一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】（两个正根）01>x ，02>x (两个正根)⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩， 推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m mm ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩0<m <1。

【定理2】（两个负根）01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ，推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。

【例2】 若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。

（512-≤k 或k>3）【定理3】（两根异号）210x x <<⇔0<a c【例3】 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？分析：依题意有3k k-<0=>0<k <3设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理1】（两根都大于k ）21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042【定理2】（两根都小于k ）kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042。

【定理3】（一根大于k 一根小于k ） 21x k x <<⇔0)(<k af 。

xyOk 1k 2推论1 210x x <<⇔0<ac 。

推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a 。

【定理4】（在12(,)k k 中只有一个根）这种情况比较复杂，分以下三类讨论：①0)()(21<k f k f ；②212402b ac bk k a ⎧∆=-=⎪⎨<-<⎪⎩；③由1()0f k =（或者2()0f k =）算出另一根，看是否落在区间12(,)k k 内【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

【定理6】（两根都在12(,)k k 内）2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b三、例题与练习【例4】 已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。

（129124m <≤）（2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。

（2526m m <-≥+或）（3）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。

（15262m m <-≥+或）【例5】已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。

（221221+-<<--m ）（2）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在(0,1)内，求m 的取值范围。

（1223m <≤）（3）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 的较大实根在(0,1)内，求实数m 的取值范围。

变式：改为较小实根 （m ∈∅；3221<<m ）（4）若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-,1）内，求k 的取值范围。

（14232k -+≤<-）（5）若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。

（3221<<k ）（6）已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足βα<<<10，求m 的取值范围。

（73-<<-m 或72<<m ）【例6】 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得xyOk 1k 2⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过)1． 若方程4(3)20xxm m +-•+=有两个不相同的实根，求m 的取值范围。

提示：令2x =t 转化为关于t 的一元二次方程有两个不同的正实根。

答案：0<m <12． 若关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一的实根，求实数a 的取值范围。

提示：原方程等价于2220020863x x x x x a ⎧+>⎪⎨+=--⎪⎩即2200 12630x x x x a <->⎧⎨+++=⎩或……①……②令()f x =2x +12x +6a +3(1) 若抛物线y =()f x 与x 轴相切，有△=144－4(6a +3)=0即a =112。

将a =112代入式②有x =－6不满足式①，∴a ≠112。

(2) 若抛物线y =()f x 与x 轴相交，注意到其对称轴为x =－6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是(20)0(0)0f f -≥⎧⎨<⎩解得163162a -≤<-。

∴当163162a -≤<-时原方程有唯一解。

另法：原方程等价于2x +20x =8x －6a －3(x <－20或x >0)……③问题转化为：求实数a 的取值范围，使直线y =8x －6a －3与抛物线y =2x +20x (x <－20或x >0)有且只有一个公共点。

虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将③变形为2x +12x +3=－6a (x <－20或x >0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线y =2x +12x +3和直线y =－6a ，如图，显然当3<－6a ≤163即163162a -≤<-时直线y =－6a 与抛物线有且只有一个公共点。

3． 已知()f x =(x －a )(x －b )－2(a <b )，并且α，β是方程()f x =0的两根(α<β)，则实数a ，b ，α、β的大小关系是( ) A 、α<a <b <β B 、a <α<β<bC 、a <α<b <βD 、α<a <β<b4． 方程()f x =2ax bx c ++=0(a >0)的两个根都大于1的等价条件是( )A 、 △≥0且f (1)>0B 、 f (1)>0且－ab>2 C 、 △≥0且－a b >2，c a>1 D 、 △≥0且f (1)>0，－ab>2。

4.1.4函数零点与图像综合应用（必修1第四章）一、零点定理的理解1．已知a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若0＜x 0＜a ，则f （x 0）的值满足（ ）A ．f （x 0）=0B ．f （x 0）＞0C ．f （x 0）＜0D ．f （x 0）的符号不确定 2．已知函数2|1|,0()log ,0x a x f x x x ++≤⎧=⎨>⎩有三个不同零点，则实数a 的取值范围为 ．3．函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[]2,2-，图象如图2所示，方程(())0f g x =有m 个实数根，方程(())0g f x =有n 个实数根，则=+n m （ ）A ．12B ．10C ．8D ．64．定义在R 上的奇函数)(x f ，当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∈+=),,1[,31),1,0[),1(log )(21x x x x x f 则关于x 的函数)10()()(<<-=a a x f x F 的 零点之和为（ ）A ．a21- B ． 12-aC ．a--21 D ．12--a二、根分布的应用5．若关于x 的方程94340x xa ++⋅+=()有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(][)-∞-+∞，，80YB ．()-∞-，4C ．[)-84，D ．(]-∞-，86．设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①0()c f x =当时，是奇函数 ；②0,0b c =>时，方程()0f x =只有一个实根 ③ ()f x 的图象关于(0,)c 对称 ；④方程()0f x =至多两个实根 其中正确的命题是 （ ）A ．①④B ．①③C ．①②③D ．①②④ 三、图像与零点（参数）7．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”： ,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩，设2()(1)(4)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k =+的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是（ ）A ．(1,2]-B ．[0,1]C ．[2,0)-D ．[2,1)-8．已知⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=383103130log )(23x x x x x x f ，，，d c b a ,,,是互不相同的正数，且)()()()(d f c f b f a f ===，则abc abd +的值（ ）A ．10B ．25C ．6D ．129．若[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2．9]＝2，[－4．1]＝－5，已知[]()f x x x =- （x R ∈），g x x 2015（）=log ，则函数()()()h x f x g x =-的零点个数是（ ）A ．2016B ．2015C ．2014D ．2013 10．已知函数2()1,()||f x x g x x a =-=-． （1）当1a =时，求()()()F x f x g x =-的零点；（2）若方程|()|()f x g x =有三个不同的实数解，求a 的值；图1图2。