最优控制的计算方法
最优控制汉密尔顿函数
因此，有
J tf H x tf,u tf,
tf,tf
Φ x tf,tf tf
N Tx tf,tf tf
*
解 正则方程及控制方程与例1完全相同，只是
边界条件改成 t 0时 x 10 1 ,x20 1 ，t 2 时
x 12 0 ,22 0 ，代入例1的通解中可确定积分
常数：
C 18 9,C21 8,8 C 31,C41
于是得
u* t 6t 12
x1* t
3 t3 16
9 8
t2
t
1
x2* t
ddH t H t H uTu H xTf (5-33)
如果u为最优控制，必满足
H 0 u
及
H 0
x
因此，有 d H H dt t
(5-34)
上式表明，哈密顿函数H沿最优轨线对时间的
全导数等于它对时间的偏导数。
当H不显含t时，恒有
dH 0 dt
即
Ht 常数
tt0,tf
(5-35)
一、拉格朗日问题
考虑系统
x tfx t,u t,t
(5-1)
式中 xtRn；utRr；
fxt,ut,t——n维连续可微的矢量函数。
设给定 tt0,tf ，初始状态为x(t0)=x0，
终端状态x(tf)自由。性能泛函为
J tf t0
Lxt,ut,tdt
(5-2)
寻求最优控制u(t)，将系统从初始状态x(t0)=x0 转移到终端状态x(tf)，并使性能泛函J取极值。
9 t2 16
最优控制问题的动态规划法
最优控制问题的动态规划法动态规划法是一种常用的最优控制问题求解方法。
它通过将问题分解为子问题，并保存子问题的最优解，最终得到整体问题的最优解。
本文将介绍最优控制问题的动态规划法及其应用。
一、概述最优控制问题是指在给定控制目标和约束条件下，通过选择一组最优控制策略来实现最优控制目标。
动态规划法通过将问题分解为若干个阶段，并定义状态和决策变量，来描述问题的动态过程。
并且，动态规划法在求解过程中通过存储子问题的最优解，避免了重复计算，提高了计算效率。
二、最优控制问题的数学模型最优控制问题通常可以表示为一个关于状态和控制的动态系统。
假设系统的状态为$x(t)$，控制输入为$u(t)$，动态系统可以表示为：$$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t))$$其中，$\dot{x}(t)$表示状态$x(t)$的变化率，$f$为状态方程。
此外，系统还有一个终止时间$T$，以及初始状态$x(0)$。
最优控制问题的目标是找到一个控制策略$u(t)$，使得系统在给定时间$T$内，从初始状态$x(0)$演化到最终状态$x(T)$，同时使得性能指标$J(x,u)$最小化。
性能指标通常表示为一个积分的形式：$$J(x,u) = \int_0^T L(x(t), u(t)) dt + \Phi(x(T))$$其中，$L$表示运动代价函数，$\Phi$表示终端代价函数。
三、最优控制问题的动态规划求解最优控制问题的动态规划求解包括两个主要步骤：状态方程的离散化和动态规划递推。
1. 状态方程的离散化将状态方程离散化可以得到状态转移方程。
一般来说，可以使用数值方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法）对状态方程进行离散化。
通过选择适当的时间步长，可以平衡计算精度和计算效率。
2. 动态规划递推动态规划递推是最优控制问题的关键步骤。
假设状态函数$V(t,x)$表示从时刻$t$起，状态为$x$时的最优性能指标。
动态规划递推过程通常可以描述为以下几个步骤：（1）递推起点：确定最终时刻$T$时的值函数$V(T,x)$，通常可以根据终端代价函数$\Phi$直接得到。
最优控制第五章习题答案
1. ·2.已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。
解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。
由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3. ）4.能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。
最优控制问题的数值方法
最优控制问题的数值方法最优控制问题是应用数学中的一类重要问题，涉及到优化某些目标函数的控制策略。
这类问题在很多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学、环境科学等。
为了求解最优控制问题，研究者们开发了多种数值方法，以提供高效准确的策略。
一、动态规划法动态规划法是求解最优控制问题中最常用的方法之一。
其基本思想是将问题划分为若干个阶段，在每个阶段选择最优的控制策略，以达到整体的最优目标。
动态规划法的核心是计算值函数或状态函数，通过递归的方式实现最优解的求解。
在动态规划法中，首先需要建立状态转移方程，描述状态之间的变化关系。
然后通过迭代求解，逐步更新值函数，直到收敛为止。
具体的计算方法可以根据不同的最优控制问题进行调整，以提高计算效率。
二、最优控制问题的间接方法除了动态规划法，最优控制问题还可以通过间接方法求解。
