有限元法3章
第3章 有限元方法的一般步骤
3 F1 + lAγ 2 −3 0 0 u1 3 3 2 0 u2 ( 2 + 2 )lAγ EA − 3 3 + 2 − 2 = − 2 2 + 1 − 1 u3 ( 2 + 1 )lAγ l 0 −1 0 0 1 u4 2 2 1 lAγ 2
2 n 一维单元： u = a1 + a2 x + a3 x + ..... + an x 2 2 n 二维单元： u = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a5 xy + a6 y ..... + an x 2 2 2 三维单元： u = a1 + a2 x + a3 y + a4 z + a5 x + a6 y + a7 z
2、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 、单元的尺寸：单元尺寸影响解的收敛性，越细越精确。 原则：1、在应力集中区域网格要细化； 2、网格边界尺寸比越近越好，即纵横比尽可能接近1；
3、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 、结点的设置：通常结点均匀分布，另外根据结构尺寸， 材料，及外部条件发生突变处设置结点。 材料，及外部条件发生突变处设置结点。
单元全部结点力： 单元全部结点力： 单元e中的虚位移： 单元 中的虚位移： 中的虚位移 单元e中的虚应变： 单元 中的虚应变： 中的虚应变 结点力虚功： 结点力虚功： 虚应变能： 虚应变能：
{ε } = [ B]{δ } e ∗ e T δV = ({δ } ) {F } δU = ∫∫∫ { } {σ }dxdydz ε
有限元法基本原理及应用第3章重庆大学龙雪峰
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 3．单元分析 • 单元分析包括位移模式选择，单元力学分析两个内容。 • 位移模式也称位移函数或插值函数，在有限元位移法中是 以节点位移为基本未知量，再由这些节点位移插值得到单 元内任意一点的位移值。单元的位移模式一般采用多项式， 因为多项式计算简便，并且随着项数的增加，可以逼近任 何一段光滑的函数曲线。 • 单元力学分析 根据所选单元的节点数和单元材料性质， 应用弹性力学几何方程和物理方程得到单元刚度矩阵。由 于连续体离散化后假定力是通过节点在单元间传递的，因 此要利用插值函数把作用在单元上的体积力、面积力和集 中力按静力等效原则移到节点上。
Hale Waihona Puke 有限元原理及应用第三章 弹性力学有限元法
• 5．结果后处理和分析 • 求解线性方程组得到位移矢量后，由几何和物理关系可以 得到应变和应力。 • 由于应变（应力）来自位移的微分可能导致单元间应力不 连续，这会使应力计算误差较大，要在节点附近进行平均 化处理。 • 通过后处理还可得到位移、应变和应力的最大最小值及其 所在位臵以及主应力、主应变或其它定义的等效应力。 • 结果的输出可以应用图表、动画等各种方式。最后还要对 这些结果进行分析以指导工程设计、产品开发等等。
有限元原理及应用第三章弹性力学有限元法?如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度ww与板厚tt的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图35所示面内的两个自由度也要一并考虑所示面内的两个自由度也要一并考虑导致单元的每个节点上a四边形弯曲单元b三角形弯曲单元图34薄板弯曲单元导致单元的每个节点上就要有五个自由度此类单元一般称为薄板单元
有限元原理及应用
结构分析的有限元法-第三章
式中
H 1 u B A yH v
(3.32)
而
H 0 u H 0 v 0 0 0 0 1 0 0 2 0 6x
(3.33)
单元刚度矩阵
再次应用式(2.70)，并进行一系列的积分运算，可以得出单元刚度矩阵的显式如下：
l
K
e
E d A B B d x
0 1 l
Av
1
2 l
0 0 1 l 2 1 l
(3.21)
MATLAB不仅可以进行数值运算，也能进行符号运算。如式(3.20)中的矩 阵Au和Av的求逆运算，我们可以在MATLAB的命令窗口下输入 >> syms L >> Au = [ 1 0 1 L ] ; >> Av = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L L^2 L^3 0 1 2*L 3*L^2] ; 第一句是定义符号变量L，后面定义两个矩阵Au和Av。然后我们再输入下 面求逆的命令 >> inv(Au) ans = 0 1 1 [ 1, 0] Au [ -1/L, 1/L] 1 l 1 l >> inv(Av) ans = 0 0 1 [ 1, 0, 0, 0] 0 1 0 1 [ 0, 1, 0, 0] A v 2 2 3 l 2 l 3 l [ -3/L^2, -2/L, 3/L^2, -1/L] 3 2 3 1 l 2 l [ 2/L^3, 1/L^2, -2/L^3, 1/L^2] 2 l
