2018年全国高考新课标3卷理科数学试题(解析版)
2018年高考理科数学全国三卷试题和答案解析

2018年高考理科数学全国三卷试题和答案解析2018年高考理科全国三卷1.已知集合 $A=\{1,2,3,4\}。
B=\{2,3,4\}。
C=\{3,4\}。
D=\{4\}$,则 $(A\cup B)\cap (C\cup D)$ 的元素为 $\{3,4\}$。
2.设 $f(x)=\dfrac{1-x}{1+x}$,则 $f(f(x))=\dfrac{x-1}{x+1}$。
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头。
若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是选项 B。
4.若 $\log_2 a=3$,$\log_3 b=4$,$\log_5 c=5$,则$a^2bc=\dfrac{2^6\cdot 3^8\cdot 5^{10}}{15}$。
5.$x^6+(x+1)^6$ 的展开方式中 $x^2$ 的系数为 $40$。
6.直线 $y=x+1$,$y=-x+3$ 分别与 $x$ 轴,$y$ 轴交于两点,点在圆 $x^2+y^2=1$ 上,则面积 $S$ 的取值范围是$0<S<2\pi$。
7.函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$,$g(x)=\dfrac{1}{2}$,则$h(x)=f(x)g(x)+\dfrac{1}{2}$ 的图像大致为一个半径为$\dfrac{1}{2}$,圆心在 $y$ 轴上方 $\dfrac{1}{2}$ 的圆。
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率为 $0.8$,各成员的支付方式相互独立。
设使用移动支付的人数为 $n$,则$P(n\leq 3)$ 的概率为 $0.008+0.096+0.345+0.409=0.858$。
9.已知 $\triangle ABC$ 中,$\angle A=120^\circ$,$AB=AC$,$BC=2$,则 $S_{\triangle ABC}=\sqrt{3}$,$\sinA=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos A=-\dfrac{1}{2}$。
2018年全国3卷 理科数学 答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(全国卷3)参考答案一、选择题 1.答案:C解答:∵,,∴.故选C.2.答案:D解答:,选D. 3.答案:A解答:根据题意,A 选项符号题意. 4.答案:B解答:.故选B. 5.答案:C 解答:,当时,,此时系数.故选C. 6.答案:A解答:由直线得,∴的圆心为,∴圆心到直线到直线的距离的取值范围为. 7.答案:D解答:当时,,可以排除A 、B 选项;又因为,则的解集为,单调递增区间为,;的解集为,单调递减区间为,.结合图象,可知D 选项正确. 8.答案:B解答:由,∴,∴,解之得,由,有.{|10}{|1}A x x x x =-≥=≥{0,1,2}B ={1,2}A B =2(1)(2)23i ii i i +-=+-=+227cos 212sin 199αα=-=-=25103552()()2rrr r r r C x Cx x--=⋅⋅2r =1034r -=22552240r r C C ==20x y ++=(2,0),(0,2)A B --||AB =22(2)2x y -+=(2,0)20x y ++==P 20x y ++=d ≤≤+d ≤≤1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈0x =2y =3424(y x x x x x '=-+=-+-()0f x '>(,-∞U ()f x (,-∞()0f x '<()22-+∞U ()f x (2-(,)2+∞~(10,)X B p 10(1) 2.4DX p p =-=21010 2.40p p -+=120.4,0.6p p ==(4)(6)P X P X =<=0.6p =9.答案:C 解答:,又,故,∴.故选C.10.答案:B解答:如图,为等边三角形,点为,,,外接球的球心,为的重心,由,得,取的中点,∴,∴球心到面的距离为,∴三棱锥体积最大值.11.答案:C解答:∵,,∴ ;又因为,所以; 在中,; ∵在中,,.12.答案:B解答:∵,,2222cos 1cos 442ABC a b c ab C S ab C ∆+-===1sin 2ABC S ab C ∆=tan 1C =4C π=ABC ∆OA B C D G ABC ∆ABC S ∆=6AB =BC H sin 60AH AB =⋅︒=23AG AH ==O ABC 2d ==D ABC -1(24)3D ABC V -=⨯+=2||PF b =2||OF c =||PO a =1|||PF OP 1||6PF a =2Rt POF ∆22||cos ||PF bOF cθ==12Rt PF F ∆2222121212||||||cos 2||||PF F F PF bPF F F cθ+-==⋅⋅222222224644633bb c a b c a c a c =⇒+-=⇒-=-223c a ⇒=e ⇒=0.2log 0.3a =2log 0.3b =∴,, ∴,∴即, 又∵,,∴,故选B.二、填空题 13.答案:解答:,∵,∴,解得. 14.答案:解答:,则, 所以. 15.答案:解答:由,有,解得,由得可取,∴在上有个零点.16.答案:解答:依题意得,抛物线的焦点为,故可设直线,联立消去得,设,,则,,∴,.又,,∴,∴.三、解答题17.答案:(1)或;(2).解答:(1)设数列的公比为,∴,∴. ∴或.