间接方法主要基于变分原理，通过构建哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程来求解问题。
该方法将最优控制问题转化为一个偏微分方程，通过求解该方程得到最优解。
在应用最优控制问题的间接方法时，需要确定合适的控制参数，并在求解偏微分方程时进行迭代计算。
这种方法的优势在于能够处理一些非线性和约束等较为复杂的情况，但同时也带来了计算复杂度较高的问题。
三、最优控制问题的直接方法最优控制问题的直接方法是另一种常用的数值求解方法。
它直接构造控制策略的参数化形式，并通过参数调整来实现目标函数的最小化。
该方法需要事先构造一个合适的优化模型，并选择合适的优化算法进行求解。
在直接方法中，常用的优化算法有梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等。
通过迭代计算，优化参数逐步调整，直到达到最优解。
直接方法不需要建立状态函数或值函数，因此可以简化运算，但需要根据具体问题进行参数化建模和算法选择。
总结：在求解最优控制问题时，可以根据问题的特点选择适合的数值方法。
动态规划法适用于离散的最优控制问题，通过递归计算值函数实现最优策略的求解。
间接方法利用变分原理将问题转化为偏微分方程，并通过迭代计算获得最优解。
mpc 控制 公式
mpc 控制公式
MPC（模型预测控制器）是一种先进的控制算法，它基于模型预测控制理论，通过预测模型来预测未来的控制效果，并利用优化算法来计算最优的控制输入，以达到对系统的最优控制。
对于具体的 MPC 控制公式，它通常包括预测模型、优化算法和控制律三个部分。
1. 预测模型：用于预测系统未来的状态和输出，基于系统的动态模型和当前状态信息进行预测。
2. 优化算法：用于计算最优的控制输入，通过定义一个性能指标函数来评价未来的控制效果，并利用优化算法来求解最优的控制输入。
3. 控制律：根据最优的控制输入计算出实际的控制输出，确保系统的状态跟踪期望的状态轨迹。
具体的 MPC 控制公式因不同的应用场景和控制要求而有所不同，需要根据具体的问题进行设计和实现。
如果您需要更详细的公式或应用示例，建议参考相关的学术文献或工程实践经验。
最优控制的计算方法
可得
3、将 代入协态方程，且由边界条件 从t=1倒向积分可得 这里选步长因子 。如此继续下去，直至指标函数随迭代变化很小为止。 由 ，得
图b 最优状态的求解
图a 用梯度法寻找最优控制 右图表示了控制和状态的初始值和第一次迭代值，可以看到第一次迭代 就几乎收敛到最优值， 与最优值还有差异，而且一般说来愈接近最优值收敛愈慢。
K=1时时，控制量为
所以，这个例子只要两步迭代即可得到最优解。一般说来，共轭梯度法比梯度法收敛快，但接近最优解后收敛性仍是较慢的。一个补救办法是重新启动，即找出几个共轭梯度方向 后，令 ，再重新迭代，寻找共轭梯度方向。
可以证明 ，即为最优控制。这只要证明
2、共轭梯度法
*
用共轭梯度法寻找最优控制时是沿着所谓共轭梯度向量的方向进行的。为了说明共轭梯度的意义，我们先从求函数极值问题的共轭梯度法开始，再推广到求泛函极值问题。
(1) 求函数极值的共轭梯度法
其中，
C为常数， Q为正定阵。
要求寻找X使F(X)取极值。
设F(X)是定义在Rn空间中的二次指标函数
直接法的特点是，在每一步迭代中，U(t)不一定要满足H 取极小的必要条件，而是逐步改善它，在迭代终了使它满足这个必要条件，而且，积分状态方程是从t0到tf ，积分协态方程是从tf到t0，这样就避免了去寻找缺少的协态初值(t0)的困难。常用的直接法有梯度法，二阶梯度法，共轭梯度法。
间接法的特点是，在每一步迭代中都要满足H取极小的必要条件，而且要同时积分状态方程和协态方程，两种方程的积分都从从t0到tf或从tf到t0 。常用的间接法有边界迭代法和拟线性化法。
最优控制理论及应用讲解
第4章 动态规划
求解动态最优化问题的两种基本方法：极小值原理和动态规划。
动态规划：是一种分级最优化方法，其连续形式与极小值原理相 辅相成，深化了最优控制的研究。
Optimal Control Theory & its Application
主要内容
1
多级决策过程和最优性原理
2
离散控制系统的动态规划
3
连续控制系统的动态规划
4 动态规划与变分法、极小值原理的关系
5
本章小结
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.7
Optimal Control Theory & its Application
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
特点：1）将一个多阶段决策问题化为多个单阶段决策问题，易于分析 2）每阶段评估只与前一阶段结果有关，计算量减小
Optimal Control Theory
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Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.5
Optimal Control Theory & its Application
