2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．椭圆+＝1的离心率是（）
A．B．C．D．
2．两平行直线2x+y﹣1＝0与2x+y+3＝0间的距离为（）
A．B．C．D．
3．若双曲线（a＞0）的渐近线方程为，则a的值为（）
A．2B．4C．6D．8
4．当圆C：x2+y2﹣4x﹣2my+2m＝0的面积最小时，m的取值是（）A．4B．3C．2D．1
5．P（x0，y0）是抛物线y2＝4x上一点，点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍，则x0＝（）
A．B．1C．D．2
6．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，P为C上一点，且PF1
⊥PF2，若△PF1F2的面积是9，则b＝（）
A．1B．2C．3D．4
7．以抛物线x2＝﹣10y的焦点为圆心，为半径的圆，与直线2mx﹣my+1＝0相切，则m ＝（）
A．或1B．或1C．或D．或﹣1
8．已知两点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，动点P（x，y）在线段AB（不含端点）上运动，过P点分别向x，y轴作垂线，垂足分别为M，N，则四边形PMON的面积的最大值为（）
A．B．2C．D．8
9．双曲线x2﹣3y2＝3t的一个焦点坐标为（0，4），则t＝（）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
10．直线l过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限）若|BF|＝2，则|AF|＝（）
A．B．C．D．
11．若直线l：x﹣2y＝0与双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是（）
A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4）D．（0，4]
12．已知点M（﹣1，2）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k＝（）
A．1B．2C．3D．4
13．已知双曲线的右支与焦点为F的抛物线（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6|OF|，则双曲线C1的渐近线方程为（）A．B．y＝±x C．D．
14．已知过椭圆的左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆交于A，B 两点．若椭圆上存在一点P，满足＝0（其中O为坐标原点），则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）
15．已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2，点P（x，y）在C右支上，若|PF2|＝2，则|PF1|＝．
16．已知圆，圆，则两圆的公切线条数是．
17．点P（x，y）在抛物线y2＝4x上，则点P到（0，3）的距离与点P到准线距离之和的最小值是．
18．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在四个不同的点P满足，则a的取值范围是．
19．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N 的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是．
20．如图，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N．若，则＝．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知直线，圆C：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系，并证明；
（2）若直线l与圆C相交，求出圆C被直线l截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l的最短距离．
22．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点．（1）求双曲线标准方程；
（2）若直线y＝k（x﹣1）与双曲线有两个不同的公共点，求k的取值范围．
23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；
（2）过抛物线C焦点F，作斜率为的直线l交C于A，B两点（A点在第一象限），若
，求λ的值．
24．已知椭圆，点A（0，2）与点P在椭圆C上．已知B（2，
0），O为坐标原点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知M（0，8），若Q是椭圆C上一动点，求|QM|的最大值，并写出此时Q点坐标．25．如图，已知直线l与抛物线y2＝x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）
两点，O为坐标原点，直线l与x轴相交于点M，且y1y2＝﹣1．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）求点M的横坐标；
（3）过A，B点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求k QM•k AB．
26．已知椭圆的一个顶点为抛物线x2＝8y的焦点，点P（x0，y0）在椭圆C 上且x0•y0≠0，P关于原点O的对称点为Q，过P作OP的垂线交椭圆于另一点T，连QT交x轴于M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：PM⊥x轴；
（3）记△POM的面积为S1，△PQT的面积为S2，求的取值范围．