(2)由(1)知,或, 0.31log 0.2a =0.31log 2b =0.311log 0.4a b +=1101a b <+<01a b ab +<<0a >0b <0ab a b <+<122(4,2)a b +=//(2)c a b +1240λ⨯-⨯=12λ=3-(1)xxy ae ax e =+(0)12f a '=+=-3a =-3()cos(3)06f x x π=+=3()62x k k Z πππ+=+∈39k x ππ=+039k πππ≤+≤k 0,1,2()cos(3)6f x x π=+[0,]π32C (1,0)F :(1)AB y k x =-2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩y2222(24)0k x k x k -++=11(,)A x y 22(,)B x y 212224k x x k++=121x x =12124()2y y k x x k k+=+-=2121212[()1]4y y k x x x x =-++=-11(1,1)MA x y =+-22(1,1)MB x y =+-1212(1)(1)(1)(1)MA MB x x y y ⋅=+++--12121212()1()1x x x x y y y y =++++-++2224411410k k k+=++--+=2k =12n n a -=1(2)n n a -=-6{}n a q 2534a q a ==2q =±12n n a -=1(2)n n a -=-122112n nn S -==--1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+∴或(舍),∴. 18.解答:(1)第一种生产方式的平均数为,第二种生产方式平均数为,∴,所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种,∴第二种生产方式的效率更高.(2)由茎叶图数据得到,∴列联表为(3),∴有的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19.解答:(1)∵正方形半圆面,∴半圆面,∴平面.∵在平面内,∴,又∵是半圆弧上异于的点,∴.又∵,∴平面,∵在平面内,∴平面平面.(2)如图建立坐标系:∵面积恒定,∴,最大.,,,,,设面的法向量为,设面的法向量为,,,,,, 同理,,2163mm S =-=1[1(2)]633m m S =--=6m =184x =274.7x =12x x >80m=222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯99%ABCD ⊥CMD AD ⊥CMD AD ⊥MCD CM MCD AD CM ⊥M CD ,C D CM MD ⊥AD DM D =I CM ⊥ADM CM BCM BCM ⊥ADM ABC S ∆MO CD ⊥M ABC V -(0,0,1)M (2,1,0)A -(2,1,0)B (0,1,0)C (0,1,0)D -MAB 111(,,)m x y z =u r MCD 222(,,)n x y z =r(2,1,1)MA =--(2,1,1)MB =-(0,1,1)MC =-(0,1,1)MD =--11111120(1,0,2)20x y z m x y z --=⎧⇒=⎨+-=⎩(1,0,0)n =∴,∴ .20.解答:(1)设直线方程为,设,,联立消得, 则,得…①,且,, ∵,∴ 且.且…②.由①②得, ∴或. ∵,∴ .(2),,∵,,∴的坐标为.由于在椭圆上,∴ ,∴,,cos 5θ==sin θ=l y kx t =+11(,)A x y 22(,)B x y 22143y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 222(43)84120k x ktx t +++-=2222644(412)(34)0k t t k ∆=--+>2243k t +>1228234kt x x k -+==+121226()2234ty y k x x t m k +=++==+0m >0t >0k <2344k t k+=-2222(34)4316k k k++>12k >12k <-0k <12k <-0FP FA FB ++=uu r uu r uu r r 20FP FM +=uu r uuu r r (1,)M m (1,0)F P (1,2)m -P 214143m +=34m =3(1,)2M -又,, 两式相减可得,又,,∴, 直线方程为, 即, ∴, 消去得,,,,∴. ∴,,成等差数列,.∴. 21. 解答:(1)若时,,∴. 令, ∴. ∴当时,,在上单调递增,2211143x y +=2222143x y +=1212121234y y x xx x y y -+=-⋅-+122x x +=1232yy +=1k =-l 3(1)4y x -=--74y x =-+2274143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2285610x x -+=1,2x =||||3FA FB +==uu r uu r3||2FP ==uu r ||||2||FA FB FP +=FA FP FB 12122||||||||||c c cd FA FB a x a x x x a a a=-=--+=±-===28d =±0a =()(2)ln(1)2(1)f x x x x x =++->-1()ln(1)(2)21f x x x x '=+++-+1ln(1)11x x =++-+1()ln(1)11h x x x =++-+2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>()h x (0,)+∞当时,,在上单调递减. ∴, ∴恒成立,∴在上单调递增, 又,∴当时,;当时,.(2), ,, , .设,∴,,, ∴在邻域内,时,,时,.时,,由洛必达法则得, 时,,由洛必达法则得, 综上所述,. 22. 解答:(1)的参数方程为,∴的普通方程为,当时,直线:与有两个交点,当时,设直线的方程为,由直线与有两个交点有10x -<<()0h x '<()h x (1,0)-min ()(0)ln1110h x h ==+-=()0f x '≥()f x (1,)-+∞(0)2ln100f =-=10x -<<()0f x <0x >()0f x >21()(21)ln(1)11ax f x ax x x +'=+++-+22212(1)1()2ln(1)01(1)ax ax x ax f x a x x x ++--''=+++≤++222(1)ln(1)(21)(1)210a x x ax x ax ax +++++++-≤222(1)ln(1)340a x x ax ax x +++++≤22[2(1)ln(1)34]a x x x x x ++++≤-22()2(1)ln(1)34h x x x x x =++++()4(1)ln(1)2(1)64h x x x x x '=++++++(0)60h '=>(0)0h =0x =0x >()0h x >0x <()0h x <0x >222(1)ln(1)34x a x x x x -≤++++16a ≤-0x <222(1)ln(1)34x a x x x x -≥++++16a ≥-16a =-O e cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩O e 221x y +=90α=︒:0l x =O e 90α≠︒l tan y x α=l O e,得,∴或,∴或,综上.