2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
黑龙江省哈尔滨市实验中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷及解析
黑龙江省哈尔滨市实验中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.抛物线y=−8x的准线方程是（）A.y=2B.y=−2C.x=132D.y=1322.相距4k米的,A B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是（）A. 双曲线的一支B. 双曲线C. 椭圆D. 抛物线3.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m−1)y+7=0平行，则m的值为（）A.7B.0或7C.0D.44.已知双曲线22132x ya a+=--的焦点在x轴上，若焦距为4，则a=（）A. 212B. 7C.92D.125.设变量x，y满足约束条件2360x yx yx y-≥⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则14yx+-的最小值为（）.A.5-B.4-C.32- D.16.半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为 ( )A.(x－6)2＋(y－4)2＝6B.(x－6)2＋(y±4)2＝6C.(x－6)2＋(y－4)2＝36D.(x－6)2＋(y±4)2＝367.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A. 125B. 340C. 18D. 358.已知抛物线2:4C y x =的焦点F 和准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-，则||AB =（ ） A. 23 B. 43 C. 323 D. 1639.设点F 和直线l 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点和一条渐近线，若F 关于直线l 的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 210.已知实数x ，y 满足约束条件1022x y x y y a ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数2z x y =-的最大值为5，则a 的值为（） A. 73- B. 13 C. 1 D. 211.已知点(),P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A 、B 为切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则k 的值是2C. 2D. 12.已知椭圆22x a +22y b =1（a ＞b ＞0）短轴的两个端点为A 、B ，点C 为椭圆上异于A 、B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为-14，则椭圆的离心率为（ ）.A.2C.12D.4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）α，则cosα=______．14.顶点在坐标原点，焦点为F （0，1）的抛物线上有一动点A ，定点M （-1，4），则|AM |+|AF |的最小值为______． 15.过点()1,2P 与双曲线C ：2222x y -=有且只有一个公共点的直线共__________条.16.斜率为13-的直线l 被椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞截得的弦恰被点M （1，1）平分，则222a c b+=______．三、解答题（题型注释）y =0．（1）求圆C 关于直线x -y -1=0对称的圆D 的标准方程；（2）过点P （4，-4）的直线l 被圆C 截得的弦长为8，求直线l 的方程．18.已知点F 为抛物线C ：x 2=2py （P ＞0）的焦点，点A （m ，3）在抛物线C 上，且|AF |=5，若点P 是抛物线C 上的一个动点，设点P 到直线x -2y -6=0的距离为d ．（1）求抛物线C 的方程；（2）求d 的最小值．19.已知12,F F 分别是双曲线E ： 22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 是双曲线上一点， 2F 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当1260F PF ∠=时， 12PF F ∆的面积为20.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B .AB =.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：(0)y kx k =<与椭圆交于M ，N 两点，且点M 在第二象限.l 与AB 延长线交于点P ，若BNP ∆的面积是BMN ∆面积的3倍，求k 的值.21.已知F 为抛物线C ：y 2=2px （P ＞0）的焦点，过F 垂直于x 轴的直线被C 截得的弦的长度为4．（1）求抛物线C 的方程．（2）过点（m ，0），且斜率为1的直线被抛物线C 截得的弦为AB ，若点F 在以AB 为直径的圆内，求m 的取值范围．22.已知椭圆()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点为别为F 1、F 2，且过点12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，和22⎛ ⎝⎭，．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一位于x 轴上方的动点，AF 2的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求△ABC 面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC 的方程．参考答案1.A【解析】1.将方程化成标准式，即可由抛物线性质求出准线方程。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期中数学试卷试题及答案(文科)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆22194x y +=的离心率是( ) ABC ．23 D ．592．两平行直线210x y +-=与230x y ++=间的距离为( ) ABCD3．若双曲线222:1(0)9x y C a a -=>的渐近线方程为32y x =±，则a 的值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．84．设抛物线24y x =上的一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为( ) A ．3B ．4C ．5D ．65．当圆22:4220C x y x my m +--+=的面积最小时，m 的取值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．16．已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，若△12PF F 的面积是9，则(b = ) A ．1B ．2C ．3D ．47．双曲线2213y x t t -=的一个焦点坐标为(0,2)，则(t = ) A ．4-B ．4C ．1-D ．18．设x ，y 满足约束条件220,220,10,x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………则z x y =+的最小值是( )A ．5-B ．1-C ．1D ．39．以抛物线28x y =为半径的圆，与直线20x y m ++=相切，则(m = )A ．1或9-B ．1-或9C ．3或7-D ．3-或710．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，若||||OP PF =，则C 的离心率为( )AB C ．2D11．直线l 过抛物线2:2C y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限）若||2BF =，则||(AF = ) A ．25B ．23C ．125 D ．8312．已知椭圆222:1(2)4x y C a a +=>左、右焦点分别为1F ，2F ．若椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S=a 的取值范围是( )A ．(2,4)B ．(4,)+∞C ．D ．)+∞ 13．已知点(1,2)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若90AMB ∠=︒，则(k = ) A ．1B ．2C ．3D ．414．已知过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 且斜率为ba 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=（其中O 为坐标原点），则椭圆的离心率为( )A ．12B C D 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡相应的位置上． 15．已知直线:210l x y +-=，点(,1)A a ，(2,3)B ，若直线AB l ⊥，则a 的值为 ．16．已知双曲线22:13x C y -=左、右焦点分别为1F 、2F ，点(,)P x y 在C 右支上，若2||2PF =，则1||PF = ．17．圆221:(1)(2)9C x y -++=和圆222:(1)(1)4C x y ++-=的公切线条数为 条． 18．抛物线24y x =上的点(,)P x y 到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是 ．19．设1F ，2F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若112||||MF F F =，则点M 的坐标为 ．20．已知定点1(2,0)F -，2(2,0)F ，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．已知直线20l y -+=，圆22:4410C x y x y ++--=． （1）判断直线l 与圆C 的位置关系，并证明；（2）若直线l 与圆C 相交，求出圆C 被直线l 截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离．22．已知抛物线2:8C y x =，直线l 过点(1,0)且与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点． （1）求12x x 的值；（2）若||AB =，求直线l 的方程．23．已知圆22:(1)13C x y -+=和直线:l y x m =+，l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）若1m =，求弦长||AB ；（2）O 为坐标原点，若90AOB ∠=︒，求直线l 的方程．24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(2,0)F -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求POQ ∆面积的最大值．25．已知抛物线2:2(0)C x py p =>过焦点F 且平行于x 轴的弦长为2．点(0,1)A -，直线l 与C 交于P ，Q 两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若l 不平行于x 轴，且(PAO QAO O ∠=∠为坐标原点），证明：直线l 过定点．26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点(1,0)A ，(0,1)B ，点P 满足2OA OB OP +=（其中O 为坐标原点），点B ，P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于M ，N 两点，且与圆221x y +=相切．MNF ∆的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆22194x y +=的离心率是( )A B C ．23 D ．59【解答】解：椭圆22194x y +=，可得3a =，2b =，则c ==所以椭圆的离心率为：c a =． 故选：B ．2．两平行直线210x y +-=与230x y ++=间的距离为( )A B C D【解答】解：根据两平行线间的距离公式得：d ===． 故选：D ．3．若双曲线222:1(0)9x y C a a -=>的渐近线方程为32y x =±，则a 的值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：双曲线222:1(0)9x y C a a -=>的渐近线方程：3y x a =±， 因为双曲线222:1(0)9x y C a a -=>的渐近线方程为32y x =±， 所以2a =， 故选：A ．4．设抛物线24y x =上的一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：由于抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是4，故点P 的横坐标为4． 再由抛物线24y x =的准线为1x =-，以及抛物线的定义可得点P 到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离， 故点P 到该抛物线焦点的距离是4(1)5--=， 故选：C ．5．当圆22:4220C x y x my m +--+=的面积最小时，m 的取值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：圆22:4220C x y x my m +--+=， ∴圆C 的标准方程为：222(2)()24x y m m m -+-=-+，从而对于圆C 的半径r 有22224(1)33r m m m =-+=-+…， 所以1m =时，2r 取得最小值，从而圆C 的面积2r π在1m =时取得最小值． 故选：D ．6．已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，若△12PF F 的面积是9，则(b = ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：根据椭圆定义知122PF PF a +=， 12PF PF ⊥，∴△12PF F 为直角三角形，22212()()(2)PF PF c ∴+=，又△12PF F 的面积为9， ∴12192PF PF =， 2212(2)()a PF PF ∴=+ 221212()()2PF PF PF PF =++2436c =+， 2229b a c ∴=-=， 3b ∴=，故选：C ．7．双曲线2213y x t t -=的一个焦点坐标为(0,2)，则(t = ) A ．4-B ．4C ．1-D ．1【解答】解：双曲线2213y x t t -=的一个焦点坐标为(0,2)， 可得44t =，解得1t =． 故选：D ．8．设x ，y 满足约束条件220,220,10,x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………则z x y =+的最小值是( )A ．5-B ．1-C ．1D ．3【解答】解：画出x ，y 满足约束条件220,220,10,x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………对应的平面区域如图阴影部分；由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+， 由平移可知当直线y x z =-+过点A 时， 直线y x z =-+的截距最小，z 取得最小值； 由1220y x y =-⎧⎨-+=⎩，求得(4,1)A --，可得5z x y =+=-， 即z 的最小值是5-． 故选：A ．9．以抛物线28x y =为半径的圆，与直线20x y m ++=相切，则(m =)A ．1或9-B ．1-或9C ．3或7-D ．3-或7【解答】解：抛物线28x y =的焦点为(0,2)，以抛物线28x y =为半径的圆可得圆心为(0,2)，半径r =的圆， 由直线20x y m ++=与圆相切，可得：圆心到直线的距离d ==，解得3m =或7-， 故选：C ．10．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，若||||OP PF =，则C 的离心率为( )AB C ．2D【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±，设P 在渐近线by x a =上，以OF 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，若||||OP PF =， 则OPF ∆为等腰直角三角形，即有45POF ∠=︒， 即tan 451ba=︒=，即a b =，c e a ===故选：A ．11．直线l 过抛物线2:2C y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限）若||2BF =，则||(AF = ) A ．25B ．23C ．125 D ．83【解答】解：若斜率不存在，则||21AB p ==，不成立，所以AB 斜率存在，设为k ， 则直线1:()2AB y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 根据抛物线的性质，||2BF =，则2122x +=，232x =，代入抛物线方程得2y =，所以k =1)2y x =-，与2:2C y x =，联立得233504x x -+=， 1214x x =，所以116x =， 所以112||623AF =+=． 故选：B ．12．已知椭圆222:1(2)4x y C a a +=>左、右焦点分别为1F ，2F ．若椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S=a 的取值范围是( )A ．(2,4)B ．(4,)+∞C ．D ．)+∞【解答】解：由题得2b =，因为椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S =所以122b c ⨯⨯>c >，即212c >，所以2222416a b c c =+=+>，则4a >， 故选：B ．13．已知点(1,2)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若90AMB ∠=︒，则(k = ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，∴过A ，B 两点的直线方程为(1)y k x =-，联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩可得，22222(2)0k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则212242k x x k ++=，121x x =，12124(2)y y k x x k ∴+=+-=，2212121212(1)(1)[()1]4y y k x x k x x x x =--=-++=-，(1,2)M -，∴1(1MA x =+，12)y -，2(1MB x =+，22)y -，90AMB ∠=︒，∴0MA MB =，1212(1)(1)(2)(2)0x x y y ∴+++--=，整理可得，12121212()2()50x x x x y y y y +++-++=， 24812450k k∴++--+=， 即2210k k -+=， 1k ∴=．故选：A ．14．已知过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 且斜率为ba 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=（其中O 为坐标原点），则椭圆的离心率为( ) A ．12BCD【解答】解：根据题意，设1(,0)F c -，则直线l 的方程为()by x c a=+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2222()1b y xc a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得222220x cx c a ++-=，则12x x c +=-，22122c a x x -=，所以12bcy y a+=因为0OA OB OP ++=，即12()(OP OA OB x x =-+=-+，12)y y +，则(,)bc P c a-，又因为点P 在椭圆上，代入整理得2221c a =，即221e =，解得e ，故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡相应的位置上． 15．已知直线:210l x y +-=，点(,1)A a ，(2,3)B ，若直线AB l ⊥，则a 的值为 1 ． 【解答】解：直线AB l ⊥，∴131()122a -⨯-=--，解得1a =． 故答案为：1．16．已知双曲线22:13x C y -=左、右焦点分别为1F 、2F ，点(,)P x y 在C 右支上，若2||2PF =，则1||PF = 2+【解答】解：双曲线22:13x C y -=左、右焦点分别为1F 、2F ，可得a =点(,)P x y 在C 右支上，若2||2PF =，则12||||22PF PF a =+=+．故答案为：2+17．圆221:(1)(2)9C x y -++=和圆222:(1)(1)4C x y ++-=的公切线条数为 2 条． 【解答】解：已知圆22(1)(2)9x y -++=， 即该圆是以(1,2)-为圆心，3为半径的圆． 圆22(1)(1)4x y ++-=，即该圆是以(1,1)-为圆心，2为半径的圆．所以圆心距d == 所以321325d -=<<+=，所以两圆相交，故公切线的条数为2． 故答案为：218．抛物线24y x =上的点(,)P x y 到(0,3)【解答】解：如图所示，设此抛物线的焦点为(1,0)F ，准线:1l x =-．过点P 作PM l ⊥，垂足为M ． 则||||PM PF =．设(0,3)Q ，因此当F 、P 、Q 三点共线时，||||PF PQ +取得最小值．(||||)||min PF PQ QF ∴+===．即||||PM PQ +．19．设1F ，2F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若112||||MF F F =，则点M 的坐标为 ．【解答】解：椭圆22:195x y C +=，可得3a =，25b =，2c ==． 1(2,0)F ∴-，2(2,0)F ，112||||24MF F F c ===，设(,)M s t ，s ，0t >．∴4=，22195s t +=．联立解得32s =，t =3(2M ∴．故答案为：3(2．20．已知定点1(2,0)F -，2(2,0)F ，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是2213y x -= ．【解答】解：连接ON ，由题意可得1ON =，且N 为1MF 的中点22MF ∴=点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P 由垂直平分线的性质可得1PM PF = 212212||||2PF PF PF PM MF F F ∴-=-==<由双曲线的定义可得点P 得轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线，2c =，1a =，则b =．