第十二章 可压缩流体流动主要特性

s V s Ds 0
t
Dt
(12.1.16) (12.1.17)
即理想量热完全气体绝热流动过程中熵不变。 方程(12.1.11)、(12.1.15)和(12.1.16)组成了理想量热完全气体绝热连续流动的基本方程，
由上述五个方程可解出���⃗���、������和������。相应气体的温度可通过状态方程求出。
������������ = 1时，流体流动速度与当地的声速相同，此时流动处于临界状态。根据马赫数的
大小，可压缩流体的流动可划分为：亚声速流动（������������ < 1）、跨声速流动（������������ ≈ 1）、超声速
流动（������������ > 1）和高超声速流动（������������ ≫ 1）。
p p0 p 、 0 、V V
(12.2.1)
考虑到微小扰动，有������′⁄������0 ≪ 1、������′⁄������0 ≪ 1。因流体在初始时刻处于静止状态，压强和密度 扰动所引起的流体质点的运动速度���⃗���也应是个小量。将(12.2.1)式带入(12.1.7)和(12.1.11)式中，
即当观察者跟随������ = const的坐标系一起运动时，观察到的波形������(������)不变。故波形传播速 度为d������⁄������������ = ������；
(3) ������(������ + ������������)函数代表沿������轴负方向传播的平面波（左行波），函数值沿������ = ������ − ������������保持不变， 波形传播速度为d������⁄������������ = −������；
t
i

V2 2
V
i


V2 2


1
p t

f
V

q
(12.1.14)
若忽略体积力（������ = 0）、流动绝热（������̇ = 0）且流体为量热完全气体（������ = ������������������、������ = ������������������）， 则动量方程（12.1.12）和能量方程（12.1.13）可化简为
动量方程
V V V 1 p
t

(12.1.15)
能量方程
t

p


V





p

0
对于量热完全气体，有熵������ = ������������ln(������⁄������������) + ������������������������������，（12.1.16）式也可写成
气体流动速度������与当地声速������之比称为马赫数，记为������������，有
V Ma a
(12.2.16)
马赫数������������是可压缩流动的一个基本参数，其大小可反应流体的可压缩强弱。通常情况下，
������������越小则流体的可压缩性就越弱。例如理想不可压缩流体中，声速趋于∞，马赫数趋于零。
p p,s
(12.2.4)
则有
p

p0



p
s

1 2

2 p 2
s
2

将(12.2.5)代入(12.2.3)式中，保留关于小量的一阶项，得
V t



1 0

p
s

由方程(12.2.2)和(12.2.6)，有
的转动和振动，而且在实际感兴趣的温度范围内，电子激发能的占比非常小，可忽略不计。
对于双原子分子，当气体温度高于某一个范围时，分子的振动能部分地会被激发。例如，当
空气温度超过600 − 1000������时，就需考虑分子振动自由度被激发以后的影响。根据热力学第
一定律，气体内能������可写成如下形式
V 2 1
t

e

2
V
e
2




pV
f V q
(12.1.13)
将能量方程（8.1.13）右端展开∇ ∙ (������ ���⃗���) = ������∇ ∙ ���⃗��� + ���⃗��� ∙ ∇������，并引入焓������ = ������ + ������⁄������，可得
的气体称为完全气体。
仅靠(12.1.1)式还不足以求出系统的全部热力学特性，需补充气体内能������或者焓������与温度������
之间的关系。
气体分子热运动能量包括了分子的平移动能、转动能、振动能和电子激发能，这些能量
可通过量子统计的方法计算出来，且其总和就是气体的内能。对于单原子气体，不存在分子
为简单见，考虑沿������轴传播的一维平面声波问题。声传播方程中的物理量仅与������坐标有 关，小扰动速度场仅有沿������轴方向的分量������′，方程(12.2.7)化简为
2 t 2
a2
2 x2

0
(12.2.9)
式（12.2.9）为声传播方程的一般形式，其中������代表������′、������′和������′等小扰动量。引入新变量������ =
(4) 扰动波传播速度������即为声波传播速度，简称声速，其表达式如(12.2.8)所示。显然，声速 只和气体的热力学状态参数有关，与扰动的运动学参数，例如扰动频率、波长等无关。
图 12.1 平面声波
除平面声波外，球面声波是另一类常见的声波传播方式。考虑球对称情况，此时声传播 方程(12.2.7)的球对称形式为
12.2 声传播方程、声速和马赫数
12.2.1 声波在静止介质中的传播
声音在空气中是以波的形式进行传播，它是微小扰动在可压缩流体中的传播问题。令在 静止无扰动情况下，均匀流体的压强、密度分别为������0和������0，微小扰动作用下引起流体压强和 密度的变化量为������′和������′，则有
de

