等。
五、等差数列的综合练习1. 给出一些关于等差数列的练习题，让学生独立完成。
2. 针对学生的练习情况，进行讲解和解答疑惑。
3. 总结本节课所学内容，强调等差数列的定义、通项公式、性质和应用。
等差数列公式运用
等差数列前n项和的公式及其应用四川重庆市兼善中学唐霞宾作者简历唐霞宾四川开县人，1961年毕业于西南师范学院数学系，同年任重庆市兼善中学数学教师，1987年被评为四川省中学高级教师，1989年被评为全国优秀教师．现任重庆市兼善中学数学教师，重庆市北碚区数学中心教研组组长．教学目的(1)使学生掌握求等差数列前n项和的公式及其推导过程；(2)使学生初步掌握公式的应用，培养学生的解题能力．教学过程师：我们已经熟悉了等差数列的通项公式(板书)a n=a1＋(n－1)d(n∈N)及由此推出的性质(板书)a1＋a n=a2＋a n-1=a3＋a n-2=…．[复习一下旧知识，为下面推导出公式S n作准备．]师：今天我们首先研究的问题是，探索已知等差数列的首项a1，项数n，第n项a n，求它的前n项和S n的计算公式．为了得出S n的计算公式，我们先看一个具体例子．(出示小黑板，并画出下面图形的一半．)图表示堆放的钢管，共堆放了8层，自上而下各层的钢管数组成等差数列：4，5，6，7，8，9，10，11．求钢管的总数，即求和：S8=4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11．师：当然，我们可以用连加法把它算出来，但是，根据等差数列的性质，同学们能发现更有趣的算法吗？生：考虑到4＋11=5＋10=6＋9=7＋8=15，共有4个15，所以S8=4×15=60．师：对！同学们发现了4＋11=5＋10=6＋9=7＋8这个特点．如果倒过来写：8＋7=9＋6=10＋5=11＋4，也等于15，这是什么意思呢？这就相当于在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．(教师边讲边用红颜色粉笔画出上图虚圆．)这样，每层的钢管数都相等，都为15．用数学式子表示这一过程是：(板书)S8=4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11，S8=11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4，两式相加，得2S8=(4+11)+(5+10)+(6+9)+(7+8)+(8+7)+(9+6)+(10+5)+(11+4)=8×(4+11)，师：刚才求和的方法不仅对于项数是偶数的等差数列适用，同时对于项数是奇数的等差数列也适用．例如，(教师先擦去图中的底层和最右边的一斜行，再计算出S7．)师：通过这个具体例子的讨论，再来解决一开始提出的问题：寻求S n的计算公式就不难了．请同学们自己推导S n的计算公式．生：S n=a1＋a2＋…＋a n-1＋a n，S n=a n＋a n-1＋…＋a2＋a1，两式相加，得2S n=(a1＋a n)＋(a2＋a n-1)＋…＋(a n-1＋a2)＋(a n＋a1)．∵a1＋a n=a2＋a n-1=…，(Ⅰ)[这个公式的推导过程，体现了从特殊到一般的认识过程．]师：如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，由a n=a1＋(n－1)d，就得到等差数列的前n项和的另一个公式：(板书)(Ⅱ)师：公式(Ⅰ)是基本的．我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底＋下底)×高÷2相类比．这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项a n，高是项数n．我国古代数学家常用这种类比方法，来推出等差数列的求和公式．在等差数列的通项公式及前n项和的公式中，共有五个元素，即a1、d、n、a n、S n．一般说来，只要知道了其中的三个元素，通过解方程或方程组就可以求出其余两个元素．[指出这一点，可以理顺应用公式解题的思路，但不要绝对化，否则，对于下面的例3、例4学生就束手无策了．]师：下面我们举例说明公式(Ⅰ)和(Ⅱ)的一些应用．(板书例题．)[例1]口答下列各题：(1)1＋2＋3＋…＋99＋100=？(答：5050．)(3)求自然数列中前n个奇数的和．(答：S n=n2．)(4)求自然数列中前n个偶数的和．(答：S n=n(n＋1)．)[因为(2)、(3)、(4)的结果以后常用，所以应使学生熟练掌握．][例2] (出示小黑板．)(1)在a、b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列．求这10个数的和．(2)求集合M=｛m|m=7n，n∈N，且m＜100｝的元素个数，并求这些元素的和．(3)在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角为120°．问它是几边形？[上例中的3个小题贯彻由浅入深的原则，体现等差数列中公式的实际应用．]师：第(1)题，设插入的10个数依次为x1，x2，…，x10，则a，x1，x2，…，x10，b 组成等差数列．令S=x1＋x2＋…＋x10怎样算？师：对的！还有另外的解法吗？生：有．因为x1＋x10=a＋b，所以师：很好！这种解法灵活运用了公式(Ⅰ)．这个题目，也可以改成：已知一个梯形的两底边的长分别为a与b，将梯形的一腰12等分，过每个分点作平行于梯形底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间线段的长度之和．第(2)小题的题意是什么？生：它的题意是：在小于100的自然数中，有多少个数能被7整除，并求这些数的和．师：正确！这是课本上的例题，请同学们自己解答．解完后，请自行对照课本．如果将这个题变化为：“在小于100的自然数中，有多少个数既是4的倍数又是6的倍数，并求这些数的和．”那么，这些数由小到大组成首项是12，公差也是12(4与6的最小公倍数)的等差数列，它们共有8个，其和为432．如果再改为：“在小于100的自然数中，有多少个数被4除与被6除余数都是1，并求这些数的和．”那么，这些数由小到大组成首项是13(4与6的最小公倍数12再加1)公差是12的等差数列．这样的数共有8个，其和为440．[讲完一个例题后，将例题引伸是教学中常做的一件事，它可以使学生的认识得到“升华”，发展学生的思维，并起到触类旁通、举一反三的效果．]师：第(3)小题的解法如下：设这是一个n边形，最大角的度数为a n，则a n=的答案．)如何具体求出n的值呢？我们知道，凸n边形的内角和为(n-2)·180°，化简得 n2－25n＋144=0．解得 n=9，n=16．