最优控制介绍课件
状态方程可以表 示为微分方程或 差分方程的形式
03
02
04
状态方程通常包 括系统的状态变 量、输入变量和 输出变量
状态方程在最优 控制问题中用于 描述系统的动态 特性，为控制器 的设计提供依据
控制方程
状态方程： 描述系统 状态的变 化规律
控制方程： 描述控制 输入与系 统状态的 关系
性能指标 方程：描 述系统的 性能指标
02
状态转移方程： 描述状态之间的
递推关系
03
边界条件：定义 初始状态和终止
状态
04
求解过程：从初 始状态开始，逐 步求解子问题， 直至得到最优解
最优控制理论
01
最优控制理论是研究如何找到最优控制策
略，使得系统在特定条件下达到最优性能。
02
最优控制理论包括动态规划、极大值原
理、变分法等方法。
03
最优控制理论广泛应用于工程、经济、
04
间接法：通过求解最优控制问 题的辅助问题来获得最优控制 策略
06
数值解法优缺点：优点是计算 简单、易于实现；缺点是计算 精度较低、收敛速度较慢
机器人控制
1
机器人运动控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确运动控制
2
机器人路径规 划：通过最优 控制算法，规 划机器人的最 优路径
3
机器人抓取控 制：通过最优 控制算法，实 现机器人的精 确抓取控制
交通控制
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
交通信号灯控制： 根据实时交通状况， 自动调整信号灯时 间，提高道路通行 效率
公共交通调度：根 据客流量、车辆位 置等信息，优化公 交线路和发车频率， 降低乘客等待时间
电力系统的稳态计算与最优控制分析
电力系统的稳态计算与最优控制分析电力系统是现代社会最基础且至关重要的能源供应系统之一。
为了确保电力系统的安全稳定运行，稳态计算和最优控制分析是必不可少的工具。
本文将探讨电力系统稳态计算和最优控制分析的原理、方法和应用。
一、稳态计算稳态计算是电力系统运行管理中的重要环节，其目的是分析和评估电力系统在特定工作条件下的电压、功率、频率等稳定性指标。
稳态计算通常包括潮流计算、短路计算和电压稳定限制计算。
1. 潮流计算潮流计算是电力系统中最基本也是最常用的稳态计算方法。
其通过求解节点电压相量和相角，得到各节点的电流、功率等参数。
潮流计算的结果可以用于评估系统电压、功率损耗和设备负荷等情况，有助于系统运行和调度决策的制定。
2. 短路计算短路计算是评估电力系统短路电流大小和分布的方法。
短路计算结果可以用于确定保护装置的额定电流和选择断路器的额定容量，以确保电力系统在短路故障发生时的安全性和可靠性。
3. 电压稳定限制计算电压稳定限制计算是为了保证电力系统各节点电压在安全范围内运行的计算方法。
电压稳定限制计算通常包括潮流计算和静态电压稳定极限计算。
通过确定电力系统的电压稳定极限，可以预防电压过高或过低导致的设备损坏或系统故障。
二、最优控制分析最优控制分析在电力系统中广泛应用于优化发电机组操作、电网调度和电力市场分析等方面。
最优控制的目标是通过合理调控各个发电机组、输电线路和负荷，最大化电力系统的经济效益和安全性。
1. 发电机组优化发电机组优化是最优控制分析中的重要内容。
通过考虑电力系统的负荷需求和发电成本等因素，确定各个发电机组的出力和运行方式，以实现经济性和可靠性的平衡。
发电机组优化可以降低系统的燃料消耗成本，减少排放量，提高供电的可靠性和质量。
2. 电网调度电网调度是实现电力系统平衡和稳定运行的关键环节。
通过最优控制分析，可以确定合理的输电线路潮流分配、负荷调节和电能交换方式，以满足用户需求和电力系统可靠性的要求。
最优控制第五章习题答案
1. 已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。
解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较，可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵，设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等，得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。
由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2. 能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统，其输出为1()x t ，其输入为()u t ，其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。
采用最优控制方法计算我国森林涵养水源的价格
ｇｏｓｄｍｅｔ ｒｄ ｃ （ Ｄ ）ｉ ７ｍａ ｒ ｉ ｒ ａｉｓｎＣ ｉ ｏ ９ ９ｔ ２ ０ ．Ｔ ｅｃｌ ｌｔ ｓｌ ｒｓ ｏ ｓ ｃｐｏ ｕ ｔ Ｇ Ｐ ｎ ｊ ｖ ｓ ｈｎ ｆ ｍ １ ９ ０ ８ ｈ ａｃ ａｅ ｒ ｕｔ ｉ ｏ ｒｅ ｂ ｎ ｉ ａｒ ｏ ｕ ｄｅ ｓ
张 颖
