第七章 正交小波基的构造
正交小波基与多分辨分析
THANKS
正交小波基由尺度函数和小波函数生 成，通过平移和伸缩可以得到不同尺 度的小波基。
正交小波基的性质
正交性
正交小波基具有正交性，即不同 尺度、不同位置的小波基在内积 运算下为零，这使得小波分析具 有良好的稳定性和精度。
紧支集性
正交小波基具有紧支集性，即小 波基只在有限的区间内有非零值 ，这使得小波变换具有快速算法 。
正交小波基的应用
01
02
03
信号处理
正交小波基可以用于信号 的分解和重构，实现信号 的时频分析和滤波。
图像处理
正交小波基可以用于图像 的压缩、去噪和增强，提 高图像处理的效果和效率。
其他领域
正交小波基还可以应用于 数值分析、流体动力学等 领域，为相关问题提供有 效的数值计算方法。
02 多分辨分析
多分辨分析的定义
定义
多分辨分析是一种对函数空间进行分 解的方法，通过在不同尺度上逐步逼 近原始函数，实现对复杂信号的精细 描述。
尺度空间
逼近性质
在多分辨分析中，函数在不同尺度上 的逼近性质决定了其分解的精度和稳 定性。
多分辨分析将函数空间分解为一系列 嵌套的子空间，每个子空间对应不同 的尺度。
多分辨分析的性质
逼近和表示能力
正交小波基能够提供对信号的逼近和 表示，使得在多分辨分析中能够更好 地理解和处理信号。
多分辨分析与正交小波基的相互影响
多分辨分析对正交小波基的影响
多分辨分析的需求推动了正交小波基的发展，促进了其理论和应用研究的深入。
正交小波基对多分辨分析的影响
正交小波基的特性和性质决定了多分辨分析的特性和性质，为多分辨分析提供 了丰富的工具和手段。
正交小波基与多分辨分析的结合应用
构造正交小波基的基本方法之一
构造正交小波基的基本方法之一
杨爱珍
【期刊名称】《应用数学与计算数学学报》
【年(卷),期】1998(012)002
【摘要】本文不仅给出一种构造局部性好的正交小波基的方法，并且给出了构造各种优良性质的正交小波基的一般思想方法。
其特点：使构造的小平函数有具体的表达式，既有较好的光滑性，又有很好的局部性，并且其收敛速度与│ｔ│＾－（３ｋ＋１）同阶，其中ｋ为任意自然数。
这种方法不需要每次重新构造函数，只要改变ｋ的值，就能满足不同实际问题的需要。
【总页数】7页(P39-45)
【作者】杨爱珍
【作者单位】上海财经大学基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O174.22
【相关文献】
1.基于已知小波基的一种完全重构双正交小波基的构造方法 [J], 王蕊;罗建书
2.一类长度为4的紧支撑正交小波基构造 [J], 赵银善;吐尔洪江·阿布都克力木;罗丹
3.尺度函数与正交小波基的构造 [J], 朱梅;樊中奎
4.双正交小波基构造法及其在爆破振动信号分析中的应用 [J], 凌同华;刘浩然;张亮;谷淡平;吴联迎
5.基于遗传规划的织物自适应正交小波基的构造和优化 [J], 牛存才;汪军;张孝南;李立轻;陈霞;童骁
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织物疵点检测中自适应正交小波基的构造
（ ）＝ ｚ
ｇ √ （ｘ一 忌 ． ２ ２ ）
（） ３
收 稿 日期 ： ０ ７０ —６ ２ ０ —３ ０
通 讯 作 者 ：祝 双 武 （９ １ ， ， 徽 省 宁 国市 人 ， 安 工 程 大 学 副 教 授 ， 士 研 究 生 ， ： １ ７一）男 安 西 博 主要 研究 方 向 为 图 像处 理 与 模 式
ｒ 十一 — — ．
Ｃ ， ，） （ ， ， ＝ Ｉ 厂ｚ ， ｚｄ ． ＷＴ （ ” 一 厂 ） （） ）ｘ （
Ｊ 一 ∞
（） １
式 中 ７， ｎ ”为整数 ； ， ｚ ）＝ ２ （ 一 （一ｚ～ ” ； ， 表 示 内积． ２ ） ＜） 在小波 变换 的多分 辨率分 析 中 ， 尺度 函数 （ ） ｚ 与小 波 函数 （ ） 足双 尺度方 程 ： ｚ 满
第 ２ 卷 第 ２期 （ ８ １ 总 ４期 ）
文 章 编 号 ： ６ １８ Ｏ ２ Ｏ ） ２０ １ —４ １ ７— ５ Ｘ（ Ｏ ７ Ｏ —２ ２０
２０ ０ ７年 ４月
Ｖｏ． １ Ｎｏ ２ Ｓ ｍ．Ｎｏ ８ ） １２ ， ． （ ｕ ． ４
织 物疵 点 检 测 中 自适应 正 交小 波 基 的构 造
祝 双 武 ， 重 阳 ， 郝 齐 华
（． １ 西北 工 业 大 学 电 子 信 息 学 院 ， 西 西 安 ７０ ７ ；． 安 ２ 程 大 学 纺 织 与 材 料 学 院 ， 西 西 安 ７ ０４ ） 陕 １ ０ ２２ 西 １ ２ 陕 １０ ８
摘 要 ： 出 了 一 种 用 于 织 物 疵 点检 测 的 自适 应 正 交 小 波 基 的 构 造 方 法 ． 方 法 从 小 波 滤 波 器 系数 提 该
小波分析：正交小波基构造
西南交通大学电气工程学院
原始信号
一维信号的二级小波变换系数 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9] s =[ 6 5 9 8
16位
2级小波系数
w2=[wa2 , wd2 , wd1 ]
16位
d 28 23 28 16 ] 2 A2 ,k = [ 2级近似系数 d D 2,k = [ − 6 − 3 − 6 − 8 ] 2 Dd = [+1 +1 − 4 + 3 +1 +1 − 2 − 6] 2 2级细节系数 1,k 1级细节系数 * Haar是正交变换。 正交变换。除以常数， 除以常数，目的使变换后平方和不变。 目的使变换后平方和不变。例如： 例如：
西南交通大学电气工程学院
8 a 4
8 a 4
kA
0 t f= 1 5 -4 0 10 20 30 40
kA
c
b
(a )
c 0
b
(a )
t f= 1 5 -4 0 1 0 2 0 3 0 4 0
t/m s
0.06
0.05
t/m s
kA
0.00 -0.06 0.6
kA
(b)
0.00 -0.05 0.4
k
∫
注意：这几个条件对小波的构造至关重要！
西南交通大学电气工程学院
ϕ ( x ）＝
( x ）＝
1 0
and
∫ψ
5.2尺度函数和小波函数的一些性质
1 二尺度差分方程
举例：
ϕ (t ) ϕ (t − 1)