∵n＜13，∴n=16应舍去．答：这是一个九边形．[例3] 在等差数列｛a n｝中，(1)已知a2＋a5＋a12＋a15=36，求S16；(2)已知a6=20，求S11．(教师启发学生解决．)师：先看第(1)小题．写出S16的计算公式与已知条件比较，你发现了什么？生：根据等差数列的性质，有a1＋a16=a2＋a15=a5＋a12=18，所以S16=8×18=144．师：对！(简单小结)这个题目根据已知等式是不能直接求出a1、a16和d的，但由等差数列的性质可以求出a1与a n的和．于是这个问题就得到了解决．这样一来，公式(Ⅰ)可写成：对于第(2)小题，你又发现了什么？生：因为a1与a11的等差中项是a6，所以师：正确！这个题与第(1)小题一样，不能直接求出a1、a11和d，而a6恰好是a1与a11的等差中项，所以S11就可立即求出来了．反之，如果已知S11的值，也可以求出a6的值，一般地，若已知a n的值，就可以求出S2n-1(n∈N)的值来，反过来也行．请同学们应用这两个小题的知识，自拟一个题目作为本节课的一个练习题．[自己拟题能巩固和深化所学的知识．]师：最后，我们再看一个例题：[例4] 已知两个等差数列前n项和的比为(4n＋3)∶(2n＋5)，求它们相应的第8项的比．这是例3(2)的引伸．师：(板书)设第一个等差数列的前n项和为S n，第8项为a8；第二个等差数列的前n项和为Q n，第8项为b8，要求出a8∶b8，怎么办？如何转化为和的比？师：完全正确！这个题不仅可以求它们相应的第8项的比，而且可以求它们相应的任何一项的比．同学们在复习时可以试试看．建议同学们仿照例4自拟一题作为本节课的又一个练习题．教案说明(1)为了使学生易于接受和掌握等差数列前n项和的公式的推导过程，本教案把课本内容作了两个改变．一是把引入新课时的具体例子由项数为奇数的等差数列改变为项数为偶数的等差数列；二是利用刚学过不久的等差数列的性质：a1＋a n=a2＋a n-1=…直接推导S n的公式，改变了课本的推导过程．这样改变，可使等差数列求和公式的推导一气呵成，便于学生迅速形成有效的认知结构，同时也为正确灵活地运用公式打下良好的基础．(2)有关公式应用的教学，是分三个层次来完成的．一是直接代公式，让学生迅速熟悉公式；二是通过例2的3个小题，说明公式的具体应用；三是通过例3、例4，训练学生思维能力和灵活运用公式的能力．(3)这节课的内容不难，因此也容易被人们忽视，使这节课的教学显得平平淡淡.这份教案试图通过师生共同活动，使学生开始就处于积极思维的状态，给学生掌握Sn 的推导过程并记住公式留下了深刻的印象．对例题的处理也不是千篇一律，有的让学生口答(例1)；有的启发学生解决[例2(1)、(2)]；有的教师分析讲解[例2(3)]；有的让学生“发现”规律解决(例3、例4)，教师在小结时加以变化和提高，这样有利于他们思维能力的提高和智力的发展．。
等差数列及其求和精讲精析篇(含解析)
等差数列及其求和精讲精析点点突破热门考点01 数列的概念与通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n a.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列1n na a+>其中n∈N＋递减数列1n na a+<常数列1n na a+=按其他标准分类有界数列存在正数M ，使n a M ≤摆动数列n a 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 5.数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【典例1】（2020·安徽蚌埠 高三其他（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n S n n+=+，则17a a +=（ ） A ．30 B ．29C ．28D ．27【答案】B 【解析】121n S n n+=+，∴ 221n S n n =+-， ∴ 21121112a S ==⨯+-=，22776(2771)(2661)27a S S =-=⨯+--⨯+-=, ∴ 1729a a +=，故选：B【典例2】（2017·上海高考真题）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =________【答案】2 【解析】由2n a n =，若对于任意{},n n N b +∈的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则2()n n a b n b a b ==，则22221429311641()(),(),,()b b b b b b b b ===== 所以2149161234()b b b b b b b b =，所以21491612341234123412341234lg()lg()2lg(2lg()lg()()lg )b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ===. 【总结提升】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.热门考点02 数列的性质数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 数列的性质主要指：1.数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；2.数列的周期性.【典例3】（2019·内蒙古高二期中（文））已知数列{}n a 中，2n a n n λ=-，若{}n a 为递增数列，则λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞ B ．(],3-∞ C ．(),2-∞ D ．(],2-∞【答案】A【解析】由已知得221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=， 所以3λ<， 故选：A.【典例4】（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C 【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C 【总结提升】1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据1n na a ＋ (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3.