所以所求双曲线方程为：2213y x -=． 故答案为：2213y x -=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．已知直线20l y -+=，圆22:4410C x y x y ++--=． （1）判断直线l 与圆C 的位置关系，并证明；（2）若直线l 与圆C 相交，求出圆C 被直线l 截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离．【解答】解：（1）直线l 与圆C 相交． 证明如下：化圆22:4410C x y x y ++--=为22(2)(2)9x y ++-=， 可知圆C 的圆心坐标为(2,2)C -，半径3r =．圆心C 到直线20l y -+=的距离3d ==<，∴直线l 与圆C 相交．（2）由（1）知，圆心C 到直线l 的距离d =3r =．∴圆C 被直线l 截得的弦长为==．22．已知抛物线2:8C y x =，直线l 过点(1,0)且与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点． （1）求12x x 的值；（2）若||AB =，求直线l 的方程．【解答】解：（1）直线l 过点(1,0)，可设直线l 的方程为1x my =+， 联立抛物线方程28y x =，可得2880y my --=， 则128y y m +=，128y y =-， 由2212126418864y y x x ===；（2）12||||AB y y =-2221212()4164321210y y y y m m +-=++=，解得2m =±，则直线l 的方程为210x y --=或210x y +-=．23．已知圆22:(1)13C x y -+=和直线:l y x m =+，l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）若1m =，求弦长||AB ；（2）O 为坐标原点，若90AOB ∠=︒，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）当1m =时，直线方程为10x y -+=，圆C 的圆心坐标为(1,0)C ，半径r =圆心C 到直线的距离d ==，则弦长||AB ==（2）联立22(1)13y x mx y =+⎧⎨-+=⎩，得222(22)120x m x m +-+-=． 由△22(22)8(12)0m m =--->，解得22250m m +-<①． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则121x x m +=-，212122m x x -=．由90AOB ∠=︒，得12121212()()OA OB x x y y x x x m x m =+=+++22212122()12(1)0x x m x x m m m m m =+++=-+-+=．解得4m =-或3m =，符合①． ∴直线l 的方程为4y x =-或3y x =+．24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(2,0)F -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求POQ ∆面积的最大值． 【解答】解：（1）由题可知，2c =，即224a b -=---①又e ==，∴2213b a =---②，故椭圆C 的标准方程为：22162x y +=． （2）由题可设，直线l 的方程为：2x ty =-，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．联立2221,62x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(3)420t y ty +--=，则有12212204323t y y t y y t ⎧⎪>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，又12121()2POQ FOP FOQ S S S FO y y y y ∆∆∆=+=+=-====当且仅当21t =，1t =±即直线方程为2x y =±-时，,POQ ∆面积达到最大值． 25．已知抛物线2:2(0)C x py p =>过焦点F 且平行于x 轴的弦长为2．点(0,1)A -，直线l 与C 交于P ，Q 两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若l 不平行于x 轴，且(PAO QAO O ∠=∠为坐标原点），证明：直线l 过定点． 【解答】解：（1）抛物线2:2(0)C x py p =>过焦点(0,)2p F 且平行于x 轴的直线为2p y =，代入抛物线的方程可得22x p =，即x p =±，则22p =，即1p =， 可得抛物线的方程为22x y =；（2）证明：设直线l 的方程为(0,0)y kx t k t =+≠≠，联立抛物线方程22x y =， 可得2220x kx t --=，△2480k t =+>，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，可得122x x k +=，122x x t =-，(PAO QAO O ∠=∠为坐标原点），可得直线AP ，AQ 关于y 轴对称， 即有0AP AQ k k +=，由(0,1)A -，可得1212110y y x x +++=， 即2121212121211212()()(1)()22(1)40x y x x y x x kx t x x kx t x t x x kx x k t kt +++=+++++=+++=+-=，由0k ≠，可得1t =，则直线l 的方程为1y kx =+，则直线l 恒过定点(0,1)．26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点(1,0)A ，(0,1)B ，点P 满足2OA OB OP +=（其中O 为坐标原点），点B ，P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于M ，N 两点，且与圆221x y +=相切．MNF ∆的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）设(,)P x y ，因为2OA OB OP +=，即(1，0)，1)(x =，)y ，则1x=，y =，即P ， 因为B ，P 均在C 上，代入得2221011121b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，e =，a = 作出示意图，设切点为Q ，1(M x ，1)y ，2(N x ，21)(0y x >，20)x >， 则2222221111||||||12MQ OM OQ x y x =-=+-=，同理22222221||12NQ x y x =+-=，即1||MQ =，2||NQ =，所以12||)MN x x =+，又11||MF a ex =-=-，22||NF a ex =-=-则．MNF ∆的周长1212||||||)MN MF NF x x =++=+--=，所以周长为定值。
黑龙江省哈尔滨三中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)
黑龙江省哈尔滨三中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共14小题，共56.0分）1. 已知椭圆的方程为2x 2+3y 2=m(m >0)，则椭圆的离心率为( )A. 13 B. √33 C. √22D. 12 2. 两直线x +y −1=0，x +y +1=0的距离是( )A. 2B. 1C. 3D. √23. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的渐近线方程为√3x ±y =0，则b =( )A. 2√3B. √3C. √32D. 124. 若抛物线y =14x 2上一点P 到焦点F 的距离为5，则P 点的坐标是( )A. (4,±4)B. (±4,4)C. (±7916,√798) D. (±√798,7916)5. 已知圆的方程为x 2+y 2−2x +4y +2=0，则圆的半径为( )A. 3B. 9C. √3D. ±36. F 1，F 2是椭圆x 29+y 25=1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=60°，则△AF 1F 2的面积为( ) A. 7√32B. 5√32C. 72 D. 7√527. 双曲线x 2−4y 2=4的焦点坐标为( )A. (±√3,0)B. (0,±√3)C. (0,±√5)D. (±√5,0)8. 设x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≤1x ≥0，则z =2x +y 的最小值是( )A. −1B. 0C. 1D. 2 9. 若直线x +y +m =0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 为( )A. 0或2B. 2C. √2D. 无解10. 已知离心率e =√52的双曲线C ：x 2a −y 2b=1(a >0,b >0)右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为( )A. 2√2B. 3C. 4D. 511. 抛物线y 2=2px 与直线ax +y −4=0交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1,2)，该抛物线的焦点为F ，则|FA +FB|=( )A. 7B. 3C. 6D. 512. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，点F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，若在椭圆外存在一点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为( )A. (0,12)B. (12,√22)C. (0,√22)D. (√22,1)13.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l过焦点F且斜率为2，与抛物线交于A、B(其中A在第一象限)两点，M(−p2,0)，则tan∠AMF=()A. √32B. √33C. √63D. 25√514.如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=√63，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为4√3．(1)椭圆E的方程为()；(2)过点P(0,2)的动直线l与椭圆E相交于C，D两点，O为原点，△COD面积的最大值为()．A. x23+y2=1；√32B. x23+y2=1；1 C. x23+y2=1；12D. x23+y2=1；2 E. x23+y2=1；7 F. x23+y2=1；7√3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）15.已知直线l经过点P(−2,5)，且与直线4x+3y+2=0平行，则直线l的方程为______．16.若双曲线x225−y216=1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线上，且|PF1|=3，则|PF2|等于________．17.已知圆O1:(x−m)2+(y−2)2=4与圆O2:(x+2)2+(y+2m)2=9有3条公切线，则m=______________．18.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x的焦点为F，点P在该抛物线上．若PF=2，则点P到坐标原点O的距离为________．19.F1，F2为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为______．20.点M是圆x2+y2=4上的动点，点N与点M关于点A(1,1)对称，则点N的轨迹方程是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）21.已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为4√5，求直线l的方程．22.已知抛物线C:x2=2y，过点(−2,4)且斜率为k的直线l与抛物线C相交于M，N两点．(1)若k=2，求|MN|的值;(2)记直线l1:x−y=0与直线l2:x+y−4=0的交点为A，求K AM·K AN的值．23.已知圆C：x2+y2=1与直线l：√3x−y+m=0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点．(1)求实数m的取值范围；(2)若|AB|=√3，求实数m的值．24.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(√3,12)，左焦点F1(−√3,0)，直线l：y=2x+m与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求△OAB面积的最大值．25. 已知抛物线C ：y 2=2px 过点A(1,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过x 轴上的点M(a,0)作一直线交抛物线于A 、B 两点，若∠AOB 为锐角时，求a 的取值范围．26. 已知C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，圆E ：x 2+y 2=a 2+b 2椭圆C 的离心率为√32，P 为椭圆上任意一点F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且△PF 1F 2为面积最大值为√3． (1)求椭圆C 的方程(2)斜率为k(k ≠0)的直线l 与椭圆C 相切于点M ，与园E 交于A ，B 两点，问AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 是否成立？请说明理由-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程标准化是关键，属于基础题．将椭圆的方程标准化，利用椭圆的性质可求得a2，b2，c2的值，从而可求得此椭圆的离心率．【解答】解：因为2x2+3y2=m(m>0)，所以x 2m 2+y2m3=1，所以c2=m2−m3=m6.故e2=13，解得e=√33．故选B．2.答案：D解析：解：∵两平行直线的方程为：x+y−1=0，x+y+1=0，∴两直线x+y−1=0，x+y+1=0的距离d=√12+12=√2，故选：D．由题意和平行线间的距离公式可得．本题考查平行线间的距离公式，属基础题．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线方程以及渐近线方程求解b即可．【解答】解：双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程：bx±2y=0，因为双曲线x24−y2b=1(b>0)的渐近线方程为√3x±y=0，所以b2=√3，解得b=2√3．故选A．4.答案：B解析：解：抛物线y=14x2上一点P到焦点F的距离为5，可得抛物线的准线方程为：y=−1，则P的纵坐标为：4，则x2=16，解得x=±4．则P点的坐标是：(±4,4)．故选：B．利用抛物线的性质，求出P的纵坐标，然后求解横坐标即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．5.答案：C解析：解：把圆的方程x2+y2−2x+4y+2=0化为标准方程是(x−1)2+(y+2)2=3，∴圆的半径为√3．故选：C．把圆的方程化为标准方程，求出圆的半径．本题考查了圆的一般方程应用问题，是基础题．6.答案：B解析：【分析】求出F1F2的长度，由椭圆的定义可得AF2=6−AF1，由余弦定理求得AF1，从而求得三角形AF1F2的面积．本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出AF1的值，是解题的关键．【解答】由题意可得a=3，b=√5，c=2，故F 1F2=2×2=4，AF1+AF2=6，AF2=6−AF1，∵AF22=AF12+F1F22−2AF1⋅F1F2cos60°=AF12−4AF1+16，∴(6−AF1)2=AF12−4AF1+16，∴AF1=52，故三角形AF1F2的面积S=12×52×4×√32=5√32．故选B．7.答案：D解析：解：双曲线x2−4y2=4，标准方程为：x24−y2=1，可得a=2，b=1，c=√5，所以双曲线的焦点坐标：(±√5,0)．故选：D．利用双曲线方程，化为标准方程，然后求解双曲线的焦点坐标．本题考查双曲线的焦点坐标的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8.答案：C解析：解：x，y满足约束条件{x+y≥1x−y≤1x≥0的平面区域如下图所示：平移直线y=−2x，由图易得，当x=0，y=1时，即经过A时，目标函数z=2x+y的最小值为：1．故选：C．先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线y=−2x，当过点(1,0)时，直线在y轴上的截距最大，从而求出所求．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9.答案：B解析：【分析】本题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题．由直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，可得圆心到直线的距离等于半径，进而列出方程求出m 的值即可．【解答】解：因为直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即√2=√m，解得：m=2．故选B．10.答案：C解析：【分析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查计算能力．利用双曲线的离心率求出b2a2，利用三角形的面积得到12ab=4，解方程组求出a即可．【解答】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，所以FA⊥OA，由点到直线的距离知FA=b，OA=√c2−b2=a，△AOF的面积为4，可得12ab=4，双曲线的离心率e=√52，可得a2+b2a=54，即b2a=14，解得b=2，a=4．故选：C．11.答案：A解析：解：由题意，(1,2)代入直线ax+y−4=0，可得a+2−4=0，∴a=2把点(1,2)，代入抛物线y2=2px，可得p=2∴抛物线方程为y2=4x，直线方程为2x+y−4=0，联立消去y整理得x2−5x+4=0解得x=1或x=4，∵A的横坐标为1，∴B点横坐标为4，根据抛物线定义可知|FA+FB|=x A+1+x B+1=7故选A．把点(1,2)代入抛物线和直线方程，分别求得p和a，得到直线和抛物线方程，联立消去y，可求得B 的横坐标，再根据抛物线的定义求得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．12.答案：D解析：【分析】本题考查椭圆的几何性质，考查学生分析转化问题的能力，属于基础题．根据椭圆外存在一点P使得PF1与PF2垂直，可得c>b，从而可求椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：设椭圆焦距为2c，由PF1⊥PF2，知点P在以线段F1F2为直径的圆上，若存在一点P在椭圆外，则c>b，即c2>a2−c2，∴a<√2c，∵e =ca ，0<e <1，∴√22<e <1．故选D ．13.答案：D解析： 【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题．根据直线l 的斜率k =2，设出A 的坐标，代入抛物线y 2=2px ，求出A 的坐标，从而可求tan∠AMF ． 【解答】解：∵直线l 的斜率k =2，∴可设A(p2+y,2y)，代入抛物线y 2=2px ，可得4y 2=2p(p2+y)，解得y =1+√54p ，(舍去负值)∴tan∠AMF =2yp+y =2+2√541+1+√54=2√55．故选：D ．14.答案：A解析：解：(1)∵△ABF2的周长为4√3，∴|AB|+|AF2|+|BF2|=4√3，即|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4√3， 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a ∴4a =4√3，得a =√3 又∵e =c a=√63∴c =√2，b2=1∴所求椭圆方程为x 23+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率k 存在，设其方程为y =kx +2． 设C(x1,y1)，D(x2,y2).则由 {y =kx +2x 2+3y 2=3 消去y 得：(3k2+1)x2+12kx +9=0， 由△=(12k)2−4×(3k2+1)×9>0，得k2>1. 则x1+x2=−12k3k 2+1，x1x2=93k 2+1．又原点到直线l 的距离为d =√k 2+1，且|CD|=√(1+k 2)|x1−x2|， 所以S △COD =12×|CD|×d =12×√(1+k 2)|x1−x2|2=|x1−x2|，【或S △COD =|S △POC −S △POD|=12×2×|x1−x2|=|x1−x2|】， 因为|x1−x2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(−12k3k 2+1)2−363k 2+1=6√k 2−13k 2+1，设√k 2−1=t(t >0)，则k2=t2+1， ∴S △COD =|x1−x2|=6√k 2−13k 2+1=6t 3t 2+4=63t+4t≤2√3t×4t=√32，当且仅当t2=43，即k2−1=43，即k2=73时等号成立， 所以△COD 面积取得最大值√32．故选A(1)由△ABF 2的周长为4√3，又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a 可解得a ，又e =c a=√63可解得c ，b 2，从而可求椭圆方程．(2)易知直线l 的斜率k 存在，设其方程为y =kx +2，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2).则由 {y =kx +2x 2+3y 2=3 消去y 得x 1+x 2=−12k3k 2+1，x 1x 2=93k 2+1，又原点到直线l 的距离可求d =√k 2+1，且|CD|=√(1+k 2)|x 1−x 2|，从而可求S △COD =12×|CD|×d =|x 1−x 2|，设√k 2−1=t(t >0)，则k 2=t 2+1，由基本不等式即可求△COD 面积的最大值．本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．15.答案：4x +3y −7=0解析：解：设直线l 的方程为：4x +3y +m =0， 把点P(−2,5)代入可得：−8+15+m =0，解得m =−7． ∴直线l 的方程为4x +3y −7=0． 故答案为：4x +3y −7=0．设直线l 的方程为：4x +3y +m =0，把点P(−2,5)代入解得m 即可得出．本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．16.答案：13解析： 【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题． 设|PF 2|=x ，由双曲线的定义及性质得|x −3|=10，由此能求出|PF 2|. 【解答】解：设|PF2|=x，双曲线x225−y216=1的左、右焦点分别为F1,F2，所以a=5，b=4，c=√41，点P在双曲线上，且|PF1|=3，∴|x−3|=2a=2×5=10，解得x=13或x=−7(舍).