资料曲面及其方程
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数 曲面及其方程
开学
启 科 学 大 门 的 钥 匙
重点 :
重述： 几何图形
解析方程
很 多 需要记忆的内容 :
即：各种曲面的特征
一、曲面方程的概念
(2) 满足方程F( x, y, z) 0 的点M ( x, y, z) S
若 (1)点M ( x, y, z) S 满足方程 F(x, y, z) 0
(2) 点M ( x, y, z) S 不满足方程F( x, y, z) 0
则称F( x, y, z) 0是面S的方程 面S是F( x, y, z) 0的图形
z
M (x, y,z)
S
y x
例1 建立 球心在点M0( x0 , y0 , z0 ) 半径为R 的球面方程
解 设 M( x, y, z)是球面上点
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
| MA || MB |
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42
化简得
2x 6y 2z 7 0
例4 求与原点及点M0(2,3,4)的距离之比 为1 : 2 的点组成的曲面方程
解 设 M( x, y, z)是面上点
即
x2 y2 z2
1
x 22 y 32 z 42 2
f ( x2 z2, y)Βιβλιοθήκη Baidu0 xy面内曲线 f ( x, y) 0绕x轴的旋转曲面方程
f ((x, y2 z2 ) 0
例4 圆锥面 : z ky绕z轴旋转
z k( x2 y2 )
即
z2 k2(x2 y2)
称为 半顶角 特殊：
4
方程为 z2 x2 y2
x
z x2 y2 上半圆锥面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
z z1
d x2 y2 | y1 |
代入 f ( y1, z1) 0
x
f ( y1, z1 ) 0
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
yz面上曲线 f ( y, z) 0 绕z轴旋转生成的
旋转曲面方程
f x2 y2 , z 0
规律： xy面内曲线 f ( x, y) 0绕y轴的旋转曲面方程
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
yz面上曲线 f ( y, z) 0 绕z轴旋转生成的
旋转曲面方程
f x2 y2 , z 0
设曲线上一点M1 (0, y1, z1) M1转到一点M( x, y, z)
z2
1
旋 转
双
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
y2 z2
(2)
椭圆
a
2
c2
1
绕y、z轴
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
(3)
抛物线 y2 2 pz
绕z轴
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面
| MO | 1 | MM0 | 2
化简得
x 2 2 y 12 z 4 2 116
3
3 9
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
一、旋转曲面
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
解 ( x 1)2 ( y 3)2 z2 1 9 10 是球面： 球心在点 (1,3,0) 半径为 1100
注意：球面方程的特征：二次方程
且
x 2、y 2、z 2的系数绝对相同
例3 已知 A(1,2,3)、B(2,1,4), 求线段 AB的
垂直平分面方程
解 设 M( x, y, z)是面上点
z
z ky
o
y
例5 x2 y2 z2 是旋转曲面 可以理解为 x y 绕x轴旋转而成
例6 z x2 y2 是旋转曲面 可以理解为 z y2 绕z轴旋转而成
旋转抛物面
例7 写出旋转面方程
(1)
x2 z2 a2 c2 1
绕x、z轴
绕 x 轴旋转 绕z 轴旋转
x2 a2
y2 c2
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
即 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
球心 M0( x0 , y0 , z0 )半径为R的 球面方程
特殊： x2 y2 z2 R2
球心在原点
例2 方程 x2 y2 z2 2x 6 y 0 的几何图形是何形状？
开学
启 科 学 大 门 的 钥 匙
重点 :
重述： 几何图形
解析方程
很 多 需要记忆的内容 :
即：各种曲面的特征
一、曲面方程的概念
(2) 满足方程F( x, y, z) 0 的点M ( x, y, z) S
若 (1)点M ( x, y, z) S 满足方程 F(x, y, z) 0
(2) 点M ( x, y, z) S 不满足方程F( x, y, z) 0
则称F( x, y, z) 0是面S的方程 面S是F( x, y, z) 0的图形
z
M (x, y,z)
S
y x
例1 建立 球心在点M0( x0 , y0 , z0 ) 半径为R 的球面方程
解 设 M( x, y, z)是球面上点
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
| MA || MB |
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42
化简得
2x 6y 2z 7 0
例4 求与原点及点M0(2,3,4)的距离之比 为1 : 2 的点组成的曲面方程
解 设 M( x, y, z)是面上点
即
x2 y2 z2
1
x 22 y 32 z 42 2
f ( x2 z2, y)Βιβλιοθήκη Baidu0 xy面内曲线 f ( x, y) 0绕x轴的旋转曲面方程
f ((x, y2 z2 ) 0
例4 圆锥面 : z ky绕z轴旋转
z k( x2 y2 )
即
z2 k2(x2 y2)
称为 半顶角 特殊：
4
方程为 z2 x2 y2
x
z x2 y2 上半圆锥面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
z z1
d x2 y2 | y1 |
代入 f ( y1, z1) 0
x
f ( y1, z1 ) 0
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
yz面上曲线 f ( y, z) 0 绕z轴旋转生成的
旋转曲面方程
f x2 y2 , z 0
规律： xy面内曲线 f ( x, y) 0绕y轴的旋转曲面方程
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
yz面上曲线 f ( y, z) 0 绕z轴旋转生成的
旋转曲面方程
f x2 y2 , z 0
设曲线上一点M1 (0, y1, z1) M1转到一点M( x, y, z)
z2
1
旋 转
双
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
y2 z2
(2)
椭圆
a
2
c2
1
绕y、z轴
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
(3)
抛物线 y2 2 pz
绕z轴
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面
| MO | 1 | MM0 | 2
化简得
x 2 2 y 12 z 4 2 116
3
3 9
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
二、旋转曲面
以一条平面曲线 绕 其 平面内一条直线 旋转一周,形成的曲面 称为旋转曲面
一、旋转曲面
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
C : 柱面的准线 L
L : 柱面的母线 C
三、柱面
解 ( x 1)2 ( y 3)2 z2 1 9 10 是球面： 球心在点 (1,3,0) 半径为 1100
注意：球面方程的特征：二次方程
且
x 2、y 2、z 2的系数绝对相同
例3 已知 A(1,2,3)、B(2,1,4), 求线段 AB的
垂直平分面方程
解 设 M( x, y, z)是面上点
z
z ky
o
y
例5 x2 y2 z2 是旋转曲面 可以理解为 x y 绕x轴旋转而成
例6 z x2 y2 是旋转曲面 可以理解为 z y2 绕z轴旋转而成
旋转抛物面
例7 写出旋转面方程
(1)
x2 z2 a2 c2 1
绕x、z轴
绕 x 轴旋转 绕z 轴旋转
x2 a2
y2 c2
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
即 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
球心 M0( x0 , y0 , z0 )半径为R的 球面方程
特殊： x2 y2 z2 R2
球心在原点
例2 方程 x2 y2 z2 2x 6 y 0 的几何图形是何形状？