古扎拉蒂计量经济学

(1) P 1
P2(1) Pi (1)
(
( 2) P P2( 2) 1
2）边缘分布 设（X,Y）具有 P ( X = xi , Y = yi ) = pij ，则
P ( X = xi ) = ∑ P ( X = xi , Y = yi ) = ∑ pij = pi ⋅ = pi( )（联合分布表中第 i 行各概率相加）
ϕ ( x, y ) 为在 Y＝y 条件下关于 X 的条件概率密度。 ϕY ( y ) ϕ ( x, y ) 为在 X＝x 条件下关于 Y 的条件概率密度。 ϕX ( x)
若 ϕ X ( x ) > 0 ，称 ϕ ( y | x ) = 条件分布函数为：
4
FX |Y
( x | y) = ∫
x
−∞
ϕ ( x, y ) dx ϕY ( y ) ϕ ( x, y ) dy ϕX ( x)
−∞ −∞ −∞
x
+∞
x
称为（X,Y）关于 X 的边缘分布函数。
ϕ X ( x ) = ∫ ϕ ( x, y ) dy 称为（X,Y）关于 X 的边缘概率密度。
−∞
+∞
FY ( y ) = P (Y ≤ y ) = P ( −∞ < X < +∞, Y ≤ y ) = lim F ( x, y )
x →+∞
pij pi(1)
=
P ( X = xi , Y = y j ) P ( X = xi )
称为在 X = xi 条件下关于 Y 的条件分布。 4）二元离散型随机变量的分布函数
3
F ( x, y ) = ∑ ∑ pij
xi ≤ x y j ≤ y
2、二维连续型随机变量 1）联合概率密度 如果存在非负函数 ϕ ( x, y ) ，使得（X,Y ）的分布函数 F ( x, y ) 对于任意实数 x ，y ，都有
E (c) = c E ( X + c) = E ( X ) + c E ( cX ) = cE ( X ) E ( kX + l ) = kE ( X ) + l E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y ) E ( X − Y ) = E ( X ) − E (Y )
+ X n ) = E ( X1 ) + E ( X 2 ) + + E ( Xn )
∂ 2 F ( x, y ) = ϕ ( x, y ) ∂x∂y
2）边缘概率密度
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = P ( X ≤ x, −∞ < Y < +∞ ) = lim F ( x, y )
y →+∞
= ∫ ds ∫ ϕ ( s, t ) dt = ∫ ϕ X ( s ) ds
一般地， E ( X 1 + X 2 +
特别地，n 个随机变量的算术平均数的期望等于这 n 个随机变量期望的算术平均数，即
X + X2 + E 1 n
+ Xn 1 = E ( X1 ) + E ( X 2 ) + n
+ E ( X n )
( 6)
若 X,Y 相互独立，则 E ( XY ) = E ( X ) E (Y )
F ( x, y ) = ∫
x
−∞ −∞
∫
y
ϕ ( s, t ) dtds ，则称（X,Y）是二元连续型随机变量。 ϕ ( x, y ) 称为 X 与 Y
的联合概率密度或（X,Y）的概率密度。 分布函数其实就是 F ( x, y ) = P ( X ≤ x, Y ≤ y ) 若 ϕ ( x, y ) 在某区域连续，则对该区域中的每一点（x,y）都有
∑
n k =1
xk − E ( X ) pk 。
2
∫
x − E ( X ) ϕ ( x ) dx 。 −∞
2
∞
6
方差反映了随机变量 X 取值分布的离散程度，方差越小，X 的取值越集中在 E ( X ) 附近，方 差越大，X 的取值越分散。
2）分布函数
xk pk

设 X 是一个随机变量，对于任意实数 x ( −∞ < x < +∞ ) ，函数 F ( x ) = P ( X ≤ x ) 称为 X 的 分布函数。 对离散型随机变量，采用累加的方法求其分布函数，则有公式：