∴|PF2|=13，故答案为13．17.答案：−1或−175解析：【分析】本题考查两圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，是基础题．由题意可知两圆外切，再由圆心距等于半径和列式求解．【解答】解：由题意，圆O1与圆O2外切，所以|O1O2|=2+3=5，即√m+22+(2+2m)2=5，解得m=1或m=−175，故m=1或m=−175．故答案为−1或−175．18.答案：√5解析：【分析】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、两点间的距离公式，属于基础题．由抛物线y2=4x可得准线l：x=−1.设P(x0,y0)，过点P作PM⊥l，垂足为M.利用|PF|=|PM|=x0+ 1，可解得x0.进而得到y02.利用两点间的距离公式即可得出|OP|．【解答】解：由抛物线y2=4x可得准线l：x=−1，设P(x0,y0)，过点P作PM⊥l，垂足为M，∵|PF|=2，∴2=|PF|=|PM|=x0+1，解得x0=1，∴y02=4×1=4，∴|OP|=√x02+y02=√5，则点P 到抛物线顶点O 的距离是√5．故答案为√5．19.答案：√33或√53解析：【分析】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ，由椭圆的定义可得3x =2a ，根据△MF 1F 2为直角三角形，分类讨论，即可求出椭圆Γ的离心率．【解答】解：设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ，∴3x =2a ，∴a =3x 2， ∵△MF 1F 2为直角三角形，∴x 2+4c 2=(2x)2，或x 2+(2x)2=4c 2，∴c =√32x ，或c =√52x ， ∴e =c a =√33或√53． 故答案为：√33或√53．20.答案：(x −2)2+(y −2)2=4解析：【分析】本题考查轨迹的求法及中点坐标公式，属于简单题．设点N 的坐标为(x,y)，根据点N 与点M 关于点A(1,1)对称，求得点M 的坐标，再把点M 的坐标代入圆x 2+y 2=4，化简可得点N 的轨迹方程．【解答】解：由题意得，设N 的轨迹上任一点的坐标为(x,y)，此时点M 的坐标为(x 1,y1)，则x+x 12=1，y+y 12=1，所以{x 1=2−x y 1=2−y, 代入圆的方程，整理得(x −2)2+(y −2)2=4，即N 点的轨迹方程为(x −2)2+(y −2)2=4．故答案为：(x −2)2+(y −2)2=4．21.答案：解：将圆的方程写成标准形式，得x 2+(y +7)2=25，所以，圆心坐标是(0,−7)，半径长r =5．因为直线l 被圆所截得的弦长是4√5，所以，弦心距为√52−(4√52)2=√5， 即圆心到所求直线l 的距离为√5．因为直线l 的斜率为2，所以可设所求直线l 的方程为y =2x +b ，即2x −y +b =0．所以圆心到直线l 的距离为d =5， 因此，√5=√5解得b =−2，或b =−12．所以，所求直线l 的方程为y =2x −2，或y =2x −12．即2x −y −2=0，或2x −y −12=0．解析：先设直线的方程，再求出圆心到直线的距离，再由半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和建立方程求解．本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．22.答案：解：(1)依题意，直线l ：y =2x +8，联立抛物线C ：x 2=2y ，可得x 2−4x −16=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4，x 1x 2=−16，故|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+4⋅√16+4×16=20；(2)联立{x −y =0x +y −4=0，解得x =y =2，故A (2,2)， 设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，可得x 2−2kx −4k −8=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4k −8，则k AM =y 1−2x 1−2=k(x 1+2)+2x 1−2，k AN =y 2−2x 2−2=k(x 2+2)+2x 2−2，k AM ⋅k AN =[k(x 1+2)+2][k(x 2+2)+2](x 1−2)(x 2−2)=k 2[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]+2k(x 1+x 2+4)+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2(−4k−8+4k+4)+2k(2k+4)+4−4k−8−4k+4=−1．解析：(1)求得直线l 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值：(2)求得交点A(2,2)，设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，运用韦达定理和斜率公式，化简整理即可得到所求值．本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)由{x 2+y 2=1√3x −y +m =0消去y 得4x 2+2√3mx +m 2−1=0， 由已知得，(2√3m)2−16(m 2−1)>0得m 2−4<0，得实数m 的取值范围是(−2,2)；(2)因为圆心C(0,0)到直线l ：√3x −y +m =0的距离为d =3+1=|m|2，所以|AB|=2√r 2−d 2=2√1−m 24=√4−m 2 由已知得2=√3，解得m =±1．解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)直线与圆的方程联立，利用判别式大于0，即可求实数m 的取值范围；(2)求出圆心C(0,0)到直线l ：√3x −y +m =0的距离，利用|AB|=√3，求实数m 的值． 24.答案：解：(1)依题意可得解得c =√3，右焦点F 2(√3,0)，2a =√(√3+√3)2+14+√(√3−√3)+14=72+12=4，所以a =2， 则b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =2x +m x 24+y 2=1得17x 2+16mx +4m 2−4=0， 则△=(16m)2−4×17×4(m 2−1)=−16m 2+16×17由△>0得m 2<17，则x 1+x 2=−16m17,x 1⋅x 2=4m 2−417，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√5√−16m 2+16×1717因为O 到AB 的距离d =√5，所以S △OAB =12|AB|d =2√17−m 2⋅|m|17=217⋅√(17−m 2)m 2≤17−m 2+m 217=1 当且仅当17−m 2=m 2，即m 2=172时，得m =±√342，△OAB 面积取得最大值1．解析：(1)根据椭圆的定义求出a ，再根据b 2=a 2−c 2=1，即可求出椭圆方程，(2)联立方程组，得3x 2+4mx +2m 2−2=0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，能求出△OAB 面积取最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 25.答案：解：(1)抛物线C ：y 2=2px 过点A(1,1)，可得1=2p ，即p =12，则抛物线的方程为y 2=x ；(2)由题意可得直线的斜率不为0，设过M 的直线的方程为x =my +a ，代入抛物线方程可得y 2−my −a =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=m ，y 1y 2=−a ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)2+y 1y 2 =a 2−a >0，解得a >1或a <0．解析：【分析】本题考查抛物线的方程和运用，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．(1)代入A 的坐标，解方程可得p ，进而得到抛物线方程；(2)由题意可得直线的斜率不为0，设过M 的直线的方程为x =my +a ，代入抛物线方程，运用韦达定理和两斜率数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．26.答案：解：(1)椭圆C 的离心率为√32，则e =c a =√32，① ∵△PF 1F 2为面积最大值为√3，∴bc =√3，②又a 2=b 2+c 2，③由①②③解得a =2，b =1，c =√3，故椭圆方程为x 24+y 2=1，(2)由(1)知，圆E 的方程为x 2+y 2=5，其圆心为原点O ．∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M(x 0,y 0)∴方程组{y =kx +m x 24+y 2=1(∗) 有且只有一组解． 由(∗)得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0．从而△=(8km)2−4(1+4k 2)(4m 2−4)=0，化简得m 2=1+4k 2，则m ≠0∴x 0=−8km 2(1+4k 2)=−4km 1+4k 2=−4k m ，y 0=k ×(−4k m )+m =m 2−4k 2m =1m ， ∴点M 的坐标为(−4k m ,1m )，∴k OM =−14k∴k OM ×k =−14≠−1．∴OM 与AB 不垂直．)∴点M 不是线段AB 的中点．∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 不成立解析：(1)利用椭圆的离心率，△PF 1F 2为面积最大值为√3，然后求解，即可得到椭圆C 的方程．(2)求出圆E 的圆心为原点O ，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，联立方程组，通过韦达定理结合直线的斜率关系判断即可．本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．。
哈尔滨市第三中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题文含解析
∵sina= ，且a为第四象限角，
∴ ,
则 ，
故选D.
3。 四张卡片上分别写有数字 ，若从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是( ）
A. B。 C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定从这四张卡片中随机抽取两张总事件数，再确定抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的事件数,最后根据古典概型概率公式求解.
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019—2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）
考试说明：
(1）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间为120分钟;
（2）第Ⅰ卷,第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
因此
故选：C
【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题பைடு நூலகம்本大题共4小题,将答案填在答题卡相应的位置上．
13。 已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于__________．
【答案】24
【解析】
【分析】
根据扇形面积公式求解.
【详解】扇形的面积为 .
【点睛】本题考查分层抽样方法以及古典概型概率公式,考查基本分析求解能力，属基础题.
19. 如图所示，“8"是在极坐标系Ox中分别以 和 为圆心，外切于点O的两个圆．过O作两条夹角为 的射线分别交⊙C1于O、A两点,交⊙C2于O、B两点．
（1)写出⊙C1与⊙C2的极坐标方程;
（2）求△OAB面积最大值．
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)第一次段考数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）第一次段考数学试卷2一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.与直线l:x−2y+1=0垂直且过点(−1,0)的直线m在y轴上的截距为()A. 2B. −2C. 1D. −12.圆x2+y2+2y=1的半径为()A. 1B. √2C. 2D. 43.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+8y−7=0平行，则它们之间的距离是()A. 1B. 2C. 135D. 13104.下列四个命题中真命题的个数是()①经过定点P0(x0,y0)的直线，都可以用y−y0=k(x−x0)来表示；②经过任意两点的直线都可以用(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)来表示；③不经过原点的直线都可用方程xa +yb=1表示；④经过A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示．A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个5.设变量x，y满足约束条件{x≥0x−y≥02x−y−2≤0则z=3x−2y的最大值为()A. 0B. 2C. 4D. 66.过点A(1,−1)与B(−1,1)且半径为2的圆的方程为()A. (x−3)2+(y+1)2=4B. (x−1)2+(y−1)2=4或(x+1)2+(y+1)2=4C. (x+3)2+(y−1)2=4D. (x+1)2+(y−1)2=47.如果点P在平面区域{2x−y+2≥0x+y−2≤02y−1≥0上，点Q在曲线x2+(y+2)2=1上，那么|PQ|的最大值为()A. 5B. √342+1 C. 2√2+1 D. √2−18.设点A(3,−1)，B(−1,−4)，直线过P(2,2)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是()A. −3≤k≤2B. k≥2或k≤−3C. −2≤k≤3D. k≥3或k≤−29.直线y=x−3被圆x2+y2−4x=0所截得弦长为()A. √14B. √142C. 7D. 1410.点F(√3m+3,0)到直线√3x−√3my=0的距离为()A. √3B. √3mC. 3D. 3m二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.若直线l1：mx+y−(m+1)=0平行于直线l2：x+my−2m=0，则m=______ ．12.已知变量x,y满足约束条件，目标函数z=2x+y的最小值为−5，则实数a=_____，此时，z=y−2x−4的取值范围是___________．13.已知A(−1,0),B(2,0)，动点M满足|MA||MB|=12，则△MAB面积的最大值为______．14.若P(x,y)为圆x2+y2−6x−4y+12=0上的点，则yx的最大值为________．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）15.已知x，y满足约束条件{x−4y⩽−33x+5y⩽25x⩾1，试求解下列问题．(1)z=√x2+y2的最大值和最小值；(2)z=yx+2的最大值和最小值；(3)z=|3x+4y+3|的最大值和最小值．16.已知直线L:kx−y+1+2k=0.(1)求证：直线L过定点；(2)若直线L交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B，ΔAOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线L的方程．17.已知菱形ABCD中，A(−4,7)，C(2,−3)，BC边所在直线过点P(3,−1).求：(1)AD边所在直线的方程;(2)对角线BD所在直线的方程．18.已知圆C经过点E(0,4),F(5,5)，且圆心在直线l：2x−7y+8=0上.(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,2)的直线与圆C交于A,B两点，问在直线y=2上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了直线方程问题，考查直线与直线的位置关系以及直线在坐标轴的截距问题，是一道基础题．求出直线l的斜率，根据垂直关系求出所求直线的斜率，代入点斜式方程求出直线方程，令x=0，求出y的值即可．【解答】，解：直线l：x−2y+1=0的斜率是12由题意得所求直线的斜率k=−2，故所求直线方程是：y=−2(x+1)，即2x+y+2=0，令x=0，解得：y=−2，故选B．2.答案：B解析：【分析】本题考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．【解答】解：由题知圆x2+y2+2y=1，所以x2+(y+1)2=2，所以r2=2，r=√2，故选B．3.答案：D解析：【分析】把直线3x+4y+3=0化为6x+8y+6=0，再求两平行线间的距离．本题考查了求两条平行线间的距离的问题，是基础题．解：直线3x +4y +3=0化为6x +8y +6=0，则直线3x +4y +3=0与直线6x +8y −7=0之间的距离为 d =√62+82=1310．故选：D ．4.答案：B解析：熟悉直线方程的限制条件与充要条件，只有②是正确的．5.答案：C解析： 【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件{x ≥0x −y ≥02x −y −2≤0作出可行域如图，化目标函数Z =3x −2y 为y =32x −z2，由图可知，当直线y =32x −z2过A(0,−2)时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最大值为3×0−2×(−2)=4． 故选C ．6.答案：B解析：本题考查了圆的标准方程，求出圆心坐标，则圆的方程可得．【解答】解：∵圆过点A(1,−1)和B(−1,1)，所以圆心在AB的垂直平分线y=x上，设圆心坐标为(m,m)，由半径为2，得√(m+1)2+(m−1)2=2，解得m=±1，∴圆心坐标为(1,1)或(−1,−1)．∴所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=4或(x−1)2+(y−1)2=4，故选B．7.答案：A解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A(0,2)，圆心D(0,2)，∴由图象可知当P位于A，Q在E(0,−3)处，|PQ|的距离最大，最大为2−(−3)=5．故选：A作出不等式度对应的平面区域，利用点和圆的位置关系即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合，以及点与圆的位置关系，结合距离公式是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】本题考查直线的斜率公式的应用，考查学生的计算能力，比较基础．由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，用直线的斜率公式求出k PB和k PA的值，即可求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，∵k PB=2+42+1=2，k PA=2+12−3=−3，∴k≥2，或k≤−3，故选：B．解析：解：根据题意，圆x2+y2−4x=0即(x−2)2+y2=4，圆心为(2,0)，半径r=2；圆心到直线y=x−3即x−y−3=0的距离d=√2=√22，则直线y=x−3被圆x2+y2−4x=0所截得弦长为2×√r2−d2=2×√4−12=√14；故选：A．根据题意，由圆的方程分析可得圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．10.答案：A解析：【分析】本题考查点到直线的距离，属于基础题.利用点到直线的距离公式求出即可．【解答】解：点(√3m+3,0)到直线√3x−√3my=0的距离为√m+1|√(√3)+(−√3m)=√3，故选：A．11.答案：−1解析：解：∵直线l1：mx+y−(m+1)=0平行于直线l2：x+my−2m=0，∴m1=1m≠−(m+1)−2m，解得m=−1故答案为：−1由题意可得m1=1m≠−(m+1)−2m，解之即可．本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．12.答案：−3；[−12,13 14]解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数z=2x+y的最小值为−5，确定平面区域的位置，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=2x+y的最小值为−5，建立条件关系即可求出a的值和z的范围．【解答】解：目标函数z =2x +y 的最小值为−5，∴y =−2x +z ，要使目标函数z =2x +y 的最小值为−5，则平面区域位于直线y =−2x +z 的右上方，可以求得2x +y =−5， 作出变量x ，y 满足约束条件对应的平面区域如图：则目标函数经过点A ，由{2x +y =−5x −y +1=0，解得A(−2,−1)，同时A 也在直线x +y −a =0上，即−2−1−a =0， 解得a =−3，z =y−2x−4表示点过(x,y)与点(4,2)直线斜率， 由{x −y +1=02x −y −1=0得(2,3)， 当过(2,3)和(4,2)时斜率最小−12， 由{x +y +3=02x −y −1=0得(−23,−73)， 过(−23,−73)和(4,2)时斜率最大1314， 故答案为−3；[−12,1314]．13.答案：3解析： 【分析】本题考查了与圆有关的轨迹问题，属于中档题．根据题意可求M 的轨迹为以(−2,0)为圆心，以2为半径的圆，即可求△MAB 面积的最大值． 【解答】解：设M(x,y)，A(−1,0),B(2,0)，|MA ||MB |=12， 则(x+1)2+y 2(x−2)2+y 2=14⇒(x +2)2+y 2=4，即M 的轨迹为以(−2,0)为圆心，以2为半径的圆， |AB|=3，M 到AB 的最大距离为2，故△MAB 面积的最大值为12×2×3=3，故答案为3．14.答案：3+√34解析：【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据点到直线的距离公式和半径之间的关系是解决本题的关键.设yx=k，利用点到直线的距离公式以及直线和圆的位置关系进行求解．【解答】解：设yx=k，即kx−y=0，∵P(x,y)在圆x2+y2−6x−4y+12=0，即(x−3)2+(y−2)2=1上运动，∴圆心(3,2)到直线kx−y=0的距离d≤1，即√1+k2≤1，解得：3−√34≤k≤3+√34，故yx 的最大值为3+√34，故答案为3+√34．15.答案：解：作出可行域如图：(1)易得可行域中三个交点的坐标为(5,2)，(1,1)，(1,225)，目标函数表示可行域内的点(x,y)到原点的距离，最小值为原点到点(1,1)的距离√2；最大值为原点到点(5,2)的距离，为√25+4=√29；(2)目标函数表示的是可行域内的点(x,y)与(−2,0)所在直线的斜率，最大值为点(1,225)与(−2,0)所在直线的斜率，即2253=2215，最小值为点(1,1)与(5,2)所在直线的斜率，即27；(3)由可行域可知x>0，y>0，所以|3x+4y+3|=3x+4y+3，由可行域可得3x+4y+3在点(1,1)取得最小值，即3+4+3=10，在点(5,2)处取得最大值，即15+ 8+3=26．