清华大学弹性力学-变分法

y'
)dx]
b
a
f
dx
与(c)比较可知：
I
b
a (
f
)dx
(c)
b
a
f dx
b
a (
f
)dx
积分上下限保持不变，变分和 定积分的运算可以交换顺序。
35
进一步化简：
b
a
f
(
x,
y,
y'
)dx
b
a [
f
(
x,
y
y ,
y'
y'
)
f
(
x,
y,
y'
)]dx
ab[f （y及y'的高阶项）]dx
b
a (
f
dx
)
（ab y及y'的高阶项）dx
泛函I 的变分为：
I
b
a (
f
)dx
(c)
(b)代入(c) ，得： 34
I
b
a (
f y
y
f y'
y'
)dx
I
[
b
a
f
(
x,
y,
例：求图示结构最大挠度。
l
x o
EI
P x
解：（1）设挠曲线为：
w
z
w b1x 2 b2 x3
满足边界条件： ( w )x0 0,
( w x
)x 0
0
（2）用最小势能原理确定b1 , b2
弯矩：
d 2w
M ( x ) EI dx 2 EI ( 2b1 6b2 x )
18
梁的应变能:
E
2(1 2 )
2m2 b
Bm
（c）
26
将(a)(b)(c)代入变分方程得：
2(1
E
2
)BUm2bm 2BYmv
mdxd2y b
m
Ygv
m
ds
(m
1,3 ,5 ,
)
Yvmds 0 （a）
su解Yvm得这dx：是dy n个12独12 dx立0b方 程g s，in可mb求y d出y n个待m20定b 系g数((mmBm。21,,34
（4）
应变能变分等于外力功变分 — 位移变分方程
9
由(1),(4)得:
A ( x x y y xy xy )dxdy A( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds （5）
内力虚功=外力虚功 — 虚功方程
由(4) : U A ( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds
s
y
g
b
o
x
1/2 1/2
（a）
S
24
②
Yvmdxdy
1
2 dx
b g sin my dy
1 2
0
b
2b
m
g
0
(m 1,3,5, ) (m 2,4,6, )
y
g
b
o
x
1/2 1/2
（b）
25
③
U
E
2
4(1 2 ) b
m 2 Bm2
U
E 2
Bm
Bm
[ 4(1
2
)
b
m 2Bm2 ]
y
( u )y0 0, ( v )y0 0
g
b
( u )yb 0, ( v )yb 0
o
x
位移变分方程则为：
U Bm
Yvmdxdy Yvmds
22
(2)计算应变能：
y
（取y轴两侧各1/2
g
单位长度计算）
b
o
x
U U1dxdy
1/2 1/2
E
2(1 2 )
[
2 x
2 y
2
x
y
1
2
b
y
v(
b 2
)
[ 4( 1
2
3E
)b 2
g]
b
g
o
x
值与级数项数的关系
项数
1
2
3
精确解
0.1290 0.1242 0.1243 0.1250
28
§6-4 变分法的基本概念
函数和泛函：
函数： y y( x ) — 变量与变量的关系
泛函： I I[ y( x )] — 变量与函数的关系
( w )max ( w )xl 3EI 20
例：设有一无限长的薄板，上下两端固定，仅 受竖向重力作用。求其位移解答。
y
g
b o
X 0
Y g
x
解：由于问题对y轴对称，所以推论：
u 0, v v( y )
21
(1)选择位移函数：
设： u 0,
v
Bm v m
Bm
sin
my
b
它满足上下两边的边界条件：
在给定外力下，实际的位移使总势能的变分为 零，使总势能最小。
所以在实际位移上面发生位移变分不会增加总势能
11
说明：
①(4),(5),(6) 是 一 致 的 ， 变 分 方 程 就 是 平 衡 方程和应力边界条件。
②U在 满 (足X位u移 Y边v界)d条xd件y 一组( X位u移中Y，v )实ds际（位4）
V W A( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds
（外力做功外力势能减少）
总势能： U V
U是应变能，是应变的泛
函，而应变是位移的泛
(泛函) 函，所以是位移的泛函，
而V是位移的泛函，所以6 π
是位移的泛函
§6-3 位移变分原理
y
S( X ,Y ) 已知面力
Y
平衡
位移法 微分方程
AYvmdxdy S
Yvmds
16
U U1dxdy
E
2(1
2
[
)
2 x
2 y
2
x
y
1
2
2 xy
]dxdy
∴ U是Am, Bm的二次函数
U
Am Xumdxdy Xumds
U Bm
Yvmdxdy
Y vmds
是Am, Bm的一次方程，可解出Am, Bm，求得位移。
17
§6-3 位移变分例题
30
函数的变分： 函数的微分：
dy y' ( x )dx
y
A o
B y=y(x) dy
y x
dx
函数的变分：
y
y
C
y Y ( x ) y( x ) (a) A y
函数本身在附近发生了微小的 o
dx
增量
D Y=Y(x) B y=y(x) dy
x
31
导数的变分：
求一个微小的增量，所以变分和求导 可以交换顺序
S
(
Xu Yv
)ds （2） 8
位移变分引起的外力势能变分：
V A ( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds（3）
按能量守恒：由于虚位移引起的应变能增量U， 等于外力在虚位移上做功W 。
U W =-δV
由(2) 得:
做的功等于外力势能的减少，等
于应变能的增量
U A ( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds
( y' ) Y ' ( x ) y' ( x )
由(a) 可知： ( y' ) ( y )'
微分和变分运算可以交换顺序