1 1 ϕ (t / 2) = ϕ (t ) + ϕ (t − 1) = 2 [ ϕ (t ) + ϕ (t − 1)] 2 2
正交变换-小波变换
k
二尺度差分方程给出了尺度函数、小波函数之间的关系，只要 正交归一的尺度函数集，就可以构造出正交小波基。
( t 1) 1
1
(
t
)dt
1
1 2
2 t 2 ( )dt
1, 0 t 1 2 ( t ) ( 2 t ) ( 2 t 1) 1, 1 2 t 1
jk
j
j
jk
H 0 ( 0 )
(4) 递推关系： ( )
( ) 1 2
H 1 ( 0 ) 0
1
2
j 1
2
H 0 (2
j
)
j
H1(
)
1 2
H 0 (2
)
j2
2 离散小波变 换(DWT)－正交小波基的构造
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
t
(a )
(b )
图3-15 小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
1 连续小波变换(CWT)
( t ) 为基本小波函数，可以为复数信号。
小波函数族的定义有不同的方式：
a , ( t )
a , ( t )
1 a
1 a
(
t a
(
t 2
j
)
2 h1 k (
k
t 2
j 1
k)
h1 k ( 1) h 0 (1 k )
k
线性组合的权系数分别为：与j无关
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
正交小波基的构造和性质2剖析
研究生课程考试答题纸研究生学院第一题 正交小波基的构造和性质一、 由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。
（2）求)(n h ：>-=<)(),()(k t t n h φφ (1-1)或)()2()(ωωωΦΦ=H (1-2)（3）由)(n h 求)(n g ：1)1()(+-⋅-=n n h n g (1-3)或)(πωωω=-e G j (1-4)（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：∑-=nn n t g t )()(,1φψ (1-5)或)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (1-6)例1 ．Haar 小波的构造 选择尺度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其他,010,1)(t t φ显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎰其他,01,0,21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（1-3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤==-=--其他,0121,1210,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 例2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。
但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。
首先给出Riesz 基的定义：设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有222)(∑∑∑≤-≤kk kk kk C B k t C C A φ (1-7)可以证明式（1-7）等价于∞<≤+Φ≤<--∑B l A l121)2()2()2(0ππωπ因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得)(])2([)(212#ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-∑ll显然，)(#ωΦ满足1)2(2#=+Φ∑ll πω即)(#k t -φ是正交基。
波小u课堂笔记
波小u课堂笔记什么是小波wavelet\（\psi（t）\inL^{2}（R）\）模值平方小于无穷大（能量有限）\（\int_{R}\psi（t）dt=0\）实际应用中，要求在时域和频域，\（\psi（t）\\hat{\psi}（w）\）快速衰减原始动机信号处理领域，一个永恒的主题，就是要寻求信号的简洁的具有物理可解释的表示方法。
这样就可以在变换域中，挖掘信号的各种信息。
本质是，小波变换也是一种表示形式。
用简单的小波基，通过伸缩平移变换，构成\（L^{2}\）空间的标准正交基。
信号在标准正交基下，具有稀疏性的表达（很少的基本元素，将信号表示出来）。
从复杂信号，挖掘特征信息。
1.正交小波基的构造。
1910，Harr小波正交基。
（简洁，具有物理意义）\（\psi（t）=\left\{\begin{matrix}1，&0\leqt<\frac{1}{2}\\-1，&\frac{1}{2}\leqt<1\\0&0\end{matrix}\right。
\）2.伸缩与平移\（\psi_{j，n}（t）=2^{-\frac{j}{2}}\psi（2^{-j}t-n），j，n\inZ\）构成了\（L^{2}（R）\）标准正交基光滑正交小波基，Meyer，Mallet：建立多分辨分析，正交小波基构建方法3.连续小波变换信号变换有两种基本思路，一种是在正交基下，提供信号表示；第二种，通过把信号做变换，通过核函数的积分变化，把信号变换到核函数的域中去。
1984，Morlet，\（\forallf（t）\inL^{2}（R）\），\（W_{f（u，s）}=\int_{R}f（t）\frac{1}{\sqrt{s}}\psi （\frac{t-u}{s}）\）\（f（t）\rightarrowW_{f（u，s）}\）小波为什么有用稀疏表示：正交基-压缩，去噪，特征提取等。
检测小尺度信号：连续小波变换。
正交小波构造
1第5讲 正交小波构造5.1 正交小波概述5.2 由)(0n h 递推求解)(t φ的方法。