（ 京 林 业 大 学 经 济 管 理 学 院 ，０ ０ ３ 北 京 ） 北 １０ ８ ，
摘要
为 了更 好 地 对 我 国森 林 涵 养 水 源 的 价 值 进 行 研 究 和 管 理 ， 进 森 林 生 态 补 偿 的 发 展 ， 相 关 研 究 的基 础 上 ， 促 在
根 据 经 济 控 制 理 论 的知 识 ， 用 最 优 控 制 方 法 ， 过 收集 我 国 ７大 流 域 森 林 面 积 、 雨 量 、 发量 、 流 量 和 Ｇ Ｐ等 采 通 降 蒸 径 Ｄ 数 据 ， 立 ７大 流 域 森 林 涵 养 水 源 的 价 格 核 算 模 型 。 结 果 表 明 ： 国 最 优 森 林 涵 养 水 源 的 价 格 为 １０ ３元 ／ 所 建 我 ．４ ｍ； 建 森 林 涵 养 水 源 的 核 算 模 型 具 有 统计 学 意 义 ， 具 有 经 济 学 含 义 。研 究 结 果 对 森 林 生 态 效 益 补 偿 和 水 资 源 管 理 具 也
２ １ 年 ６月 ０１
９（ ３）：— ２ ６ １
中 国 水 土 保 持 科 学
Ｓ ｉｎｃ ｆＳｏｌａ ｄ Ｗ ａｅ ｎｓ ｒ ａｊｎ ｃｅ ｅ ｏ ｉ ｎ ｔ ｒＣｏ ｅ ｖ 【ｏ
Ｖｏ ． Ｎｏ ３ １９ ．
Ｊ ｎ． ｕ ２０ｌ １
采 用 最 优 控 制 方 法计 算 我 国森 林 涵 养 水 源 的价 格
最优控制问题的直接方法比较
最优控制问题的直接方法比较最优控制是数学控制理论的核心内容之一，目的是寻找能使系统性能达到最佳的控制策略。
在最优控制理论中，有两种常用的解决方法，分别是直接方法和间接方法。
本文将对这两种方法进行比较分析。
一、直接方法直接方法也称为函数极值问题的法，它将最优控制问题转化为求解函数极值的问题。
这一方法的核心是构建一个综合性能函数，通过对这个函数进行优化求极值，得到最佳控制策略。
直接方法的基本步骤如下：1. 状态方程和控制方程建模：根据最优控制问题的具体要求，建立系统的状态方程和控制方程，并确定相应的边界条件和约束条件。
2. 构造综合性能函数：根据系统的特点和控制目标，构造一个综合性能函数，该函数将系统的状态量和控制量作为输入，用来评价系统的性能质量。
3. 优化求极值：对构造的综合性能函数进行优化，求解使函数取得最值的状态量和控制量，得到最佳控制策略。
直接方法的优点是能够直接求解系统的最优控制策略，得到的结果更加准确。
同时，直接方法能够处理一些非线性的系统和控制问题，具有较好的适用性。
二、间接方法间接方法也称为极大值原理的法，其基本思想是通过极大值原理和动态变分法将最优控制问题转化为一个两点边值问题来求解。
间接方法的主要步骤如下：1. 构造哈密尔顿函数：根据系统的状态方程、约束条件和目标函数，构造哈密尔顿函数。
2. 构造极大值原理方程：通过变分法，得到系统状态和控制的极大值原理方程，该方程与哈密尔顿函数相关。
3. 解两点边值问题：根据极大值原理方程，将最优控制问题转化为求解一个两点边值问题，通过数值方法或解析方法求解得到最优控制策略。
间接方法的优点是理论基础较为严密，适用于线性系统和受控制条件较为严格的问题。
同时，间接方法能够提供最优控制问题的解析解，便于数值计算和理论分析。
三、比较与结论直接方法和间接方法都是解决最优控制问题的有效手段，但在具体应用中存在一定的差异。
直接方法适用于非线性系统和控制问题，求解结果较为准确，但对于复杂问题计算复杂度较高。
现代控制工程最优控制课件
03
优化目标
最小化损失函数，即达到最优控制效果。
线性调节器问题的解法
01
极点配置法
通过选择控制器的极点位置， 使得系统的传递函数在频率域
上具有理想的性能指标。
02
最优反馈增益
通过求解 Riccati 方程，得到 最优反馈增益，使得系统的性
能达到最优。
03
LQR 设计步骤
确定系统的状态空间模型、选 择适当的参考信号、设计控制
定义
非线性最优控制问题可以定 义为在给定初始状态和初始 时刻，寻找一个控制输入， 使得系统在结束时刻的状态
和性能指标达到最优。
特点
非线性最优控制问题具有复 杂性，其解决方案通常需要
借助数学工具和算法。
应用
非线性最优控制问题在许多 领域都有广泛的应用，如航 空航天、机器人、车辆控制 等。
利用梯度下降法求解非线性最优控制问题
移方程。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
3. 定义性能指标函数
根据问题的要求，定义性能 指标函数。
4. 求解最优子问题
利用动态规划法，依次求解 每个子问题，得到每个时刻 的最优控制输入。
5. 得到最优解
通过逆向递推，得到初始时 刻的最优控制输入和最优状 态。
04
动态规划基础上的最优控 制
多阶段决策过程的动态规划
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
• 基本思想：动态规划法是一种通过将原问题分解为一 系列子问题，并逐个求解子问题，最终得到原问题最 优解的方法。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
01
步骤
02
1. 初始化：选择一个初始状 态和初始时刻。
03
