第七章 正交小波基的构造

第七章 正交小波基的构造

本章讨论在MRA 框架下如何构造正交小波基。由于MRA 框架既可以由尺度函数生成，也可以由)(0ωH 生成，因此我们从两个方面入手讨论构造正交小波基。

本章中，滤波器n g 代表高通滤波器)(1n h ； 滤波器n h 代表低通滤波器)(0n h ；

7.1 由尺度函数构造正交小波基

1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。 （2）求)(n h ：

>-=<)(),()(k t t n h φφ (7-1)

或

)

()

2()(ωωωΦΦ=

H (7-2) （3）由)(n h 求)(n g ：

1)1()(+-⋅-=n n h n g (7-3)

或

)()(πωωω+=-H e G j (7-4)

（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：

∑-=n

n n t g t )()(,1φψ (7-5)

或

)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (7-6)

例1 Haar 小波的构造 选择尺度函数

⎪⎩

⎪⎨

⎧<≤=其他

,01

0,1)(t t φ

显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则

⎪⎩

⎪⎨⎧==-=⎰其他

,01,0,

21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（7-3）

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n

可得

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

<≤-<

≤==-=--其他

,0121

,

12

10,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 这就是Haar 小波函数，其波形略。

2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数

要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基

{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。

首先给出Riesz 基的定义：

设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有

2

2

2

)(∑∑∑≤-≤

k

k k

k k

k C B k t C C A φ (7-7)

可以证明式（7-7）等价于

∞<≤+Φ≤<--∑B l A l

12

1)2()2()2(0ππωπ

因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得

)(])2([)(2

12#

ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-

∑l

l

显然，)(#ωΦ满足

1)2(2

#=+Φ∑l

l πω

即)(#k t -φ是正交基。且)(#k t -φ可以构成{}

Z

j j V ∈的多分辨率分析框架。由此可

由)(#k t -φ入手，构造一个正交小波基。 举例（略）

可以证明如下：

（1）除了0=N 时（此时为Haar 小波）例外，其他)(k t -φ都不具有正交性，因此必须实行正交化处理过程)(#t φ。

（2）正交的)(#t φ及其构造的小波函数)(t ψ（Battle －Lemarie 小波函数）支集都为非紧的（定义域为整个实轴）。

（3）当N 为偶数时，#φ（或φ）关于2

1

=

t 对称，当N 奇数时，#φ（或φ）关于0=t 对称。而所有Battle －Lemarie 小波关于2

1

=t 对称。并且已有学者证明

#

φ和ψ都具有指数衰减性。

7.2 紧支集正交小波基的性质和构造

由MRA 理论可知，尺度函数和小波函数均满足双尺度方程：

()∑∈-=Z

n n n t n h t 2)(2)(φφ （7-8a ）

()∑∈+---=Z

n n n n t n h t 2)()1(2)(1φψ （7-8b ）

由上式可知，即使)(t φ是支集紧的，相应的)(t ψ的支集未必是紧的。因此既简单又重要的是要求式（7-8）的右边仅包含有限)1(+N 项，此时只要作适当的平移变换即可将双尺度方程写成

()∑=-=N

n n n t n h t 02)(2)(φφ （7-9a ）

()∑-=-=1

12)(2

)(N

n n

n t n g

t φψ （7-9b ）

如此，若)(t φ是正交MRA 中紧支集的母函数，则由此构成的正交小波基的母函数)(t ψ也是紧支集的。现在的关键问题是要求出满足式（7-9a ）的双尺度方程中的)(t φ。

由式（7-9a ）我们发现，如果先直接寻找φ函数，然后再来确定有限项的h 是不容易的。相反，若有限长度的h 已确定，再来确定φ则容易些。我们先不考虑这样得到的)(t φ是否满足多尺度分析的生成元的正交性等条件，而只考虑若给定一组常数110,,,-N h h h ，如何由解方程（7-9a ）来求得)(t φ的问题。

7.2.1 有限长双尺度方程的求解

由有限长双尺度方程求解尺度函数)(t φ有多种方法，下面介绍常用的两种。 解法1 理论推求法。 由式（4-57）可知：

∏∞

==Φ1

)2

(

)(j j

H ω

ω

其中)(ωH 为n h 的离散傅里叶变换：

n j N

n n e h H ωω-=∑=0

21)( 则

ωπ

π

φωd e H t j t j j

⎰

∏∞

∞

-∞

=-=

1

)2

(

21)(

这种方法看起来简单，但在具体应用时很难用数值方法求解，因此只有理论上的价值。

解法2 数值迭代法。（略） 解法3 解方程组法。

若事先知道方程（7-9a ）的解)(t φ存在，且N)[0,(t)supp ⊆φ，则可简单的直接求出)(t φ在所有二进小数m K 2上的值，如下： N)[0,supp ⊆φ 所以

,0)(=n φ 0