5.3 消失矩、规则性及支撑范围 5.4 Daubechies 正交小波构造5.5 接近于对称的正交小波及Coiflet 小波我们在上一讲中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。
)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。
同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。
本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。
所谓“正交小波”，指的是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。
Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。
本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。
25.1 正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。
1.Haar 小波我们在4..1节中已给出Haar 小波的定义及其波形， Haar 小波的尺度函数)(t φ。
重写其定义，即⎪⎩⎪⎨⎧-=011)(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (5.1.1)⎩⎨⎧=01)(t φ 其它10<≤t (5.1.2)显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),(''k k k t k t -=--δψψ，即它们是正交的。
同理，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ。
很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是4/4/sin )(22/ωωωωj je-=ψ2/2/sin )(2/ωωωωj e-=Φ注意式中ω实际上应为Ω。
用多分辨分析(MRA)构造正交小波基1
1 1 1dt = ∫ 0 2 1 2 1dt = ∫ 0 2 0
1 k 0 = 2 1 k 1 = 2 k ≠ 0,1
所以，
= h0 2 2, = h1 2 2, = hk 0,(k ≠ 0,1)
(或由 φ ( t ) = φ ( 2t ) + φ ( 2t − 1) 的关系也可得)
( −1) 取 gk =
采用方法（2）频域求解过程
(ω ) → H (ω ) → G (ω ) → Ψ (ω ) → ψ ( t ) φ (t ) → Φ
其中，
( 2ω ) Φ (ω ) = 2 H (ω ) ， Φ
* − iω G (ω ) = −e H ( ω + π )
(ω ) = 1 G ( ω )Φ (ω ) Ψ
e − jω /2 − 1 ω ˆ (ω ) = φ( ) ψ 2 2
于是，
1 ψ (t ) = 2π e − jω /2 − 1 ω jωt ∫R 2 φ ( 2 )e dω
1 = 2π
j ( 2 t −1) ω /2 j ( 2 t ) ω /2 − φ e e ( )[ ]d ω ∫R
ω
2
= φ ( 2t ) − φ ( 2t − 1)
即
1 1 0 , t ≤ < 2 1 ψ (t) = −1, ≤ t <1 2 0 , 其他
此即为哈尔小波函数。 由尺度函数所构成的函数基虽然能生成 函数空间，但尺度函数本身并不是小波函数， 因为它不满足无穷积分为 0 的条件。与尺度 函数相对应的小波函数为前面已经介绍过
2
2
2
例 1 构造哈尔小波 匈牙利数学家 Alfréd Haar （哈尔） 在 1909 年提出的哈尔基函数（尺度函数）：
近似正交小波基的构造
［ 摘
要］ 本文通过 Ｅ ｃ ｄａ 算法 ， ｕ ｌ ｅｎ ｉ 利用小 波的多相位矩 阵提升分解 的方法 ， 以两组滤波器系数的平方和分别趋 近于 １
为约束条件 ， 构造一类紧支的、 对称的 、 稳定 的、 近似正 交 的双 正交小波 滤波器 ， 同时 以这 一类小 波中的 ９７小波为例 ／ 发现这一类小 波具有很好 的图像压缩的性能． Ｊ Ｅ ２ ０ 在 Ｐ Ｇ ０ ０压缩标准之下 的仿真实验结果表明其 压缩性能优于或相 当
变量 ．
１２ ． 确 定 稳 定 的小 波基 对 于 提 升 算 法来 说 ， 个 显 著 的 问 题 是 ， 然 它 可 以使 提 升 后 新 生 成 的 小 波 是 双 正 一 虽 交 的 ， 是 它 不 能 保 证 新 生成 的小 波通 过 平 移 和 伸 缩 能 构 成 Ｌ（ 但 Ｒ）中 一 组 Ｒｉ ｓ ｅ ｚ基 （即 稳 定 的 小 波 基 ）． 此 ， 了 得 到 稳 定 的 双 正 交 ９ ７滤 波 器 ， 必 须 采 用 Ｃｏ ｅ — Ｄａ ｅ ｈ ｅ 因 为 ／ 还 ｈｎ ｕｂ ｃ ｉ ｓ
２１ ０ ０年 １ ０月 第２ ７卷 第 ５期
枣 庄 学 院 学 报
Ｊ ＯＵＲ Ｌ Ｆ Ａ ＨＵ ＧＵ ＶＥＲ ＩＹ ＮＡ Ｏ Ｚ ＯＺ ＡＮ Ｎ１ ＳＴ
Ｏｃ ． ０ ０ １２ １
Ｖ０ ． ７ １ ２ ＮＯ． ５
近 似 正 交 小 波 基 的构 造
王 浩
（ 庄 学 院 实 验 中心 ， 枣 山东 枣 庄 ２ ７６ ） ７ １０
能 ， Ｊ ＥＧ ０ ０ 标 准 推 荐 使 用 ， 高 通 滤 波 器 和 低 通 滤 波 器 各 具 有 ４ 阶 消 失 矩 ． 被 Ｐ ２０ 其
１收稿 日期］ ０ ８—１ ［ ２０ ０—０ ７ ［ 作者简介 ］ 王浩 ， １７ （９ ９一） 、 、 男 汉 助教 ， 上海大学理学硕士 ， 研究方 向： 基于小波分析的图像处理
尺度函数与正交小波基的构造
尺度函数与正交小波基的构造作者：朱梅樊中奎来源：《电脑知识与技术》2015年第29期摘要：该文首先介绍了小波变换的起源和应用领域，首先介绍了尺度函数、小波函数、尺度空间、小波空间，并在之基础上对正交小波基进行实验分析，给出了二维正交小波基的构造方法，并应用Haar小波进行图像进行分析和压缩，实验结果表明压缩效果较好。