求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项． 3.前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.热门考点03 由递推公式推导通项公式【典例5】（2018·上海市第二中学高一月考）在数列{}n a 中，11a =，()*11nn na a n N a +=∈+，则这个数列的通项n a ，可以是（ ） A ．1nB ．121n - C ．12n n+ D ．2n 【答案】A 【解析】∵11n n n a a a +=+，等式两边同时取倒数得：1111n n a a +=+，则()*1111n nn a a N +∈-=， ∴132211-121111111111+n n n n n a a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 111111+1nn a ⇒=++++=，1n a n⇒=， 当1n = 时，1111a == 亦成立，综上所述()*1n a n N n=∈ 故选：A.【典例6】（2020·全国高三二模（文））已知数列{}n a 满足：11a =，2123n n a a a a n a ++++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）2(1)n a n n =+，（2）21n nS n =+ 【解析】（1）令123n n S a a a a =++++，则2n n S n a =，当2n ≥时，211(1)n n S n a --=-，所以2211(1)n n n n S S n a n a ---=--，即221(1)(1)n n n a n a --=-，所以221(1)111n n a n n a n n ---==-+， 所以32412311231,,,,3451n n a a a a n a a a a n --===⋅⋅⋅=+， 所以3241231123213451n n a a a a n n a a a a n n ---⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+， 因为 11a =，所以2(1)n a n n =+，1a 满足此式，所以2(1)n a n n =+；（2）因为2112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12311111212231n n S a a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝=⎭++⎣++⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【总结提升】递推公式推导通项公式方法： （1）累加法：1()n n a a f n +-=（2）累乘法：1()n na f n a += （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： n n n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1n n n a pa rq +=+其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n na a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b n n 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，， 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列.（7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q +=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.热门考点04 由前n 项和公式推导通项公式，即n a 与n S 的关系求通项n a【典例7】（2019·榆林市第二中学高二期中（理））已知数列{a n }的前n 项和21n S n n =-+，则这个数列的通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．12n naC ．22n a n =-D ．1,122,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【答案】D 【解析】当1n =时，111111a S ==-+=当2n ≥时，()()221111122n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-1a 不满足22n a n =- 1,122,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩故选：D 【规律方法】已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式． (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．．热门考点05 等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．【典例8】（2019·山东高三期中）已知等差数列{}n a 中，()12n n n a a -≥>，若324314a a a ==，，则1a =( ) A ．1- B ．0 C ．14D ．12【答案】B 【解析】设公差为d ，则2224333()().a a a d a d a d =-+=-因为324314a a a ==，，所以23=14d -，则214d =.由()12n n n a a -≥>，可得0d >，所以12d =.所以13121202a a d =-=-⨯=.故选：B.【典例9】（2018·北京高考真题（理））设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【总结提升】1.等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(5){}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.2..运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．