解析：本题主要考查了线性规划的知识和数形结合的思想，属于基础题．(1)转化为两点间的距离公式求解即可；(2)转化为斜率处理即可；(3)注意x和y是大于0的这个条件，然后化简即可．16.答案：(1)定点；(2)最小值为4，L的方程为x−2y+4=0解析：(1)证明：由已知得：k(x+2)+(1−y)=0，令x+2=0，1−y=0，得x=−2，y=1，∴无论k取何值，直线过定点(2)令y=0得A点坐标为(−2−1k,0)，令x=0得B点坐标为(0,2k+1)(k>0)，∴SΔAOB=12|−2−1k||2k+1|=12(2+1k)(2k+1)=12(4k+1k+4)≥1 2(4+4)=4.当且仅当4k=1k，即k=12时取等号．即ΔAOB的面积的最小值为4，此时直线L的方程为12x−y+1+1=0，即x−2y+4=0．17.答案：解：(1)由题意知，k BC =−1−(−3)3−2=2，∵AD//BC ，∴k AD =2， ∴AD 边所在直线的方程为y −7=2(x +4)，即2x −y +15=0．(2)由题意知，k AC =−3−72−(−4)=−53．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD =35，而AC 的中点(−1,2)也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y −2=35(x +1)，即3x −5y +13=0．解析：本题考查直线方程以及直线平行垂直斜率间的关系．(1)两直线平行斜率相等是解本题的关键，其中考查斜率公式，直线方程的点斜式及一般式．(2)两直线垂直斜率乘积为−1是解题的关键．18.答案：解：(1)∵E(0,4)，F(5,5)，∴EF 的中点为D(52,92)，又k EF =5−45−0=15，∴EF 的垂直平分线的斜率为−5，得EF 的垂直平分线的方程为5x +y −17=0，联立{2x −7y +8=05x +y −17=0，解得x =3，y =2． 则圆C 的圆心坐标为(3,2)，半径为√(3−0)2+(2−4)2=√13．∴圆C 的方程为(x −3)2+(y −2)2=13；(2)当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，则过点M(1,2)的直线方程为y =k(x −1)+2， 由{y =k(x −1)+2(x −3)2+(y −2)2=13，整理得(1+k 2)x 2−(6+2k 2)x +k 2−4=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=6+2k 21+k 2,x 1x 2=k 2−41+k 2， 设N(t,2)，则k AN =y 1−2x 1−t ,k BN =y 2−2x 2−t ， ∵k AN =−k BN ，∴y 1−2x 1−t +y 2−2x 2−t=0， ∴(y 1−2)(x 2−t)+(y 2−2)(x 1−t)=0，即2x 1x 2−(t +1)(x 1+x 2)+2t =0，则2k 2−81+k 2−(t +1)⋅2k 2+61+k 2+2t =0，解得：t =−72；当斜率不存在时，x =1，A(1,5)，B(1,−1)，k AN =−k BN 成立，,2)，使得k AN=−k BN恒成立．∴在直线y=2上存在定点N(−72解析：本题考查圆的标准方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．(1)由中点坐标公式求得EF的中点坐标，再由斜率公式求得EF所在直线当斜率，得到EF的垂直平分线的斜率，写出EF的垂直平分线方程，与直线l联立求得圆心坐标，再求出半径，则圆C的方程可求；(2)当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，求得过点M(1,2)的直线方程，与圆的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及k AN=−k BN列式求解t；当斜率不存在时，x=1，A(1,5)，B(1,−1)，k AN=−k BN成立，则结论可求．。
【20套试卷合集】黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案注意：①本试卷共2页，答题卡2页，满分150分，考试时间120分钟；②请将所有答案填写在答题卡上，选择题用2B 铅笔填涂，填空题或大题用黑色水性笔书写，否则不得分；一.选择题1.不等式2x x >的解集是（ ）A ．(0)-∞，B ．(01)，C ．(1)+∞，D ．(0)(1)-∞+∞，，2.设,,a b c R ∈,且a b >,则（ ） A ．ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >3.“3x >”是“24x >”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．15.下列结论正确的是（ ） A.当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x +≥； B.当0x >2≥； C.当2x ≥时，1x x +的最小值为2； D.当02x <≤时，1x x-无最大值；6.已知变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A.3B.1C.－5D.－67.如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为（ ） A ．34 B ．16 C ．1112 D ．25248.为了得到函数sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像， 只需把函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ） A.向左平移4π个长度单位 B.向右平移4π个长度单位C.向左平移2π个长度单位D.向右平移2π个长度单位9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( ) A ．16 B ．13 C ．23D ．110.关于x 的不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为12(,)x x , 且2115x x -=,则a =（ ）A ．52 B ．72 C ．154D ．152图 2俯视图侧视图正视图11.等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=, 则3132310log log log a a a +++=( )A.12B.10C.8D.32log 5+ 12.在△ABC 中,22bc b a =-,且80B A -=,则内角C 的余弦值为( ) A.1 B.23 C.12 D.13二.填空题本大题共4题,每小题5分,共20分. 13.已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2a =，||3b =，则向量a 和向量b 的数量积a b ⋅=_________.(文科试卷第1页)14.在等差数列{}a 中,已知10a a +=,则3a a +=____________________.15.在数列{}n a 中，若11a =，()1231n n a a n +=+≥，则该数列的通项5a =________________.16.若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.三.解答题本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长,宽各为多少时, 菜园的面积最大.最大面积是多少?18.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1c o s4B =． ⑴求b 的值； ⑵求s i nC 的值．19.已知等差数列{}n a ，公差d 不为零，11a =，且2514,,a a a 成等比数列; ⑴求数列{}n a 的通项公式; ⑵设数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.如图,直棱柱111ABC A B C -中,,D E 分别是1,AB BB 的中点,122AA AC CB AB ====. ⑴证明DC DE ⊥;⑵求三棱锥1C A DE -的体积.21.已知函数：123)(2--=mx x x f ,47)(-=x x g ． ⑴解不等式()2f x ≥-;⑵若对任意的[]0,2x ∈,()()f x g x ≥,求m 的取值范围.22.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+,其中20a ≠. ⑴若22a =,求1a 及n a ; ⑵若21a >-,求证1()2n n nS a a ≤+,并给出等号成立的充要条件.(文科试卷第2页)一.选择题 理科 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DDBCBCCABABC文科 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DDBCBCCDBABC二.填空题 理科 题号 13 14 15 16 答案320123n +-5文科 题号 13 14 15 16 答案320615提示10.()()2228240x ax a x a x a --=+-<,故12x a =-,24x a =;12.由22bc b a =-结合正弦定理,得()()2211sin sin sin sin 1cos 21cos 222B C B A B A =-=--- ()()()()()1cos 2cos 2sin sin sin sin 2A B A B A B A B B A =-=-+-=+-, 由()sin sin A B C +=,得()sin sin B B A =-,由于80B A -=,故100B =,20A =,60C =.16.1335155x y xy y x +=⇒+=,()13312493434555555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭.三.解答题17.解设矩形的长宽分别为,x y ,则有()236x y +=,18x y +=,面积229812x y S xy +⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭,当且仅当9x y ==时取“＝”, 故当长宽都为9m 时,面积最大为812m .18.解⑴由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，得222123223104b =+-⨯⨯⨯=，∴b = ⑵方法1：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-=，8==， ∵C 是△ABC的内角，∴sin 8C ==. 方法2：∵1cos 4B =，且B 是ABC ∆的内角，∴sin 4B ==． 根据正弦定理，sin sin b c B C=，得3sin sin c B C b ===．19.解：⑴由2514,,a a a 成等比数列得，25214()a a a =⋅，即2(14)(1)(113)d d d +=++,解得，2d =或0d =（舍）, 12(1)21n a n n =+-=-,⑵(理科)由⑴13)12(--=⋅=n n n n n b a c123)12(35331--++⨯+⨯+=n n n S ,31)31(3213)12()333(213)12(23)12(3)32(3533313112132--⨯---=+++---=-+-++⨯+⨯+⨯=---n n n n n nn n n n S n n S23)1(2+-=n n , 所以13)1(+-=nn n S .⑵(文科)()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭,故121111111111123235212122121n n n S b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.⑴由2AC CB AB ==,知CD AB ⊥,又1CD AA ⊥,故11CD A ABB ⊥面, 11DE A ABB ⊂面,故DC DE ⊥;⑵(理科)设12AA a =,故可得1AD ,DE =,13A E a =,故22211A E A D DE =+,故1A D DE ⊥,又由⑴得DC DE ⊥,故1DE A DC ⊥面,故所求角的平面角为ECD ∠,⑵(文科)由⑴知11CD A ABB ⊥面,又1A DE ∆为直角三角形(理科已证)故11111113232C A DE V CD A D DE -=⋅⋅⋅⋅==.21.解⑴()2f x ≥-可化为23210x mx -+≥,()243m ∆=-,①当0∆≤时,即m ≤≤时,不等式的解为R;②当0∆>时,即m <m >时,1x =,2x =,不等式的解为x <x >;⑵(理科)47||1232-≥--x mx x ，对任意的)2,1(-∈x 恒成立, ①当20<<x 时，043)12(32≥++-x m x ，即12433+≥+m xx 在20<<x 时恒成立; 因为3433≥+x x ，当21=x 时等号成立．所以123+≥m ，即1≤m ; ②当01<<-x 时，043||)12(||32≥+-+x m x ，即m x x 21||43||3-≥+在01<<-x 时恒成立， 因为3433≥+x x ，当21-=x 时等号成立． 所以m 213-≥，即1-≥m ;③当0=x 时，R m ∈．综上所述，实数m 的取值范围是]1,1[-．⑵(文科)47||1232-≥--x mx x ，对任意的[]0,2x ∈恒成立, ①当02x <≤时，043)12(32≥++-x m x ，即12433+≥+m xx 在20<<x 时恒成立; 因为3433≥+x x ，当21=x 时等号成立．所以123+≥m ，即1≤m ; ②当0=x 时，R m ∈．综上所述，实数m 的取值范围是(],1-∞．22.解⑴121n n S a S a +=+ ………①,当1n =时代入①,得2211S a S a =+,解得11a =;故12n n a -=(对1n =也满足);⑵当1n =或2时,显然1()2n n nS a a =+,等号成立. 设3n ≥,21a >-且20a ≠,由(1)知,11a =,12n n a a -=,所以要证的不等式化为()()21122221132n n na a a a n --++++≤+≥ 即证()()2222211122n n n a a a a n +++++≤+≥ 当21a =时,上面不等式的等号成立.当211a -<<时,21r a -与21n ra --,(1,2,3,,1r n =-)同为负; 当21a >时, 21r a -与21n ra --,(1,2,3,,1r n =-)同为正;因此当21a >-且21a ≠时,总有 (21r a -)(21n ra --)>0,即2221r n r n a a a -+<+,(1,2,3,,1r n =-).上面不等式对r 从1到1n -求和得,()222222()(1)1n r n a a a n a -+++<-+;由此得()222221112n n n a a a a +++++<+ ; 综上,当21a >-且20a ≠时,有1()2n n nS a a ≤+,当且仅当1,2n =或21a =时等号成立.2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．1与3两数的等差中项是( ) A ．1B ．3C ．2D ．3±2．已知条件2:=x p ，条件0)3)(2(:=--x x q ，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题：若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理数根，那么c b a ,,中至少有一个是偶数．用反证法证明该命题时，应反设的是( )A ．假设c b a ,,都是偶数B ．假设c b a ,,都不是偶数C ．假设c b a ,,至多有一个偶数D ．假设c b a ,,至多有两个偶数4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710a a +=，则=19S ( ) A ．55B ．100C ．95D ．不能确定5．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x x R ，则( ) A ．1sin ,:≥∈∃⌝x x p R B ．1sin ,:≥∈∀⌝x x p R C ．1sin ,:>∈∃⌝x x p R D ．1sin ,:>∈∀⌝x x p R6．对于任意实数d c b a ,,,，命题： ①bc ac c b a >≠>则若,0,； ②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22； ④ba b a 11,<>则若；⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0． 其中真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是( )． A ．71-B ．71 C ．1411 D ．141 8．下列各式中，最小值等于2的是( )9．若实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥.022,0,0y x y x y 则11+-=x y t 的取值范围是( )A ．［－1，31］ B ．［31,21-］ C ．［21-，＋∞) D ．［21-，1) 10．锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A B 2=，则ab的取值范围是( )A ．)2,2(-B ．)2,0(C ．)2,2(D ．()3,2(二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．函数12()3(0)f x x x x=+>的最小值为_____________． 12．命题“若三角形的两条边相等，则此三角形对应的两个角相等”的否命题是_____________． 13．等比数列}{n a 中0>n a ，且243879236a a a a a a ++=，则38a a +＝______________．14．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是正数，在以下四个命题中：①q p ∨⌝)( ②q p ∧③)()(q p ⌝∧⌝ ④)()(q p ⌝∨⌝，所有真命题的序号是___________． 15．若)0,0(01>>=-+y x y x ，则11++x y 的取值范围是___________． 三、解答题(本大题共6小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(8分)已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a ==．(1)数列{}n a 从哪一项开始小于0？ (2)求13519a a a a ++++值．17．(8分)在ABC ∆中，53cos ,135cos =-=B A ． (1)求C sin 的值；(2)设5=BC ，求ABC ∆的面积．18(8分)已知命题02:2≤--x x p ，命题0:22≤---m m x x q ．(1)若p ⌝为真，求x 的取值范围；(2)若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求m 的取值范围．19．(8分)若函数)8(62++-=k kx kx y 对一切x 恒有意义，求实数k 的取值范围．20．(9分)随着我国国民经济的迅速发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，汽车等商品逐渐成为大众化消费．某种汽车，购车费是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费等约为0.9万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年比上一年递增0.2万元．试问这种汽车使用多少年时，年平均费用最少？21．(9分)设关于x 的一元二次方程n a -2x 1n a +)(01N n x ∈=+有两根a 和β，且满足3626=+-βαβα．(1)试用n a 表示1+n a ； (2)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n a 是等比数列；(3)当671=a 时，求数列{}n na 的前n 项和n SA2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案考试时间：120分钟 满分：150分一,选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的） 1．若命题p ：2是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列结论中正确的是( ) A ．“p ∨q”为假 B ．“p ∨q”为真 C ．“p ∧q”为真D ．以上都不对2．抛物线2ax y =的准线方程为02=+y ，则a 的值是（ ） A ．8B ．8-C ．81D ．81-3、如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中,点M 为AC 与BD 的交点， 若a B A =11，,,111c A A b D A==则下列向量中与M B 1相等的是（ ）A．c+-- B++ Cc +- D ．++4、平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”， 命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.下列有关选项正确的是（ ） A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题 .B ．“5x =”是“2450x x --=”的充分不必要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2230x x --≤”. D ．已知命题:p x R ∃∈，使得210x x +-<，则:p x R ⌝∃∈，使得210x x +-≥.6．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 7．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311488OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．共线D ．不共线 8．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB=∠A 1AD =60º，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ）AB ．DBDACEF9，∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( )A.12．0101，抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A ．2 D.371611. ”的逆否命题是1223=e 的双曲线方程为13. 12PF F ∆的面积最大为12，则椭圆方程为 14，－1)，则p 在基底 {b a b a ,-+15. 设12,F F ,过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A,B 两点,若△2ABF 的取值范围是16，抛物线l 与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|＝85，求直线l 的方程．17x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有解，则a ≥1”的逆否命题的真假．18两两垂直，AB ＝BC ＝BD ＝4，E 、F 分别为棱BC 、AD (1) (2)求E (3)求EFBCAB 1C 1A 1NM P19.已知P 为椭圆1422=+y x 上的任意一点，O 为坐标原点，M 在线段OP 上，且OM= （Ⅰ）求点M 的轨迹方程；（Ⅱ）已知直线0263=-+y x 与M 的轨迹相交于B A ,两点，求OAB ∆的面积20．如图，已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直底面，11===AC AB AA ，AC AB ⊥，M 、N 分别是1CC 、BC 的中点，点P 在直线11B A 上，且111B A P A λ= （1）证明：无论λ取何值，总有PN AM ⊥（2）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大，并求该角取最大值时的正切值。
