各种类型的微分方程及其相应解法

各种类型的微分方程及其相应解法

专业班级：交土 01班

姓名：高云 学号：1201110102

微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我

们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。

一、一阶微分方程的解法1可.分离变量的方程

dy

g ( y )dy?f (x )dx ,或 ?f (x )g (y ) dx

其特点是可以把变量 x 和 y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。

例 1.求微分方程 dx?xyd?y 2dx?ydy 的通解 .

解

2

先合并 dx 及 dy 的各项 ,得 y (x 1)dy ( y 1)dx

? 设

2

1

0, 1 0,

y dy? 1 dx

x?1

y ?1

两端积分

y

dy?

1 dx 得

1

ln | 2 1| ln |

1| ln | |

2

x?

1

y ?1 2

2

2

( x?1) 2

2

2

C ( x?1) 2 .

于是 y ?1 ??C

记 C??C , 则得到题设方程的通解y ?1

1

1

2.齐次方程

dy y

（1） f ( ) dx

x

dy

（2） ?f (ax?by?c )（a ，b 均不等于 0） dx

例 2 求解微分方程 dx

dy

.

2

2

? 2

x ?xy?y 2 y ?xy

y

2

y

?

dy

2

2? ?

解

原方程变形为

2y ?xy

?

x

x

,

2

2 ? ?

2

dx

x ?xy?y

y

y

1? ?? ?

x

x

y dy du

2

du 2u ?u ,

令 u? , 则 ?u?x ,

方程化为 u?x

?

2

x

dx

dx

dx 1 ?u?u

1 ? 1 1 ?

2 1 ? dx 分离变量

得 ? ? ? ?? ? ?du? ,

2 ?u?2

u? u?2

u?1?

x

两边积分得

ln(u?1) ?3

ln(u?2) ?

1

ln u?ln x?ln C, 2 2

各种类型的微分方程及其相应解法

专业班级：交土 01班

姓名：高云 学号：1201110102

微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我

们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。

一、一阶微分方程的解法1可.分离变量的方程

dy

g ( y )dy?f (x )dx ,或 ?f (x )g (y ) dx

其特点是可以把变量 x 和 y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。

例 1.求微分方程 dx?xyd?y 2dx?ydy 的通解 .

解

2

先合并 dx 及 dy 的各项 ,得 y (x 1)dy ( y 1)dx

? 设

2

1

0, 1 0,

y dy? 1 dx

x?1

y ?1

两端积分

y

dy?

1 dx 得

1

ln | 2 1| ln |

1| ln | |

2

x?

1

y ?1 2

2

2

( x?1) 2

2

2

C ( x?1) 2 .

于是 y ?1 ??C

记 C??C , 则得到题设方程的通解y ?1

1

1

2.齐次方程

dy y

（1） f ( ) dx

x

dy

（2） ?f (ax?by?c )（a ，b 均不等于 0） dx

例 2 求解微分方程 dx

dy

.

2

2

? 2

x ?xy?y 2 y ?xy

y

2

y

?

dy

2

2? ?

解

原方程变形为

2y ?xy

?

x

x

,

2

2 ? ?

2

dx

x ?xy?y

y

y

1? ?? ?

x

x

y dy du

2

du 2u ?u ,

令 u? , 则 ?u?x ,

方程化为 u?x

?

2

x

dx

dx

dx 1 ?u?u

1 ? 1 1 ?

2 1 ? dx 分离变量

得 ? ? ? ?? ? ?du? ,

2 ?u?2

u? u?2

u?1?

x

两边积分得