根据材料力学的有关知识，我们可以立刻写出杆单元的结点位移与结点力 之间的关系为
FNi EA l (u i u j ) FNj EA l (u j u i )
有限单元法 第3章 弹性力学平面问题的有限元分析
图! ""! 桁架结构的有限元模型
在有限元法中 ! 把单元与 单 元 之 间 设 置 的 相 互 连 接 点 ! 称 为 结 点 # 如图! " " #%! " $$ 一般用号码 #!$!& 进行结 点 编 号 " 结 点 可 为 铰 结 % 固 接 或 其 他 形 式 的 连 接 " 结 点 的 设 置 % 性质及数 目 等 均 视 所 研 究 问 题 的 性 质 % 描 绘 变 形 状 态 的 需 要 和 计 算 精 度 的 要 求 等 而定 " 在有限元法中引进结点概念是至关重要的 " 有了结点 ! 才可将实际连续体看成是仅在 结点处相互连接的单元集合组成的离散型结构 ! 从而可使研究的对象转化成可以使用电子 计算机计算的数学模型 " 由单元 % 结点 % 结点连线构成的集合称为有限元模型 " 它是有限 元分析与计算的对象 "
性和连续性的要求 # 为了使位移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态 " 它应满足下列 条件 ’ &位移模式必须能反映单元的刚体位移 # % # % &位移模式必须能反映单元的常量应变 # $ % &位移模式应尽可能地反映位移的连续性 # ! 由于有限元模型中单元之 间 仅 通 过 结 点 连 接 # 但 实 际 上 " 两 个 相 邻 的 单 元 在 整 个 交 界处 % 包括结点 & 都是相互连接 ( 相互作用的 " 所以在有限元分析中 " 选择位移模式时除 了要求单元之间在结点处有共同的结点位移值外 " 还应尽可能反映在单元之间公共交界处 的变形协调 #
第3章——有限元分析初体验
第3章——有限元分析初体验有限元分析是一种通过将大型结构或系统分为许多小的有限元来近似求解其行为的方法。
它可以用于解决各种工程问题，包括结构分析、流固耦合问题、热传导和电磁场分析等。
在本章中，我们将介绍有限元分析的基本原理和步骤，并通过一个简单的例子来进行初步体验。
有限元分析的基本原理是将大型结构或系统分割为许多小的有限元。
每个有限元都有自己的几何形状和材料特性，并且可以在其内部进行力学分析。
通过将所有有限元的行为组合起来，可以得出整个结构或系统的行为。
有限元分析的步骤通常包括几何建模、网格划分、材料特性定义、边界条件施加和求解等。
首先，需要根据实际情况进行几何建模，即定义结构或系统的形状和尺寸。
然后，将结构或系统划分为许多小的有限元，生成一个网格。
每个有限元都由一些节点和单元组成，节点用于定义有限元的几何形状，而单元用于表示有限元的材料行为。
接下来，需要定义每个有限元的材料特性，例如弹性模量、泊松比和密度等。
这些参数可以根据实际情况进行估计或实验测量。
然后，需要施加边界条件，即定义结构或系统的边界上的约束条件和加载情况。
边界条件可以是位移、力或压力等。
最后，通过求解有限元方程组，可以得到结构或系统的应力、应变和位移等结果。
为了进一步说明有限元分析的过程，我们可以通过一个简单的例子来进行初步体验。
考虑一个简单的梁结构，其长度为L，宽度为W，高度为H。
我们希望计算在施加一个确定的力后，梁的变形和应力分布。
首先，需要进行几何建模，并定义梁的几何尺寸。
然后，将梁划分为许多小的有限元，生成一个网格。
每个有限元都有自己的几何形状和材料特性。
对于这个例子，我们可以假设梁的材料是均匀的，并且具有已知的弹性模量和泊松比。
接下来，需要施加边界条件和加载情况。
我们可以将一个固定边界条件施加在梁的一端，表示该端固定不动。
然后，在梁的另一端施加一个已知的力，表示外部加载。
最后，通过求解有限元方程组，可以得到梁的应力、应变和位移等结果。
第3章杆件结构的有限元法_虚功原理
( { })
* x
u = ∫ ε σdV = ∫ [B ] V V u
T
* 1 * 2
E [B ] δ x dV = ∫ δ
V
{ }
u1 E [B ] dV u 2
T
{ } [B]
* x T
T
E [B ] δ x dV
{ }
[K ]
(e)
1 0 AE = L − 1 0
0 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
小结： （1）本章从设置位移函数（也称为位移插值函 数或试探函数）出发，利用虚功原理导出了局 部坐标系下的杆单元的有限元计算格式，利用 前一章的坐标变换矩阵[T]，就可以将它转换到 整体坐标系下，然后将各单元的刚度矩阵按照 节点力平衡的原理，经过叠加，即可得到总体 刚度矩阵。 （2）本章的方法具有一般性。 （3）位移插值函数的选择与单元节点的数目有 关。一般不可能精确描述单元内各点真实的位 移情况。
Fy(1e ) 0 0 v 1 = (e) Fy 2 0 0 v 2
下面建立 x 方向位移的插值函数。 设杆件内任意一点沿 x 的位移向量为
δ x = u = α1 + α 2 x