哈尔滨三中2019-2020期中高二数学理科试题含答案
2019年黑龙江省学业水平考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1.椭圆C ：22194x y +=的离心率是（）A.3B.139C.3D.592.两平行直线1:210l x y +-=与2:230l x y ++=间距离为（）A.5B.5C.5D.53.若双曲线C:()222109x y a a -=>的渐近线方程为32y x =±，则a 的值为（）A.2B.4C.6D.84.当圆C:224220x y x my m +--+=的面积最小时，m 的取值是（）A.2B.3C.2D.15.()00,P x y 是抛物线24y x =上一点，点P 到焦点的距离是点P 到y 轴距离的3倍，则0x =（）A.12B.1C.32D.26.已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积是9，则b =（）A.1B.2C.3D.47.以抛物线210x y =-210mx my -+=相切，则m =（）A.215-或1 B.25或1 C.215-或25D.25或1-8.已知两点()()2,0,0,4A B ，O 为坐标原点，动点(),P x y 在线段AB （不含端点）上运动，过P 点分别向,x y 轴作垂线，垂足分别为,M N ，则四边形PMON 的面积的最大值为（）B.2C. D.89.双曲线2233x y t -=的一个焦点坐标为()0,4，则t =（）A.4- B.2- C.2D.410.直线l 过抛物线2:y 2C x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限）若2BF =，则AF =A.25B.23C.125D.8311.若直线l ：20x y -=与双曲线224x ay -=()0a >的右支仅有一个公共点，则a 的取值范围是（）A.()4,+∞ B.[)4,+∞ C.()0,4 D.(]0,412.已知点()1,2M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若090AMB ∠=，则k =（）A.1B.2C.3D.413.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线()22:x 20C py p =>交于A ，B 两点，若6AF BF OF +=，则双曲线1C 的渐近线方程为（）A.12x ±B.y x =±C.22x ±D.14.已知过椭圆()222210,0x y a b a b +=>>的左焦点为1F 且斜率为b a 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点.若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=（其中O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A.3B.12C.2D.2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）15.已知双曲线22:13x C y -=左、右焦点分别为1F ，2F ，点(),P x y 在C 右支上，若22PF =，则1PF =16.已知圆221:2440C x y x y +-+-=，圆222:2220C x y x y ++--=，则两圆的公切线条数是17.点(),P x y 在抛物线24y x =上，则点P 到()0,3的距离与点P 到准线的距离之和的最小值是18.已知椭圆()222:124x y C a a +=>左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S ∆=则a 的取值范围是19.已知定点()()122,0,2,0F F -，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是20.如图，过抛线2:2C y px =()0p >的焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且,A B两点在准线上的射影分别为,M N .若MFN AFM S S λ∆∆=，BFN MFN S S μ∆∆=，则λμ=三、解答题（本大题共6小题，共70分）21.（本小题满分10分）已知直线20l y -+=，22:4410C x y x y ++--=（1）判断直线l 与圆C 的位置关系，并证明；（2）若直线l 与圆C 相交，求出圆C 被直线l 截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离.22.（本小题满分12分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x，过点(4,.（1）求双曲线标准方程；（2）若直线()1y k x =-与双曲线有两个不同的公共点，求k 的取值范围.23.（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 为圆()2211x y -+=的圆心，O 为坐标原点.（1）求已知抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 焦点F ，作斜率为43的直线l 交C 于,A B 两点（A 点在第一象限），若AF FB λ= ，求λ的值.24.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>点()0,2A 与点P 在椭圆C 上.已知()2,0B ，O 为坐标原点，且62OA OB +=.（1）求已知椭圆C 的方程；（2）已知()0,8M ，若Q 是椭圆C 上一动点，求QM 的最大值，并写出此时Q 点坐标.25.（本小题满分12分）如图，已知直线l 与抛物线2y x =相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，且121y y =-.（1）求证：OA OB ⊥；（2）求点M 的横坐标；（3）过A ，B 点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q ，求QM ABk k ⋅26.（本小题满分12分）已知椭圆222:18x y C b +=的一个顶点为抛物线28x y =的焦点，点()00,P x y 在椭圆C 上且000x y ⋅≠，P 关于原点O 的对称点Q ，过P 作OP 的垂线交椭圆于另一点T ，连QT 交x 轴于M（1）求椭圆C 的方程；（2）求证PM ⊥x 轴；（3）记POM ∆的面积为1S ，PQT ∆的面积为2S ，求12S S 的取值范围.答案一、选择题1-5：CDADA 6-10:CCBAB 11-14:CABC二、填空题15.2+16.217.18.()4,+∞19.2213y x -=20.4三、解答题21.（1）相交（2）22.（1）22166x y -=（2）(),11,11,55⎛⎫⎛--- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 23.（1）24y x =（2）4λ=24.（1）22184x y +=（2）()0,2Q -时最大值为1025.（1）略（2）1（3）14-26.（1）22184x y +=（2）略（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。
哈尔滨市第三中学2019_2020学年高二数学6月阶段性测试试题文含解析
根据题意得 ，设切点为 ，求得 ，进而求得切线方程，再由点 在切线方程上，得到关于 的表达式,求得 即可得到答案。
【详解】解：因为
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为: ,
因为 在切线方程上，
所以 ，解得: 或 。
当 时， ，此时切线方程为 ;
当 时， ，此时切线方程为 .
所以，切线方程为： 或 。
故选：B。
【点睛】本题考查变量间的相关关系，回归直线方程，以及残差图、相关指数分析模型拟合的精度情况，要求对各知识点要熟练掌握．
7。已知实数a、b、c满足c〈b<a，且ac〈0，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A.ac（a−c)>0B。c(b−a)〈0C。 D。ab〉ac
【答案】D
【解析】
分析】
先根据 和 ，得出 的符号,再结合 ，利用不等式的基本性质即可得到结果.
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019—2020学年高二数学6月阶段性测试试题 文（含解析）
一、单选题（每小题5分，共50分）
1。复数 的虚部是（ ）
A。4B. C.2D。
【答案】B
【解析】
【分析】
由复数代数形式的乘法运算及复数的概念即可得解。
【详解】 虚部为 。
故选：B
【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数的概念，属于基础题。
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据 求出函数 的对称中心 ,可知 ，再利用倒序相加求和法即可求出．
【详解】因为 ，所以由 解得 ，故函数 的对称中心为 ，即 ．
设 ①，
则 ②,
① ②得, ，即 ．
故选:D．
【点睛】本题主要考查函数新定义的理解和运用,导数的计算，以及函数对称中心的性质应用，属于基础题．
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019_2020学年高二数学6月阶段性测试试题理含解析
【解析】
【分析】
（1）根据 化圆C和直线l极坐标方程为直角坐标方程；
（2）根据圆心到直线距离加半径得圆C上的点P到直线l的最大距离.
【详解】（1） ；
（2）
所以圆心到直线距离为
因此圆C上的点P到直线l的最大距离为
【点睛】本题考查极坐标化直角坐标、直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
【详解】（1）因为直线l恒过定点 且倾斜角为 ，所以 为参数
（2）直线l的参数方程代入C的直角坐标方程得
设M、N对应参数分别为 ，则
因为
因此
点睛】本题考查直线参数方程、极坐标化直角坐标，直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
18.已知函数 的图象在点 处的切线为 .
（1）求函数 的解析式；
，即 在 上单调递减；
（2）当 时，
当 时 ，此时 无极值；
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，因此 有极大值 ，无极小值；
综上： 时， 有极大值 ，无极小值； 时， 无极值.
【点睛】本题考查利用导数证单调性、利用导数研究函数极值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.
17.在直角坐标系 中，直线l恒过定点 且倾斜角为 ；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为 .
【答案】
【解析】
【分析】
根据转移法求曲线C的方程
【详解】因为 ，且 ，所以
故答案为：
【点睛】本题考查伸缩变换、求曲线方程，考查基本分析化简能力，属基础题.
13.下列命题中，真命题的序号有____________.
① ， ；
②若 ，则 ；
黑龙江省哈尔滨市2019-2020年度高二上学期数学期中考试试卷(I)卷
黑龙江省哈尔滨市2019-2020年度高二上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二上·林芝期末) 命题“对任意，都有”的否定为（）A . 存在，都有B . 对任意，使得C . 存在，使得D . 不存在，使得2. （2分）设f为双曲线的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分）若非空集合，，满足，且不是的子集，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个交点，则的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 随的变化而变化5. （2分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，x1,x2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，s1,s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A . x1>x2,s1<s2B . x1=x2,s1<s2C . x1=x2,s1=s2D . x1=x2,s1>s26. （2分）(2018·江西模拟) 下边的流程图最后输出的值是（）A . 6B . 5C . 4D . 37. （2分）先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是8，7，6的概率依次为P1 ， P2 ， P3 ，则（）A . P1=P2＜P3B . P3＜P2＜P1C . P3=P1＜P2D . P3=P1＞P28. （2分）若向量=(3,K)，=(2,-1)，=0，则实数k的值为（）A . -B .C . 6D . 29. （2分） (2017高二下·湖北期中) 为了解重庆某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了5户家庭，得到统计数据表，根据表中可得回归直线方程 = x+ ，其中 =0.5，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（）收入x（万元）68101214支出y（万元）678910A . 15万元B . 14万元C . 11万元D . 10万元10. （2分） (2017高二上·长春期末) 已知点是抛物线上一点，且它在第一象限内，焦点为坐标原点，若，，则此抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .11. （2分）已知4x2+5y2=1，则2x+ y的最大值是（）A .B . 1C . 3D . 912. （2分）(2020·西安模拟) 已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·安庆期中) 某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是________．14. （1分） (2019高二上·辽宁月考) 已知双曲线的中心在原点，虚轴长为6，且以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的方程为________；双曲线的焦点到渐近线的距离为________.15. （1分）(2013·福建理) 椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ，焦距为2c，若直线y= 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ，则该椭圆的离心率等于________．16. （1分）已知两定点F1（﹣1，0），F2（1，0）且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高三上·德州期中) 已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定义域是R；命题在第一象限为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．18. （10分） (2018高二下·辽源月考) 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：甲897976101086乙10986879788（1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；（2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．19. （10分） (2016高二上·黄陵开学考) 已知直线y=x﹣4被抛物线y2=2mx（m≠0）截得的弦长为，求抛物线的标准方程．20. （10分） (2018高二上·镇江期中) 已知椭圆E：的焦距为2 ，一条准线方程为x= ，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．21. （10分） (2016高二上·天心期中) 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22. （10分） (2017高二下·淄川开学考) 已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
黑龙江省哈尔滨市第三中学高二上学期期中数学(理)试题解析版
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高二上学期期中数学（理）试题一、单选题1．椭圆22:194x y C +=的离心率是( ) A．3 B ．139 CD ．59【答案】C【解析】由椭圆22:194x y C +=，可得b a 、的值，求出c 的值，可得离心率. 【详解】 解：由椭圆22:194x y C +=，可得=3=2a b ，，c故离心率3c e a ==， 故选：C.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的相关知识，求出c 的值是解题的关键.2．两平行直线210x y +-=与230x y ++=间的距离为（ ）ABCD【答案】D【解析】运用两平行直线的距离公式即可得到结论．【详解】根据两平行线间的距离公式得：d 5===． 故选：D ．【点睛】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．3．若双曲线()222:109x y C a a -=>的渐近线方程为32y x =±，则a 的值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】由双曲线()222:109x y C a a -=>可得双曲线的焦点在x 轴上，设渐近线方程为b y x a=±，由渐近线方程为32y x =±，可得a 的值. 【详解】 解：由双曲线()222:109x y C a a -=>，可得双曲线的焦点在x 轴上， 设渐近线方程为b y x a =±，又已知渐近线方程为32y x =±，3b =， 可得2a =，故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的求法，相对不难.4．当圆22:4220C x y x my m +--+=的面积最小时，m 的取值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】将圆的一般方程化为标准方程，求出圆的半径，从而可得圆面积最小时m 的取值.【详解】解：由圆22:4220C x y x my m +--+=，化为标准方程为：222(2)()24x y m m m -+-=-+，可得：22224(1)33r m m m =-+=-+≥可得当1m =时，2r 最小，即圆的面积最小，故选：D.【点睛】本题主要考查圆的一般方程与标准方程的转化，相对不难，注意运算准确. 5．()0,o P x y 是抛物线24y x =上一点，点P 到焦点的距离是点P 到y 轴距离的3倍，则0x =( )A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】A【解析】由抛物线方程为24y x =，计算出p 的值与准线方程，由点P 到焦点的距离是点P 到y 轴距离的3倍列出关于0x 的方程，可得答案.【详解】解：由抛物线方程：24y x =，可得2p =，准线方程为：1x =-，可得点P 到焦点的距离：01x +，由点P 到焦点的距离是点P 到y 轴距离的3倍， 可得：0013x x +=，解得：012x =， 故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，相对不难.6．已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积是9，则b =( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由双曲线焦点三角形的面积公式，代入可得b 的值.【详解】解：设12F PF θ∠=,由12PF PF ⊥，可得90o θ=， 由双曲线焦点三角形的面积公式: 29tan 2b S θ==，可得：3b =，故选：C.【点睛】本题主要考查考查双曲线焦点三角形的面积，注意牢记公式，运算准确.7．以抛物线210x y =-与直线210mx my -+=相切，则m =( )A．215-或1B．25或1C．215-或25D．25或1-【答案】C【解析】求出抛物线的焦点和圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，可得m的值.【详解】解：可得抛物线210x y=-的焦点为5(0,)2-，可得圆的方程为：225()52x y++=，当直线210mx my-+=相切时，可得圆心到直线的距离：2251254mdm m+==+，解得：215m=-或25m=，故选：C.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质及直线与圆的位置关系，相对不难，注意运算准确. 8．已知两点()()2,0,0,,4B O为坐标原点，动点(),P x y在线段AB(不含端点)上运动，过P点分别向,x y轴作垂线，垂足分别为,M N，则四边形PMON的面积的最大值为( )A．2B．2C．22D．8【答案】B【解析】设(,)P x y，根据平行线的性质，可得yx、之间的关系42y x=-，可得POMNS x y=⋅，代入可得四边形PMON的面积的最大值.【详解】解：如图：设(,)P x y ，根据平行线的性质，可得: 424x y -=,整理可得：42y x =-， 故：22(42)242(1)2POMN S x y x x x x x =⋅=⋅-=-+=--+，当1x =，可得POMN S 的最大值为：2,故选：B.【点睛】本题主要考查二次函数在几何中的应用，注意建立合适的函数模型并运算准确. 9．双曲线2233x y t -=的一个焦点坐标为()0,4，则t =( )A ．4-B ．2-C ．2D ．4 【答案】A【解析】由双曲线的一个焦点坐标为()0,4，可得0t ＜，将将双曲线的方程2233x y t -=化为标准形式，可得416t -=，可得答案.【详解】解:由双曲线2233x y t -=的一个焦点坐标为()0,4，可得焦点在y 轴上，故0t ＜，将双曲线的方程2233x y t -=化为标准形式，可得：221t 3t y x -=--， 由双曲线焦点坐标为()0,4，可得416t -=，4t =-，故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的焦点的性质和求法，相对简单.10．直线l 过抛物线2:2C y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点(点A 在第一象限)若2BF =，则AF =( )A ．25B ．23C ．125D ．83【答案】B【解析】求出抛物线的焦点与准线方程，由2BF =可得B 的坐标,求出AB 的直线方程与抛物线联立，可得A x 的值，可得AF 的值.