热门考点06 等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 【典例10】（2020·全国高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．【答案】25 【解析】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =.故答案为：25.【典例11】（2020·海南省高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 【答案】232n n - 【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -. 【总结提升】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.5.等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.6.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.热门考点07 等差数列的相关性质1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列. （6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①-S S nd =奇偶； ②1n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S S -偶奇n a a ==中(中间项)；②1S nS n =-奇偶. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 6．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．【典例12】（2020·哈尔滨德强学校高一期末）在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28a a +=（ ）A ．360B ．300C ．240D ．200【答案】B 【解析】因为34567750a a a a a ++++=，37465282a a a a a a a ++==+= 所以28300a a += 故选：B【典例13】（2019·榆林市第二中学高二期中（理））等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝20，S 20＝15，则S 30＝（ ） A ．10 B ．30-C ．15-D ．25【答案】C 【解析】由题意知：10S ，1200S S -，3020S S -成等差数列()()20101030202S S S S S ∴-=+-，即30102015S -=+-，解得：3015S =-故选：C【典例14】（2014·北京高考真题（理））若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．【答案】8 【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n 项和公式求解．热门考点08 等差数列综合问题【典例15】（2020·河南林州一中高二月考（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，318S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1302n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 【答案】（1）42n a n =-；（2）225- 【解析】（1）方法一：由()1333182a a S +==， 又因为12a =，所以310a =. 所以数列{}n a 的公差31102422a a d --===， 所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 方法二：设数列的公差为d . 则3113322S a d =+⨯⨯. 32318d =⨯+=.得4d =.所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. （2）方法一：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 令10,0.n n b b +≤⎧⎨>⎩得()2310,21310.n n -≤⎧⎨+->⎩解得293122n <≤. 因为*n N ∈，所以15n =. 所以n T 的最小值为()()()151215...2927...1225T b b b =+++=-+-++-=-.方法二：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 因为()[]121312312n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦， 所以数列{}n b 是首项为129b =-，公差为2的等差数列. 所以()()22129230152252n n n T n n n n -=-+⨯=-=--. 所以当15n =时，数列{}n b 的前n 项和n T 取得最小值， 最小值为15225T =-.【典例16】（2019·甘肃兰州一中高二期中）已知数列{}n a 中148,2a a ==，且满足212n n n a a a +++=. (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设n S 是数列{}na 的前n 项和，求nS.【答案】(1) *210()n a n n N =-+∈；(2) 229(5)940(6)n n n n S n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩ . 【解析】（1）由题意得数列｛n a ｝是等差数列，4141a a d -==-－2， *210()n a n n N ∴=-+∈；（2）令0,5n a n ≥≤得,即当5n ≤时，0n a ≥，6n ≥时，0n a <， ∴当5n ≤时，n 12S a a =++…＋n a =12+n a a a ++=－29n n +当6n ≥时， 12n n S a a a =+++=125+a a a ++－（67+n a a a ++）12=(+)n a a a -++125+2(+)a a a ++()229220940n n n n =--++⨯=-+229(5)940(6)n n n n S n n n ⎧-+≤∴=⎨-+≥⎩ .