线性定常系统的状态空间分析与综合

4、状态方程
由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。
机
[例]建立如图所示R-L-C网络的状态方程。
解:当给定独立变量 uc和 i 的初始位置系统在任何时刻的状态便可确定
械
，故选 u和c i 为状态变量
由电路原理得包含这两个状态变量的一阶微分方程组，即为状态
控 方程
制
即
i c duc dt
论
③根据实际连接写出状态方程和输出方程。
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
例1、如图
机
u +-
K1 T1s 1
械
控 制
-
K1 T1
+
x3
-
理
1
T1
论
K2
K3
T2s 1
T3s
K4
K2 T2
x2
+-
1 T2
K4
K3 x1
T3
x1 y
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
从图可知
机 械 控
0 0
K
p
x
K
z
p
u
械 y 1 0 0 x
控 二、从系统的机理出发建立状态空间表达式
制
[例 7-2] 电网络如图所示，输出量为电流源，并指定以电容 C1和 C2
理
上的电压作为输出，求此网络的状态空间表达式。
论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
机 械 控 制 理 解：取电容 C1 和 C2 上的电压 uC1 和 uC2 及电感 L1 和 L2 中的电流 论
状态空间表达式建立的3种方式
机
– ①由系统的方块图，根据系统各个环节的实际连结；
械
– ②由（物理、化学、电子等）机理出发进行推导求得；
控
– ③由系统运动的微分方程和传递函数。
制 一、由系统方块图建立状态空间表达式
①该方法的关键是由方块图模拟结构图；
理
②取每个积分器的输出作为一个状态变量，其输入是相应的；
M
械
cn
三、多输入--多输出的状态空间表达式（如具有r个输入，m个
控
输出）状态方程一般为
制
x&1 a11x1 a12 x2 L a1n xn b11u1 b12u2 L b1rur
理
x&2 a21x1 a22 x2 L a2n xn b21u1 b22u2 L b2rur
⑶其余系数项前的系数分别为各比例器的数值，输入项前的系数
械
为输入比例器的数值，等式右端为4项的代数和，即加法器有4个分 支输入。
控
经过上述分析，不难画出：
③画出有以下状态空间表达式描述系统的模拟结构图
制
x&1 x2
理
x&2 x3
论
x&3 6x1 3x2 2x3 u
y x1 x2
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
机
第七章
械 控
线性定常系统的状
制 态空间分析与综合
理
论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
经典控制理论和现代控制理论之间的区别
1.研究问题区别
机 经典控制理论 线性定常系统
械 单输入—-单输出系统
现代控制理论 线性定常、非线性、时变系统 多输入—-多输出系统
控 2.研究方法
制 传递函数（或者微分方程）
– 解仿上例
– 第1步，先画出3个积分器；
机
– 第2步，由状态方程所确定的关系连接有关积分器；
械
– 第3步，由状态方程的关系式确定的关系，来自4路，分别相
控
加；
制
– 第4步，画出输出方程的关系。 对二输入二输出系统可仿照参考书，此处从略。
理
论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§7-3状态空间表达式的建立（一）
理
输出方程式一般有： y c1x1 c2 x2 L cn xn
论
x& Ax bu
写成向量矩阵形式的状态空间表达式为
T yC x
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
x1
式中
x
x2
为n维状态矢量
M
机
xn
械 控 制
a11 a12 L A a21 a22 L
L L L an1 an2 L
写成矩阵形式
或 y cT x
y 1
0
x1 x2
控
式中 cT＝1
0(或 c
1 0
)
制
步骤：
理
①写入输出和状态变量的表达式
论
②将该表达式写成矩阵形式
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
6、状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间表达式。
7、状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性
械 4、举例
①画出x& ax bu 的模拟结构图。
控
②画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图
制
&x&& a2&x& a1x& a0x bu
分析：微分方程为三阶，故有3个积分器
理
⑴先画出3个积分器；
论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
⑵将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达式，即为
机
&x&& a2&x& a1x& a0x bu
LL
论
x&n an1x1 an2 x2 L ann xn bn1u1 bn2u2 L bnrur
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
输出方程一般为
y1 c11x1 c12 x2 L c1n xn d11u1 d12u2 L d1rur
y2 c21x1 c22 x2 L c2n xn d21u1 d22u2 L d2rur
理 论
R i
uc
L
di dt
U
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在右端的标准形式，即为
机 械
u&c
1 c
i
i&
1 L
uc
R L
i
1 L
U
控
若令
x 1
uc
x2 i 写成矩阵形式
制 理 论
x&1 x&2
0
1 L
1 c R L
控 制
*注：C2
duC 2 dt
流经电容 C2的电流；
从三个回路l1、l2、l3 ，按基尔霍夫定律列出电压方程
流入节点为正； 流出节点为负。
机
LL
械
ym cm1x1 cm2 x2 L cmn xn dm1u1 dm2u2 L dmrur
控
其状态空间表达式的矢量矩阵形式为
x& Ax Bu yCx Du
制
式中 x 和 A -----同单输入系统，分别为 n 维状态矢量和 n n
理 论
维系统矩阵 u1
u
u2
M
-----为 r 维输入（或控制）矢量
un
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
y1
y
y2
-----为
m
维输出矢量
M
机
yn
械 控
b11 b12 L B b21 b22 L
L L L
b1n
b2n
-----为
nr
维输入（控制）矩阵
L
制
bn1 bn2 L
bn3
理 论
c11 c12 L C c21 c22 L
