一元二次函数的图像和性质

§ 3.4
一元二次函数的图象和性质
1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征
2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。

1．函数)0(2
≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。

2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。

3．任何一个二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：
a
b a
c a b x a y 44)2(2
2-++=，
性质如下：
（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a
b
x 2-=。

（2）最大（小）值
① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442
min
-=，无最大值。

② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a
b a
c y 442max -=，无最小值。

（3）当0>a ，函数在区间)2,(a b -
-∞上是减函数，在),2(+∞-a b
上是增函数。

当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(a
b
--∞上是增函数。

【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。

2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；
但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。

一、一元二次函数的图象的画法
【例1】求作函数642
12
++=
x x y 的图象 【解】 )128(2
1
642122++=++=x x x x y
2-4)(2
1
4]-4)[(21 2222+=+=
x x
x 【例2】求作函数342
+--=x x y 的图象。

【解】)34(342
2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2
2++-=-+-=x x
先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表
【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表；
(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。

二、一元二次函数性质
【例3】求函数962
++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。

【解】 7)3(796262
22-+=-++=++=x x x x x y
由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01> ∴当3-=x 时， 7min -=y
函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。

【例4】求函数1352
++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。

10
3
)5(232=-⨯-=-a b ，2029)5(431)5(44422=-⨯
-⨯-⨯=-a b ac ∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(
，对称轴为2029=x 05<- ∴当103=x 时，函数取得最大值20
29
=maz y
函数在区间]10
3
,(-∞上是增函数，在区间),3[+∞-上是减函数。

【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：
(1) 配方法；如例3 (2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。

任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(2
2≠-++=a a
b a
c a b x a y 三、二次函数性质的应用
【例5】(1)如果c bx x x f ++=2
)(对于任意实数t 都有)3()3(t f t f -=+，那么（ ）
（A ）)4()1()3(f f f << （B ） )4()3()1(f f f << （C ）)1()4()3(f f f <<
（D ）)1()3()4(f f f <<
【解】 ∵)3()3(t f t f -=+对于一切的R t ∈均成立
∴ )(x f 的图像关于3=x 对称 又01>=a ∴ 抛物线开口向上。

∴ )3(f 是)(x f 的最小值。

3431->- ，
∴ )1()4()3(f f f <<
(2)如果c bx x x f ++-=2
)(对于任意实数t 都有)2()2(t f t f --=+-，则)1(-f
)1(f 。

(用“>”或“<”填空)
【解】∵)2()2(t f t f --=+-对于一切的R t ∈均成立
∴ )(x f 的图像关于2-=x 对称 又01>-=a
∴ 抛物线开口向下。

)2(1)2(1--<--- ，
∴ )1()1(f f >-
【点评】1.当0>a 时，对称轴通过它的最低点(此时函数有最小值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越大。

如例5(1)中当1=x 所对应的点比当4=x 所对应的点离对称轴远，所以1=x 时对应的函数值也比较大。

2．1.当0<a 时，对称轴通过它的最高点(此时函数有最大值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越小。

如例5(2)中当1=x 所对应的点比当1-=x 所对应的点离对称轴远，所以1=x 对应的函数值也比较小。

【例6】求函数522
--=x x y 在给定区间]5,1[-上的最值。

【解】（1）原函数化为()61522
2
--=--=x x x y
∵01>=a ∴ 当1=x 时，6min -=y
又∵1511+<+- ∴当5=x 时，106)15(2
max =--=y
（2）原函数可化为：910)31(2+
+-=x y ，图象的对称轴是直线3
1-=x 注意到当21≤≤x 时，函数为减函数 ∴3
13
134412322)2(2min -=+--=+⨯-
-==f y 【例7】已知函数1)2(2
-+-=nx x n y 是偶函数，试比较)2(f ，)2(f ，)5(-f 的大
小。

【解】解法一：∵1)2(2
-+-=nx x n y 是偶函数，
∴ 0=n , ∴122
--=x y
∴ 可知函数的对称轴为直线0=x 又∵02<-=a ，020205->->--
∴)5()2()2(->>f f f
解法二： ∵32)1(2
++-=mx x m y 是偶函数， ∴ 0=n , ∴122
--=x y
可知122
--=x y 在),0(+∞上单调递减
又∵1)2(2-+-=nx x n y 是偶函数， ∴)5()5(f f =-
而225>
>
∴)5()2()2(f f f >>
∴)5()2()2(->>f f f
三、一元二次函数、一元二次方程的关系。