关键词：小波变换；信号分析；图像压缩中图分类号：TP3 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）29-0209-031 概述小波是上世纪80年代中期出现的一门现代技术，由法国工程师J.Morlet在1974年首先提出的，该技术的发展经历了：短时窗口傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换等阶段的发展[1]。
1986年著名数学家Y.Meyer构造出第一个光滑的小波基对小波， 1988年S.Mall建立了构造小波基的方法，并提出多分辨率分析的概念[2]。
在此之后小波分析得到了快速的发展，比利时数学家 I. Doubechies 发表的《小波十讲》对小波分析的理论及应用的普及起了重要推动作用[3]。
目前小波分析在数学领域可以快速数值构造、阈值分析；在信号分析领域能够进行信号滤波、去噪等；在影像领域能够进行压缩、识别、分类等；在医学领域中可以提高CT、B超的效率缩短时间；并在机械故障诊断、地震勘探等方面都取得了重要的研究成果，有力的推动科学技术的发展[3]。
2 尺度函数与小波函数2.1 尺度函数与尺度空间定义函数[φ（t）∈L2（R）]为尺度函数（scale function）[4]，若其整数平移系列[φk（t）=φ（t-k）]满足αjm，n，βjm，n，γjm，n]与小波空间[W1j，W2j，W3j]相对应[sjm，n]为尺度空间[Vj]的尺度展开系数。
2）长方块形式的二维正交小波基与二维正交小波变换正交基的尺度在两个方向上是不同的，形象称为的长方形正交小波基。
[f（x，y）]在长方块二维正交小波基下的展开公式为[f（x，y）=j=1∞m=1∞k，ndj，mk，nψj，k（x）∙ψm，n（y）] （3.1）其中[dj，mk，n=f（x，y）ψj，k（x）ψm，n（y）dxdy] （3.2）称之为长方块形式下的二维正交小波变换系数，[j，m]是两个方向上的尺度，位移[k，n]是两个尺度下的。
第七章 正交小波基的构造
第七章 正交小波基的构造本章讨论在MRA 框架下如何构造正交小波基。
由于MRA 框架既可以由尺度函数生成，也可以由)(0ωH 生成，因此我们从两个方面入手讨论构造正交小波基。
本章中，滤波器n g 代表高通滤波器)(1n h ； 滤波器n h 代表低通滤波器)(0n h ；7.1 由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。
（2）求)(n h ：>-=<)(),()(k t t n h φφ (7-1)或)()2()(ωωωΦΦ=H (7-2) （3）由)(n h 求)(n g ：1)1()(+-⋅-=n n h n g (7-3)或)()(πωωω+=-H e G j (7-4)（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：∑-=nn n t g t )()(,1φψ (7-5)或)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (7-6)例1 Haar 小波的构造 选择尺度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其他,010,1)(t t φ显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎰其他,01,0,21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（7-3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤==-=--其他,0121,1210,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 这就是Haar 小波函数，其波形略。
2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。
但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。
正交小波构造汇总
2019/1/20
22
2019/1/20
23
xi 1 (t ) 2
1 x0 (t ) 0
n
h (n) x (2t n)
0 i
0 t 1 其它
2 1, 3, 3, 1 h0 (n) 8
2019/1/20 5
2019/1/20
6
2019/1/20
7
第11章
正交小波构造
2019/1/20
8
11.1 正交小波概述
现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波 及对正交小波的要求, 一是Haar小波，二是Shannon小波 1. Haar小波
1 (t ) 1 0
H1 ( / 2) H 0 ( / 2 j ) ' ' j ( ) H ( / 2 ) H ( 2 ) 1 0 2 2 j 2 j 2
2019/1/20
19
H0
(J )
( z) H 0 ( z )
2j j 0
J 1
用它来近似 ( ) ；上式对应的时域关系是
(1)
2 2 (n) ( ) 1, 3, 3, 1 * 1, 0, 3, 0, 3, 0, 1 8
2 2 ( ) 1, 3, 6, 10, 12, 12, 10, 6, 3, 1 8 2 3 h0 (n) ( ) 1, 3, 6,10,12,12,10, 6, 3,1 * 1, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0,1 8
1 1,k ( ) 0
1 ( ) 0
sin t / 2 (t ) ( ) cos( 3t / 2) t / 2
第7章 小波简介new
STFT (τ , ω ) = ∫ f (t )g (t τ )e Basis Function STFT (τ , ω ) = ∫ f (t )hτ ,ω (t )dt
jωt
dt
Definition - Basis Functions: a set of linearly independent functions that can be used (e.g., as a weighted sum) to construct any given signal.