【详解】解：可得抛物线2:2C y x =的焦点1(,0)2F ，准线方程为：12x =-，由抛物线C 交于,A B 两点(点A 在第一象限)，故点B 在第四象限，设1111(,),(0,0)B x y x y ＞＜，由2BF =，由抛物线定义可得：1122x +=，132x =，代入抛物线方程可得：1y =3(,2B , 设AB123122x -=-，化简可得：2y =+，联立直线与抛物线：22y y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得233504x x -+=， 解得：32x =或16x = 故A 点的横坐标为16，112623AF =+=， 故选：B.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线与抛物线解题，属于中档题. 11．若直线:20l x y -=与双曲线()2240x ay a -=>的右支仅有一个公共点，则a 的取值范围是( )A ．(4,)+∞B ．[4,)+∞C ．()0,4D ．(]0,4 【答案】C【解析】利用直线与双曲线的右支仅有一个公共点，结合双曲线的渐近线，可得答案.【详解】解：由双曲线方程为：()2240x ay a -=>，可得渐近线方程：x =， 直线方程为:20l x y -=且与双曲线的右支仅有一个公共点，2，解得：4a 0＜＜，故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的求法及直线与双曲线的位置关系，注意运算准确，属于中档题.12．已知点()1,2M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若90AMB ∠=︒，则k =( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】求出抛物线的焦点坐标，设直线方程为：(1)y k x =-，联立直线与方程，可得12x x +，12x x ⋅的值，同时求出12y y +，12y y ⋅的值，由90AMB ∠=︒，可得0MA MB ⋅=u u u r u u u r，代入各值可得k 的值.【详解】解：由抛物线2:4C y x =，可得其焦点坐标为(1,0)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点的直线方程为：(1)y k x =-， 联立可得: 24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩, 22222(2)0k x k x k -++=, 设1122(,),(,)A x y B x y ，可得212242k x x k++=，121x x ⋅=， 可得：12124(2)y y k x x k+=+-=， 2212121212(1)(1)[()1]4y y k x x k x x x x ⋅=--=-++=-，由()1,2M -，且90AMB ∠=︒，可得0MA MB ⋅=u u u r u u u r ,可得：1212(1)(1)(2)(2)0x x y y +++--=，整理可得：12121212()2()50x x x x y y y y +++-++=， 可得：24812450k k++--+=，即2210k k -+=， 1k =，故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题，注意运算准确.13．己知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22:2C x py =()0p >交于,A B 两点，若6AF BF OF +=，则双曲线1C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．y =【答案】B【解析】把22x py =()0p >代入()222210,0x y a b a b -=>>可得2222220a y pb y a b -+=，利用根与系数的关系与抛物线的性质可得b a的值，可得答案.【详解】解：把22x py =()0p >代入()222210,0x y a b a b -=>>， 可得：2222220a y pb y a b -+=，故222A B b y y p a +=⋅， 又6AF BF OF +=，故2622A B p p y y ++⨯=⨯， 2222b p p a ⋅=，221b a=， 可得双曲线1C 的渐近线方程为y x =±，故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的性质及抛物线的相关性质，属于中档题.14．已知过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点且斜率为b a 的直线l 与椭圆交于,A B 两点.若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r （其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）A ．2BCD ．12【答案】A【解析】分析：根据平方差法得到直线OM 的方程为b y x a =-，联立方程组，解得点P 的坐标，再根据0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r ，得2OP OM =-u u u r u u u u v ，把点(,)bc P c a -代入椭圆的方程，即可求解离心率的值.详解：设1122(,),(,),A x y B x y AB 的中点00(,)M x y ，由题意知2222112222221,1x y x y a b a b+=+=， 两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=， 则1212220AB x x y y k a b +++⋅=，而AB b k a=，所以00220x y a b +=， 所以直线OM 的方程为b y x a =-，联立()b y x a b y x c a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得,22P P c bc x y a =-=， 又因为0OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r r ，所以2OP OM =-u u u r u u u u v , 所以点(,)bc P c a -代入椭圆的方程，得222a c =，所以c e a ==，故选A. 点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．二、填空题15．已知双曲线22:13x C y -=左、右焦点分别为12,F F ，点(),P x y 在C 右支上，若22PF =，则1PF =__________.【答案】2+【解析】由双曲线的定义结合双曲线的方程可得1PF 的值.【详解】解:由双曲线方程 22:13x C y -=，可得a = 由(),P x y 在C 右支上，若22PF =，则122PF PF a -==可得：12PF =+故答案为：2+【点睛】本题主要考查双曲线的定义与标准方程，相对简单.16．已知圆221:2440C x y x y +-+-=，圆222:2220C x y x y ++--=，则两圆的公切线条数是___________.【答案】2【解析】首先把圆的一般方程化为标准方程，进一步求出两圆的位置关系，可得两圆的公切线条数.【详解】解：由圆221:2440C x y x y +-+-=，可得：22(1)(2)9x y -++=，可得其圆心为(1,2)-，半径为3；由222:2220C x y x y ++--=，可得22(1)(1)4x y ++-=，可得其圆心为(1,1)-，半径为2； 所以可得其圆心距为：22(11)(21)13d =++--=，可得：321325d -=+=＜＜，故两圆相交，其公切线条数为2,故答案为：2.【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及两圆公切线条数的判断，属于中档题.17．点(),P x y 在抛物线24y x =上，则点P 到()0,3的距离与点P 到准线距离之和的最小值是___________.【答案】10【解析】利用抛物线的定义进行转化，可得当三点共线的时候距离之和最小，可得答案.【详解】解:如图，由抛物线24y x =，可得其焦点坐标(1,0)F ,准线为:1l x =-， 过点P 做PM l ⊥，垂足为M ，则PM PF =,设(0,3)Q ，此时当F P Q 、、三点共线时，PF PQ +取得最小值，故：min ()PF PQ QF +===,. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及三点共线的性质，属于基础题.18．已知椭圆()222:124x y C a a +=>左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S =V a 的取值范围是__________. 【答案】()4,+∞【解析】由椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S =V 122b c ⨯⨯＞可得c 的取值范围，可得a 的取值范围. 【详解】解：由题意：椭圆()222:124x y C a a +=>，可得2b =，又椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S =V可得：122b c ⨯⨯＞c ＞212c ＞， 可得：22216a b c =+＞，4a ＞， 故答案为：()4,+∞. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质及椭圆基本量的计算，相对不难.19．已知定点()()122,0,2,0,F F N -是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是_____________.【答案】2213y x -=【解析】连接ON ,可得点N 为1MF 的中点，故22MF =，由线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，可得1PF PM =，可得212222PF PF PF PM MF FF -=-==＜，可得点P 的轨迹为双曲线，可得其方程.【详解】解：如图,连接ON ，由题意可得：1ON =，且点N 为1MF 的中点，故22MF =， 又线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，可得：1PF PM =, 故212222PF PF PF PM MF FF -=-==＜， 故其轨迹为双曲线，且1a =，2c =，且焦点在x 轴上，3b =可得其轨迹方程为：2213y x -=，故答案为：2213y x -=.【点睛】本题以圆为载体，考查了双曲线的定义，体现了转化思想的应用.20．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且,A B 两点在准线上的射影分别为,M N ，,MFN BFN AFM MFN S S S S λμ==V V V V ，则λμ=_____________. 【答案】4【解析】设MAF θ∠=,AF a =，BF b =，可得21sin 2MAF S a θ∆=，21sin 2NBF S b θ∆=，2222221()sin 4MNF S MF NF a b θ∆=⋅=，可得λμ的值.【详解】 解：如图：设MAF θ∠=,AF a =，BF b =，由抛物线定义可得：AM a =,BN b =,2MFO NFO MFA NFB π∠+∠=∠+∠=,在MAF ∆中，由余弦定理可得：222(1cos )MF a θ=-， 同理：222(1cos )MF b θ=+， 故21sin 2MAF S a θ∆=，21sin 2NBF S b θ∆=， 2222221()sin 4MNF S MF NF a b θ∆=⋅=，故2()4MNF MAF NBFS S S λμ∆∆∆=⋅=， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题，注意余弦定理的灵活运用.三、解答题21．已知直线320l x y -+=，圆22:4410C x y x y ++--=. （1）判断直线l 与圆C 的位置关系，并证明；（2）若直线l 与圆C 相交，求出圆C 被直线l 截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离.【答案】（1） 相交，证明见解析；（2）26【解析】（1）将圆的方程化为标准形式，求出圆心到直线的距离d ，判断其与半径的大小，可得直线l 与圆C 的位置关系；（2）由（1）可得圆心到直线的距离d ，再由弦长公式可得圆C 被直线l 截得的弦长. 【详解】解：（1）相交，证明如下；可将圆的一般方程22:4410C x y x y ++--=化为：22(2)(2)9x y ++-=，可得其圆心：(2,2)-，半径为：3，由直线20l y -+=，可得圆心到直线l 的距离：d ==故：d r ＜，可得直线l 与圆C 相交；（2）由（1）得直线l 与圆C 相交，且圆心到直线l 的距离d =故弦长为：== 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，同时需用到点到直线的距离公式与弦长公式，属于基础题.22．已知双曲线的中心在原点，焦点在x ，过点(4,. （1）求双曲线标准方程；（2）若直线()1y k x =-与双曲线有两个不同的公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）22166x y -=；（2）()11,11,55⎛⎫⎛--⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）双曲线的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞,由e ==a b =，代入点(4,，可得b a 、的值，可得答案；（2）联立直线与双曲线，可得2222(1)260k x k x k -+--=，可得210k -≠，且0∆＞，解不等式可得k 的取值范围. 【详解】解：（1）由双曲线的中心在原点，焦点在x ，过点(4,，设双曲线的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞，由e ==可得a b =，由其过点(4,，可得2216101a b-=，可得a b ==， 故双曲线标准方程为：22166x y -=；（2）联立直线()1y k x =-与双曲线：22166x y -=，可得：2222(1)260k x k x k -+--=，可得：210k -≠，且0∆＞，可得：42244(1)(6)0k k k ----＞，可得：1k ≠±，且55k -，故k 的取值范围是：()11,1⎛⎫⎛-⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查双曲线标准方程的求法及其简单性质、直线与双曲线的位置关系，属于中档题，注意运算的准确性.23．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 为圆()2211x y -+=的圆心，O 为坐标原点.（1）求抛物线C 的方程； （2）过抛物线C 焦点F ，作斜率为43的直线l 交C 于,A B 两点(A 点在第一象限)，若AF FB λ=uu u r uu r，求λ的值.【答案】（1）24y x =；（2）4.【解析】（1）可得圆()2211x y -+=的圆心,可得F 的坐标，进而求出p ，可得抛物线的方程；（2）设过抛物线C 焦点F ，作斜率为43的直线l 为：4(1)3y x =-，联立直线与抛物线，求出,A B 两点坐标，由AF FB λ=uu u r uu r，可得λ的值.【详解】解：（1）可得圆()2211x y -+=的圆心为(1,0)，故抛物线()2:20C y px p =>的焦点(1,0)F ，可得12p=，2p =， 故抛物线方程为：24y x =； （2）设过抛物线C 焦点F ，作斜率为43的直线l 为：4(1)3y x =-，代入抛物线：24y x =，可得：241740x x -+=， 解得：4x =或14x =，可得: (4,4)A ,1(,1)4B -,由AF FB λ=uu u r uu r ，可得114(1)4λ-=-，可得：4λ=. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，联立直线与抛物线是解题的关键.24．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点()0,2A 与点P 在椭圆C 上.已知()2,0B ，O为坐标原点，且OA OB +=u u u r u u u ru ur . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知()0,8M ，若Q 是椭圆C 上一动点，求QM 的最大值，并写出此时Q 点坐标 .【答案】（1）22184x y +=；（2）()0,2Q -时,10max =.【解析】（1）将A 点代入方程可得b ，再根据2OA OB +=u u u r u u u ru u ur ，求出P 点坐标，代入椭圆方程可得a 的值，可得答案.（2）由题意表示出2QM ，再由二次函数的最值求出最大值即可. 【详解】解：（1）将点()0,2A 代入椭圆()222210x y a b a b +=>>，可得24b =，又OA OB +=u u u r u u u r u u r ，即(0,2)(2,0)+=u u ur ,可得：P ,代入椭圆可得：28a =， 故椭圆C 的方程：22184x y +=；（2）设(,)Q x y ，由其在椭圆上，可得2282x y =-， 则：22222(8)1672(8)136QMx y y y y =+-=--+=-++，其中22y -≤≤，可得当2y =-时，2QM 最大，此时为100， 即此时(0,2)Q -,QM 的最大值为10. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法与基本性质，属于中档题.25．如图，已知直线l 与抛物线2y x =相交于()()1122,,A x y B x y 两点，O 为坐标原点，直线l 与x 轴相交于点M ，且121y y =-.（1）求证:OA OB ⊥； （2）求点M 的横坐标；（3）过,A B 点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q ，求QM AB k k ⋅. 【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）14-. 【解析】（1）设直线的方程为：x my t =+，代入抛物线2y x =,运用韦达定理，结合条件1t =，再由斜率数量积垂直的性质，即可证明； （2）由直线x my t =+，令0y =，可得M 的横坐标；（3）求出抛物线上的点的切线的斜率和方程，求出点Q 的坐标，再由直线的斜率公式可得答案. 【详解】证明：（1）设直线的方程为：x my t =+，代入抛物线2y x =，可得：20y my t --=，由()()1122,,A x y B x y ，121y y =-，可得12y y m +=，121y y t =-=-，1t =，由12122(1)x x y y ==，可得121212212(10)1x x y y y y y y +=-==+，可得0OA OB ⋅=u u u r u u u r,即：OA OB ⊥；（2）由直线x my t =+，令0y =，可得1x =， 即点M 的横坐标为：1；（3）由2y x =，两边对x 求导，可得'21yy =，即'12y y=， 可得A 处切线的斜率为112y ，切线方程为：1111()2y y x x y -=-， 由211y x =，222y x =，可得111()2y y x x =+ ① 同理可得：B 处切线方程为221()2y y x x =+ ②由①②可得：1212122()22x x y y my y y -+===-，221111121112()1xy y x my y y y y y y y -=-=+-==-，故(1,)2m Q -， 可得：1212120111211444QMABmy y m m kk x x y y m --⋅=⨯=-⨯=-⨯=-+-+. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，综合性大，注意联立直线与方程运用韦达定理求解，属于难题.26．已知椭圆222:18x y C b+=的一个顶点为抛物线28x y =的焦点，点()00,P x y 在椭圆C 上且000x y ⋅≠，P 关于原点O 的对称点为Q ，过P 作OP 的垂线交椭圆于另一点T ，连QT 交x 轴于M . （1）求椭圆C 的方程； （2）求证:PM x ⊥轴；（3）记POM ∆的面积为1,S PQT ∆的面积为2S ，求12S S 的取值范围. 【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析；（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由抛物线28x y =的焦点为：(2,0)，故2b =，可得椭圆C 的方程； （2）由OP PT ⊥，可得：1OP PT k k ⋅=-，直线PT 的方程()oo o ox y y x x y -=--，联立直线与椭圆可得T 点坐标，写出QT 的方程，令0y =，可得o x x =，进而的出结论.（3） 分别用坐标表示1S 与2S ，再分析取值范围即可. 【详解】（1）抛物线28x y =的焦点为：(2,0)，故2b =，椭圆C 的方程为：22184x y +=；（2）由OP PT ⊥，可得：1OP PTk k ⋅=-，即1o PToy k x ⋅=-，oPT o x k y =-， 可得直线PT 的方程：()o o o o x y y x x y -=--，即：2o o o o ox x y x y y y =-++， 联立直线PT 与椭圆的方程可得：234222222242(1)(4)2480o o o o o o o o o x x x x x x y x y y y +-++++-=，可得3222442o o o o T o o x x y x x y x ++=+,可得：3222232o o o T o o x x y x y x +=+， 可得：322322222322o o o o o o T o o o o o o o x x x y x y y y y y x y y x +=-⨯++=++，可得：323222223(,)22o o o o o o o ox x y y T y x y x +++ 故直线QT 的方程为：32232222()232o oo oo o o o o oo o y y y x y y x x x x y x y x +++=++++， 令0y =，可得o x x =，故(,0)o M x ,PM x ⊥轴; （3）1122POM o o S OM PM x y ∆==, 111222PQTOQM OMP PMT Q T o S S S S OM x OM PM PM x x ∆∆∆∆=++=++-2221112222o o o o o o o o o o o T oo x x x y y x y x y y x y y x =++++-=， 故：22222211122122o o o POMPQTo o o o o o o o ox y S S S x y y y x y y x y x S ∆∆+++===+， 故121(0,)2S S ∈. 【点睛】本题主要考查椭圆的性质及椭圆的标准方程、直线与椭圆的综合问题，综合性大，属于难题.。
哈尔滨市第三中学2019-2020学年上学期高二数学理科10月考试卷附答案解析
整理得:16
|PF1|2 |PF2|2
2|PF1 ||PF2
|
┄②由①②得 |PF1||PF2 |
4 3
F1PF2
1 2
|PF1
||PF2
|
sin
60
1 2
4 3
3= 2
3 3
故选:D. 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程、椭圆的定义以及余弦定理的应用,能够掌握椭圆知识和余弦定理基础上,灵活使用是解题的关键.