【例8】求当k 为何值时，函数k x x y ++-=422
的图象与x 轴(1)只有一个公共点；(2)
有两个公共点；(3)没有公共点.
【解】令0422
=++-k x x ，则022
=++-k x x 的判别式k ac b 81642
+=-=∆
(1)当0=∆，即0816=+k ，2=k 时，方程有两个相等的实根，这时图象与x 轴只
有一个公共点；
(2) 当0>∆，即0816>+k ，2>k 时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x 轴
有两个公共点；
(3) 当0<∆，即0816<+k ，2<k 时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x 轴
无公共点；
一．选择题
1．二次函数522
+-=x x y 的值域是（ ）
Ａ．)4∞+，　［ Ｂ．),4(∞+ Ｃ．(4， ∞-］ Ｄ．)4,(　-∞
2．如果二次函数452
++=mx x y 在区间)1,(--∞上是减函数，在区间),1[+∞-上是增函数，则=m （ ）
Ａ．2 Ｂ．-2 Ｃ．10 Ｄ．-10
3．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不相等的实数根，则m 的聚值范围是（ ） Ａ．),6()2,(+∞⋃--∞ Ｂ．)6,2(- Ｃ．)6,2[- 0 Ｄ．}6,2{- 4．函数32
12
-+=
x x y 的最小值是（ ） Ａ．-3. Ｂ．.213- Ｃ．3 Ｄ．.2
1
3
5．函数2422
---=x x y 具有性质（ ）
Ａ．开口方向向上，对称轴为1-=x ，顶点坐标为（-1，0）
Ｂ．开口方向向上，对称轴为1=x ，顶点坐标为（1，0） Ｃ．开口方向向下，对称轴为1-=x ，顶点坐标为（-1，0） Ｄ．开口方向向下，对称轴为1=x ，顶点坐标为（1，0） 6．下列命题正确的是（ ） Ａ．函数3622
--=x x y 的最小值是
23 Ｂ．函数3622
---=x x y 的最小值是4
15 Ｃ．函数342
+--=x x y 的最小值为7 Ｄ．函数342
+--=x x y 的最大值为7 7．函数（1）3422
-+=x x y ；（2）3422
++=x x y ；（3）3632
---=x x y ；（4）
3632-+-=x x y 中，对称轴是直线1=x 的是（ ）
Ａ．（1）与（2） Ｂ．（2）与（3） Ｃ．（1）与（3） Ｄ．（2）与（4） 8．对于二次函数x x y 822
+-=，下列结论正确的是（ ）
Ａ．当2=x 时，y 有最大值8 Ｂ．当2-=x 时，y 有最大值8
Ｃ．当2=x 时，y 有最小值8 Ｄ．当2-=x 时，y 有最小值8 9．如果函数)0(2
≠++=a c bx ax y ，对于任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，那么下列选项中正确的是（ ）
Ａ．)4()1()2(f f f <-< Ｂ．)4()2()1(f f f <<- Ｃ．)1()4()2(-<<f f f Ｄ．)1()2()4(-<<f f f 10．若二次函数142
2+-=x x a y 有最小值，则实数a ＝（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2± Ｄ．2±
二．填空
1．若函数12)(2-+=x x x f ，则)(x f 的对称轴是直线
2．若函数322
++=bx x y 在区间]2,(-∞上是减函数，在区间],2(+∞是增函数，则=b 3．函数9322
--=x x y 的图象与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 、 4．已知6692
+-=x x y ，则y 有最 值为 5．已知12842++-=x x y ，则y 有最 值为 三．解答题
1．已知二次函数342
-+-=x x y ，（1）指出函数图象的开口方向；（2）当x 为何值时0=y ；（3）求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。

2.如果二次函数)8()(2--+=k kx x x f 与x 轴至多有一个交点，求k 的值。

3．已知二次函数2
2
2)1(2)(m m m x x f -+-+-=， （1）如果它的图象经过原点，求m 的值。

（2）如果它的图象关于y 轴对称，写出函数的关系式。

（3）如果它的图象关于y 轴对称，试比较)2()3()2(f f f 、、--。