第三步：求单元内任意一点的位移与节点位移的 关系 由 x1 = 0, u = u1 ; x 2 = L, u = u 2 可写出
3 杆件结构的有限元法—虚功原理 直接刚度法：已知杆件刚度，利用位移和 力的关系，建立单元刚度矩阵。 不知道力——位移的关系，怎样求解？ 本章介绍一种更为一般的有限元求解力学 问题的方法：虚功原理推导杆单元刚度 矩阵。
这一方法分为6步。 第一步：建立局部坐标系，写出单元的位移向量 和节点力向量。
有限元分析法第3章 杆单元
提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第三章
杆单元
§ 3 –1
习题2：
一维等截面杆单元
已知：
求：杆两端的支反力
解
第三章 杆单元
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：
第三章
杆单元
§ 3 –2
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
u1 v1 u2
v2
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
单元2：2-3
135，l
按公式计算杆应力：
二维空间中的杆单元
得：
0 E 2 L 0 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 1 L 2 EA P 2A 1 P2
P 1 E 2 L P2 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 2 L 2 EA 0 2 A 0
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：
~ d i Tdi
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
第3章 平面问题的有限元法
3节点三角形单元：
u a1 a2x a3 y v a4 a5x a6 y
4节点四边形单元：
u a1 a2x a3 y a4xy v a5 a6x a7 y a8xy
面积坐标的性质：
1. Ai Aj Am A
Li Lj Lm 1
Li，Lj，Lm中只有两个是独立的。
2.三角形三个角点处
i(1,0,0) j(0,1,0)
m(0,0,1)
3.三条边上 i-j:Lm=0 j-m:Li=0 m-i:Lj=0
推论：三角形内一条平行于三角形任一边的直线 上的各点，具有相同的与该边对应的坐标值。
Lm Nm
即三角形面积坐标就是三角形相应的形函数。
所以，位移模式也可以用面积坐标表示为：
u Liui Lju j Lmum Liui
v Livi Ljv j Lmvm Livi
将面积坐标的表达式：
Li
Ai A
1 2A
(ai
bi x ci y)
写成矩阵形式：
Li
L
j
能量法与数学工具—变分法的结合，导出虚位移（虚功 ）原理，使得用数学分析的方法解决力学问题的理论得 到发展而更趋完善。
4.单元刚度矩阵
单元节点力列阵：
F e Fxi Fyi Fxj Fyj Fxm Fym T
单元节点虚位移列阵： e ui vi u j v j um vm T
节点力在虚位移所做的功：
2.对称性的利用
利用结构和载荷的对称性：如结构和载荷都对于某轴对称， 可以取一半来分析；若对于x轴和y轴都对称，可以取四分之 一来分析。
3.单元的划分原则
➢通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点、分 布载荷与自由边界的分界点，支承点都应取为节点
有限元第三章 单元类型及单元刚度矩阵
Fξ j(2) x
l
0 1
x xi x xj
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●一次杆单元
根据形状函数的定义，我们知道，形状函数是 描述或反映单元内点位移与单元节点位移的关系。 对于上述问题，已知节点位移为ui,uj,而要求节点 间任一内点的位移，显然可以根据线性插值来计算 （二点一次拉氏插值），即
一、形状函数类型及其特征
在第二章中，曾经讨论过单元内点位移函数假设 适应满足的4项原则。
●包含单元的刚体位移 ●包含单元的常应变状态 ●保证不偏惠各坐标轴 ●保证单元内位移连续
体现位移函数完备性 体现位移函数几何不变性 体现位移函数协调性
一、形状函数类型及其特征
要保证位移函数的几何不变性，位移函数多项 式的各项应根据帕斯卡三角形来选择。
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 杆单元受轴向力，在单元端点处无弯矩和扭矩作用，
将此单元独立出来进行受力分析时为二力杆。根据单元 形状函数的阶次，又可分为一次杆单元和二次杆单元。
●一次杆单元 单元有两个节点，如图所示，编号为i、j,采用局部
坐标 ，记 x l，并取i为x坐标的原点，则有
F i(1)
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元 元素的计算
●二次杆单元