h ( x, y , u , v )
被称之为正向和逆向变换核（ forward inverse transform kernels）,这两个函数也被称为基础函数或 基础图像。 如果下式成立称为可分离的正向变换核 （ forward inverse transform kernels）
g ( x, y, u, v) = g1 ( x, u ) g 2 ( y, v)
x =0 y =0 N 1 N 1
(1)
对一个2维的变换系数T(u,v)其离散的逆变换 （inverse discrete transform）有：
f ( x, y ) = ∑∑ T (u , v)h( x, y, u , v)
u =0 v =0
N 1 N 1
( 2)
这里 g ( x, y, u , v)
Inrid Daubechies（1988）揭示了小波变换 和滤波器组（filter banks）之间的关系， 使得离散小波分析成为现实－－由此发现小 波基函数和滤波器组的密切关系，使得小波 在信号分析领域得到广泛的应用。
1. What is wavelet
一种定义在有限间隔且平均值为零的函数，如图7.2， 一种定义在有限间隔且平均值为零的函数，如图7.2，即由满足一 7.2 (x)经过收缩(dilation)和平移 经过收缩(dilation)和平移(translation) 定条件的母函数ψ(x)经过收缩(dilation)和平移(translation) 得到一函数族 a 1 ψ ( x b) a, a, b ∈ R 这里母函数必须满足
基于遗传规划的织物自适应正交小波基的构造和优化
（ ．Ｄ ｎ ｈ ａ Ｕ ｉ ｒ ｔ Ｋ ｙＬ ｂ ｒｔ ｙｏ ｅｔ ｅ ｃ ｎ ｅ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｙ Ｍｉｉｒ ｄ ｃ ｔ ｎ Ｄ ａ ｈ ａ Ｕ ｉ ｒ ｔ １ ｏ ｇ ｕ ｎｖ ｓｙ ｅ ａ ｏ ｏ Ｔｘｉ ｉ ｃ ＆ ｅｈ ｏ ｇ ， ｎｓ ｙｏ Ｅ ｕ ａｉ ， ｏ ｇ ｕ ｎ ｅｓｙ ｅ ｉ ａ ｒ ｆ ｌＳ ｅ ｏ ｔ ｆ ｏ ｖ ｉ
的小 波基 。结 果 表 明 ， 织 物 纹 理 波 动 为 适 应 度 函 数得 到 的 小 波 基 与织 物 的 匹 配性 较 好 。 试 验 验 证 ｌ该 方 法 对 相 以 ｒ 关 疵 点检 测 的有 效 性 ， 用 窗 １ 分 割 法 对 织 物 疵 点 进 行 定 位 ， 果 表 明 ， 用 遗 传 规 划 算 法 结 合 适 应 度 函数 优 选 的 采 ： ３ 结 采 方 法 能 够 找 到 与织 物 纹 理相 适 应 的最 优 小 波基 ， 现 织 物 疵 点 的 自动 检测 。 实 关 键 词 小 波 基 ； 点 检 测 ；遗 传 规 划 ； 应 度 函数 疵 适
Ａｂｓｒ ｔ Ｉ ｒ ｅ ｏ ｒ ａｉｅ ｔ ｅ ｕ ｏ ｔｃ ｗｏ ｅ ａ ｒｃ ｄ ｆ ｃ ｎｓ ｅ ｔ ｎ， ｔ ｐ ｒｆｒ ｔ ｏ ｓｒ ｃ ｓ ｔａｃ ｎ ｏ ｄ ｒ ｔ ｅ ｌｚ ｈ ａ ｔ ｍａｉ ｖ ｎ ｆ ｂ ｉ ｅｅ ｔ ｉ ｐ ｃ ｉ ｏ ｈｅ ｐａ ｅ ｓｌ ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｉ ｙ ｔ ｅ ｆ ｂ ｉ ｅｆａ ａ ｔｖ ￣ｈ ｇ ｎ ｌｗａ ｅｅｓ ｌ ｒ ｒｅ ， ａ ｄ ｔ ｅ ａ ｅ ｈ ｖ ｌｔ ｌ ｒ ｒｅ ｓ ｔ ｅ ｇ ｏ ｈ ａ ｒｃ ｓ ｌ． ｄ ｐ ｉｅ ｏ ｏ ｏ ａ ｖ ｌ ｔ ｉ ａ ｉｓ ｂ ｎ ｈ ｎ ｔ ｋ ｓ ｔ ｅ ｗａ ｅｅｓ ｉ ａ ｉｓ ａ ｈ ｒｕｐ ｂ ｐ ｐ ｌｔｏ ｆｇ ｎｅｉ ｏ ｒ ｍｍ ｉ ｌｏ ｉｈ ． Ａｆ ｒ ｓ ｌｃ ｉ ｇ ｔ ｔｅ ｎ ｒ ｍ ｏ ｒ ｄｆｅ ｅ ｔｋ ｎ ｓ ｆ ｏ ｕ ａｉｎ ｏ ｅ ｔｃ ｐｒ ｇａ ｎｇ ａｇ ｒｔ ｍ ｔ ｅｅ ｔｎ ｈｅ ｂｅｔｒ ｏ ｅ ｆｏ ｆ ｕ ｉ ｒ ｎ ｉ ｄ ｏ ｅ ｆ ｉ ｎｅ ｓ ｆ ｃｉｎｓ ｈ ｗａ ｅ ｅ ａ ｉ ｉｈ ｆｔ ｓ ｕｎ ｔｏ ， ｔ ｅ ｖ ｌｔ ｂ ｓｓ ｗｈｃ ｍ ａｃ ｅ ｗｉｈ ａ ｒｃ ｅ ｔ ｒ ｉ ｓ ｃ ｅ ｓｕ ｌ ｃ ｏ ｅ ｆｏ ｔｈ ｓ ｔ ｆｂ ｉ ｔｘ ｕ ｅ ｓ ｕ ｃ ｓ ｆ ｌｙ ｈ ｓ ｎ ｒ ｍ ｔｅ ｈ ｇ ｏ ｏ ｕ ａｉ ｎ Ｒｅ ｅ ｒｈ ｉ ｄ ｃ ｔｓｔ ａ ａ ｉ ｇ ｔ ｅｆ ｂ ｉ ｅ ｔ ｒ ｌ ｔ ａ ｉｎ ｓｔ ｅｆｔ ｅ ｓｆ ｎ ｔｏ ｓｃ ｎ ｒｕｐ ｐ ｐ ｌｔｏ ． ｓ ａ ｃ ｎ ｉａ ｅ ｈ ｔｔｋ ｎ ｈ ａ ｒｃ ｔｘ ｕ ｅ ｆ ｕｃｕ ｔ ｓａ ｈ ｎ ｓ ｕ ｃｉ ｎ ａ ｏ ｉ ｇ ｔｔ ｅ ｔｗａ ｅ ｅ ａ ｉ． Ｔ ｘ ｅ ｉ ｎ ｓｖ ｒｆｅ ｈｅｅ ｆｃｉ ｅ ｅ ｓｏ ｅ ｅ ｔ ｎ ｏ ｏ ｅａ ｅ ｅｅ ｔ ｅ ｈｅｂ ｓ ｖ ｌｔｂ ｓｓ ｈｅｅ ｐ ｒｍｅ ｔ ｅ ｉ ｄ ｔ ｆ ｔ ｎ ｓ ｆｄ ｔｃ ｉ ｎ ｓ ｍｅｒ ｌｔｄ ｄ ｆ ｃｓ， ｉ ｅ ｖ ｏ ａ ｄ ｔ ｅ ｐ ｓｔｏ ｓ ｆ ｄ ｆ ｃｓ ｒ ｏ ａ ｅ ｂ ｎ ｏ ｎ ｈ ｏ ｉ ｎ ｏ ｅｅ ｔ ａ ｅ ｌ ｃ ｔｄ ｙ ｗｉ ｄ ｗ ｓ ｇ ｎ ａｉｎ ｉ ｅ ｍｅ ｔ ｔ ｍ ｅｈｏ ｏ ｔ ｄ． Ａｂｏ ｅ ｔ ｄ ｓ ｗｓ ｔ ｔ ｈｅ ｖ ｓｕ ｙ ｈｏ ｈａ ｔ ｇ ｎ ｔｃ ｐ ｏ ｒ ｍｍｉ ｇ ｌ ｏ ｉ ｍ ｃ ｍ ｂ ｎ ｄ ｅ ｅｉ ｒ ｇ ａ ｎ ａｇ ｒｔ ｈ ｏ ｉ ｅ ｗｉ ｔ ｅ ｉ ｅ ｓ ｕ ｃ ｉｎ ｐ ｉ ｉａ ｉｎ ａ ｆｎ ｔ ｅ ｐ ｉ ｌ ｔ ｈ ｆｔ ｓ ｆ ｎ ｔ ｏ ｔｍ ｚ ｔ ｃ ｎ ｉ ｄ ｈ ｏ ｔｍａ ｈ ｎ ｏ ｏ ｗａ ｅｅ ｓｓｗｈｃ ｔｈ ｓｗｉ ａ ｉ ｅ ｔ ｒ ｖ ｌ ｔｂａ ｉ ｉｈ ｍａ ｃ ｅ ｔ ｆｂｒｃ ｔｘ ｕ ｅ，ａ ｄ ｒ ａ ｉｅ ｔ ｕ ｏ ｔｃ ｆ ｂ ｉ ｅｅ ｔｉ ｐｅ ｔ ｎ． ｈ ｎ ｅ ｌ ｈｅ ａ ｔ ｍａ ｉ ａ ｒｃ ｄ ｆ ｃ ｎｓ ｃ ｉ ｚ ｏ Ｋ ｅ ｒ ｓ ｗａ ｅｅ ａ ｉ ｙ ｗｏ ｄ ｖ ｌｔｂ ｓｓ；ｄ ｆｃ ｅ ｅ ｔ ｎ；ｇ ｎ ｔ ｒ ｇ ａ ｅ ｅ ｔｄ ｔｃ ｉ ｏ ｅ ｅ ｉ ｐ ｏ ｒ ｍｍ ｉ ｇ；ｆｔ ｅ ｓ ｆ ｎ ｔｏ ｃ ｎ ｉ ｎ ｓ ｕ ｃｉ ｎ
正交小波基的构造
① 嵌套性质：
V j+1 ⊂ V j
∀j ∈ Z
……V−1 ⊃ V0 ⊃ V1……
② 细分性质： ③ 完备性质：
∞
∩ lim
j→∞
V
j
=
Vj
j = −∞
= {0}
∞
∪ j
lim V
→−∞
j
=
Closure( V j )
j = −∞
=
L2 (R)
④ 多尺度关系：
f (t) ∈V j
⇔
f
(
t 2
)
∈V
j +1
a.e（几乎处处）
两带正交尺度函数
定理 7.1 ：设两带正交函数满ϕ(x) 满足双尺度方程
ϕ(x) = 2∑ h(n)ϕ(2x − n)
(16)
那么尺度滤波器 h(n) 满足条件(正交性条件)
∑n h(n)h(n − 2k) = δ (k)
(17)
证明：由ϕ(x) 正交
ϕ(x),ϕ(x − k) = ∫Rϕ(x)ϕ(x − k)dx = ∫R 2∑n h(n)ϕ(2x − n) 2∑m h(m)ϕ(2(x − k) − m)dx = 2∑n ∑m h(n)h(m)∫Rϕ(2x − n)ϕ(2x − 2k − m)dx = ∑n ∑m h(n)h(m)∫Rϕ(t − n)ϕ(t − 2k − m)dt = ∑n ∑m h(n)h(m)δ (n − 2k − m)
=
2
⎛ ⎜
a1(1n)
n ⎜⎝ a2(n1)
a1(2n) a2(n2)
⎞ ⎟ ⎟⎠
⎛ θ1(2t ⎜⎝θ2 (2t
− −
n) n)
⎞ ⎟ ⎠
离散小波变换与正交小波
例 5.3 考虑线性样条函数
1 t 1, 2 t 0
(t) 1 1 t , 0 t 2
0,
其他
从几何上看， (t) 显然是一个基本小波
易知 (t) s(t) s(t 2)
t, 0 t 1 这里 s(t) 2 t, 1 t 2
0, 其他
是个帐篷函数
s()
s(t)eitdt
1teit dt
2 (2 t)eitdt
0
1
ei
i
1 ei
(i)2
ei
i
ei2 ei
(i)2
1 ei
i
2
ˆ () sˆ() e2i sˆ() (1 e2i )(1 ei )2 i
构成了子空间 S { f (t) L2(R) | fˆ() 0, }
的一个标准正交基
令S2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m}，则 S2m
具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
正交小波
且对任意
其中
cj,k
f (t) cj,k j,k (t)
j,k
正交小波级数分解
f (t), j,k (t) f (t) j,k (t)dt, j, k Z
称为 f 的小波系数
小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离 散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正 交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。
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第七章 正交小波基的构造本章讨论在MRA 框架下如何构造正交小波基。
由于MRA 框架既可以由尺度函数生成，也可以由)(0ωH 生成，因此我们从两个方面入手讨论构造正交小波基。
本章中，滤波器n g 代表高通滤波器)(1n h ； 滤波器n h 代表低通滤波器)(0n h ；7.1 由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。