2. 定义状态转移方程：根据 系统动态方程，定义状态转
最优控制与状态估计7
（8）
沿最优轨线 x (t )取极小值。 （性能指标如（8）式所示的最优控制问题，是变分法中的波尔扎 问题）
华东理工大学
1 (t ) (t ) 引入拉格朗日乘子 λ(t ) 2 ( t ) n
tf
ECUST
（9）
由（6）式可知 f ( x,u, t ) x 为零
华东理工大学
ECUST
泛函的变分等于
J x(t ) x 0
3、泛函变分的规则 1） 2） 3） 4）
δ( L1 L2 ) δ L1 δ L2
δ( L1L2 ) L1 δ L2 L2 δ L1
δ
b a
, t]d t L[ x, x
b a
J [ x (t f )] [ x (t f )]
tf t0 tf t0
]d t [ H ( x , u, λ, t ) λT (t ) x H ( x , u, λ, t ) d t
tf t0
dt λT (t ) x
（11）
华东理工大学
ECUST
定义：设 J [ x ]是线性赋泛空间 R 上的连续泛函，其增量可表示为
Δ J [ x] J [ x δ x] J [ x] L[ x, δ x] r[ x, δ x] L[ x, δ x ]是关于 δ x 的线性连续泛函， r[ x, δ x ] 是关于δ x 的高阶 其中，
无穷小。则 δ J L[ x, δ x ] 称为泛函 J [ x ] 的变分。
0 1 0 1 x1 0 x K m I D 1 TF x J 2 0 0 x2 J D D
黎卡提方程 最优控制
黎卡提方程最优控制黎卡提方程（Riccati equation）是控制理论中的一种重要方程，被广泛应用于最优控制问题的求解。
本文将介绍黎卡提方程的基本原理、应用领域以及求解方法。
黎卡提方程最早由意大利数学家黎卡提（Jacopo Francesco Riccati）于1724年提出，用于描述一类特殊的二阶线性微分方程。
随后，黎卡提方程被应用于最优控制理论中，成为求解最优控制问题的强有力工具。
黎卡提方程的一般形式为：\[P'(t) + P(t)A + AP(t) - P(t)B R^{-1} B^T P(t) + Q = 0\]其中，\(P(t)\)是一个对称正定矩阵，\(A\)、\(B\)和\(Q\)分别是系统的状态矩阵、输入矩阵和成本函数的权重矩阵，\(R\)是输入的协方差矩阵。
黎卡提方程的求解就是要找到满足上述方程的\(P(t)\)矩阵。
黎卡提方程在最优控制中的应用非常广泛。
最优控制问题旨在找到一个控制策略，使得系统在给定约束条件下的性能指标达到最优。
这些问题在工程、经济学、物理学等领域中都有重要的应用。
黎卡提方程可以用于求解线性二次型最优控制问题，即系统动力学是线性的、成本函数是二次型的情况。
求解黎卡提方程的方法有很多种，其中一种经典的方法是使用代数-几何方法。
该方法将黎卡提方程转化为一组线性的代数方程和几何约束条件，通过求解这些方程和约束条件得到最优解。
另一种常用的方法是使用数值计算方法，如迭代法、差分法等。
这些方法通过数值逼近的方式求解黎卡提方程，能够处理更一般的情况，但计算量较大。
除了上述方法，黎卡提方程还可以与其他控制理论方法相结合，如LQR（线性二次型调节）控制、线性二次型估计等。
这些方法可以有效地处理非线性系统、部分可观测系统等特殊情况，提高最优控制的效果。
黎卡提方程是最优控制理论中的重要工具，广泛应用于工程、经济学、物理学等领域。
通过求解黎卡提方程，可以找到满足最优控制要求的控制策略，实现系统性能的最优化。
最优控制问题的时滞系统方法
最优控制问题的时滞系统方法时滞系统是一类具有延迟因素的动态系统，其在最优控制问题中的研究具有重要意义。
本文将介绍最优控制问题中时滞系统的基本概念、建模方法以及常用的求解方法。
一、时滞系统的基本概念时滞系统是指系统的输出值在时间上滞后于输入值的一类动态系统。
时滞的存在往往会对系统的性能和稳定性产生显著影响，因此在最优控制问题中需要对时滞进行合理的处理。
对于时滞系统，其状态方程可以表示为：x'(t) = f(t, x(t), x(t-τ), u(t))其中，x(t)为系统的状态变量，u(t)为系统的控制输入，τ表示时滞时间。
时滞系统的目标是设计出一种最优的控制策略，使得系统的性能指标达到最优。
二、时滞系统的建模方法在进行最优控制问题的研究时，需要首先对时滞系统进行合理的建模。
常用的建模方法有以下几种：1. 离散化方法：将连续时间上的时滞系统离散化为差分方程的形式。
这种方法适用于对系统进行数字化计算和仿真。
2. 插值方法：通过插值技术，将时滞项转化为历史状态变量和控制输入的函数。
这种方法可以减小时滞项对系统性能的影响。
3. 延迟微分方程方法：将时滞系统转化为一组延迟微分方程，通过求解微分方程来得到系统的性能指标。
这种方法可以准确地描述时滞系统的动态特性。
三、时滞系统的求解方法针对时滞系统的最优控制问题，常用的求解方法有以下几种：1. 动态规划方法：动态规划是一种基于状态和决策的最优化方法，可以用于求解时滞系统的最优控制问题。
通过建立状态-动作-奖励模型，可以得到最优的控制策略。
2. 最优化方法：将时滞系统的最优控制问题转化为一个最优化问题，通过求解最优化问题的数学模型，可以得到最优的控制策略。