泛函的变分：
讨论泛函 I b f ( x , y , y' )dx 的变分。 a 32
① 泛函 f ( x , y , y' )
y(x)有变分y，y’也有变分y’
泛函 f ( x , y , y' ) 的增量，按泰勒级数展开：
由: ( U V ) 0 ，得：
(U V ) 0:
b1
2EI ( 2b1l 3b2l 2 ) Pl 2 0
(U V ) 0 : b2
2EI ( 3b1l 2 6b2l 3 ) Pl 3 0
解得:
Pl
P
b1 2EI , b2 6EI
w Plx 2 ( 3 x ) 6EI l Pl 3
f ( x , y y , y' y' ) f ( x , y , y' )
f y
y
f y'
y'
（y及y'的高阶项）
泛函 f ( x , y , y' ) 的变分定义为：
f
f y
y
f y'
y'
(b)
33
② 泛函 I
b
f
(
x , y , y'
)dx
的变分:
a
b
a
f
(
x,
y
y ,
y'
y'
)dx
,5, )
（b）
,6, )
U Bm
Bm
[Bm
4(1
E24)(1mb233m2E)2bB2m2]g
2(1
E (m
2 )
21bm,32,5B,m
)
（c）
27
(4) 位移解答
u0
v(
y
)
4( 1
2
3E
)b 2
g(sin y
b
1 33
sin
3y
b
1 5y
sin )
令:
yb
53
处的竖向位移为：
第六章 变 分 法
•弹性体的应变能 •位移变分原理 •位移变分例题 •变分法的基本概念
1
变分法是把弹性力学基本方程的定解
问题变为求泛函的极值（或驻值）问题；在 求近似解时，又转变为求函数的极值（或驻 值）问题，并把问题归结为求线性代数方程 组问题。
变分法是有限元法等近似解法的理论基
础。
y=y(x)是函数关系，泛函表示的是函数u的函数，I=I(u),u是函数 的集合
y
1 E
(
y
x ),
xy
1
G
xy
得：U1
1 2E
[
2 x
2 y
2
x
y
2(1
)
x
2 y
]
(应力分量的二次泛函)
U1
x
x,
U1
y
y,
U1
xy
xy
5
4.弹性体外力势能
外力功：
W A( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds
X, Y — A内的体力 X ,Y — S上的面力
外力势能：
将物理方程（应变表示应力）代入U1，
x
E
1 2
(x
y
)
y
E
1 2
(
y
x
)
,
xy
E 2( 1
)
xy
得：
U1
E
2(1
2
[
)
2 x
2 y
2
x
y
1
2
x
2 y
]
(应变分量的二次泛函)
U1
x
x
,
U1
y
y
,
U1
xy
xy
(Green公式)
4
将物理方程（应力表示应变）代入U1，
x
1 E
(
x
y)
U AU1dxdy AU1dxdy应变能密度增量的积分
A (
U1
x
x
U1 y
y
U1
xy
xy
)dxdy
A( x x y y xy xy )dxdy （1）
在虚位移上做功,上式前没有1/2。
位移变分引起的外力功变分：
体力在虚位移上做功 面力在虚位移上做功
W
A (
Xu Yv
)dxdy
u,v X
u、v — 实际位移
Su( u ,v )
o
x
假设： 虚位移(位移变分)：u、v （函数整体的增量（与x有
（满足关位）移）边界条件）
几何可能位移： u, u u , v , v v
（约束允许位移，非实际位移）
满足几何约束条件
7
1. 变分原理：
位移变分产生应变变分，而引起的应变能变分为：
U 1 2 EI
l 0
M
2(
x
)dx
2EI (b12l
3b1b2 l
2
3b22 l
3
)
外力势能:
做正功，所以
V P (w)xl P(b1l 2 b2l 3 )
总势能: U V 2EI ( b12l 3b1b2l 2 3b22l 3 )
P( b1l 2 b2l 3 )
19
变分法是有限元法等近似解法的理论基
础。
13
2. 位移变分法：
•瑞兹(Ritz)方法：
假设位移为满足位移边界条件的某种
函数形式，用变分方程确定函数中的待定
系数，得到位移的近似解。
设： u uo Am um , v v0 Bmvm
m 一些函数的组合
m
其中： ①uo, vo是边界上已知函数(约束位移)；
y
例如：AB两点的曲线长度：
y=y(x) B
L
b
a
1 ( dy )2dx dx
A oa
x
b
29
L
b
a
1 ( dy )2dx dx
长度L与y(x)的曲线形状有关， L是y(x)的泛函。
泛函的一般表达式：
I[
y(x)]baf(x
,
y,
y'
)dx
其中被积函数 f(x,y,y’) 也是y(x)的泛函。
U A ( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds 0
由(3) : V A ( Xu Yv )dxdy S ( Xu Yv )ds
10
得：
微小的虚位移引起的总势能的增量为0
(U V ) 0
（6）
— 最小势能原理
其中： U V 总势能(泛函)
最小势能原理：
移能使总势能取得极小值。
( x x y y xy xy )dxdy
③如果在( X这一u 组Y位v 移)dx中dy， 包 (括X真u 解Y，v则)d这s （个5）
真解使 =U+V 取得最小值。
(U V ) 0
（6）
12
最小势能原理
变分法是把弹性力学基本方程的定解
问题变为求泛函的极值（或驻值）问题；在 求近似解时，又转变为求函数的极值（或驻 值）问题，并把问题归结为求线性代数方程 组问题。
A( XumAm YvmBm )dxdy m
m
S
(
XumAm
Y vmBm
)ds
15
整理得：
m
[
U Am
A Xumdxdy
s
Xumds]Am
m
[ U Bm
AYv m dxdy
s
Y vm ds ]Bm
0
Am ,Bm 是任意的
U Am
A Xuumm等dx式d已y 知函S数Xumds