【典例17】（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈【总结提升】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.热门考点09 等差数列与数学文化【典例18】（2020·浙江平阳 高三其他）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______. 【答案】9566 20122【解析】设由下到上九节容量分别记为129,,...,a a a ，则129,,...,a a a 成等差数列，设公差为d ，且1234a a a ++=，67893a a a a +++=，即1231334a a a a d ++=+=，678914263a a a a a d +++=+=，所以19566a =，766d =-，故91982019222S a d ⨯=+= 故答案为：9566；20122【典例19】（2020·浙江湖州 高二期末）《张丘建算经》卷上有一题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，金一月日织九匹三丈意思就是说：有一位善于纺织的女子，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月共织了390尺布（按30天计），记该女子第n 天织布的量为n a ，则1318a a +=_________，每天比前一天多织布________尺.【答案】26 1629【解析】由题数列{}n a 是公差为d 等差数列，则1303030()3902a a S +==，得13026a a +=，故1318a a +=13026a a +=，又15a =，得3021a =129a d =+，得21529d =+， 得1629d =. 故答案为：26；1629. 【规律总结】数学文化中的等差数列，主要涉及通项公式、求和公式基本量的计算，认真阅读题干，注意转化是关键.巩固提升1．（2020·全国高三课时练习（理））已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135C ．95D ．23【答案】C 【解析】 ∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 2.（北京高考真题（理））已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21-【答案】C 【解析】∵对任意的p ，q ∈N *，满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，∴p ＝q ＝n 时，有a 2n ＝2a n ． 又a 2＝－6，∴a 8＝2a 4＝4a 2＝－24，故a 10＝a 2＋a 8＝－30．3．（2020·全国高三二模（文））已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，248a a ⋅=，515S =，则10a =（ ） A ．10 B ．4-C ．10或4-D ．10-或4【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()()()1111383385101532a d a d d d a d a d⎧⎧++=-+=⇔⎨⎨+==-⎩⎩211d d ⇒=⇒=或1d =-. 当1d =时，11a =，所以n a n = 当1d =-时，15a =，所以6n a n =- 所以1010a =或4-. 故选：C4．（2020·全国高三三模（文））记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若311a =，675S =，则12a =（ ） A ．28 B ．31C ．38D ．41【答案】C 【解析】由题知：3161211656752a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得153a d =⎧⎨=⎩. 所以12511338=+⨯=a . 故选：C5．（2020·全国高三其他（理））已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若77217S a =-，则10S =（ ） A ．12 B ．15C ．18D ．21【答案】B 【解析】解：由17747772172a a S a a +=⨯==-，得473a a +=， 所以4710310101522a a S +=⨯=⨯=.故选：B .7. （2019·河北高三月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若20200a >，且201920200a a +<, 则满足0n S >的最小正整数n 的值为（ ） A ．2019 B ．2020C ．4039D ．4040【答案】C 【解析】20200a >，且201920200a a +<， 20190a ∴<．14039403920204039()403902a a S a +∴==>，140384038201920204038()2019()02a a S a a +==+<，则满足0n S >的最小正整数n 的值为4039． 故选：C.8．（2019·甘肃兰州一中高二期中）已知等差数列{}n a ，,,n m a m a n ==则m n a +=（ ） A ．m B ．nC ．0D ．m n +【答案】C 【解析】设等差数列的公差为d ， 由题得111(1),1,1(1)a n d md a m n a m d n +-=⎧∴=-=+-⎨+-=⎩.所以1(1)(1)0m n a m n m n +=+-++-⨯-=. 故选：C9.（2019·全国高考真题（理））记为等差数列的前n 项和．已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，，，排除B ，对C ，，排除C ．对D ，，排除D ，故选A ．详解：由题知，，解得，∴，故选A ．10.（2009·宁夏高考真题（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =（ ） A ．38 B ．20 C ．10 D ．9【答案】C 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以112m m m a a a -++=，则由2110m m m a a a -++-=可得220m m a a -=，解得0m a =或2m a =.