F ( x) = P ( X ≤ x) =
xk ≤ x
∑ P( X = x ) = ∑ p
= ∫ ϕ X |Y ( x | y ) dx
−∞
x
FY | X ( y | x ) =∫y Nhomakorabea−∞
= ∫ ϕY | X ( y | x ) dy
−∞
y
3、随机变量的独立性 1）设 X 和 Y 是两个随机变量，若对于任意两个实数 x 和 y，都有
P ( X ≤ x, Y ≤ y ) = P ( X ≤ x ) P (Y ≤ y ) ，则称 X 和 Y 是相互独立的。
= ∫ dt ∫ ϕ ( s, t ) ds = ∫ ϕY ( t ) dt
−∞ −∞ −∞
y
+∞
y
称为（X,Y）关于 Y 的边缘分布函数。
ϕY ( y ) = ∫ ϕ ( x, y ) dx 称为（X,Y）关于 Y 的边缘概率密度。
−∞
+∞
3）条件概率密度 若 ϕY ( y ) > 0 ，称 ϕ ( x | y ) =
∑
∞ k =1
xk pk 。当 X 的
∑
n k =1
xk pk 。
5
连续型随机变量的概率密度为
∞
ϕ ( x) ， 若 无 穷 积 分
∫
∞
−∞
xϕ ( x ) dx 绝 对 收 敛 ， 则
E ( x ) = ∫ xϕ ( x ) dx 称为 X 的数学期望。
−∞
数学期望的性质
(1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
x
∫
−∞
ϕ ( t ) dt ， 其中 ϕ ( x )
为非负可积函数，则称 X 为连续型随机变量。 ϕ ( x ) 称为 X 的概率（分布）密度函数，简称 概率密度或密度。也常写为 X ∼ ϕ ( x ) .
二）二元随机变量及其分布
1、二维离散型随机变量 1）联合分布律
2
P ( X = xi , Y = y j ) = pi j 和下面的联合概率分布表称作二元离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布
1
j
j
称为（X,Y）对 X 的边缘概率分布。
) P (Y = yi ) = ∑ P ( X = xi , Y = y j ) = ∑ pij = p⋅ j = p (j2（联合分布表中第 j 列各概率相加）
i i
称为（X,Y）对 Y 的边缘概率分布。 3）条件分布 对于二元离散型随机变量（X,Y） ，如果 P Y = y j ≥ 0 ，则
(7)
E ( XY ) ≤ E ( X 2 ) E (Y 2 )
2
2）方差 显然 E 离差： 如果随机变量 X 的数学期望存在， 称 X − E ( X ) 为 X 的离差。 X − E ( X ) =0。 若随机变量 X 离差平方的数学期望存在，则称其为随机变量 X 的方差，记为 var(x)，即
第二章 概率统计基础 一、概率
一）一维随机变量及其分布
1、基本概念 假定我们掷硬币 10 次并计算正面朝上的次数，这是随机试验（experiment）的一个例子。 一 般 地 ， 随 机 试 验 （ experiment ） 至 少 在 理 论 上 是 一 个 可 以 被 无 限 次 重 复 ， 而 且 有 well-defined 系列结果的任一过程。比如，我们可以重复这个掷硬币的过程，在掷硬币之 前，我们知道正面朝上的次数肯定取 0 到 10 之间的整数，所以这个随机试验的结果被 well-defined。 随机变量可以取一定的数值，而且这个数值由随机试验的结果所决定。在掷硬币的例子中， 10 次掷硬币中正面朝上的次数就是一个随机变量。在掷硬币 10 次之前，我们不知道正面朝 上的次数是多少，一旦我们掷了 10 次，我们就可以得到这个随机变量－正面朝上次数的结 果，再掷 10 次又有不同的结果。 通常我们用大写字母来表示随机变量，如 X,Y,Z，随机变量的取值则用小写字母表示，如 x， y ， z 。比如用 X 来代表 10 次掷硬币正面朝上的次数这个随机变量， X 的取值将是 {0, 1,2,…,10}，一个特别的结果比如 x=6。 随机变量总是取相应的数值，即使它们描述的可能是一个定性事件。