k22 E l2 A 0 l(421 )2d xE 3 l A 7 k33 E l2 A 0 l(4142)2d xE 3 l A 16
k 12 E l2 0 lA (42 1 )4 (2 1 )d x E 3 l A 1
一、形状函数类型及其特征
ngrange型形状函数，这时节点广义位移为节 点位移，不含节点位移导数，它与单元的几何形状、 单元节点分布和节点数有关。所以，该类形状函数 在单元几何形状、节点分布和节点数一定时也随之 确定。
有限元课后第三章习题答案
有限元课后第三章习题答案有限元课后第三章习题答案第一题：根据题目给出的信息，我们可以得出以下结论：1. 题目中提到了一个平面问题，即只考虑二维情况。
2. 材料的弹性模量为E = 210 GPa。
3. 材料的泊松比为ν = 0.3。
4. 材料的厚度为t = 10 mm。
5. 材料的长度为L = 100 mm。
6. 材料的宽度为W = 50 mm。
7. 材料的边界条件为固定边界。
根据以上信息，我们可以开始解题。
首先，我们需要确定有限元模型的几何形状和单元类型。
由于题目给出的是一个平面问题，我们可以选择使用二维平面应力单元来建模。
根据题目给出的材料尺寸，我们可以选择一个矩形区域作为有限元模型的几何形状。
接下来，我们需要确定有限元模型的单元划分。
由于题目没有给出具体的单元划分要求，我们可以根据经验选择适当的单元尺寸和划分密度。
在这里，我们可以将矩形区域划分为若干个等大小的四边形单元。
然后，我们需要确定有限元模型的边界条件。
根据题目给出的信息，材料的边界条件为固定边界。
这意味着模型的边界上的节点在计算过程中将保持固定位置，不发生位移。
因此，我们需要将边界上的节点固定。
接下来，我们可以开始进行有限元计算。
首先，我们需要确定有限元模型的节点和单元编号。
然后，我们可以根据材料的弹性模量和泊松比，以及节点和单元的位置信息，计算出每个节点和单元的刚度矩阵。
然后，我们可以根据边界条件，将固定边界上的节点的位移设置为0。
这样，我们就可以得到一个由位移未知数构成的线性方程组。
通过求解这个线性方程组，我们可以得到模型中每个节点的位移。
最后，我们可以根据节点的位移和单元的刚度矩阵，计算出每个单元的应力和应变。
根据题目给出的材料厚度，我们可以得到每个单元的应力和应变的平均值。
综上所述，根据题目给出的信息，我们可以使用有限元方法来求解这个平面问题。
通过建立有限元模型，确定边界条件，进行有限元计算，我们可以得到模型中每个节点的位移和每个单元的应力和应变。
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示；引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j ， v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法：最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中，真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理： 中，实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态，实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然，最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚 功是： * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
有限元课程第三章线性方程组解法
x2
a(2) 23
x3
...
a(2) 2n
b(2) 2
a(3) 33
x3
...
a(3) 3n
xn
b(3) 3
a(n) nn
xn
b(n) n
Gauss消元法的回代过程
回代过程：逐步回代求得原方程组的解
xn
b(n) n
/
a(n) nn
xk
(bk(k )
n
a(k kl
)
xl
)
/
a(k) kk
a(2) 2n
xn
b(2) 2
ai(jk bi(k
1) 1)
a(k) ij
b(k ) i
lik
a(k kj
)
a(k) kk
likbk(k )
xk
ak(
a x (k ) kk 1 k 1
x k 1)
1,k 1 k 1
a(k kn
)
xn
b(k ) k
a x b (k 1) k 1n n
(k 1) k 1
运算(i所, j需时k间，1,故只, n考) 虑作 乘除运算l量k1 。
由消元法步骤知，第k次消元需作nk次除法，作
(n k)(n k + 1)次乘法，故消元过程中乘除法运算量为：
乘法次数 : n1 (n k)(n k 1) n (n2 1) 除法次数 : n1 (n k) n (n 1)
第k步
:
在矩阵[A( k ) , b( k ) ]的第k列中选主元, 使
(k)
a
max
(k)
a
ik
ik
k
k in
将矩阵[A( k ) , b( k ) ]的第k行与第ik 行列换, 进行第k次消元.