常用的最优化方法包括线性规划、非线性规划、动态规划等。
3. 近似方法：由于时滞系统的求解往往存在较高的复杂度，可以通过近似方法来简化求解过程。
常用的近似方法包括最小二乘法、模型预测控制等，这些方法可以在保证系统性能的基础上有效减小计算量。
最优控制 第6章 最优控制的计算方法
δJ = φ[ X (t f ) + δX (t f ), t f ] − φ[ X (t f ), t f ] + ∫ {H [ X + δX , U + δU , X , t ]
t0
tf
− H [ X , U , λ , t ] − λ [ f ( X + δX , U + δU , t ) − f ( X , U , t )]}dt
δJ = J [U + δU ] − J [U ] = φ[ X (t f ) + δX (t f ), t f ] − φ[ X (t f ), t f ]
+ ∫ F [ X + δX , U + δU , t ] − F [ X , U , t ]dt
t0 tf
(6-7)
哈密顿函数为：
H [ X , λ , U , t ] = F [ X , U , t ] + λT f [ X , U , t ]
§6.1 直接法
一、梯度法
给定系统的状态方程：
& = f [ X (t ), U (t ), t ] X
初始条件：
(6-1) (6-2)
X (t 0 ) = t0
以及性能泛函： J [U (t )] = φ[ X (t f ), t f ] + 终端时刻 t f 给定， X (t f ) 自由。
∫
tf
t f ∂H ∂φ T t ] δX (t f ) − [λT (t )δX ]t0f + ∫ [ ] δUdt t0 ∂U ∂X (t f ) T
(6-11)
考虑边界条件 则(6-11)变为
最优控制问题的优化算法比较
最优控制问题的优化算法比较在最优控制问题中，我们寻求一种控制策略，使得在给定约束条件下，系统的性能指标达到最优状态。
为了实现这个目标，数学家和工程师们发展了各种各样的优化算法。
本文将对几种常见的最优控制问题优化算法进行比较，并分析它们的优劣之处。
一、动态规划方法动态规划是最优控制问题求解中常用的一种方法。
它通过将问题分解为一系列子问题，并存储子问题的最优解来求解整体的最优解。
动态规划方法具有计算效率高、求解精度高的优点。
但是，它对问题的状态空间和控制空间要求较高，且计算过程中的存储量也随着问题规模的增加而增加。
此外，动态规划方法也容易陷入维数灾难。
二、多项式混合动力系统方法多项式混合动力系统（PMHDS）方法采用多项式函数来逼近控制输入和状态变量之间的关系。
通过调整多项式函数的系数，可以实现控制目标的最优化。
PMHDS方法具有计算复杂度低、收敛速度快的特点。
但是，它对问题的动力模型要求严格，且需要确定多项式的阶数和形式，这增加了算法的复杂性。
三、遗传算法遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法。
它通过使用遗传操作，如选择、交叉和变异，来搜索最优解。
遗传算法适用于多变量、多约束的最优控制问题，并且能够避免陷入局部最优解。
然而，由于遗传算法的随机性质，其求解结果并不总是能够达到全局最优解。
此外，遗传算法的计算成本较高，对问题规模较大时，收敛速度较慢。
四、模糊控制方法模糊控制方法使用模糊集合和模糊规则来描述系统的控制策略。
它适用于那些难以建立准确的数学模型的系统。
相比于其他优化算法，模糊控制方法更容易理解和实现。
但是，模糊控制方法对问题的模糊规则的设计和调整非常敏感，且求解过程中的输出结果较为模糊，缺乏一定的精确性。
综上所述，最优控制问题的优化算法各有优劣，选择适合的算法需要根据实际问题的特点和要求。
动态规划方法在求解小规模、精度要求高的问题时具有优势。
PMHDS方法适用于具有简单模型和高收敛速度要求的问题。
最优控制的计算方法
（7-31）
因为 Q 正定，上式对每一个P j 成立，所以必须
有 C j 0 , j 0 , 1, 2 ,n 1 与假设矛盾，这说明
P 0 , P1 , P n1是线性独立的，它们构成了 R n 空间中的
一组基向量。
按照这个性质，函数 F ( X ) 的极小点 X X * 可用这组基来表示，即
用梯度法寻找最优控制使下面的指标最小
1 1 2 J ( x u 2 )dt 2 0
（7-7）
解
哈密顿函数为
1 2 H ( x u 2 ) x 2 u 2
（7-8）
协态方程为
H x 2x x
（7-9）
因x(1)自由，由横截条件得
(1) 0
0
H 0 1 2 u ( t ) u ( t ) ( ) [ 1 ( 1 10 t ) / 121] 5． 。 u 2 K 1 这里选步长因子 。如此继续下去，直至指
1
标函数随迭代变化很小为止。
u
图 7-1 和 图 7-2 表 示了控制和状态 的初始值和第一次迭 代值，可以看到第一 次迭代 u 1 (t ) 就几乎收 敛到最优值， x(t ) 与 最优值还有差异，而 且一般说来愈接近最 优值收敛愈慢
H ( )K U
5、 修正控制向量
U K 1 U K K g K
K
（7-3）