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．椭圆+＝1的离心率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，
所以椭圆的离心率为：＝．
故选：B．
2．两平行直线2x+y﹣1＝0与2x+y+3＝0间的距离为（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据两平行线间的距离公式得：d＝．
故选：D．
3．若双曲线（a＞0）的渐近线方程为，则a的值为（）A．2B．4C．6D．8
【解答】解：双曲线（a＞0）的渐近线方程：y＝±x，
因为双曲线（a＞0）的渐近线方程为，
所以a＝2，
故选：A．
4．当圆C：x2+y2﹣4x﹣2my+2m＝0的面积最小时，m的取值是（）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2my+2m＝0，
∴圆C的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝m2﹣2m+4，
从而对于圆C的半径r有r2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3≥3，
所以m＝1时，r2取得最小值，
从而圆C的面积πr2在m＝1时取得最小值．
故选：D．
5．P（x0，y0）是抛物线y2＝4x上一点，点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍，则x0＝（）
A．B．1C．D．2
【解答】解：设抛物线y2＝4x上的点P（，y），抛物线的焦点坐标（1，0），
点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍，所以；
解得y2＝2；
所以P到x轴的距离是：；
故选：A．
6．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，P为C上一点，且PF1
⊥PF2，若△PF1F2的面积是9，则b＝（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：根据椭圆定义知PF1+PF2＝2a，
∵⊥，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴（PF1）2+（PF2）2＝（2c）2，
又∵△PF1F2的面积为9，
∴•PF1•PF2＝9，
∴（2a）2＝（PF1+PF2）2
＝（PF1）2+（PF2）2+2PF1•PF2
＝4c2+36，
∴b2＝a2﹣c2＝9，
∴b＝3，
故选：C．
7．以抛物线x2＝﹣10y的焦点为圆心，为半径的圆，与直线2mx﹣my+1＝0相切，则m ＝（）
A．或1B．或1C．或D．或﹣1
【解答】解：抛物线x2＝﹣10y的焦点（0，﹣），
以抛物线x2＝﹣10y的焦点为圆心，为半径的圆，与直线2mx﹣my+1＝0相切，
可得：＝，
解得：m＝或．
故选：C．
8．已知两点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，动点P（x，y）在线段AB（不含端点）上运动，过P点分别向x，y轴作垂线，垂足分别为M，N，则四边形PMON的面积的最大值为（）
A．B．2C．D．8
【解答】解：两点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，动点P（x，y）在线段AB（不含端点）上运动，、
过P点分别向x，y轴作垂线，垂足分别为M，N，如图所示：
则：设P（x，y），根据平行线的性质，整理得y＝4﹣2x，
所以S四边形POMN＝xy＝x（4﹣2x）＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2．
当x＝1时，面积的最大值为2．
故选：B．
9．双曲线x2﹣3y2＝3t的一个焦点坐标为（0，4），则t＝（）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【解答】解：根据题意，双曲线x2﹣3y2＝3t的焦点为（0，4），焦点在y轴上，
则有t＜0，
化为标准方程为：，
又由其焦点为（0，4），
且﹣4t＝16，
解可得t＝﹣4，
故选：A．
10．直线l过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限）若|BF|＝2，则|AF|＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：若斜率不存在，则|AB|＝2p＝1，不成立，所以AB斜率存在，设为k，则直线AB：y＝k（x﹣），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
根据抛物线的性质，|BF|＝2，则x2+＝2，x2＝，
代入抛物线方程得y2＝，
所以k＝，所以y＝，
与C：y2＝2x，联立得3x2﹣5x+＝0，
x1x2＝，所以x1＝，
所以|AF|＝．
故选：B．
11．若直线l：x﹣2y＝0与双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是（）
A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4）D．（0，4]
【解答】解：双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的渐近线方程为：x＝，
直线l：x﹣2y＝0与双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的右支仅有一个公共点，
可得，解得0＜a＜4，
所以a的取值范围是（0，4），
故选：C．
12．已知点M（﹣1，2）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k＝（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），