（2）求)(n h ：>-=<)(),()(k t t n h φφ (7-1)或)()2()(ωωωΦΦ=H (7-2) （3）由)(n h 求)(n g ：1)1()(+-⋅-=n n h n g (7-3)或)()(πωωω+=-H e G j (7-4)（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：∑-=nn n t g t )()(,1φψ (7-5)或)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (7-6)例1 Haar 小波的构造 选择尺度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其他,010,1)(t t φ显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎰其他,01,0,21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（7-3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤==-=--其他,0121,1210,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 这就是Haar 小波函数，其波形略。
2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。
但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。
首先给出Riesz 基的定义：设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有222)(∑∑∑≤-≤kk kk kk C B k t C C A φ (7-7)可以证明式（7-7）等价于∞<≤+Φ≤<--∑B l A l121)2()2()2(0ππωπ因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得)(])2([)(212#ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-∑ll显然，)(#ωΦ满足1)2(2#=+Φ∑ll πω即)(#k t -φ是正交基。
且)(#k t -φ可以构成{}Zj j V ∈的多分辨率分析框架。
由此可由)(#k t -φ入手，构造一个正交小波基。
举例（略）可以证明如下：（1）除了0=N 时（此时为Haar 小波）例外，其他)(k t -φ都不具有正交性，因此必须实行正交化处理过程)(#t φ。
（2）正交的)(#t φ及其构造的小波函数)(t ψ（Battle －Lemarie 小波函数）支集都为非紧的（定义域为整个实轴）。
（3）当N 为偶数时，#φ（或φ）关于21=t 对称，当N 奇数时，#φ（或φ）关于0=t 对称。
而所有Battle －Lemarie 小波关于21=t 对称。
并且已有学者证明#φ和ψ都具有指数衰减性。
7.2 紧支集正交小波基的性质和构造由MRA 理论可知，尺度函数和小波函数均满足双尺度方程：()∑∈-=Zn n n t n h t 2)(2)(φφ （7-8a ）()∑∈+---=Zn n n n t n h t 2)()1(2)(1φψ （7-8b ）由上式可知，即使)(t φ是支集紧的，相应的)(t ψ的支集未必是紧的。
因此既简单又重要的是要求式（7-8）的右边仅包含有限)1(+N 项，此时只要作适当的平移变换即可将双尺度方程写成()∑=-=Nn n n t n h t 02)(2)(φφ （7-9a ）()∑-=-=112)(2)(Nn nn t n gt φψ （7-9b ）如此，若)(t φ是正交MRA 中紧支集的母函数，则由此构成的正交小波基的母函数)(t ψ也是紧支集的。
现在的关键问题是要求出满足式（7-9a ）的双尺度方程中的)(t φ。
由式（7-9a ）我们发现，如果先直接寻找φ函数，然后再来确定有限项的h 是不容易的。
相反，若有限长度的h 已确定，再来确定φ则容易些。
我们先不考虑这样得到的)(t φ是否满足多尺度分析的生成元的正交性等条件，而只考虑若给定一组常数110,,,-N h h h ，如何由解方程（7-9a ）来求得)(t φ的问题。
7.2.1 有限长双尺度方程的求解由有限长双尺度方程求解尺度函数)(t φ有多种方法，下面介绍常用的两种。
解法1 理论推求法。
由式（4-57）可知：∏∞==Φ1)2()(j jH ωω其中)(ωH 为n h 的离散傅里叶变换：n j Nn n e h H ωω-=∑=021)( 则ωππφωd e H t j t j j⎰∏∞∞-∞=-=1)2(21)(这种方法看起来简单，但在具体应用时很难用数值方法求解，因此只有理论上的价值。
解法2 数值迭代法。
（略） 解法3 解方程组法。