(2)点坐标为,当时,点坐标为,当时,设直线的方程为,,∴有,整理得,∴,,∴ 得代入④得.当点时满足方程,∴中点的的轨迹方程是,即,由图可知,,,则,故点的参数方程为(为参数,).23.解答:1<2tan 1α>tan 1α>tan 1α<-4590α︒<<︒90135α︒<<︒(45,135)α∈︒︒P (,)x y 90α=︒P (0,0)90α≠︒l y kx =-1122(,),(,)A x y B xy 221x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩①②22(1x kx +-=22(1)10k x +-+=1221x x k +=+12y y +=2211x ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩③④x k y =-220x y ++=(0,0)P 220x y ++=ABP 220x y ++=221(2x y ++=A(B0y <<P 222x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩β0βπ<<(1),如下图:(2)由(1)中可得:,, 当,时,取最小值, ∴的最小值为.13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩3a ≥2b ≥3a =2b =a b +a b +5。
2018年高考理科数学(3卷)答案详解(附试卷)

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学3卷 答案详解一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
1.已知集合,,则A .B .C .D . 【解析】∵}1|{≥=x x A ,}2,1{=B A . 【答案】C 2. A .B .C .D .【解析】i i i +=-+3)2)(1(. 【答案】D3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【解析】看不见的线应该用虚线表示. 【答案】A 4.若,则 A .B .C .D . {}|10A x x =-≥{}012B =,,A B ={}0{}1{}12,{}012,,()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i+1sin 3α=cos2α=897979-89-【解析】227cos212sin 199αα=-=-=. 【答案】B5.252()x x+的展开式中4x 的系数为A .10B .20C .40D .80【解析】由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为251031552()2rr r r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,由1034r -=,得2r =,∴252()x x+的展开式中4x 的系数为225240C =.【答案】C6.直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则△ABP 面积的取值范围是 A .B .C .D .【解析】如图所示,由题意可知)0,2(-A 、)0,2(-B ,∴22||=AB .过点P 作△ABP 的高PH ,由图可以看出,当高PH 所在的直线过圆心)0,2(时,高PH 取最小值或最大值. 此时高PH 所在的直线的方程为02=-+y x .将02=-+y x 代入,得到与圆的两个交点:)1,1(-N 、)1,3(M ,因此22|211|min =+-=|PM|,232|213|max =++=|PM|. 所以222221min =⨯⨯=S ,6232221max =⨯⨯=S . 20x y ++=x y A B P ()2222x y -+=[]26,[]48,⎡⎣22(2)2x y -+=图A6【答案】A7.函数的图像大致为【解析】设2)(24++-==x x y x f ,∵02)0(>=f ,因此排除A 、B ;)12(224)(23--=+-='x x x x x f ,由0)(>'x f 得22-<x 或220<<x ,由此可知函数)(x f 在),(220内为增函数,因此排除C.422y x x =-++【答案】D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,4.2=DX ,)6()4(=<=x P x P ,则p= A .0.7B .0.6C .0.4D .0.3【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,看做独立重复事件,满足),10(~p B X .∵4.2=DX ,∴4.2)1(10=-p p ,解得6.0=p 或4.0=p .∵)6()4(=<=x P x P ,∴4661064410)1()1(p p C p p C -<-,解得021<-p ,即21>p . ∴6.0=p .【答案】B9.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为4222c b a -+,则C =A .B .C .D .【解析】由已知和△ABC 的面积公式有,4sin 21222c b a C ab -+=,解得C ab c b a sin 2222=-+.∴ C abCab ab c b a C sin 2sin 22cos 222==-+=,又∵1cos sin 22=+C C ,∴22sin cos ==C C ,4π=C . 【答案】C10.设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为39,则三棱锥D -ABC 体积的最大值为 A .312B .318C .324D .354【解析】如图A12所示,球心为O ,△ABC 的外心为O ′,显然三棱锥D -ABC 体积最大时D 在O′O 的延长线与球的交点.