第3章 弹性平面问题有限元法-载荷移置
上 海工程技术大学
第七节 整体分析 总体刚度矩阵
2. 总体刚度矩阵形成 3 已知节点载荷： [FL ] [0
FL1 y
FL2 x
FL2 y
F3④x FF3③xL5Fy 3②x F3①x
FL3x 0 0 FL4 y FL5x
FLF5 Ly 2]yT
FFLL11yy
有
限 节点1：
元
分 节点2：
析
与 节点3：
FLmx F L jy
FLiy
P
f Px
j
FLjx
元
[FL ]e [FLix FLiy FLjx FLjy FLmx FLmy ]T
i FLix
分 析
[ ]e [ui
vi
u
j
v
j
um
vm ]T
x
与 [d ] [u v ]T
应 [ ]eT [FL ]e [d ]T [ fP ] [ ]eT [N ]T [ fP ]
有
限
元
分 析
第六节 载荷移置
与
应
用
上 海工程技术大学
第六节 载荷移置
1. 静力等效原则
有
刚体静力等效原则: 使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩 也相同。
限 变形体静力等效原则: 在任意虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。
元
分
刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯
析 一的解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模
y FL4 y
4
FL5 y
5
④
FL 5 x
FL1 y
1
③
3
①
第三章+有限元法的分析基础
第三章有限元方法的分析基础如前所述，有限元分析主要包含以下步骤：(1)求解域的离散；(2)选择场函数；(3)单元刚度矩阵的建立；(4)单刚集成结构总体刚度矩阵；(5整体结构平衡方程求解；(6) 按单元计算场内的各种物理量。
本章将概述有限元分析各阶段的基本要求。
第一节结构的离散化将求解域离散为子域(有限元)是有限元分析的第一步，这也意味着用一个具有有限自由度数目的系统来代替具有无限自由度数目的系统。
离散的实施主要取决于对物理问题的认知和物理模型的建立，在选择单元的形状、尺寸、数量和排列时必须以能正确反映待解决问题为前提，尽可能以更好的精度和更高的计算速率精确地模拟原问题。
3．1．1基本单元形状对任一个给定的物体，必须靠工程实际或研究判断力来选择适当的单元进行离散化。
在大多数情况下，单元类型的选择取决于物体的几何形状以及描述系统所需要的独立的空间坐标数。
图3.1.1、图3.1.2、图3.1.3分别示出了某些常用的一维、二维和三维单元．图3.1.1 一维单元当几何形状、材料性质和其他参数(如应力、位移)仅需用一个空间坐标描述时，可以采用如图3.1.1所示的一维单元。
虽然这种单元有横截面面积，但一般在示意图中都用线段来表示。
在某些问题中，单元的横截面面积可沿长度变化。
当问题的几何形状和其他参数可以用二个独立的空间变量结点来描述时，可以采用图3.1.2所示的二维单元。
二维分析中常用的基本单元是三角形单元，虽然四边形(或其特殊形式矩形或平行四边形)单元可以用二个或四个三角形单元集合而成(如图3.1.3所示)，但在某些情况下用四边形(或矩形，平行四边形)单元仍然是有利的。
图3.1.2二维单元149150图3.1.3 由二个或四个三角形单元集合成的四边形单元如果物体的几何形状，材料性质和其他参数可以用三个独立的空间坐标来描述，就可以采用图3.1.4所示的三维单元来离散物体。
与二维问题中的三角形单元类似，基本三维单元是四面体单元，但在某些情况下用六面体单元会更有利。
东南大学 有限元分析课程 第三章 轴对称问题和空间问题有限元法
B = Bi
Bj
Bm
0 0 ( s = i , j , m) cs bs
K e = 2π rc B T DB
单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为：
K sp = 2π rc BsT DB p bs bp + f s f p + A1 (bs f p + f s bp ) + A2 cs c p = A1 (cs bp + cs f p ) + A2bs c p A1 (bs c p + f s c p ) + A2 cs bp cs c p + A2bs bp