若事先知道方程（7-9a ）的解)(t φ存在，且N)[0,(t)supp ⊆φ，则可简单的直接求出)(t φ在所有二进小数m K 2上的值，如下： N)[0,supp ⊆φ 所以,0)(=n φ 0<n 或 N n ≥在双尺度方程（7-9a ）中，令1,,3,2,1,0-=N t ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-+-=--+-+-+-=-++++=++==----)2(2)2(2)1(2)1()4(2)3(2)2(2)1(2)2()0(2)1(2)2(2)3(2)4(2)2()0(2)1(2)2(2)1()0(2)0(21123432102100φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφh N h N h N N h N h N h N h N h h h h h h h h h N N N N N N（7-10） 此方程组在标准化条件∑-==11)(N n n φ下，有唯一解。
由式（5-11）求得)1(),1(),0(-N φφφ 后，利用双尺度方程∑=-=Nn n n k h k)(2)2(φφ 即可求得)2(k φ之值。
重复上述过程，即可求得)(t φ一切二进小数之值)2(n kφ（其中Z n ∈）。
就数值计算而言，这足够了。
7.2.2 紧支集正交小波基的构造构造紧支集正交小波基的双尺度方程()∑=-=Nn n n t h t 0221)(φφ 也就是构造特征多项式∑==Nn n n z h z H 021)(的方法可归结为下列步骤： 1）选定一整数2≥L 。
2）选定一多项式，使它满足以下三式：)21()21(y R y R +-=- (5-11) 10,0)21()(≤≤≥-+y y R y y P L L (5-12)其中)(y P L 满足∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=101)(L j L jj L y P ，其中)!(!!k n k n k n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (5-13))1(22)]21()([sup -<-+L L L y R y y P (5-14)3）寻找一实系数三角多项式)(z Q ，使得)21()()(2z R z z P z Q L L -+=。
选取方法是：从)21()(z R z z P L L -+的每四个复零点中选两个，每对实零点中选一个，按照下式构造)(z Q 。
4）则得)()21()(z Q zz H += 最简单的情况是取])1,0[(0∈≡y R ，此时)(y P L 是正系数多项式，所以条件式（5-12）显然得到满足，且因当0≥y 时，)(y P L 单调增加，因此，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∈L L L L L L P y P L L 1211221112)1()(sup [0,1]y (5-15) )1(212021221--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-<∑L L k k L 故条件式（5-14）也得到满足。
于是利用Riesz 引理即可构作实系数三角多项式∑-==120)()(L k jn Lj L e n q e Q ωω，满足))cos(1(21())2((sin )(22ωωω-==L L j P P e Q 由L P 构作Q 时，我们选取时，我们选取L P 在单位圆内的根，这相应于设计滤波器时选取最小相位。
当3,2=L 时，)(ωj L e Q 的具体解析式为])31()31[(21)(2ωωj j e e Q --++=])1025101()101(21025)101[(41)(23ωωωj j j e e e Q +-++-++++=相应的n h 为：当2=L 时：388365163037.0)1(,454829629131.0)0(==h h 5511294095225.0)3(,422241438680.0)2(-==h h此时n h 的非零长度为4=N 。
当3=L 时：1109248068915093.0)1(,5008253326705529.0)0(==h h 1025461350110200.0)3(,1849144598775021.0)2(-==h h.8570950352262918.0)5(,8202670854412738.0)4(=-=h h 此时n h 的非零长度为6=N 。
0123-202φD 40246-202φD 602468-202φD 8510-202φD 10051015-202φD 12051015-202φD 1605101520-101φD 20010203040-101φD 40图7-1 Daubechies 尺度函数（N ＝4，6，8，…40）0123-202ψD 40246-202ψD 602468-202ψD 8510-202ψD 10051015-202ψD 12051015-202ψD 1605101520-202ψD 20010203040-101ψD 40图7-2 Daubechies 小波函数（N ＝4，6，8，…40）当10~4=L 时相应的尺度方程系数见表7-1（参考，彭P75），其相应n h 的非零长度为L N 2=，图7-1和7-2示出了一些尺度函数与小波母函数的图形。
对这样的紧支集小波，我们讨论一下它的一般性质。