课题：课本(七上)将军饮马及其拓展————最短路径问题导学案

课题：课本（七上）将军饮马及其拓展————最短路径问题导学案

夏格庄中心中学 陈翠庆

【学习目标】：能利用轴对称、勾股定理解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．数形结合的思想

【学习重点：】 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．利用勾股定理构造直角三角形，求最短距离

学案说明：1、要求：请先独立思考解题思路和方法，然后小组合作交流，派代表说出思路及解决办法，或提出疑问 2、带*号的题可作为课后题

【学习过程】

一、基础知识回顾

1、轴对称的性质：_________________________________.

2、线段的性质：两点之间，_________最短.三角形三边的关系

3、勾股定理：____________________________________.

4、常见的轴对称图形有哪些？

二、问题探究

活动一（作一次轴对称）

如图，A 、B 是分别在河异侧的两村庄，现要在河边修建一个水泵站向两村庄送水，水泵站建在何处才能使所用水管最短？

问题2（七年级上册课本第48页第5题古希腊有名的将军饮马问题）如图，直线l 是草原上的一条河。将军从草原的A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察。那么走什么样的路线行程最短呢？请在图中画出最短路线，并说明理由

小结：1、问题1中的点A 、B 是定点，点P 是在直线l 上的 点，当点P 运动到使线段AP 、BP 在 直线上时，PA+PB 最小

_ A _ B

2、利用轴对称把问题2中的A 、B 在直线l 同侧问题转化为 问题 变式1

如图所示,P 和Q 为⊿ABC 边AB 与AC 上两点在BC 上求作一点M.使∠PQM 得周长最小

变式2如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE ＝3，BE ＝1，P 是AC 上的动点，则⊿BEP 周长的最小值是________．

【问题3】

如图所示，两个村庄A 、B 在铁路CD 两侧，且CD= 40千米，AC

⊥CD 于C,BD ⊥CD 于B,AC=20千米，BD=10千米，则两个村庄的距离是 千米

小结：构造直角三角形，利用 ，求最短距离

变式1

如图，两个村庄A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水．

(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短(请你在图中设计出水厂的位置)；

(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

.P

. Q

C

B A

D A

B C

变式2

如图，圆柱形玻璃杯(无盖)高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．

变式4

如图，已知A、B两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发．

（1）汽车行驶到什么位置时离A村最近？写出此点的坐标．

（2）汽车行驶到什么位置时离B村最近？写出此点的坐标．

（3）请在图中画出汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？求出最短的距离之和。你还能求出该点的坐标吗？

问题4火眼金睛辨得清

1、如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。

（1）若要使水厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使水厂到A、B村的水管最省料

，应建在什么地方？

*2、如图，A和B两个村庄在一条河的两岸(河两岸平行)，为了使A、B两村的交通更加便利，现要在河上建一座桥．要求这座桥要垂直于河岸，同时到两村的距离相等．应如何设计，请画图说明．

活动二（作两次轴对称）

问题5

(1)如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，连接PM，PN；

（2）若P1P2=5cm，则△PMN的周长为______．

（3）观察若点P是定点，（1）中的作法，使线段PM、PN、MN在一条直线上，此时△PMN的周长最______

变式1如图点P是∠AOB内一点，在边OA、OB分别求作一点C、D使△PCD的周长最小

变式2如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？

M

O

N

变式3如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，连接PM，PN；

（1）若P 1P 2=8cm ，则△PMN 的周长为_____．

（2）求证：△O P 1P 2 是等腰三角形．

（3）若∠AOB=45°, P 1P 2=8cm ，求∠AOB 的大小和OP 的长

（4

）小颖说，因为∠P 1O P 2=2∠AOB,且O P 1= OP 2=OP,若∠AOB 大小不变,则点P 离点O 越近△PMN 的周长越小。你认为她说的有道理吗？

【目标检测】边长为2的等边三角形ABC 中，点D 、E 是AB 、AC 的中点，

在BE 上找一点P ，使△ADP 的最小周长为________。

2、点A （0，1）和点B （4，3），在x 轴上有一点C,使△ABC 的周长最小。请你确定点C 的坐标是______。

*课外拓展

1如图，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2， 分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接PM ，PN ；

（1）若P 1P 2=8cm ，则△PMN 的周长为_____．

（2）求证：△O P 1P 2 是等腰三角形．

（3）若∠AOB=45°, P 1P 2=8cm ，求∠AOB 的大小和OP 的长

（4）小颖说，因为∠P 1O P 2=2∠AOB,且O P 1= OP 2=OP,若∠AOB 大小不变,则点P 离点O 越近△PMN 的周长越小。你认为她说的有道理吗？ 课外变式训练

*1、如图连接AB,若 △AOB 是锐角三角形，当点P 是边AB 上一动点，当P 运动到何处时，在边OA 、OB 上能分别求作一点C 、D 使△PCD 的周长最小

E D A B C B 4

2

-2

-4

-6

-8

5100B

A

x y