一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0

若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一

负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02

=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】（两个正根）01>x ，02>x (两个正根)⇔

2

1212400

0b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪

+=->⎨⎪

⎪

=>⎪⎩

， 推论：01>x ，0

2>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0

0)0(0

42b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2

=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101

m m m m m m

m ⎧

⎪∆=++-≥⎪

+⎪->⎨

-⎪-⎪>⎪-⎩0

【定理2】（两个负根）01

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆0004212

12a c x x a b x x ac b ，

推论：01

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆0

0)0(0

042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。 【例2】 若一元二次方程0332

=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。（5

12

-

≤k 或k>3）

【定理3】（两根异号）210x x <<⇔

0

【例3】 k 在何范围内取值，一元二次方程0332

=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？

分析：依题意有3

k k

-<0=>0

设一元二次方程02

=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。 【定理1】（两根都大于k ）

21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

>->≥-=∆k a

b k af a

c b 20)(0

42

【定理2】（两根都小于k ）

k

x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

<->≥-=∆k a

b k af a

c b 20)(0

42。

【定理3】（一根大于k 一根小于k ） 21x k x <<⇔0)(

x

y

O

k 1

k 2

推论1 210x x <<⇔0

推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a 。 【定理4】（在12(,)k k 中只有一个根）这种情况比较复杂，分以下三类讨论：

①0)()(21

k k a ⎧∆=-=⎪⎨<-<⎪⎩

；③由1()0f k =（或者2()0f k =）算出另一根，看是否落在区间12(,)k k 内

【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧<>><<0

)(0

)(0)(0

)(021

21p f p f k f k f a

此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

【定理6】（两根都在12(,)k k 内）2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧

<-<>>>≥-=∆212

1220

)(0)(004k a b k k f k f a ac b

或⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎪⎨⎧

<-<<<<≥-=∆212

1220

)(0)(004k a b k k f k f a ac b

三、例题与练习

【例4】 已知方程02112

=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。（129124

m <≤）

（2）若一元二次方程03)1(2

=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。

（2526m m <-≥+或）

（3）若一元二次方程03)1(2

=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。

（1

5262

m m <-≥+或）

【例5】

已知方程03222

2=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。

（2

2

1221+

-<<--m ）

（2）已知方程012)2(2

=-+-+m x m x 有一实根在(0,1)内，求m 的取值范围。

（1223

m <≤）

（3）已知方程012)2(2

=-+-+m x m x 的较大实根在(0,1)内，求实数m 的取值范围。 变式：改为

较小实根 （m ∈∅；3

221<

（4）若方程0)2(2

=-++k x k x 的两实根均在区间（1-,1）内，求k 的取值范围。

（14232

k -+≤<-）

（5）若方程012)2(2

=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围。 （3

2

21<

（6）已知关于x 的方程062)1(2

2

=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足βα<<<10，求m 的取值范围。 （73-<<-m 或72<

【例6】 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.

本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.

技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.

解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得

x

y

O

k 1

k 2