2019级厦门海沧实验中学高一正余弦定理练习附有答案详解- (1)

2019级厦门海沧实验中学高一正余弦定理练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c
= A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.
【详解】
详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得
22222141313cos ,,,464224242
b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】
本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．
2．已知△ABC 中，
sin sin sin c b A c a C B -=-+，则B =( ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．34
π 【答案】C
【解析】
【分析】
将已知条件利用正弦定理角化边,变形后再利用余弦定理可解得.
【详解】 因为sin sin sin c b A c a C B -=-+,利用正弦定理角化边得c b a c a c b
-=-+, 所以()()()c b c b a c a -+=-,
所以222c b ac a -=-,
所以222a c b ac +-=,
所以222122
a c
b a
c +-=, 根据余弦定理可得2221cos 22
a c
b B a
c +-==, 因为0B π<<,所以3B π=
. 故选C .
【点睛】
本题考查了正弦定理角化边和余弦定理,属于中档题.
3．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若::1:1:4A B C =，则::a b c =（ ）
A ．
B ．1:1:2
C ．
D ．1:1: 【答案】D
【解析】
【分析】
由角度比例关系，可以算出每个角度，再根据正弦定理的推论，即可求得边长之比.
【详解】
因为::1:1:4A B C =，故可得2,63
A B C π
π===，
故可得11222
sinA sinB sinC ==：：：：
由正弦定理可得a b c sinA sinB sinC ==：：：：故选：D.
【点睛】
本题考查正弦定理的推论，属基本知识点的考查.
4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）
A ．2a b =
B ．2b a =
C ．2A B =
D ．2B A =
【答案】A
【解析】
sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
5．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==
，从而可得结果.
【详解】 因为cos cos sin b C c B a A +=，
所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，
()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=， 所以sin 1,2A A π==
，所以是直角三角形.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
6．在锐角三角形ABC ∆中, ,,a b c 分别是角,,A B C 的对边, ()()(
2a b c a c b ac +++-=+
,则cos sin A C +的取值范围为( )
A ．32⎛ ⎝
B ．32⎫⎪⎪⎝⎭
C ．32⎛ ⎝
D ．⎝ 【答案】B
【解析】 分析：由已知求出B ，然后可把cos sin A C +化为一个角的一个三角函数，再由正弦函
数的性质得取值范围.
详解：由()()(2a b c a c b ac +++-=+得22()(2a c b ac +-=+，
即222
a c
b +-=，∴222cos 22a
c b B ac +-==，∴6B π=，从而56C A π=-， ∴5cos sin cos sin()6A C A A π+=+-55cos sin cos cos sin 66
A A A ππ=+-
3
cos )223
A A A π=+=+， 又50,0262A A π
ππ<<<-<，∴32
A ππ<<，
∴25336A πππ<+<，1sin()262A π<+<，∴3)232
A π<+<. 故选B.
点睛：求三角函数的取值范围及其他性质问题，一般都要把它变形为一个角的一个三角函数形式即()sin()f x A x ωϕ=+的形式，其中可能要用到二倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式、诱导公式等等，掌握这些公式是解题的基础.
7．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B =,且2b ac =，则a c b
+的值为( )
A ．2
B C ．2 D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π
=，再由余弦定理，求得
()224b a c =+，即可求解，得到答案．
【详解】
在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B =,且2b ac =，
由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =，
因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 0B B =，即tan B =3B π=
，
由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-，
即()224b a c =+，解得
2a c b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
8．ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin csin ()sin a A C a b B -=-，4c =，则ABC 面积的最大值为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．【答案】C
【解析】
【分析】 通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出C 的大小，进而利用余弦定理可求ab ≤9，利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
∵()sin sin sin a A c C a b B -=-， 由正弦定理a b c sinA sinB sinC
==，得a 2＝（a ﹣b ）b +c 2， 即a 2+b 2﹣c 2＝ab ．①
由余弦定理得cos C 222122
a b c ab +-==， 结合0＜C ＜π，得C 3π=
． ∵c ＝4，
∴由余弦定理可得：16＝a 2+b 2﹣ab ≥2ab ﹣ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 等号成立，
∴S △ABC 111622absinC =
≤⨯=△ABC 面积的最大值为 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理与余弦定理的应用，考查了重要不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．
二、解答题
9．已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =．
（1）若a b =，求cos ;B
（2）若90B =，且a =
求ABC ∆的面积． 【答案】（1）
14
；（2）1 【解析】
试题分析：（1）由2sin 2sin sin B A C =，结合正弦定理可得：22b ac =，再利用余弦定理即可得出cos ;B
（2）利用（1）及勾股定理可得c ，再利用三角形面积计算公式即可得出
试题解析：（1）由题设及正弦定理可得22b ac =
又a b =，可得2,2b c a c == 由余弦定理可得2221cos 24
a c
b B a
c +-== （2）由（1）知22b ac =
因为90B =，由勾股定理得222a c b +=
故222a c ac +=，得c a ==
所以的面积为1 考点：正弦定理，余弦定理解三角形
10．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知
sin 0,2A A a b +===.
（1）求角A 和边长c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.
【答案】（1）
23π，4；（2
. 【解析】
试题分析：（1
）先根据同角的三角函数的关系求出tan A =从而可得A 的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值；（2）先根据余弦定理求出cos C ，求出CD 的长，可得12
CD BC =，从而得到12ABD ABC S S ∆∆=，进而可得结果. 试题解析：（1
）sin 0,tan A A A +=∴=20,3A A ππ<<∴=
，由余弦定理可得2
222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.
(2)2222cos c b a ab C =+
-，1628422cos C ∴=+-⨯⨯
，
2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=
，114222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=
⋅⋅∠=⨯⨯=
12ABD ABC S S ∆∆∴==。