4
3．已知两条直线 l1 ： a 1 x 2 y 1 0 ， l2 ： x ay 3 0 平行，则 a （ ）
A．-1
B．2
C．0 或-2
D．-1 或 2
【答案】D
【解析】试题分析：由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求 a．
解：因为直线 l1：（a﹣1）x+2y+1=0 的斜率存在，
A． 3 1
B． 1 2
C． 5 3
D． 2 2
二、填空题
13．已知圆 C 经过 A(5,1), B(1, 3) 两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为__________．
14．点 P 为直线 2x y 4 0 上的动点，它与两定点 A(4,-1) ， B(3,4) 的距离之差的最大值为_________.
A． (0,1)
B． (0, 2)
C． (1, )
D． (0, )
【答案】A
【解析】把方程写成椭圆的标准方程形式，得到 x2 y2 1 形式，要想表示焦点在 y 轴上的椭圆，必须要满足 AB
B A 0 ，解这个不等式就可求出实数 k 的取值范围。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1． 某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况； 则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是A ．①用系统抽样，②用简单随机抽样B ．①用系统抽样，②用分层抽样C ．①用分层抽样，②用系统抽样D ．①用分层抽样，②用简单随机抽样2． 在面积为S 的△ABC 边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是 A ．14 B ．12 C ．34 D ．233． 某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为56，45，35，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为A ．25 B ．1225 C ．1425D ．354． 已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<=A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.165． 如图1为某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长6． 已知抛物线2:8C y x =上一点P ，直线1:2l x =-，2:30l x y -+=，则P 到这两条直线的距离之和的最小值为 A ．522 B ．722 C ．32 D ．232+ 7． 263()x -的展开式中的常数项为 A ．603 B ． 63 C ． 135 D ．458． 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，且各局比赛结果相互独立．则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为A ．13B ．25C ．23D ．459． 袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 013 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A ．91 B ．61 C ．92 D ．18510．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且可以有名次并列的情况）均不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据，推断一定不是尖子生的是 A ．甲同学：平均数为2，中位数为2 B ．乙同学：平均数为2，方差小于1 C ．丙同学：中位数为2，众数为2 D ．丁同学：众数为2，方差大于111．6名同学参加4项社会实践活动，要求每项活动至少1人，则不同的参加方式共有A ．2640种B ．1560种C ．1080种D ．480种12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，A 为双曲线C 的右支上一点，且12AF c =，1AF 与y 轴交于点B ，若2F B 是21AF F ∠的平分线，则双曲线C 的离心率e =A ．51-B ．152+ C ．352+ D ．5第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（第13，14题每空4分，第15，16题每空3分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．某单位安排5位员工在10月3日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天，则不同的安排方案共有___________种．（用数字作答） 14．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立．该同学投了25次，X 表示投中的次数，则()E X =____________．15．椭圆22:14x E y +=，动圆222:O x y r +=与椭圆交于,,,A B C D 四点，则四边形ABCD 面积的最大值为_______，此时r =__________．16．已知集合{}123456,,,,,A x x x x x x =，函数()f x 定义于A 并取值于A ． （用数字作答）（1）若()f x x ≠对于任意的x A ∈成立，则这样的函数()f x 有_______个； （2）若至少存在一个x A ∈，使[]()f f f x x ⎡⎤≠⎣⎦，则这样的函数()f x 有____个． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机的选取两张标签．（1）若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率； （2）若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字至少有一个为5的概率．18．为了响应弘扬中国传统文化的号召，各大中小学都开展了关于经典诵读等丰富多彩的课外阅读活动．某校共有学生2000人，其中男生1100人，女生900人．为了调查该校学生每周平均课外阅读时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均课外阅读时间（单位：小时）（1） 应抽查男生与女生各多少人？（2） 如图，根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均课外阅读时间的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为[0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,5],(5,6]．若在样本数据中有38名女学生平均每周课外阅读时间超过2小时，请完成每周平均课外阅读时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”．男生 女生 总计每周平均课外阅读时间不超过2小时每周平均课外阅读时间超过2小时总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0．1000．050 0．010 0．0050k2．706 3．841 6．635 7．87919．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，动点Q 到点F 的距离比到直线2x =-的距离小1个单位长度．（1） 求动点Q 的轨迹方程C ；（2） 若过点F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，8FA FB ⋅=-u u u r u u u r，求直线l 的方程．20．某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每本单价（x 元）试销l 天，得到如表单价x （元）与销量y （册）数据： 单价x （元） 5.895.9 10 5.10销量y （册）12119 7 6（1）已知销量y 与单价x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程； （2）若该书每本的成本为7.7元，要使得售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线a x y b =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121n iii nii x x y y bx x ==--=-∑∑$1221niii nii x ynx y xnx==-=-∑∑，$ay bx =-$．21．近年来，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．其中共享单车既响应绿色出行号召，节能减排，保护环境，又方便人们短距离出行，增强灵活性．某城市试投放3个品牌的共享单车分别为红车、黄车、蓝车，三种车的计费标准均为每15分钟（不足15分钟按15分钟计）1元，按每日累计时长结算费用，例如某人某日共使用了24分钟，系统计时为30分钟．A 同学统计了他1个月（按30天计）每天使用共享单车的时长如茎叶图所示，不考虑每月自然因素和社会因素的影响，用频率近似代替概率．设A 同学每天消费ξ元． （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）各品牌为推广用户使用，推出APP 注册会员的优惠活动：红车月功能使用费8元，每天消费打5折；黄车月功能使用费20元，每天前15分钟免费，之后消费打8折；蓝车月功能使用费45元，每月使用22小时之内免费，超出部分按每15分钟1元计费．设321,,ηηη分别为红车，黄车，蓝车的月消费，写出321,,ηηη与ξ的函数关系式，参考（1）的结果，A 同学下个月选择其中一个注册会员，他选哪个费用最低？（3）该城市计划3个品牌的共享单车共3000辆正式投入使用，为节约居民开支，随机调查了100名用户一周的平均使用时长如下表：时长 (0，15] (15，30] (30，45] (45，60] 人数1645345在（2）的活动条件下，每个品牌各应该投放多少辆？0 8 7 8 1 0 7 5 2 7 2 0 4 3 1 4 9 8 3 2 3 2 5 5 1 8 6 6 4 4 1 4 8 5 422．已知,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，过原点的直线l 分别与椭圆和双曲线在第一象限交于,P Q 两点．（1） 若椭圆的离心率为12，求双曲线的渐近线方程； （2） 设,,,AP BP AQ BQ 的斜率分别为1234,,,k k k k ，求证：12340k k k k +=； （3） 设1,F F 分别为椭圆和双曲线的右焦点，若PF ∥1QF ，试求22221234k k k k +++的值．哈三中2019—2020学年度上学期 高二学年第二模块 数学（理）考试答案一、选择题 DCABD ACABD BC 二、填空题13.72 14.1515.4，210 16.15625，46575 三、解答题17.52，259 18. 55，451.010，否19. x y 42=，1-=x y 或1+-=x y20. 3.239.4y x ∧=-+，10 21.15)(=ξE 选红车480，1500，1020 22. x y 23±=，略，8。
2020【新版上市】黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二数学第一学期期中试题 理
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．抛物线x y 82-=的准线方程( )A. 2-=y B ． 2-=x C ． 2=y D ． 2=x2． 已知ABC ∆的顶点C B ,在椭圆191622=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边BC 上，则ABC ∆的周长是（ ）A ． 8B ． 12C ．38D ． 163．从标号分别为1、2、3、4的四个红球和标号分别为1、2、3的三个黑球及标号分别为1、2的两个白球中取出不同颜色的两个小球,不同的取法种数共有（ ） A. 24种 B ． 9种 C ． 10种 D ． 26种4. 若椭圆12422=+y x 的弦被点)1,1(平分，则此弦所在的直线方程( )A ．032=-+y xB ．032=-+y xC ．012=--y xD ．012=+-y x5. 已知直线012:1=-+ay x l 与01)12(:2=---ay x a l 平行，则a 的值是( )A ． 0或1B ． 1或41 C ． 0或41 D ．41 6．过抛物线y x =2的焦点F 的直线交抛物线于不同的两点A 、B ,则BFAF 11+的值为 ( )．A ．2B ．1C ．41D ．4 7. 已知直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A ．)25,0( B ．]25,1[ C ．)25,25(- D ．)25,1( 8．直线01234=++y x 分别与x 轴，y 轴交于B A ,两点，点P 在圆4)2(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．]30,10[B ．]15,10[C ．]15,5[D ．]10,5[9．正ABC ∆中，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ）A ．3B ．1C ．32D ．210．已知椭圆1522=+x y 与抛物线ay x =2有相同的焦点为F ,O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且4=AF ，则PO PA +的最小值为（ ） A ．132 B.24 C ．133 D.6411. 已知}2,1,0,1{,-∈b a ,关于x 的方程022=++b ax x 有实数解的有序实数对),(b a 的个数为 ( )A ．12B ． 13C ． 11D ． 1412．已知直线l 与椭圆)10(1:222<<=+b by x E 相切于第一象限的点),(00y x P ，且直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB ∆ (O 为坐标原点)的面积最小时，321π=∠PF F(21F F 、是椭圆的两个焦点)，则此时21PF F ∆中21PF F ∠的平分线的长度为( ) A ．532 B ． 534 C ．1532 D ．1534 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤-22021y x y x y x ，若y x z 32+=，则z 的最大值是 .14. 与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线，并且过点)3,2(的双曲线的标准方程是 .15.若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是 .16．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，ABM ∆为等腰三角形，且外接圆面积为24a π，则双曲线E 的离心率为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. (本题满分10分)已知()02，-A ，()31，P ，直线52=+y x 交x 轴于点B . （Ⅰ）求过点B 且与直线AP 垂直的直线方程；（Ⅱ）经过点P 的直线l 把PAB ∆的面积分割成4:3两部分，求直线l 的方程.18. (本题满分12分)已知圆C 过点()12，P ，圆心为()35-，C . （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）如果过点()10，A 且斜率为k 的直线l 与圆C 没有公共点，求实数k 的取值范围.19. (本题满分12分)已知椭圆()01:22221>>=+b a b y a x C 的焦点是双曲线13:222=-y x C 的顶点，椭圆1C 的顶点是双曲线2C 的焦点. （Ⅰ）求椭圆1C 的离心率；（Ⅱ）若B A 、分别是椭圆1C 的左、右顶点，P 为椭圆1C 上异于B A 、的一点，求证：直线PA 和直线PB 的斜率之积为定值.20. (本题满分12分)已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在y 轴正半轴上，直线0144=++y x 与抛物线C 相切.（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）点()m M ，0在y 轴负半轴上,若存在经过F 的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，使得AMB ∠是钝角，求实数m 的取值范围.21. (本题满分12分)已知椭圆()111:22>=-+t t y t x C 的两个焦点分别为21F F 、，P 为椭圆C 的一个短轴顶点，ο6021=∠F PF .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若经过椭圆C 左焦点的直线l 交椭圆C 于B A 、两点，Q 为椭圆C 的右顶点，求ABQ ∆面积的最大值.22. (本题满分12分) 已知动点P 到点)0,1(F 与到直线2=x 的距离比为22, （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程（Ⅱ）设动点P 的轨迹为C ， 直线)0(1:>-=k kx y l 关于直线1-=x y 对称的直线为1l ，直线1,l l 与轨迹C 分别交于点A 、M 和A 、N ，记直线1l 的斜率为1k . ①求证1k k ⋅为定值；②当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.哈三中2018年黑龙江省学业水平考试数学答案一.选择题DDDBC DDCAA AA二．填空题13. 7 14.15. 16.三．解答题17. （1）(2)18. （1）(2)19.(1) (2)20. (1) (2)21. (1) (2)22. (1) (2) ①为定值1；②定点。