△ABC 为为等边三角形且其面积为39,因此有39432=⨯AB ,解得AB =6. △3260sin 32=⋅⨯=' AB C O ,2)32(42222=-='-='O O OC O O , 2π3π4π6π∴642=+='D O .∴ 三棱锥D -ABC 体积的最大值为31863931=⨯⨯=V .图A10【答案】B11.设F 1、F 2是双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若,则的离心率为 AB.2CD【解析】双曲线C 的渐近线方程为by x a=±,即0bx ay ±=. ∴ 点F 2到渐近线的距离为b ba bc d =+=22,即b ||PF =2,∴ a b c ||PF ||OF |OP|=-=-=222222,∴ a |OP|||PF 661==,在Rt △OPF 2中,cbOF ||PF O PF ==∠||cos 222,在Rt △F 1PF 2中,bca cb |F |F ||PF ||PF |F |F ||PF O PF 4642cos 22221221221222-+=⋅-+=∠,∴ bca cbc b 464222-+=,化简得222364b a c =-,将222a c b -=代入其中得223a c =,1PF =C∴3222==ac e ,3=e .图A11【答案】C12.设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则A .0a b ab +<<B .0ab a b <+<C . 0a b ab +<<D .0ab a b <<+【解析】∵0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<,∴01a <<.∵221log 0.3log 2<,∴1b <-. ∴0ab <,0a b +<. ∵0.30.30.30.311=log 2log 0.2log 0.4log 0.31a b ab a b++=+=<=,0ab <,∴ab a b <+.综上所述 0ab a b <+<.【答案】B二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018年新课标Ⅲ理数高考试题文档版(含答案)

绝密★启封并使用完毕前试题类型:2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ,则S I T =(A) [2,3] (B)(-∞ ,2]U [3,+∞) (C) [3,+∞) (D)(0,2]U [3,+∞) (2)若z=1+2i ,则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i (3)已知向量12(,)22BA =uu v,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ,B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是学.科.网(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 (5)若3tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625(6)已知432a =,344b =,1325c =,则(A )b a c << (B )a b c <<(C )b c a <<(D )c a b << (7)执行下图的程序框图,如果输入的a =4,b =6,那么输出的n =(A )3 (B )4 (C )5 (D )6(8)在ABC △中,π4B =,BC 边上的高等于13BC ,则cos A = (A )31010 (B )1010 (C )1010- (D )31010-(9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,学.科.网则该多面体的表面积为(A )18365+ (B )54185+ (C )90 (D )81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球,若AB ⊥BC ,AB =6,BC =8,AA 1=3,则V 的最大值是(A )4π (B )92π(C )6π (D )323π(11)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,学科&网A ,B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 (A )13(B )12(C )23(D )34(12)定义“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意2k m ≤,12,,,ka a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4,则不同的“规范01数列”共有 (A )18个 (B )16个 (C )14个 (D )12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共3小题,每小题5分 (13)若x ,y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为_____________.(14)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
2018年高考数学全国卷三理科试题(附答案)

2018年高考数学全国卷三理科试题(附答案) 2018年高考数学全国卷三理科考试已经落下帷幕,本试卷为考生带来了挑战,让大家从中更加深入的了解数学知识,本试卷的答案让大家从中收获了成长。
2018年高考数学全国卷三理科试题2018年高考数学全国卷三理科试题出炉,考生们做好了准备,及时解决遇到的问题,取得优异的成绩。
本次全国卷三包括4个部分组成,分别是选择题、填空题、解答题和分析题。
如下:一、选择题1. 若集合A={x|-2≤x≤2},集合B={x|x2<4},则A∩B= (A) {-2,2} (B) {-2,0,2} (C) {-1,1} (D) {0,2}2. 若平面上的两个点的坐标分别A(2,3),B(4,-3),那么它们之间的距离是(A)2(B)5(C)7(D)63. 若复数z1=1-i,z2=1+i,则z1、z2的共轭复数分别为(A)1-i,1+i(B)1+i,1-i(C)-1+i,-1-i(D)-1-i,-1+i4. 若函数y=3x3-6x2+9x+3在x=2处取得极值,则极大值为(A)-12(B)-9(C)15(D)185. 若两个圆O1,O2的半径分别是6,9,则O1, O2相切的条件是(A)r1=r2(B)r1+r2=15(C)r1-r2=3(D)r1+r2=3二、填空题1. 下列各式中,(1+√5)5次方的展开式中,常数项为a_1r_1+a_3r_3+a_5r_5,其中a_1,a_3,a_5分别为______,_______,_______。