式中： 式中：
A1 =
µ
1− µ
A2 =
1 − 2µ 2(1 − µ )
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到， 为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , z c 代替 B 矩阵中的变 量，将单元中的r和z近似地当作常量，并且分别等于 rc , z c 。
1 r ≈ rc = ( ri + rj + rm ) 3
K e = 2π ∫∫ B T DBrdrdz
单元刚度矩阵的分块矩阵为， 单元刚度矩阵的分块矩阵为，
K sp = 2π ∫∫ BsT DB p rdrdz ( s, p = i, j , m)
由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到， 为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 rc , z c 代替 B 矩阵中的变 量 r, z 。
1 rc = ( ri + r j + rm ) 3
1 z c = ( zi + z j + z m ) 3
3温度场有限元分析理论基础
第3章温度场有限元法分析理论基础在制造加工领域中，通过计算机模拟各种加工过程是非常方便有效的方法之一。
磨削过程也可以通过建立数值分析模型模拟整个磨削的过程，不仅可以预测实验可能发生的情况也可以减少实验的次数。
于是，越来越多的学者使用有限元技术对磨削过程进行分析、研究。
通过有限元法分析磨削区温度场既有利于对磨削机理的理解，也是一种优化机械加工工艺的有力工具，而且在考虑多种因素、非线性、动态过程分析等复杂情况时其优势尤为显著。
3.1有限元法简介3.1.1 有限元法的基本思想有限单元法是目前在工程领域内常用的数值模拟方法之一。
目前在工程领域内常用都是数值模拟方法包括有限单元法、边界元法、离散单元法和有限差分法等。
有限元单元法的基本思想就是将连续的结构离散成有限多个单元，并在每一个单元中设定有限数量的节点，讲连续体看做是节点处连续的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在第一单元中假设一个插值函数来表示单元中场函数的分布规律，进而利用弹性力学、固体力学、结构力学等力学中的变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中有限自由度问题。
求解法就可以利用解得的节点值和设定的插值函数来确定单元上以至整个集合上的场函数。
有限元分析的基本概念就是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一个单元假定一个较简单的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的近似解。
由于大多数实际问题难以得到准确解，有限元法不仅仅计算精度高而且能够适应各种复杂形状，因此称为行之有效的工程分析手段。
3.1.2有限元热分析简介热分析是指用热力学参数或者物理参数随着温度变化的关系进行的分析方法。
国际热分析协会在1977年将热分析定义为：“热分析是测量在程序控制温度下，物质的物理性质与温度依赖关系的一类技术。
”程序控制温度指的是按某种规律加热或冷却，通常是线性升温或降温。
有限元 第3章 等参有限单元法
σ = Dε = D B1 = S1 = Sa e S2 S3
B2
B3
B4 a e
S4 a e
应力转换矩阵
N i x E N i Si = DBi 2 1 x 1 N i 2 y
N i y N i i 1, 2,3, 4 y 1 N i 2 x
u N1u1 N 2u2 N 3u3 N 4u4 v N1v1 N 2 v2 N 3v3 N 4 v4
等参单元：位移模式与坐标变换的参数相等 次参单元：位移模式的参数少于坐标变换 超参单元：位移模式的参数多于于坐标变换
N1 u 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
是x的二次函数， 在交界面不连续
, ,
引进坐标变换：
雅可比行列式：
x J x y 0 y
x N1 x1 N 2 x2 N 3 x3 N 4 x4
y N1 y1 N2 y2 N3 y3 N4 y4
,
.