Tds

pdv

T

s T
v
dT
T

s v
T
dv

pdv
(12.1.2)
又由
de


e T
v
dT


e v
T
dv
(12.1.3)
对比上述两式可得
e v T
T
s v T

p
12.1 可压缩理想流体流动方程
12.1.1 理想完全气体模型
气体当其所受压力趋于零且密度极低时，气体分子之间相互作用力可忽略不计，气体分
子的体积亦可忽略，即其状态方程满足
p RT
(12.1.1)
其中������称为气体常数，与气体的分子量有关，������ = ������������⁄������，������������ = 8.314������/(������������������ ∙ K)称为摩尔气 体常数，������为气体的摩尔质量。式(12.1.1)称为完全气体定律，把状态方程满足完全气体定律
r
r
(12.2.13)
其中������(������ − ������������)为外行波，代表向外传播的声波；������(������ + ������������)为内行波，代表向中心传播的汇聚
波。
12.2.2 声速、马赫数
由平面或球面声波在静止介质中传播问题的讨论，得了声波传播的速度
a
p
(12.1.4)
利用麦克斯韦关系，上式可写成
e v T
T
p T
T

p
将(12.1.5)代入(12.1.3)得
de

CvdT

T

p T
v

p

dv
将(12.1.1)代入上式，有
de CvdT
(12.1.5) (12.1.6) (12 基本方程
理想可压缩流体流动（������ = 0、������ = 0）应满足的方程如下
连续方程
D V 0 Dt
动量方程
V V V f 1 p
t

(12.1.11) (12.1.12)
能量方程
V 2
(12.2.5) (12.2.6)
2V t 2


a22V


0
(12.2.7)
其中
a
p


s
(12.2.8)
可证明对于������′、������′等其它小扰动量，也满足(12.2.7)形式的方程，该方程称为声传播方程或波 动方程。声传播方程仅适用于静止流体中小扰动的传播问题。


s
对于理想完全气体，将等熵关系式������ = ������������������代入，可得声速公式为
a p RT
(12.2.14) (12.2.15)
从上式可见，理想完全气体的声速������只是温度的函数。因此，在非均匀的流场中，不同时刻、
不同点上声速大小和当地的温度密切相关，温度越高声速越大。
第十二章 可压缩流体流动主要特性
流体可压缩性是流体固有的属性，任何流体都是可压缩的，对于大多数液体流动以及低 速、压强变化小的气体流动，可忽略流体压缩性，简化问题的求解。但对一些可压缩性较为 显著的流动，如速度为 150m/s 的飞行器在静止大气中飞行时，其前端点的气体密度可增加 10%。当速度更高时，密度的变化将更为显著，必须考虑流体可压缩性的影响。在可压缩流 体的流场中密度可变，与不可压缩流体流动相变，可压缩流体流动具有一些特殊性质。本章 重点讨论气体流动的主要特性，大部分内容体现了二十世纪前半期空气动力学领域的成就。
从(12.2.15)式可见马赫数������������是一个无量纲参数，通常其物理意义可解释为：
(1) 马赫数������������代表单位质量流体惯性力和压强合力的量级之比：
当气体温度低于上述范围时，气体内能主要由平移动能决定，此时气体的定容比热������������、 定压比热������������以及比热比������ = ������������⁄������������为恒定值，通常把这样的气体称为量热完全气体或常比热 完全气体。此时有
e CVT
(12.1.9)
2 t 2
r


a2
2 r 2
r


0
(12.2.12)
其中������ = ������(������, ������)代表 ������′、������′和������′等小扰动量，������为半径。上式通解为
1 f r at 1 g r at
其中������������ = ������������(������)称为气体的定容比热。同理得
di CpdT
(12.1.8)
这里������代表气体的焓，������������ = ������������(������)称为气体的定压比热。从上述过程见，此时气体定容比热和 定压比热������������、������������均为温度的函数，通常把这样的气体称为热完全气体。
并仅保留关于小量������′、������′和���⃗���′的一阶项，那么可得
t


0
V


0
(12.2.2)
V t



1 0

02
p
(12.2.3)
在小扰动量的传播过程中，流动绝热，对于量热完全气体，能量方程(12.1.12)或(12.1.13)成 立，流动过程中熵不变。令流体处于热力学平衡状态，有热力学关系式
������ − ������������和������ = ������ + ������������，代入式(12.2.9)有
2 0
(12.2.10)
方程通解形式为
f x at g x at
(12.2.11)
其中函数������和������是任意的函数，可由初始条件确定。从解的形式(12.2.11)中可见，微小扰动在 静止流体中的传播具有如下特点： (1) 声传播方程的通解是两族波的线性叠加，如图 12.1 所示； (2) ������(������ − ������������)函数代表沿������轴正向传播的平面波（右行波），函数值沿������ = ������ − ������������保持不变，