答案:a_1=5 ; a_3=-5 ; a_5=12.函数f (x)=2x2+8x+9,x≤1时的最大值为_________。
答案:13三、解答题1.求实数a,b满足等式|a-3|-|b+3|=4的解。
答:解得a=-1、b=-72.曲线y=x3+3x2+3x+c的图象经过点(1,1),求参数c的值。
答:设y=x3+3x2+3x+c设点P(1,1)在曲线上,即1=1+3+3+cc=0四、分析题1.已知实数x,y满足约束条件2x+y≤12,x,y≥0,求此约束条件下的最大值。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅲ卷) 理科数学试题及详解

作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P .若 PF1 6 OP ,则 C 的离心率为( )
A. 5
B.2
C. 3 D. 2
11.答案:C
解答:∵ | PF2 | b , | OF2 | c ,∴ | PO | a ; 又因为 | PF1 | 6 | OP | ,所以 | PF1 | 6a ;
在
RtPOF2
3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图 中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长 方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
3.答案:A 解答:根据题意,A 选项符号题意.
4.若 sin 1 ,则 cos 2 ( ) 3
中, cos
| PF2 | OF2
| |
b c
;
∵在 RtPF1F2 中, cos
| PF2 |2 | F1F2 |2 | PF1 |2 2 | PF2 | | F1F2 |
b
,
c
b2 4c2 (
∴
6a)2 b b2 4c2 6a2 4b2 4c2 6a2 3c2 3a2
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。
1.已知集合 A x | x 1≥0 , B 0,1,2 ,则 A B ( )
A.0 B.1 C.1,2
D. 0 ,1,2
1.答案:C
6.答案:A
解答:由直线 x y 2 0 得 A(2,0), B(0, 2) ,∴| AB | 22 22 2 2 ,圆 (x 2)2 y2 2 的圆心为 (2,0) ,∴圆心到直线 x y 2 0 的距离为 2 2 2 2 ,∴
2018年全国新课标Ⅲ卷全国3卷高考理科数学试卷及参考答案与试题解析

2018年全国新课标Ⅲ卷全国3卷高考理科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5.00分)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}2.(5.00分)(1+i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i3.(5.00分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A. B. C. D.4.(5.00分)若sinα=,则cos2α=( )A. B. C.- D.-5.(5.00分)(x2+)5的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.806.(5.00分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]7.(5.00分)函数y=-x4+x2+2的图象大致为( )A. B. C.D.8.(5.00分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)<P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.39.(5.00分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( )A. B. C. D.10.(5.00分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )A.12B.18C.24D.5411.(5.00分)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( )A. B.2 C. D.12.(5.00分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( )A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018年数学真题及解析_2018年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ)

2018年云南省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5.00分)已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}2.(5.00分)(1+i)(2﹣i)=()A.﹣3﹣i B.﹣3+i C.3﹣i D.3+i3.(5.00分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A. B. C. D.4.(5.00分)若sinα=,则cos2α=()A.B.C.﹣ D.﹣5.(5.00分)(x2+)5的展开式中x4的系数为()A.10 B.20 C.40 D.806.(5.00分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]7.(5.00分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为()A.B.C.D.8.(5.00分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)<P(X=6),则p=()A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.39.(5.00分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.10.(5.00分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.5411.(5.00分)设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为()A.B.2 C.D.12.(5.00分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018高考数学新课标3理科真题及答案解析

