插值与拟合方法

显然，求拉格朗日多项式的关键是求n次插值基函数。 因为
并用函数(x) 作为函数 y=f(x) 的近似函数，即 y= f(x) (x) , ( x∈[a,b] )
这类问题称为插值问题。 [a,b]称为插值区间， x0 , x1, ... , xn 称为插值节点，（2）称为插值条件，插值条件是 选择近似函数的标准，满足此条件的近似函数 (x) 称为 插值函数， f(x) 称为被插值函数。
满足插值条件（4）的多项式（3），称为函数y=f(x) 在 节点x0，x1，…，xn处的n次插值多项式。
求 f ( x ) 的n次插值多项式 通过曲线
y f (x )
y pn ( x)
的几何意义，就是
上的若干个节点，作一条代数曲线 y pn( x)
来近似代替曲线 y f (x) 。如图所示。
1 D 1 ... 1
x x x x
0 1
2 0 2 1
... ... ... ...
...
...
2 n
x x x
n 0 n 1

...
n n
0 j i n
(x x )
i j
(6)
x
n
x
由于xi互异，所以(6)右端不为零，从而方程组(5)的 n 解 a0 ,a1 ,…an 存在且唯一。于是有 定理1 满足插值条件（4）的n次次插值多项式是存在且 唯一的。
（10）
是 一 个 次 数 不 超 过 n 的 多 项 式 。 且 满 足 插 值 条 件 （ 4 ） 。
x , l x , l x , , l x 因此，由n+1个代数多项式 l 0 1 2 n
线性生成的多项式（10）就是满足插值条件的n次插值多 项式。 x , l x , l x , , l x 满足条件（9）的多项式 l 0 1 2 n 称为n+1个节点的n次基本插值多项式（或n次基函数）
插值多项式的存在唯一性 由插值条件（4）知，插值多项式Pn(x)的系数a0 ,a1,…, an满足下列线性方程组
a0+a1x0+…+anx0n=y0
a0+a1x1+…+anx1n=y1
……………………. a0+a1xn+…+anxnn=yn (5)
而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式
n
a ,b
i
（7）
其中
x x x x x x x x x
n 1 0 1 n i 0
应当指出，余项表达式只有在 f(x) 的高阶导数
存在时才能应用。 在 （a，b）内的具体位置通常不 可能给出，如果我们可以求出
函数类{(x) }有多种取法，常用的有代数多项式、 三角函数和有理函数。 最简单的插值函数是代数多项式，相应的插值 问题称为多项式插值。
2.2.2 多项式插值的理论基础
根据所给函数表（1），求一个次数不高于n的多项 式 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn, 使 pn(xi)=yi,, （ i= 0,1,2,…，n） (4) (3)
f max a xb
(
n1)
( x) M n1
，
那么插值多项式Ln(x)逼近f(x)的截断误差是
) R n(x
(x ) n 1 ( n 1 )!
M n 1
…(11)
§2.2 插值多项式的求法
在前面讨论插值多项式的存在唯一性时，实际上已提 供了它的一种求法，即通过求解线性方程组来确定其系数ai (i=0,1,2,…,n) 但是这种方法不仅计算量大，而且因不能获得简明的 表达式而给理论和应用研究带来不便。在这里我们学习两 种简便而实用的求答。 2.2.1 拉格朗日插值多项式 在线性代数中知道，所有次数不超过n次的多项式构 成一个n+1维线性空间。其基有各种不同的取法。因此 尽管满足条件（4）的n次插值多项式是唯一的，然而它 的表达式可以有多种不同的形式。如果取满足条件：
2. 插值法
在生产和实验中，常常需要根据一张表格表示的函 数推算该表中没有的函数值.解决此类问题的简单途径之 一利用插值法。 插值在数学发展史上是一个老问题，它是和Gauss, Lagrange, Newton等在著名数学家连在一起的。它最初 来源于天体计算——由若干观测值计算人一时刻星球的 位置。现在，插值法在工程技术和数据处理有许多直接 应用，而且也是数值积分、数值微分的基础。
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定理2 设 为 f x 在n+1个节点 x 0 , x 1 , x 2 , 则对任意 x [a ,b ] ，有余项
f
n
Cab [, ] ,任意的x [a, b], x
f
n 1
x 存在。pn x
x n 上的n次插值多项式，
( n 1 ) f ( ) R ( x ) f ( x ) p ( x ) x n n n 1 n 1 !
0, i k lk(xi) 1, i k
线性空间的基，则容易看出
l () x y l () x y l () x y y l () x 1 0 0 1 n n k k
k 0 n
（9）
作为上述 x , l x , l x , , l x 的一组n次多项式l 0 1 2 n
2.1.3误差估计
从前面的分析知道，用代数多项式
y pn ( x)
来近似代替曲线 y f (x) 。除了在节点处没有误差外， 在其它点上一般都有误差。若记
R x f x p x n n
则 R x 就是用 pn x 代替 f x的截断误差（插值余项）
2.1 插值概念与基础理论
2.1.1 插值问题的提法
对于给定的函数表
x x0 Y=f(x) y0
x1 y1
……. xn …….. yn
（1）
(其中 y f (x)在[a,b]上连续， x0， x1，…，xn 是 [a,b]上的 n+1个互异的点)，在某函数类{(x) }中求一个函数(x) ，使 (xi)=yi , (i=0,1,2,…,n) (2)