因为12121(21)(21)382m m m a a S m m a --+=⨯-=-=，所以0m a ≠，故2m a =.代入可得，2(21)38m -=，解得10m =11．（2020·江苏盐城 高二期末）【多选题】设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A ．当15n =时，n S 取最大值 B ．当30n =时，0n S = C ．当0d >时，10220a a +> D ．当0d <时，1022a a >【答案】BC 【解析】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-. 对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性， 所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误. 对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确.对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭， 故C 正确.对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-， 22129421321222a a d d d d =+=-+=，因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.故选：BC12．（2020·诸城市教育科学研究院高二期中）【多选题】已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n S 中的最大项为10SB ．数列{}n a 的公差0d <C ．100S >D ．110S <【答案】BCD 【解析】564S S S >>，故60a <，50a >且560a a +>，故数列{}n S 中的最大项为5S ，A 错误； 数列{}n a 的公差0d <，B 正确；()()110105610502a a S a a +⨯==+>，C 正确；()111116111102a a S a+⨯==<，D 正确；故选：BCD .13．（2020·河北新华 石家庄二中高一期中）【多选题】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ）A ．14S 是唯一最小值B ．15S 是最小值C ．290S =D ．15S 是最大值【答案】CD 【解析】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===，故选：CD.14．（2020·山东烟台三中高二期中）【多选题】已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．100a = B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =【答案】ACD 【解析】13611112323661590a a S a a d a d a d +=∴++=+∴+=即100a =，A 正确；当0d <时，n S 没有最小值，B 错误；127891011121012750S S a a a a a a S S -=++++==∴=，C 正确；1191910()191902a a S a +⨯===，D 正确.故选：ACD15.（2019·全国高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【答案】100 【解析】317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 16.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】0. -10. 【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 17.（2018·全国高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18.（2017·全国高考真题（文））设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和． 【答案】（1）221n -；（2）221n n + 【解析】（1）数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n ＝2n ．n ≥2时，a 1+3a 2+…+（2n ﹣3）a n ﹣1＝2（n ﹣1）． ∴（2n ﹣1）a n ＝2．∴a n 221n =-． 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立． ∴a n 221n =-． （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+． ∴数列{21n a n +}的前n 项和1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122121n n n -=++．。
等差数列及其前n项和(解析版)
等差数列及其前n 项和一、学习目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 二、知识讲解知识点一 等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 知识点二 等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝ 通项公式的推广：a n ＝ (2)等差数列的前n 项和公式 S n ＝知识点三 等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． 知识点四 等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 知识点五 等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． 三、例题辨析考点一 等差数列基本量的运算【典例1】记nS 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则( )A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n=- D ．2122n S n n =-【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。
