2等差数列及其前n项和(1)

第二节 等差数列及其前n 项和

一、基础知识

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2，其中A 叫做a ，b 的等

差中项．

在一个等差数列中，从第2项起，每一项有穷等差数列的末项除外都是它的前一项与后一项的等差中项.

2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .

3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系

(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．

(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．

二、常用结论

已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．

(2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．

(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．

(6)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差

的12

. (7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a n

a n ＋1.

(8)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n

n －1

.

(9)在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧

a m ≥0，

a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；

若a 1<0，d >0，则满足⎩

⎪⎨⎪⎧

a m ≤0，

a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .

(10)若0S S S m n m n ==+则，

(11)若()n m -S m S n S n m n m +===+，则，

(12)两个等差数列{}{

}n n n n T S n b a ，项和分别为的前，，则1

-2n 1

-2n n T S bn a =

考点一等差数列的基本运算

[解题技法]

等差数列的基本运算的解题策略

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．

[提醒]在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．[典例]

(1)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()

A．－12B．－10

C．10 D．12

(2)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝4，S4＝22，a n＝28，则n＝()

A．3 B．7

C．9 D．10

[答案](1)B(2)D

[题组训练]

1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{a n}的公差为() A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选B2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1>0，则S20＝()

A．420 B．340

C．－420 D．－340

解析：选D

3．在等差数列{a n}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝()

A．12 B．18

C．24 D．30

解析：选C

[典例]

已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1

2

.

(1)求证：⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1S n 是等差数列．

(2)求a n 的表达式．

[题组训练]

1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．49 C ．35 D ．63

解析：选B

2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1

a n －1(n ∈N *)．求证：

数列{b n }是等差数列．