L L L cn1 cn2 L
制
①确定积分器的数目，积分器的数目等于状态变量的数目或 微分方程的阶数；
理
②每个积分器的输出表示相应的单个状态变量，输入为状态 变量的系数；
论
③根据状态方程和输出方程，确定加法器和比例器；
④用箭头将这些元件连接起来。
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
3、状态空间表达式一般形式的系统方块图
机
①单输入------单输出系统 ②多输入------多输出系统
(t
)
3、状态空间和状态轨迹
制
状态变量 x1、x2、L 、xn 为坐标轴所构成的维空间称为状态空间。
理
x(t0 ) x(t)tt0 为状态空间的一个初始点，x(t)为状态空间中对
论 应t时刻的一个点。
当t由 t0 t 时 x(t) 在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
机
如之例 取 uc和 u&c为两个状态变量
械
令 x1 uc 和 x2 u&c 则x&1 u&c x2 即 x&1 x2
控
由电路原理（在原状态方程中消去 i）
制
u&&c
R L
u&c
1 Lc
uc
1 Lc
u
即
x&2
1 Lc
x1
R L
x2
1 Lc
u
理
论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
a1n
a2n L
为（
ann
n n ）维系统矩阵（反映了系统
内部状态的联系）
理 论
b1
b
b2
M
为（ n 1 ）维矩阵（列阵）即为输入矩阵或者
bn
控制矩阵（反映了输入对状态的作用）
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
c1
机
c
c2
为（
n
1）维输出矩阵，（建立了输出和状态的联系）
初始条件已知时，n阶微分方程有唯一确定的解）
论 2、状态矢量
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
由n个状态变量x1(t),x2(t)…xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即
机 械
x1(t)
x(t )
x2
(t
)
M
或
xT (t) x1(t), x2(t),L , xn(t)
控
xn
y 1 0 0 x
0
K2 T2 1 T1
x
0
0
K1
T1
u
理
对于含有零点的环节，先展开成部分分式，即
论
s z 1 z p 1 (z p)
1 s
s p s p
1
1 s
p
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
a 1 0 0
机
x&
K
(z p)
0 1 0
机
x&
1
R
x
1
u
械
Lc L Lc
控
可见在同一系统中，状态变量选取不同时，状态方程也不同。
一般地，从工程实际出发，把容易测量的量作为状态变量。
制
状态变量的非唯一性，如果是状态矢量，只有矩阵P是非奇异
的（满秩），那么也是状态矢量。
理
论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
x&1
K3 T3
x2
x&2
1 T2
x2
K2 T2
x3
状态方程
制 理
x&3
1 T1
x3
K1K4 T1
K1 T1
u
论
y x1 输出方程
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为
机 械 控 制
0
K3 T3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x& 0
1 T2
K1K4
0
T1
i1 和 i2 为状态变量。（四个独立储能元件，故有四个独立变量）
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
即令：uC1 x1 uC2 x2 i1 x3 i2 x4
从节点a、b、c, 按基尔霍夫电流定律列出电流方程
机 械
a点：i i3 x3 C2 x&2 0 b点：C1x&1 x3 x4 0 c点：C2 x&2 x4 i4 0
x1 x2
0 1 L
u
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
或 x& Ax bu
机 械
式中
x&
x&1 x&2
x
x1 x2
0
A
1
c
1 L
c L
0
b
1
L
控 (要适应矩阵表达方法)
制
写出状态方程的步骤： ①确定状态变量（完全、确定的描述系统的最少独立变量个数）
理
机 一、定义
械
1、状态变量的定义：能够完全确定系统运动状态的最小个数的 一组独立变量
控
注：①、n阶系统（即用n阶微分方程描述的系统）有n个独立变 量；
制
②、状态变量不是唯一的，但数目是唯一的；
③、状态变量在t=t0时刻已知时（初始条件），且t≥t0时输入
理
给定时，可完全确定系统在任何时刻t≥t0时的行为（因n个独立的
的直接传递作用。
理
论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§7-2状态空间表达式的模拟结构图
机 一、状态空间表达式的系统方块图 1、什么是系统方块图及模拟结构图？
械
以传递函数表示系统信号之间传递关系的图为方块图。
用积分器表示的系统信号之间传递关系的图为模拟结构图。
控
2、状态空间表达式结构图的绘制步骤：
二、单输入---单输出定常系统状态空间表达式的一般形式
设状态变量为 x1, x2，L , xn ，则状态方程的一般形式为：
机
x&1 a11x1 a12 x2 L a1n xn b1u
械
x&2 a21x1 a22 x2 L a2n xn b2u
控
LL
制
x&n an1x1 an2 x2 L ann xn bnu
②由物理规律写出关于状态变量的一阶微分方程组
论
③写成状态变量的系数在等式左端，状态变量在等式右端的标准形式
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
5、输出方程
反映系统输出于状态变量间的函数关系式称为输出方程，对应例，
若输出用Y表示，确定 x1 uc 作为输出，则输出方程为y x1 或
机 械
y uc
状态空间分析法（由状态变量构成
理
的一阶微分方程组） 只研究输入---输出的关系，不 输入---输出通过中间变量反映，反
论 包含其他相互独立的中间变量 映了系统的全部独立变量的变化， 的信息（即不包含系统的所有 即反映了全部内部状态
信息）
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
§7-1 状态变量及状态空间表达式
c1n
c2
n
L
-----为
mn
维输出矩阵
cn3
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
d11 d12 L d1n
机
D
d21
d22
L
L L L
d2
n
L
-----为 m r 维直接传递矩阵
（输入直接传递到输出）
械
dn1
dn2
L
dn3
控
制
一般地（除特别说明），为简单起见，令D 0，即不考虑输入矢量