∴过A，B两点的直线方程为y＝k（x﹣1），
联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝，x1x2＝1，
∴y1+y2＝k（x1+x2﹣2）＝，y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝﹣4，∵M（﹣1，2），
∴＝（x1+1，y1﹣2），＝（x2+1，y2﹣2），
∵∠AMB＝90°，∴•＝0，
∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0，
整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣2（y1+y2）+5＝0，
∴1+2+﹣4﹣+5＝0，
即k2﹣2k+1＝0，
∴k＝1．
故选：A．
13．已知双曲线的右支与焦点为F的抛物线（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6|OF|，则双曲线C1的渐近线方程为（）A．B．y＝±x C．D．
【解答】解：把x2＝2py（p＞0）代入双曲线双曲线，可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，
∴y A+y B＝2p．
∵|AF|+|BF|＝6|OF|，∴y A+y B+2×＝6×．
∴2p＝2p，∴，
则双曲线C1的渐近线方程为y＝，
故选：B．
14．已知过椭圆的左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆交于A，B 两点．若椭圆上存在一点P，满足＝0（其中O为坐标原点），则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，设F1（﹣c，0），则直线l的方程为y＝（x+c），设A（x1，y1），
B（x2，y2），
联立，整理得2x2+2cx+c2﹣a2＝0，则x1+x2＝﹣c，x1•x2＝，所以y1+y2＝
因为＝0，即＝﹣（）＝﹣（x1+x2，y1+y2），则P（c，﹣），又因为点P在椭圆上，代入整理得＝1，即2e2＝1，解得e＝，
故选：D．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）
15．已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2，点P（x，y）在C右支上，若|PF2|＝2，则|PF1|＝2+2．
【解答】解：双曲线左、右焦点分别为F1、F2，可得a＝，
点P（x，y）在C右支上，
若|PF2|＝2，则|PF1|＝|PF2|+2a＝2+2．
故答案为：2+2．
16．已知圆，圆，则两圆的公切线条数是2．
【解答】解：已知圆，转换为（x﹣1）2+（y+2）2＝9，即该圆是以（1，﹣2）为圆心，3为半径的圆．
圆，转换为（x+1）2+（y﹣1）2＝4，
即该圆是以（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆．
所以圆心距d＝＝，
所以3﹣2＝1＜d＜3+2＝5，
所以两圆相交，故公切线的条数为2．
故答案为：2．
17．点P（x，y）在抛物线y2＝4x上，则点P到（0，3）的距离与点P到准线距离之和的
最小值是．
【解答】解：如图所示，
设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．
过点P作PM⊥l，垂足为M．
则|PM|＝|PF|．
设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．
∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．
即|PM|+|PQ|的最小值为：．
故答案为：．
18．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在四个不同的点P满足，则a的取值范围是（4，+∞）．
【解答】解：根据题意，椭圆，b＝2，
若椭圆C上存在四个不同点P满足，则×b×2c＞4，即c＞2，则c2＞12，
则有a2＝b2+c2＞16，
∴a＞4，
a的取值范围为（4，+∞）；
故答案为：（4，+∞）．
19．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N
的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是x2﹣．
【解答】解：连接ON，由题意可得ON＝1，且N为MF1的中点∴MF2＝2
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P
由垂直平分线的性质可得PM＝PF1
∴|PF2﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF2＝2＜F1F2
由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，c＝2，a＝1，则b＝．所以所求双曲线方程为：x2﹣．
故答案为：x2﹣．
20．如图，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，且A，
B两点在准线上的射影分别为M，N．若，则＝．
【解答】解：如图，因为，则（S△MFN）2＝S△BNF•S△AMF，
设∠MAF＝θ，AF＝a，BF＝b，
又抛物线定义可得：AM＝a，BN＝b，∠MFO+∠NFO＝∠MF A+∠NFB＝90°，
由余弦定理得MF2＝2a2（1﹣cosθ），NF2＝2b2（1+cosθ），
∴S△MAF＝，S△MBF＝，（S△MFN）2＝MF•NF＝a2b2sin2θ．∴（S△MFN）2＝4S△BNF•S△AMF，
∴即可得，
故答案为：4．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知直线，圆C：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0．
