空间向量基本知识点

第十二讲空间向量基本理论

知识梳理：

1．空间向量的有关概念

（1）空间向量：空间里具有大小和方向的量叫做向量，记为

a 。

（2）空间向量的长度或模：空间向量也可以用有向线段来表示，有向线段的长度教做向量的长度或模，记为a 。

（3）零向量和单位向量：长度为

0的向量和长度为

1的向量分别为零向量（规定：方向任意）和单位向量

（4）相等向量和相反向量：长度和方向相同的向量为相等向量；

长度相同方向相反的向量为相反向量。

2．空间向量加减与数乘运算

+：

b a AB OA OB —：

b a OB OA BA 数乘：

)

(R a OP

运算律：⑴加法交换律：

a

b

b

a

⑵加法结合律：

)()

(c b

a c

b a

⑶数乘分配律：

b

a

b a

)

(3共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．

If

a 平行于b

,then 记作

b a //．

That means:当我们说向量a 、b

共线（或

a //b

）时，表示

a 、b

的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

4．共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0）

，a //b

的充要条件是存在实数，使

a ＝

b .

推论：如果

l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量

a 的直线，那么对于任意一点

O ，点P 在直线

l 上的充要条件是存在实数

t 满足等式:

t OA

OP

a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量

.

5．共面向量：已知平面和向量

a ，作O A a ，如果直线

OA 平行于

或在内，那么我们说向量

a 平行于平面

，记作：

//

a ．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。That means ：空间任意的两向量都是共面的。6．共面向量定理：如果两个向量

,a b

不共线，

p 与向量,a b

共面的充要条件是存在实数

,x y 使p

xa yb

推论：空间一点

P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对

,x y ，使MP

xMA

yMB

或对空间任一点

O ，有

OP OM

xMA

yMB ①

(①式叫做平面

MAB 的向量表达式

)

7.空间向量基本定理：如果三个向量

,,a b c

不共面，那么对空间任一向量

p ，

存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，

使p x a y b z c 其中：{

a ，

b ，

c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量。

推论：设

,,,O A B C

是不共面的四点，则对空间任一点

P ，都存在唯一的三个有序实数

,,x y z ，使OP

xOA yOB zOC

8.空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量

,a b

，在空间任取一点

O ，作,OA

a OB

b ，则AOB 叫做向量a 与b

的夹角，

记作

,a b

；且规定

,a b ，显然有

,,a b

b a

；若

,2

a b

，则称

a 与b

互

相垂直，记作：

a b

.

9．向量的数量积：

a b

||||cos ,a b a b

．

向量的几何意义：已知向量

AB

a 和轴l

，e 是l 上与l 同方向的单位向量，

作点

A 在l 上的射影A

，作点

B 在l 上的射影B

，

则

A B

叫做向量

AB

在轴

l 上或在e 上的正射影

.

可以证明

A B 的长度

||||cos

,||A B AB a e a e ．

性质：（1）

||cos ,a e a a e ．（2）

0a b

a b

．

（3）2

||

a a a ．

运算律：（1）

()()

()a b

a b a b （2）a b b a （交换律）（3）()

a b

c a b

a c

（分配律）．

10. 空间向量的正交分解及其坐标表示:

（1）表示方法：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）

.

（2）运算：令

),,(321a a a a ,),,(321b b b b

，则：

：

)

,,(332211b a b a b a b

a

数乘：

)

)(,,(321R a a a a

数量积：3

32211b a b a b a b a 当

b a 时，0

332211b a b a b a b

a

（3）共线向量：

a ∥)

(

,,33

22

11

R b a b a b a b

3

32

21

1b a b a b a （4）模：

2

2

2

3

2

1

a a a a

a a (常用的向量模与向量之间的转化：

a a a a a a

2

)

（5）夹角的运算：

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211|

|||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b

a （6）两点之间距离公式：distance

2

122

122

12)

()

()(z z y y x x 11.法向量：若向量

a 所在直线垂直于平面

，则称这个向量垂直于平面，记作a ，如果a 那么向量a 叫做平面的法向量.

?_?

That means

法向量的求法：

1）：利用几何体中已经给出的有向线段，只需证明线面垂直。2）：几何体中没有具体的直线，可以采用待定系数法，求法如下：(*^__^*)

Step1:设出平面的法向量为

)

,,(z y x n Step2：找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标

),,(321a a a a

，)

,,(321b b b b Step3：根据法向量的定义建立关于x, y, z 的方程组：

0b

n a n Step4：解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作

为平面的法向量。