等差数列前N项和的性质及其应用上课讲义
肥东锦弘中学高一年级数学公开课教案授课教师：吴晗 班级：高一（11） 时间：3月31号下午第一节课 课题：等差数列前n 项和的性质及其应用 教学目标：（1） 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前n项和公式研究n S 的最值。
（2） 经历公式应用过程。
（3） 通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学方法解决问题。
教学重点：熟练掌握等差数列求和公式。
教学难点：灵活应用求和公式解决问题。
教学方法：启发探究 学法指导：自主学习教学用具：粉笔、黑板、PPT 教学过程： 一、复习回顾（1） 等差数列的定义、通项公式、性质； （2） 等差数列前n 项和公式及其推导。
二、新课讲解探究一：等差数列前n 项和公式可以转化为关于n 的一元二次方程，n da n d d n n na S n )2(22)1(121-+=-+=，反过来如果一个数列的前n 项和是关于n 的一元二次方程，那么这个数列一定是等差数列吗？例1、如果一个数列{}n a 的前n 项和为n n S n 212+=，求这个数列的通项公式，这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？ 解：时，当2≥n 212)1(21)1(21221-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+=-=-n n n n n S S a n n n 时，当1=n 2311==S a 也满足上式。
所以数列{}212-=n a a n n 的通项公式为 由此可见，{}的等差数列，公差为是一个首项为数列223n a课堂练习1、如果一个数列{}n a 的前n 项和为1212++=n n S n ，求这个数列的通项公式，这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？ 课本第45页的探究等差数列前n 项和的性质一：{}2,2ABn An S a n n 公差为是等差数列数列+=⇔探究二：既然等差数列的前n 项和n S 是关于n 的一元二次方程，那么它的最值怎么求呢？例2：已知等差数列Λ1,3,5的前n 项和为n S ，求使n S 最大的序号n 的值？ 解1：由已知条件知，该等差数列首项2-,51==d a 公差 9)3(6)2(2)1(522+--=+-=--+=n n n n n n S n ∴使n S 最大的序号n 的值为3.解2：由已知条件知，52,72)1(251+-=+-=--=+n a n n a n n由⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 解得2725≤≤n3=∴n等差数列前n 项和的性质二：不等式法求n S 的最值：若且0,01<>d a ⎩⎨⎧≤≥+001n n a a ，则n S 有最大值，若且0,01><d a ⎩⎨⎧≥≤+01n n a a ，则n S 有最小值。
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第4讲等差数列许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。
大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法。
通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题。
一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①1,2,3,4,5,6,7,8,9，…②1,3,5,7,9,11,13.③2,4,6,8,10,12,14…④3,6,9,12,15,18,21.⑤100,95,90,85,80,75,70.⑥20,18,16,14,12,10,8.例题：下面的数列中，那些是等差数列？若是请指明公差，若不是则说明理由。
①6,8,10,14,18,22， (98)②1,2,1,2,3,4,5,6；③1,2,4,8,16,32,64；④9,8,7,6,5,4,3,2,；⑤3,3,3,3,3,3,3,3,；⑥1,0,1,0,1,0,1,0；二、通项公式对于公差为d的等差数列a1,a2,…a n…来说，如果a1小于a2，则显然a1－a2=a3－a2=…=a n－a n-1=…=d,因此：a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d…由此可知：a n=a1+(n－1)×d (1)若a1大于a2，则同理可推得：a n=a1－(n－1) ×d (2)公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项。
例题1、求等差数列1,6,11,16…的第20项.例题2、已知等差数列2,5,8,11,14…，问47是其中第几项？例题3、如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项。
等差数列练习题（一）一、判断下列数列是否是等差数列(2×8=16分)（1）2,5,8,11,14，…（2）2,7,2,7,2,7，…（3）88,77,66,55,44,33,22,11（4）1×1,2×2,3×3,4×4，…（5）1,1,2,3,5,8,13，…（6）2×5,4×5,6×5,8×5，…（7）1×2,2×3,3×4,4×5，…（8）4+5,5+6,6+7,7+8，…二、填空题(3×6=18分)1、已知等差数列4,8,12,16，…，它的第15项是——————2、已知等差数列2,7,12，…，122，这个等差数列共有——————项3、从25开始往后，数20个连续奇数，最后一个奇数是——————4、在一个等差数列中，第一项是12，第五项是60，公差是——————5、在自然数10到30之间插入四个数，使这六个数构成等差数列，这四个数分别是——————，——————，——————，——————。
6、三个数成等差数列，它们的和是18，积是120，这三个数是——————，——————，———。