这种变换是一一对应的
1 1 1 4 1 N 2 1 1 4 1 N 3 1 1 4 1 N 4 1 1 4 N1
几何划线法
N1 A(1 )(1 )( 1)
1 N1 (1 )(1 )( 1) 4
1 Ni (1 i )(1 i )(i i 1) 4
1 N 5 (1 2 )(1 ) 2 1 N 6 (1 2 )(1 ) 2 1 N 7 (1 2 )(1 ) 2 1 N 6 (1 2 )(1 ) 2
有限元分析第3章 弹性力学基础知识-弹性力学的平衡
二、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
y z
Z z
zy zx
xy
yx
yz
xz
O
xy
x
zy
zx
x
xz yz yx
dz y
Y
dx
X O
y
x
dy z
2.单元体上的应力分量 （1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二
YX
Y
YZ
ZX ZY Z
应力符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一
致，则该面上应力分量就以沿坐标轴的正方向为正，反之为负。
应力状态的概念
一、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
金属材料一般是均匀的和各向同性的。对于纤维增强复合材料、
木材、竹材等通常是各向异性的。
3.1 弹性力学的几个基本假定
4．小变形假定 在外部因素（如外力、温度变化等）作用下，物体发生变形而
产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。所以，在建立物体的 平衡方程时，可以用物体变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不 致引起显著的误差。在研究物体的应变及位移时，可以略去转角和应 变的二次幂或其乘积，因此，在微小形变的情况下弹性力学中微分方 程是线性的。 5．无初应力假定
3.2 弹性力学的几个基本概念
3.2.1 外力和内力 1．外力 外力：作用于物体的外力，通常分为表面力（面力）和体积力。 （1）面力：指分布在物体表面上的外力，如压力容器所受的内 压，物体和物体相互之间的接触压力等。一般地，面力是位置坐标的 函数，即物体表面各点所受的面力是不同的。 （2）体积力：指分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量 成正比、且是各质点位置的函数，如重力，惯性力等。 2．内力 弹性体受到外力作用后，其内部将有内力存在，若假想用一经过 物体内P点的截面mn将物体分为两部分A和B，如图3.1所示，并移去 其中的一部分B。则当物体受到外力作用下处于平衡状态时，物体各 个部分都应保持平衡。则在截面mn上必定由某种力存在，这种力称 为内力。
有限元分析第3章弹性力学基础知识1
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系：
¶u ¶v ¶w ， y ， z ¶x ¶y ¶z ¶u ¶v ¶v ¶w ¶w ¶u + ， yz + ， zx + ¶y ¶x ¶z ¶y ¶x ¶z
弹性力学的基本假定
4、各向同性(Isotropy)
物体的弹性性质在所有各个方向都相同 好处：物体材料常数不随坐标方向改变而改变
像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异 性材料。
弹性力学的基本假定
5、小变形假定(Small deformation):
物体的位移和形变是微小的. 即物体的位移 远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都远小 于1
u+
¶u dy ¶y
C'
D" b D '
D C
A ' B ' AB x AB ¶u (u + dx) u ¶x dx ¶u ¶x
dy
u
v
A
A'
B'
a
v+
¶v dx ¶x
B dx
¶u u + dx ¶x
B"
x
0
¼ Í
1-5
弹性力学的基本方程之几何方程
（2）y方向的相对伸长量
y
¶u dy ¶y
切应力符号 的含义
受力面的法线方向
xy
力的方向
弹性力学的运动与变形
1、位移、形变、正应变、剪应变的概念
位移（displacement）: 是指位置的移动. 它在 x, y and z 轴上的 投影用 u, v 和w。
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（4）后处理
数据量十分巨大－－“科学计算的可 视化”必要
可视化：
2D/3D显示 动态显示解随时间变化的情况 浓淡过渡的彩色色谱
打印功能
图，表 的 输出，报告书生成
（5）模型选择：