K 是一个步长因子，它是待定的数。选择 使指 标达到极小。这是一维寻优问题，有很多现成的优 化方法可用。如分数法，0.618法，抛物线法，立 方近似法等。(7-3)表明迭代是沿着梯度g K的负方向 进行的。
间接法
它的特点是，在每一步迭代中都要满足 H 取极小的必要条件，而且要同时积分状态方程和协 态方程，两种方程的积分都从 t 0到 t f 或从 t f 到 t 0 。 常用的间接法有边界迭代法和拟线性化法。
控制变量参数化最优控制问题计算方法研究
控制变量参数化最优控制问题计算方法研究嘿，朋友们！今天咱来唠唠这个控制变量参数化最优控制问题的计算方法研究哈。
这事儿听起来可能有点高深，有点唬人，但咱今儿就用接地气的方式把它给整明白。
啥是控制变量参数化最优控制问题呢？简单来说呀，就是在一个控制系统里，咱得找到一组最优的控制变量，让这个系统按照咱期望的那样运行得又好又顺。
就好比你开车，你得控制好油门、刹车、方向盘这些变量，才能平稳又快速地到达目的地，对吧？那要研究它的计算方法，这可就有点讲究啦。
咱先得把这个问题的模型给建立起来。
这模型就像是一张地图，把系统里的各种关系、各种因素都清清楚楚地标出来。
比如说，咱得知道不同的控制变量对系统状态的影响是啥样的，就像你得知道踩多大油门车能跑多快，转多大角度方向盘车能拐多大弯儿。
一种常用的计算方法就是把控制变量参数化。
啥叫参数化呢？就是给这些控制变量找一些特定的参数来表示它们。
这就好比给每个控制变量都编个号，这样咱就能更方便地去研究它们啦。
比如说，咱可以把控制变量表示成时间的函数，这样随着时间的变化，控制变量也会按照一定的规律变化。
在参数化之后呢，咱就可以用一些数学方法来求解这个最优控制问题啦。
这里面就涉及到一些复杂的数学知识，像变分法、动态规划啥的。
不过别怕哈，咱不用深入到那些复杂的公式里去，就大概了解一下它们的思路就行。
变分法呢，就像是在找一条最优的路径。
它会比较不同的控制变量组合，看看哪个组合能让系统的性能指标达到最优。
这就好比你在爬山，你得不断地尝试不同的路线，看看哪条路最省力、最快能爬到山顶。
动态规划呢，则是把一个大问题分解成一个个小问题，然后逐步求解。
就像是搭积木一样，先把小块的积木搭好，再慢慢拼成一个大的形状。
通过动态规划，咱可以把复杂的最优控制问题变得更容易处理。
当然啦，在实际应用中，咱还得考虑很多其他的因素。
比如说，系统可能会受到一些干扰，就像开车的时候可能会遇到突然窜出来的行人或者路况不好。
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6、计算是否满足下列指标
J (U K1 ) J (U K )
J (U K ) 是指定小量，若满足则停止计算，否则，令 K K 1，
转步骤2。另一停止计算的标准是
第j列元素构成的矩阵。计算这个二阶导数阵非常困难。为此，
有必要推导不用Q来计算K 的公式。
通过推导（略），可得 K (g K , g K ) g K 2
(g K 1 , g K 1 ) g K 1 2
上式计算K，只用到F(X)在XK和XK1两处的梯度，因此非常方
便。上式对二次函数是精确的，对非二次函数，它只是一个 近似公式。
1、梯度法
1、选初始估计 u 0 (t) 0 。
2、将u 0 (t) 0 代入状态方程可得
积分上式可得
dx dt x2 1 t c x
代入初始条件： x(0) 10 ，确定积分常数 c 1 10
可得 x(t) x0 (t) 10 10t 1
9
1、梯度法
3、将 x 0 (t)代入协态方程，且由边界条件 0 (1) 0 从
gK
7
1、梯度法
例、考虑下面的一阶非线性状态方程
x x2 u x(0) 10
用梯度法寻找最优控制使下面的指标最小
J 1
1
(
x
2
u 2 )dt
20
解：哈密顿函数为
H 1 (x2 u 2 ) x2 u
2
协态方程为 H x 2x
x
因x(1)自由，由横截条件得 0 (1) 0
8
t=1倒向积分可得
0 (t) 1 [1 (110t)2 /121]
2
0 (1) 0
4、由 H u ，得 (H )0 0 (t)
u
u
5、 u1(t) u0 (t) (H )0 1 [1 (1 10t)2 /121]
u
2
这里选步长因子 K 1 。如此继续下去，直至指标函数随
迭代变化很小为止。
12
2、共轭梯度法 用共轭梯度法寻找最优控制时是沿着所谓共轭梯度向量 的方向进行的。为了说明共轭梯度的意义，我们先从求函数 极值问题的共轭梯度法开始，再推广到求泛函极值问题。 (1) 求函数极值的共轭梯度法 设F(X)是定义在Rn空间中的二次指标函数
F(X ) 1 (X ,QX ) aT X C 2
23
2、共轭梯度法
x1 (t)
0
(t
5) 2
x1(0)
1 2
x&2 (t)[1源自0(t5 2
)]x11
(t
)
0
(t
5 2
)
1 2
[
0
(t
5 2
)]2
x2 (0) 0
积分得 x&1(t)
x11 (t )
0(t2
2
5 2
t)
1 2
x&2 (t)
[1 0 (t
5)][ 0 (t2
2
2
5 2
t)
1] 0 (t
义为
g K (t), g K (t)
tf
g K (t) T g K (t)dt