比如掷一次硬币，有两 种结果：正面朝上或反面朝上。我们可以定义随机变量：假如正面朝上，X=1；假如反面朝 上， X=0。 一个只取 0 和 1 值的随机变量称为贝努里随机变量 （Bernoulli, or binary, random variables） 。通常我们也称 X=1 代表 success，X=0 代表 failure。 把 只 取 少 数 或 者 最 多 可 列 多 个 值 的 随 机 变 量 称 为 离 散 随 机 变 量 （ discrete random variable） 。 取 值 充 满 整 个 数 轴 或 者 某 个 区 间 的 随 机 变 量 称 为 连 续 随 机 变 量 （ continuous random variable） 。
2、一维离散型随机变量及其分布 1）离散随机变量的概率分布 概率分布表形式（或分布律） ： X P x1 p1 x2 p2 … …
xk …（构成完备事件组） pk …
1
概率函数形式：
P ( X = xk ) = pk ( k = 1, 2,
)
称为 X 的概率分布（或分布律） 。 也记为
x1 x2 X ∼ p1 p2
(1) ( 2 )
(
)
(
)
ϕ ( x, y ) = ϕ X ( x ) ϕY ( y ) 。
三）随机变量的数字特征
1、一维随机变量的数字特征
1）数学期望 离散型随机变量 X 的概率函数为：P ( X = xk ) = pk ( k = 1, 2,
) ，若无穷级数 ∑ k =1 xk pk 绝
∞
对收敛，则称该级数为 X 的数学期望，简称期望和均值，记为 E ( x ) = 取值是有限个时，E(x)就是有穷级数，是加权平均，即 E ( x ) =
(
)
P ( X = xi | Y = y j ) =
pij pj
( 2)
=
P ( X = xi , Y = y j ) P (Y = y j )
称为在 Y = y j 条件下关于 X 的条件分布。 同理，如果 pi = P ( X = xi ) ≥ 0 ，则
(1)
P (Y = yi | X = x j ) =
k xk ≤ x
k
当 X 取有限个值 x1 < x2 <
< xn 时（ x1 < x2 <
< xk <
类似表示）
0 x < x1 p x1 ≤ x < x2 1 F ( x ) = p1 + p2 x2 ≤ x < x3 xn ≤ x 1
3、一维连续型随机变量及其分布 对于任何实数 x， 如果随机变量 X 的分布函数 F ( x ) 可以写成 F ( x ) =
律或 X 与 Y 的联合分布律。 pij 称为 ( X , Y ) 的概率函数或概率分布，或称为 X 和 Y 的联合概 率函数或概率分布。
X \Y x1 x2 xi
P Y = yj
y1 p11 p21 pi1
)
y2 p12 p22 pi 2
yj p1 j p2 j pij Pj( 2)
P ( X = xi )
2 ）若二元随机变量（ X,Y ）的联合分布函数等于 X 和 Y 的边缘分布函数的乘积，即
F ( x, y ) = FX ( x ) FY ( y ) （对任意实数 x 和 y） ，则称随机变量 X 和 Y 相互独立。
对二元离散型随机变量（X,Y） ，X 和 Y 相互独立的充要条件是： 对（X,Y）的所有可能的取值都有 pij = pi p j 成立； 或 P X = xi , Y = y j = P ( X = xi ) P Y = y j 对任意的 xi , y j 都成立。 对二元连续型随机变量（X,Y） ，X 和 Y 相互独立的充要条件是： 联合概率密度等于边缘概率密度相乘，即对任意的两个实数 x 和 y，都有
var ( X ) = E 。 X − E ( X ) 。 var ( X ) 称为 X 的标准差（或均方差、方差根）
2
对离散型随机变量 X， 方差 var ( X ) =
∑
∞
x − E ( X ) pk ， k =1 k
2
k 为有限数时， var ( X ) = 对连续型随机变量 X， 方差 var ( X ) = 方差的性质