大学生数学建模--多目标规划建模
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hj(X) 0
多目标规划问题的求解
一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为 求解单目标问题. 然后利用单目标模型的方法,求出 单目标模型的最优解,以此作为多目标问题的解.
下面,我们介绍几种主要的转化方法: • 线性加权和法 • 理想点法 • 极大极小法 • 主要目标法
多目标规划问题的求解
hj(X) 0
X (x1, x2 ,...., xn ) 为决策变量
如对于求极小(min)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≤ F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*）≥F(X)且有一至少一个
fi0 (x) fi0 (x*)
2、多目标优选问题的模型结构
多目标规划模型
基本内容：
1、多目标规划的基本概念 2、多目标规划的问题的特征 3、多目标规划的求解方法 4、目标规划模型 5、应用实例模型.
一、多目标的基本概念
多目标的问题:在现实生活中,决策的目标往往 有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高 利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污 染等.这就是一个多目标决策的问题. 。
二、多目标规划问题的分类
一般来说,多目标规划问题有两类.一类是多 目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解 使多个目标都达到满意结果的最优方案.另一类 是多目标优选问题,其对象是在管理决策过程中 根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选 方案的优先等级与排序.
三、多目标规划问题的求解
多目标决策由于考虑的目标多,各目标之间的矛盾性 和不可公度性,这就使多目标问题成为一个复杂而困 难的问题.所谓矛盾性是指采用某种方案去改进一个 目标的同时，可能会使另一个目标值变劣。而目标 间的不可公度性是指各目标间一般没有统一的度量 标准，因而不能直接进行比较和运算。但由于客观 实际的需要,多目标决策问题越来越受到重视,因而 出现了许多解决此决策问题的方法.
hj(X) 0
在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲, 按照一定的规则分别给fi赋予不同的权系数ωi，作线性加权和 评价函数
p
U (X ) i fi (X )
i 1
则多目标问题化为如下的单目标问题
p
max U ( X ) i fi ( X )
i 1
g s.t.hຫໍສະໝຸດ fijf1f2
f3
f4
f5
f6
A1
2.0
1500 4
55
一般 高
A2
2.5
2700 3.6
65
低
一般
A3
2.0
2000 4.2
45
高
很高
A4
2.2
1800 4
50
很高 一般
首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。 先将定性指标定量化：
效益型指标
很低 低 13 很高 高
一般 高 很高 5 79 一般 低 很低
i j
( (
X X
) )
0 0
例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如 下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维 修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价 格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别 关于目标属性的指标值fij如下表所示。
f2 1
56
3
7
24
8
f
二、模型结构
多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。
在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。
可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性
的函数：
U (x) U ( f1, f2 ,..., f p )
并设
aij fi (x j )
且各个方案的效用函数分别为
U (x j ) U (a1 j , a2 j ,..., a pj )
则多目标优选模型的结构可表示如下：
ordU( X ) (U ( X1 ),U ( X 2 ),....,U ( X p ))T s.t. gi ( X ) 0
成本型指标
多目标规划问题的特征
一、解的特点
在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变 量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案 所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优 谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有 两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两 个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解， 因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而 方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为 这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一 个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却较差。
又如选购一个好的计算机系统,似乎只有一个目 标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则 来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些 准则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问 题. 应用:研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特 别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及 科学决策等领域都有重要的应用价值。
多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
1、多目标规划问题的模型结构
optF( X ) ( f1 ( X ), f2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. gi ( X ) 0
(1)线性加权法: 取
0 ai 1 (i 1,, p) a1 a2 a p 1
对p个目标函数作线性加权化为单目标问题
min F(x) a1 f1(x) a2 f2 (x) a p f p (x)
线性加权化单目标规划
optF( X ) ( f1 ( X ), f2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. gi ( X ) 0
多目标规划问题的求解
一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为 求解单目标问题. 然后利用单目标模型的方法,求出 单目标模型的最优解,以此作为多目标问题的解.
下面,我们介绍几种主要的转化方法: • 线性加权和法 • 理想点法 • 极大极小法 • 主要目标法
多目标规划问题的求解
hj(X) 0
X (x1, x2 ,...., xn ) 为决策变量
如对于求极小(min)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≤ F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*）≥F(X)且有一至少一个
fi0 (x) fi0 (x*)
2、多目标优选问题的模型结构
多目标规划模型
基本内容：
1、多目标规划的基本概念 2、多目标规划的问题的特征 3、多目标规划的求解方法 4、目标规划模型 5、应用实例模型.
一、多目标的基本概念
多目标的问题:在现实生活中,决策的目标往往 有多个,例如,对企业产品的生产管理,既希望达到高 利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污 染等.这就是一个多目标决策的问题. 。
二、多目标规划问题的分类
一般来说,多目标规划问题有两类.一类是多 目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解 使多个目标都达到满意结果的最优方案.另一类 是多目标优选问题,其对象是在管理决策过程中 根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选 方案的优先等级与排序.
三、多目标规划问题的求解
多目标决策由于考虑的目标多,各目标之间的矛盾性 和不可公度性,这就使多目标问题成为一个复杂而困 难的问题.所谓矛盾性是指采用某种方案去改进一个 目标的同时，可能会使另一个目标值变劣。而目标 间的不可公度性是指各目标间一般没有统一的度量 标准，因而不能直接进行比较和运算。但由于客观 实际的需要,多目标决策问题越来越受到重视,因而 出现了许多解决此决策问题的方法.
hj(X) 0
在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲, 按照一定的规则分别给fi赋予不同的权系数ωi，作线性加权和 评价函数
p
U (X ) i fi (X )
i 1
则多目标问题化为如下的单目标问题
p
max U ( X ) i fi ( X )
i 1
g s.t.hຫໍສະໝຸດ fijf1f2
f3
f4
f5
f6
A1
2.0
1500 4
55
一般 高
A2
2.5
2700 3.6
65
低
一般
A3
2.0
2000 4.2
45
高
很高
A4
2.2
1800 4
50
很高 一般
首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。 先将定性指标定量化：
效益型指标
很低 低 13 很高 高
一般 高 很高 5 79 一般 低 很低
i j
( (
X X
) )
0 0
例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如 下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维 修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价 格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别 关于目标属性的指标值fij如下表所示。
f2 1
56
3
7
24
8
f
二、模型结构
多目标决策问题包含有三大要素：目标、方案和决策者。
在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。
可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性
的函数：
U (x) U ( f1, f2 ,..., f p )
并设
aij fi (x j )
且各个方案的效用函数分别为
U (x j ) U (a1 j , a2 j ,..., a pj )
则多目标优选模型的结构可表示如下：
ordU( X ) (U ( X1 ),U ( X 2 ),....,U ( X p ))T s.t. gi ( X ) 0
成本型指标
多目标规划问题的特征
一、解的特点
在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变 量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案 所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优 谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有 两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两 个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解， 因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而 方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为 这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一 个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却较差。
又如选购一个好的计算机系统,似乎只有一个目 标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则 来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些 准则自然构成了多个目标,故也是一个多目标决策问 题. 应用:研究解决这类问题在实际中是很有意义的，特 别是在政治、经济、社会及军事管理、工程技术及 科学决策等领域都有重要的应用价值。
多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
1、多目标规划问题的模型结构
optF( X ) ( f1 ( X ), f2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. gi ( X ) 0
(1)线性加权法: 取
0 ai 1 (i 1,, p) a1 a2 a p 1
对p个目标函数作线性加权化为单目标问题
min F(x) a1 f1(x) a2 f2 (x) a p f p (x)
线性加权化单目标规划
optF( X ) ( f1 ( X ), f2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. gi ( X ) 0