———三、解答题(5×10=50分)1、有一个等差数列：1,5,9,13,17,21，…（1）它的第1000个数是多少？（2）4921是它的第几项？2、已知数列14,23,32,41， (455)（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列的第25项是多少？3、已知数列3,9,15,21,27，…（1）这个数列的第100项是多少？（2）147是数列的第几项？525是数列的第几项？4、蜗牛从早晨开始爬行，每小时比前一小时多爬行10厘米，第一小时爬了100厘米，休息的最后一小时爬了190厘米。
问：蜗牛爬了几小时？5、电影院有26排座位，每一排都比前一排多2个座位，最后一排有80个座位，第一排有多少个座位？四、生活题（1×16=16分）工地上将粗细均匀的圆木堆成梯形形状。
最上面一层有6根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层，最下面一层有多少根圆木？三、等差数列求和若a1小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3,…,a n可以写为a1,a1+d,a1+d ×2,…,a1+d×(n－1).所以,容易知道：a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=a4+a n-3=…=a n-1+a2=a n+a1.设S n=a1+a2+a3+…+a n,则S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1,两式相加得：2×S n=（a1+a n)+(a2+a n-1)+…+(a n+a1)即：2×S n=n×（a1+a n)，所以，S n=n×（a1+a n)÷2 (4)当a1大于a2时，同样也可以得到上面的公式。
这个公式就是等差数列的钱n项和的公式。
例题1、计算1+5+9+13+17+ (1993)例题2、建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？例题3、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
例题4、连续9个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？例题5、100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？四、等差数列的应用例题1、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？例题2、把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到。
若能，写出具体方案，若不能，说明理由。
例题3、从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？例题4、x+y+z=1993有多少组正整数解。
例题5、把所有的奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：①197排在第几行的第几个数？②第10行的第9个数是多少？13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 41 43 45 47 49……例题6、将自然数如下排列，1 2 6 7 15 16 …3 5 8 14 17 …4 9 13 18 …10 12 …11 ……在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？等差数列练习题（二）一、计算下面各题。
（5×3=15分）1、2+5+8+…+104+107+1102、60+58+56+…+6+43、19000－11－14－17－…－3234、1000+999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋8＋7－6－5＋4＋3－2－15、（2+4+6+...＋100）－（1+3+5+ (99)二、解答题（5×8=40分）1、求所有两位数的和是多少？2、求所有被4整除余1的三位数的和是多少？3、一个电影院共有32排座位，从第一排开始以后每排都比前一排多2个座位，第32排有82个座位，这个电影院共有多少个座位？4、下面的算式是按一定规律排列的：5+3,7+6,9+9,11+12，…它的第1999个算式的结果是多少？5、25个队员参加数学奥林匹克竞赛，每2个队员要握一次手，他们共握了多少次手？三、探索题（3×10=30分）1、小强计算从1开始若干个连续自然数的和，结果误把1当成10来计算，得到的错误结果恰好是100，你能帮助小强纠正错误吗？小强算的是哪些自然数的和？2、某时钟报时时，一点钟敲1下，两点钟敲2下，三点钟敲3下……十三点钟也敲1下，十四点钟也敲2下，…，每半点都只敲1下。
这个钟一昼夜共敲多少下？3、求下面数阵中所有数的和。
1 2 3 4 (50)2 3 4 5 (51)3 4 5 6 (52)…50 51 52 (99)四、生活题。
（1×15=15分）盒子里装着分别写有1,2,3，…，134,135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这几张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回盒内。
经过若干次这样的操作之后，盒内还剩下两张红色的卡片和一张黄色的卡片。
已知这两张红色卡片上写的数分别是15和83，求那张黄色卡片上的数是多少？课堂小测1.求值：（2×10=20分）①6+11+16+ (501)②101+102+103+104+ (999)2.下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？4+2,5+8,6+14,7+20，…（10分）3.11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？（10分）4.把100根小棒分成10堆，每对小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？（10分）5.300到400之间能被7整除的各数之和是多少？（10分）6.100到200之间不能被3整除的数之和是多少？（10分）7.把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？（10分）8.下表是一个数字方阵，求表中所有数之和。
（20分）1,2,3,4,5,6…98,99,1002,3,4,5,6,7…99,100,1013,4,5,6,7,8…100,101,102…100,101,102,103,104,105…197,198,199。