杆系结构模型－－杆与梁单元组成 板架结构模型－－板壳单元组成 板杆结构模型－－板壳与梁单元组成（机床结 构） 需考虑的问题： a. 结构特点－－塔吊
第三章
ห้องสมุดไป่ตู้
常用有限元单元及建立计算模型
1. 常用单元：
杆系单元：桁架元、梁元 平面单元: 三角元、矩形元、任意四边形单元； 三维立体单元； 板壳类单元：板弯曲单元、
薄壳单元 （平面应力＋板弯曲）。
机床结构常用单元：
壁板－－板壳单元 导轨、加筋－－梁单元 轴类计算－－梁单元 基础实体－－三维单元 机床大件（床身、立杆、横梁）－－板壳＋空间
B
e
x
应力与单元刚度矩阵
＝DBe
Ke ＝BT DBhdxdy
特点：
[B]阵不是常数阵，单元的应力、应变 是x、y的线 性函数，解题时比三角形3节 点元更精确，数据准备也比较方便。
缺点：
只能用于矩形边界，不如三角形灵活， 通常两类单元同时用。
3. 板壳类单元
（1）弯曲板单元. 板分类 厚板（特厚、中厚） 薄板 （小挠度板 、大挠度板) 依据小挠度板和弹性理论建立有限元格式 受力类型：仅受垂直于中面的载荷(横向载荷) 节点位移：
梁
单元组合运用：处理好连接界面
2. 高精度平面单元
矩形4节点单元 三角形6节点单元
矩形四节点单元
单元节点位移列阵 e
4节点8自由度 e u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4
u x＋y＋ xy v x＋ y＋xy
u v
N
e
x
＝
y
y
u v
元。 前后处理－－是否使用方便，宜于操作。
对环境的要求 对计算机配置的要求，如内存、显卡等。
（3）前处理（建模要求）
形成有限元计算的数据文件
必要的信息：
节点：坐标，序号。 单元：类型，组成节点号，截面/厚度
特征。 材料： 边界条件或约束信息 载荷信息
原则：
a. 使用计算模型尽量简化，又必须抓住主要
(2) 壳单元
板弯曲对应弯矩，扭矩
与一般薄板单元不同处：壳体变形时中面挠曲， 还有中面的伸缩。
板壳单元的种类很多：
平板单元 拼成折板结构，代替实际的壳结 构；
曲壳块单元 采用简化的壳理论
平板形式的壳单元：平面（膜）单元＋板弯曲 单元
u 节点位移：平面应力－－ v
w 板弯曲－－ x y
增设自由度－－ z （排列方便）
矛盾，不影响计算精度。 b. 合理的单元类型。 c. 所关心区域加密网络。 d. 节点编排，尽量减少相关单元的节点号差。
有限元网络自动生成：
类似交互式CAD图形系统生成有限元分析数 据文件。 有基本图形库，运用粘贴、平移、 旋转、变比例等辅助功能形成复杂的组合结 构，通过自动单元划分程序，产生有限元计 算要求的数学模型。
i
wxii
yi
对于矩形板单元，4个节点12个自由度 位移函数只有一个方程
w 1 2 x 3 y 4 x2 5xy 6 y2 7 x3 8x2 y 9 xy2 10 y3 11x3 y 12xy
x
w y
w为中面挠度
y
w x
单元刚度矩阵 K e BT DBhdxdy
s
板弯曲单元的种类很多。
塔吊的塔身基础 固定端
固定铰 取决于基础刚度
同一支座在不同的计算平面的形式不同
塔吊臂架起升平面－－根部为铰 塔吊臂架回转平面－－根部为固定端
分析对象不同可能取为不同支承
——载荷组合要根据规范标准
有限元计算要有多种工况计算。
各类载荷在有限元计算中都是按节点载荷
施加的！！
单元刚度阵形式（四节点） 自由度数24个
4. 有限元在机械结构中的应用有关问题
（1）特点与功能
结构：指有许多单元（部件）所组成的整体， 或起承载作用，或承受、传送外部载荷， 保证整个机械的正常工作。
对象：汽车和起重机的吊臂（薄壁/桁架）， 转台底架（板架结构）， 轿车底架（承载板架结构），车 身（板壳） 机床－－板壳、梁。
实现 最优方案设计，分析损坏原因，寻找改进措施。
（2）常用软件
Ansys Nastran ADINA ASKA SAP5，SAP84 DDJ，JIFEX
通用性：单元齐全，功能模块众多（动、静） 应用范围广（连续体，流体，热传 导，电磁） 较强的前后处理
选用时重点考虑：
功能－－动力/静力、线性/非线性。 单元库－－ 辅助单元如缆索元、间隙元、边界
汽车吊吊臂 机床床身 b. 根据精度要求 方案设计可取简单模型， 验算校核可取与实际更为接近 的模型 c. 考虑所用程序功能及硬件。
（6）支承与载荷
必须根据工程实际加上约束，才能使有限元 计算顺利进行。
支座 刚性支座 ：活动铰，固定铰，固接。
弹性支座 ：弹性线支座，弹性铰支座
（弹簧单元）
支座判断：
有限元法的优点是可以求解结构形状和边界条件
都相当任意的力学问题。
应用有限元进行结构分析，包括：
1. 结构的物理力学模型抽象为有限元计算的数学模型。 2. 计算程序的选择或修改。 3. 在计算机上的实施。 4. 前后处理有关数据。 5. 最后获取的数据一般是应力分布，变形分布，内力分
布，结构的固有特性（频率、振型），动态响应。