（1）判断直线l与圆C的位置关系，并证明；
（2）若直线l与圆C相交，求出圆C被直线l截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l的最短距离．
【解答】解：（1）直线l与圆C相交．
证明如下：
化圆C：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0为（x+2）2+（y﹣2）2＝9，
可知圆C的圆心坐标为C（﹣2，2），半径r＝3．
∵圆心C到直线的距离d＝＜3，
∴直线l与圆C相交．
（2）由（1）知，圆心C到直线l的距离d＝，又r＝3．
∴圆C被直线l截得的弦长为．
22．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点．（1）求双曲线标准方程；
（2）若直线y＝k（x﹣1）与双曲线有两个不同的公共点，求k的取值范围．
【解答】解：（1）双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，
设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），
由e＝＝＝，可得a＝b，
由双曲线过点，可得﹣＝1，
解得a＝b＝6，
则双曲线的标准方程为﹣＝1；
（2）直线y＝k（x﹣1）与双曲线﹣＝1联立，
可得（1﹣k2）x2+2k2x﹣k2﹣6＝0，
由1﹣k2≠0，△＞0即4k4﹣4（1﹣k2）（﹣k2﹣6）＞0，
即有k≠±1，且﹣＜k＜，
则k的取值范围是（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）．
23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；
（2）过抛物线C焦点F，作斜率为的直线l交C于A，B两点（A点在第一象限），若
，求λ的值．
【解答】解：（1）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（1，0），
即抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），
可得＝1，即p＝2，
抛物线的方程为y2＝4x；
（2）过抛物线C焦点F（1，0），斜率为的直线l的方程为y＝（x﹣1），
代入抛物线方程y2＝4x，可得4x2﹣17x+4＝0，
解得x＝4或，
可设A（4，4），B（，﹣1），
若，则1﹣4＝λ（﹣1），解得λ＝4．
24．已知椭圆，点A（0，2）与点P在椭圆C上．已知B（2，0），O为坐标原点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知M（0，8），若Q是椭圆C上一动点，求|QM|的最大值，并写出此时Q点坐标．【解答】解：（1）将A（0，2）代入方程得b2＝4，又因为，即（0，2）
+（2，0）＝，则P（，），
将P（，）代入椭圆方程得a2＝8，所以椭圆C的方程为；
（2）设Q（x，y），因为Q在椭圆上，所以x2＝8﹣2y2，
则|MQ|2＝x2+（y﹣8）2＝﹣y2﹣16y+72＝﹣（y+8）2+136，其中﹣2≤y≤2，
则当y＝﹣2时，|MQ|2最大，此时为100，即此时Q（0，﹣2），|MQ|最大值为10．25．如图，已知直线l与抛物线y2＝x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）
两点，O为坐标原点，直线l与x轴相交于点M，且y1y2＝﹣1．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）求点M的横坐标；
（3）过A，B点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求k QM•k AB．
【解答】解：（1）证明：可设直线l的方程为x＝my+t，代入抛物线y2＝x，可得y2﹣my ﹣t＝0，
A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝m，y1y2＝﹣t，
由y1y2＝﹣1，可得t＝1，
由x1x2＝（y1y2）2＝1，可得x1x2+y1y2＝1﹣1＝0，
可得•＝0，即OA⊥OB；
（2）由直线x＝my+1，令y＝0，可得x＝1，即M的横坐标为1；
（3）对y2＝x，两边对x求导，可得2yy′＝1，即y′＝，
可得A处的切线的斜率为，切线方程为y﹣y1＝（x﹣x1），
由y12＝x1，y22＝x2，
可得y1y＝（x+x1），①
同理可得B处的切线方程为y2y＝（x+x2），②
由①②可得y＝＝＝，
x＝2y1y﹣x1＝my1﹣y12＝（y1+y2）y1﹣y12＝y1y2＝﹣1，
可得Q（﹣1，），
则k QM•k AB＝•＝﹣•＝﹣•＝﹣．
26．已知椭圆的一个顶点为抛物线x2＝8y的焦点，点P（x0，y0）在椭圆C 上且x0•y0≠0，P关于原点O的对称点为Q，过P作OP的垂线交椭圆于另一点T，连QT交x轴于M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：PM⊥x轴；
（3）记△POM的面积为S1，△PQT的面积为S2，求的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线x2＝8y的焦点（2，0），
∴b＝2，
∴椭圆的方程．
（2）证明：∵OP⊥PT，
∴k OP•k PT＝﹣1，
∴•k PT＝﹣1，
∴k PT＝﹣，
直线PT方程：y﹣y0＝﹣（x﹣x0），即y＝﹣，
联立直线PT与椭圆的方程得（1+）x2﹣（）x+，
∴x0+x T＝，
∴x T＝，
∴y T＝﹣•+，
＝，
∴T（，），
∴直线QT方程y+y0＝，
令y＝0，得x＝x0，
∴M（x0，0），
∴PM⊥x轴，
（3）S△OPM＝|OM|•|PM|＝|x0y0|，
S△PQT＝S△OQM+S△OMP+S△PMT＝+|OM|•|PM|+|x T﹣x0|，＝，
＝|x0y0|+，
∴＝＝，
∴∈（0，）．。