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2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．2．两平行直线2x+y﹣1＝0与2x+y+3＝0间的距离为（）A．B．C．D．3．若双曲线（a＞0）的渐近线方程为，则a的值为（）A．2B．4C．6D．84．当圆C：x2+y2﹣4x﹣2my+2m＝0的面积最小时，m的取值是（）A．4B．3C．2D．15．P（x0，y0）是抛物线y2＝4x上一点，点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍，则x0＝（）A．B．1C．D．26．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，P为C上一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是9，则b＝（）A．1B．2C．3D．47．以抛物线x2＝﹣10y的焦点为圆心，为半径的圆，与直线2mx﹣my+1＝0相切，则m ＝（）A．或1B．或1C．或D．或﹣18．已知两点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，动点P（x，y）在线段AB（不含端点）上运动，过P点分别向x，y轴作垂线，垂足分别为M，N，则四边形PMON的面积的最大值为（）A．B．2C．D．89．双曲线x2﹣3y2＝3t的一个焦点坐标为（0，4），则t＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．410．直线l过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限）若|BF|＝2，则|AF|＝（）A．B．C．D．11．若直线l：x﹣2y＝0与双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4）D．（0，4]12．已知点M（﹣1，2）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k＝（）A．1B．2C．3D．413．已知双曲线的右支与焦点为F的抛物线（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6|OF|，则双曲线C1的渐近线方程为（）A．B．y＝±x C．D．14．已知过椭圆的左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆交于A，B 两点．若椭圆上存在一点P，满足＝0（其中O为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）15．已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2，点P（x，y）在C右支上，若|PF2|＝2，则|PF1|＝．16．已知圆，圆，则两圆的公切线条数是．17．点P（x，y）在抛物线y2＝4x上，则点P到（0，3）的距离与点P到准线距离之和的最小值是．18．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在四个不同的点P满足，则a的取值范围是．19．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N 的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是．20．如图，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N．若，则＝．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知直线，圆C：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系，并证明；（2）若直线l与圆C相交，求出圆C被直线l截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l的最短距离．22．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点．（1）求双曲线标准方程；（2）若直线y＝k（x﹣1）与双曲线有两个不同的公共点，求k的取值范围．23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C焦点F，作斜率为的直线l交C于A，B两点（A点在第一象限），若，求λ的值．24．已知椭圆，点A（0，2）与点P在椭圆C上．已知B（2，0），O为坐标原点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知M（0，8），若Q是椭圆C上一动点，求|QM|的最大值，并写出此时Q点坐标．25．如图，已知直线l与抛物线y2＝x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，直线l与x轴相交于点M，且y1y2＝﹣1．（1）求证：OA⊥OB；（2）求点M的横坐标；（3）过A，B点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求k QM•k AB．26．已知椭圆的一个顶点为抛物线x2＝8y的焦点，点P（x0，y0）在椭圆C 上且x0•y0≠0，P关于原点O的对称点为Q，过P作OP的垂线交椭圆于另一点T，连QT交x轴于M．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：PM⊥x轴；（3）记△POM的面积为S1，△PQT的面积为S2，求的取值范围．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．2．两平行直线2x+y﹣1＝0与2x+y+3＝0间的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：根据两平行线间的距离公式得：d＝．故选：D．3．若双曲线（a＞0）的渐近线方程为，则a的值为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：双曲线（a＞0）的渐近线方程：y＝±x，因为双曲线（a＞0）的渐近线方程为，所以a＝2，故选：A．4．当圆C：x2+y2﹣4x﹣2my+2m＝0的面积最小时，m的取值是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2my+2m＝0，∴圆C的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝m2﹣2m+4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3≥3，所以m＝1时，r2取得最小值，从而圆C的面积πr2在m＝1时取得最小值．故选：D．5．P（x0，y0）是抛物线y2＝4x上一点，点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍，则x0＝（）A．B．1C．D．2【解答】解：设抛物线y2＝4x上的点P（，y），抛物线的焦点坐标（1，0），点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍，所以；解得y2＝2；所以P到x轴的距离是：；故选：A．6．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，P为C上一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是9，则b＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据椭圆定义知PF1+PF2＝2a，∵⊥，∴△PF1F2为直角三角形，∴（PF1）2+（PF2）2＝（2c）2，又∵△PF1F2的面积为9，∴•PF1•PF2＝9，∴（2a）2＝（PF1+PF2）2＝（PF1）2+（PF2）2+2PF1•PF2＝4c2+36，∴b2＝a2﹣c2＝9，∴b＝3，故选：C．7．以抛物线x2＝﹣10y的焦点为圆心，为半径的圆，与直线2mx﹣my+1＝0相切，则m ＝（）A．或1B．或1C．或D．或﹣1【解答】解：抛物线x2＝﹣10y的焦点（0，﹣），以抛物线x2＝﹣10y的焦点为圆心，为半径的圆，与直线2mx﹣my+1＝0相切，可得：＝，解得：m＝或．故选：C．8．已知两点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，动点P（x，y）在线段AB（不含端点）上运动，过P点分别向x，y轴作垂线，垂足分别为M，N，则四边形PMON的面积的最大值为（）A．B．2C．D．8【解答】解：两点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，动点P（x，y）在线段AB（不含端点）上运动，、过P点分别向x，y轴作垂线，垂足分别为M，N，如图所示：则：设P（x，y），根据平行线的性质，整理得y＝4﹣2x，所以S四边形POMN＝xy＝x（4﹣2x）＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2．当x＝1时，面积的最大值为2．故选：B．9．双曲线x2﹣3y2＝3t的一个焦点坐标为（0，4），则t＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：根据题意，双曲线x2﹣3y2＝3t的焦点为（0，4），焦点在y轴上，则有t＜0，化为标准方程为：，又由其焦点为（0，4），且﹣4t＝16，解可得t＝﹣4，故选：A．10．直线l过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限）若|BF|＝2，则|AF|＝（）A．B．C．D．【解答】解：若斜率不存在，则|AB|＝2p＝1，不成立，所以AB斜率存在，设为k，则直线AB：y＝k（x﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的性质，|BF|＝2，则x2+＝2，x2＝，代入抛物线方程得y2＝，所以k＝，所以y＝，与C：y2＝2x，联立得3x2﹣5x+＝0，x1x2＝，所以x1＝，所以|AF|＝．故选：B．11．若直线l：x﹣2y＝0与双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4）D．（0，4]【解答】解：双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的渐近线方程为：x＝，直线l：x﹣2y＝0与双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的右支仅有一个公共点，可得，解得0＜a＜4，所以a的取值范围是（0，4），故选：C．12．已知点M（﹣1，2）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y＝k（x﹣1），联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝1，∴y1+y2＝k（x1+x2﹣2）＝，y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝﹣4，∵M（﹣1，2），∴＝（x1+1，y1﹣2），＝（x2+1，y2﹣2），∵∠AMB＝90°，∴•＝0，∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣2（y1+y2）+5＝0，∴1+2+﹣4﹣+5＝0，即k2﹣2k+1＝0，∴k＝1．故选：A．13．已知双曲线的右支与焦点为F的抛物线（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6|OF|，则双曲线C1的渐近线方程为（）A．B．y＝±x C．D．【解答】解：把x2＝2py（p＞0）代入双曲线双曲线，可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，∴y A+y B＝2p．∵|AF|+|BF|＝6|OF|，∴y A+y B+2×＝6×．∴2p＝2p，∴，则双曲线C1的渐近线方程为y＝，故选：B．14．已知过椭圆的左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆交于A，B 两点．若椭圆上存在一点P，满足＝0（其中O为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设F1（﹣c，0），则直线l的方程为y＝（x+c），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得2x2+2cx+c2﹣a2＝0，则x1+x2＝﹣c，x1•x2＝，所以y1+y2＝因为＝0，即＝﹣（）＝﹣（x1+x2，y1+y2），则P（c，﹣），又因为点P在椭圆上，代入整理得＝1，即2e2＝1，解得e＝，故选：D．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）15．已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2，点P（x，y）在C右支上，若|PF2|＝2，则|PF1|＝2+2．【解答】解：双曲线左、右焦点分别为F1、F2，可得a＝，点P（x，y）在C右支上，若|PF2|＝2，则|PF1|＝|PF2|+2a＝2+2．故答案为：2+2．16．已知圆，圆，则两圆的公切线条数是2．【解答】解：已知圆，转换为（x﹣1）2+（y+2）2＝9，即该圆是以（1，﹣2）为圆心，3为半径的圆．圆，转换为（x+1）2+（y﹣1）2＝4，即该圆是以（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆．所以圆心距d＝＝，所以3﹣2＝1＜d＜3+2＝5，所以两圆相交，故公切线的条数为2．故答案为：2．17．点P（x，y）在抛物线y2＝4x上，则点P到（0，3）的距离与点P到准线距离之和的最小值是．【解答】解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为：．故答案为：．18．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在四个不同的点P满足，则a的取值范围是（4，+∞）．【解答】解：根据题意，椭圆，b＝2，若椭圆C上存在四个不同点P满足，则×b×2c＞4，即c＞2，则c2＞12，则有a2＝b2+c2＞16，∴a＞4，a的取值范围为（4，+∞）；故答案为：（4，+∞）．19．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是x2﹣．【解答】解：连接ON，由题意可得ON＝1，且N为MF1的中点∴MF2＝2∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P由垂直平分线的性质可得PM＝PF1∴|PF2﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF2＝2＜F1F2由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，c＝2，a＝1，则b＝．所以所求双曲线方程为：x2﹣．故答案为：x2﹣．20．如图，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N．若，则＝．【解答】解：如图，因为，则（S△MFN）2＝S△BNF•S△AMF，设∠MAF＝θ，AF＝a，BF＝b，又抛物线定义可得：AM＝a，BN＝b，∠MFO+∠NFO＝∠MF A+∠NFB＝90°，由余弦定理得MF2＝2a2（1﹣cosθ），NF2＝2b2（1+cosθ），∴S△MAF＝，S△MBF＝，（S△MFN）2＝MF•NF＝a2b2sin2θ．∴（S△MFN）2＝4S△BNF•S△AMF，∴即可得，故答案为：4．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知直线，圆C：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系，并证明；（2）若直线l与圆C相交，求出圆C被直线l截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l的最短距离．【解答】解：（1）直线l与圆C相交．证明如下：化圆C：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0为（x+2）2+（y﹣2）2＝9，可知圆C的圆心坐标为C（﹣2，2），半径r＝3．∵圆心C到直线的距离d＝＜3，∴直线l与圆C相交．（2）由（1）知，圆心C到直线l的距离d＝，又r＝3．∴圆C被直线l截得的弦长为．22．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点．（1）求双曲线标准方程；（2）若直线y＝k（x﹣1）与双曲线有两个不同的公共点，求k的取值范围．【解答】解：（1）双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由e＝＝＝，可得a＝b，由双曲线过点，可得﹣＝1，解得a＝b＝6，则双曲线的标准方程为﹣＝1；（2）直线y＝k（x﹣1）与双曲线﹣＝1联立，可得（1﹣k2）x2+2k2x﹣k2﹣6＝0，由1﹣k2≠0，△＞0即4k4﹣4（1﹣k2）（﹣k2﹣6）＞0，即有k≠±1，且﹣＜k＜，则k的取值范围是（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）．23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C焦点F，作斜率为的直线l交C于A，B两点（A点在第一象限），若，求λ的值．【解答】解：（1）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（1，0），即抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），可得＝1，即p＝2，抛物线的方程为y2＝4x；（2）过抛物线C焦点F（1，0），斜率为的直线l的方程为y＝（x﹣1），代入抛物线方程y2＝4x，可得4x2﹣17x+4＝0，解得x＝4或，可设A（4，4），B（，﹣1），若，则1﹣4＝λ（﹣1），解得λ＝4．24．已知椭圆，点A（0，2）与点P在椭圆C上．已知B（2，0），O为坐标原点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知M（0，8），若Q是椭圆C上一动点，求|QM|的最大值，并写出此时Q点坐标．【解答】解：（1）将A（0，2）代入方程得b2＝4，又因为，即（0，2）+（2，0）＝，则P（，），将P（，）代入椭圆方程得a2＝8，所以椭圆C的方程为；（2）设Q（x，y），因为Q在椭圆上，所以x2＝8﹣2y2，则|MQ|2＝x2+（y﹣8）2＝﹣y2﹣16y+72＝﹣（y+8）2+136，其中﹣2≤y≤2，则当y＝﹣2时，|MQ|2最大，此时为100，即此时Q（0，﹣2），|MQ|最大值为10．25．如图，已知直线l与抛物线y2＝x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，直线l与x轴相交于点M，且y1y2＝﹣1．（1）求证：OA⊥OB；（2）求点M的横坐标；（3）过A，B点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求k QM•k AB．【解答】解：（1）证明：可设直线l的方程为x＝my+t，代入抛物线y2＝x，可得y2﹣my ﹣t＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝m，y1y2＝﹣t，由y1y2＝﹣1，可得t＝1，由x1x2＝（y1y2）2＝1，可得x1x2+y1y2＝1﹣1＝0，可得•＝0，即OA⊥OB；（2）由直线x＝my+1，令y＝0，可得x＝1，即M的横坐标为1；（3）对y2＝x，两边对x求导，可得2yy′＝1，即y′＝，可得A处的切线的斜率为，切线方程为y﹣y1＝（x﹣x1），由y12＝x1，y22＝x2，可得y1y＝（x+x1），①同理可得B处的切线方程为y2y＝（x+x2），②由①②可得y＝＝＝，x＝2y1y﹣x1＝my1﹣y12＝（y1+y2）y1﹣y12＝y1y2＝﹣1，可得Q（﹣1，），则k QM•k AB＝•＝﹣•＝﹣•＝﹣．26．已知椭圆的一个顶点为抛物线x2＝8y的焦点，点P（x0，y0）在椭圆C 上且x0•y0≠0，P关于原点O的对称点为Q，过P作OP的垂线交椭圆于另一点T，连QT交x轴于M．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：PM⊥x轴；（3）记△POM的面积为S1，△PQT的面积为S2，求的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线x2＝8y的焦点（2，0），∴b＝2，∴椭圆的方程．（2）证明：∵OP⊥PT，∴k OP•k PT＝﹣1，∴•k PT＝﹣1，∴k PT＝﹣，直线PT方程：y﹣y0＝﹣（x﹣x0），即y＝﹣，联立直线PT与椭圆的方程得（1+）x2﹣（）x+，∴x0+x T＝，∴x T＝，∴y T＝﹣•+，＝，∴T（，），∴直线QT方程y+y0＝，令y＝0，得x＝x0，∴M（x0，0），∴PM⊥x轴，（3）S△OPM＝|OM|•|PM|＝|x0y0|，S△PQT＝S△OQM+S△OMP+S△PMT＝+|OM|•|PM|+|x T﹣x0|，＝，＝|x0y0|+，∴＝＝，∴∈（0，）．。