g K (t) 2
t0
除了这些以外，其它在形式上与求函数极值的共轭梯度
法一样。
18
2、共轭梯度法
共轭梯度法求最优控制步骤为
(1) 设已求出第K步估计的控制函数u K (t), u 0 (t)可任选。
(2) 以 X (t0 ) 为初值，从 t0 到 t f 积分状态方程，得出状态 轨迹 X K (t)。
0
2 (t) c
21
2、共轭梯度法
横截条件
1 (1)
x1 (1)
J x1 (1)
0
2
(1)
J x2 (1)
1
c 1
故协态方程化为 &1 (1 u) 1(1) 0
状态方程
2 (t) 1
(1) K=0时的计算
x&1 u
x1(0)
1 2
x&2
(1
u)
x1
u
1 2
u
2
x2 (0) 0
选 u 0 (t) 0 ，代入状态方程和协态方程，可求得
(3) 以 (t f )为终值，从 t f 到 t0 反向积分协态方程，求得 协态轨迹 K (t) 。
(4) 计算梯度向量
gK
H ( u )uuk
(5) 计算共轭系数
g K (t) 2
K
g K 1 (t) 2
0＝0
(6) 计算共轭梯度 P K g K K P K 1 P 0＝－g 0
19
其中， X (x1 x2 xn )T , aT (a1 a 2 an ), C为常数， Q为正定阵。 ( X ,QX ) X T QX 是X和QX的内积。
要求寻找X使F(X)取极值。
13
2、共轭梯度法
定义：若Rn中两个向量X和Y满足
( X , QY ) X T QY 0
则称X和Y是Q共轭的。Q = I（单位阵）时，共轭就变为通常 的正交。
2
最优控制的计算方法
直接法的特点是，在每一步迭代中，U(t)不一定要满足H 取极小的必要条件，而是逐步改善它，在迭代终了使它满足这 个必要条件，而且，积分状态方程是从t0到tf ，积分协态方程
是从tf到t0，这样就避免了去寻找缺少的协态初值(t0)的困难。
常用的直接法有梯度法，二阶梯度法，共轭梯度法。 间接法的特点是，在每一步迭代中都要满足H取极小的必
2
0用一维寻优来决定。将 u1 代入状态方程和协态方程
x1 (t)
0
(t
5 2
)
x&2 (t
)
[1
0
(t
5 2
)]x11
(t
)
0
(t
5 2
)
1 2
[
0
(t
5 2
)]2
状态方程 x&1 u
x1(0)
1 2
x&2
(1
u)
x1
u
1 2
u
2
x2 (0) 0
协态方程 &1 (1 u) 1(1) 0
2 (t) 1
17
2、共轭梯度法
(2) 用共轭梯度法解最优控制问题
求解最优控制问题的直接法是用迭代方法逐步改善控制
量u(t)，使它最后满足哈密顿函数H 取极小的必要条件，故 梯度向量为
gK
g
K
(t)
( H u
) u (t )u K
(t )
(
H
u
)K
这里梯度向量 g K (t) 是时间的函数，向量时间函数的内积定
x1 0, x2 x1, 1 2 , 2 1
积分可得
x10
(t)
1 2
,
x20
(t)
1 2
t,
10 (t) t 1
22
2、共轭梯度法
梯度向量
g 0 (t)
( H u
)0
(1
2 x1
2
2u)0
10
02 x10
02
t
1
1 2
1
5 2
t
共轭梯度 P0 g 0 t 5 。
2
(2) K=1时的计算 u1(t) u 0 (t) 0 P0 0 (t 5)
由
J
x2 (1)
1 2
49 0
12
97 ( 0 )2
24
J 49 97 0 0 0 12 12
可求得 0的最优值为
0
49 97
于是 u1(t) 49 (t 5)
97 2
由
1
[1
49 97
(t
5)] 2
积分上式可得
5
1、梯度法
3、用UK(t)、XK(t)和横截条件求得的终端值(tf)，从tf 到t0反向积分协态方程，求出协态向量K(tf)。
4、计算哈密顿函数H对U的梯度向量
gK
@(
H U
)
K
H
( U
)
K
表示在
U
K、X
K、K
处取值。当这些量非最优值
时， g K 0。
6
1、梯度法
5、修正控制向量 U K 1 U K K g K K 是一个步长因子，它是待定的数。选择 K 使指标达
t
11
1、梯度法
梯度法应用得比较多，它的优点是： （1）简单，编制程序容易； （2）计算稳定可靠。 缺点是： （1）在接近最优解时，迭代收敛很慢，为改善收敛性 可用共轭梯度法和二阶变分法等； （2）不能区分局部极小和全局极小； （3）对控制变量受约束，终端状态受约束的情 况不能 直接处理。对于这种有约束的情况可用约束梯度法或惩罚函 数法加以处理。
2、共轭梯度法
(7) 计算控制函数
u K 1 (t) u K (t) K P K 用一维寻优决定 K ，即
J u K K PK min J u K PK 0
(8) 当满足下面的不等式
J (u K1 ) J (u K )
J (u K ) 停止计算。否则令 K K 1 ，回到步骤2。
最优控制的计算方法
一、直接法 二、间接法
1
最优控制的计算方法
在前面讨论变分法、极小值原理和动态规划时，我 们列举了一些例子。为了易于说明问题，这些例子都是 非常简单的，可以用手算来解决问题。但是在实际工作 中所遇到的最优控制问题，一般都是很复杂的，必须用 计算机求解。