1. (2018 年新课标III 理)己知集合 A={x|x-1^0),B=(0, 1,2},则 ADB=( )A. {0}B. {1}C. {1,2}D. {0,1,2}C 【解析】A={4r —lL0} = {x|x21},则 AnB={4xNl}n{0, 1,2} = {1,2}.2. (2018 年新课标III 理)(l+i)(2-i)=( )A, —3—i B. —3+i C. 3—i D 【解析】(l+i)(2—i)=2—i+2i —i2=3+i.D. 3+i 3. (2018年新课标III 理)中国古建筑借助棒卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫桦头,凹 进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()俯视方向A 【解析】由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体是棒头,从 图形看出轮廓是长方形,内含一个长方形,且一条边重合,另外3边是虚线.故选A.4. (2018 年新课标III 理)若 sin ct=|,则 cos 2a=()8 7 7A. g B. gC. —gD.1 7B 【解析】cos 2<x=l —2sin 2a=l —2X-=-5. (2018年新课标III 理)错误!5的展开式中x 4的系数为()A. 10B. 20C. 40D.80C【解析】错误!5的展开式的通项为7ki=C错误好产,错误!,=2,C错误成0.由10-3r=4,解得r=2.错误!5的展开式中/的系数为22。
错误!=40.6.(2018年新课标III理)直线x+y+2=0分别与x辄y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+寸=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[^2,3y[2]D.[2^2,3^2]A【解析】易得A(—2,0),3(0,—2), |AB|=2«.圆的圆心为(2,0),半径r=屯.圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离d='^^^=2^/2,.•.点F至(J直线x+y+2=0的距离h的取值范围为[2皿一广,2皿+刀,即[彖,3国又△ABP的面积S=^\AB\•h=季2,.\S的取值范围是[2,6].7.(2018年新课标III理)函数>=一工4+j+2的图象大致为()C DD【解析】函数过定点(0,2),排除A,B;函数的导数/=~4x3+2x=~2x(2^~1),由y>0解得X<-错误域0<x<错误!,此时函数单调递增,排除C.故选D.8.(2018年新课标III理)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为饱各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,QX=2.4,F(X=4)<F(X=6),则p=()A. 0.7B.0.6C. 0.4D. 0.3B 【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,为独立重复事件,满足X 〜 3(10, p ).由 P (X=4)<P (X=6),可得 CV (1 -p )6<CV (1 ~P )4, 解得 P>\-因为 QX=2.4,所 以 10p (l —p )=2.4,解得,=0.6 或,=0.4(舍去).9. (2018年新课标III 理)A ABC 的内角A, B,C 的对边分别为a, b, c.若△A3。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含解析版)

2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2} 2.(5分)(1+i)(2﹣i)=()A.﹣3﹣i B.﹣3+i C.3﹣i D.3+i3.(5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A.B.C.D.4.(5分)若sinα=,则cos2α=()A.B.C.﹣D.﹣5.(5分)(x2+)5的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.806.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3] 7.(5分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为()A.B.C.D.<P(X=6),则p=()9.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.10.(5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.5411.(5分)设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为()A.B.2C.D.12.(5分)设a=log2A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
完整版)2018年高考理科数学全国三卷试题及答案解析

完整版)2018年高考理科数学全国三卷试题及答案解析2018年高考理科全国三卷1.已知集合 A={1,2,3,4}。
B={2,3,4}。
C={3,4}。
D={4},则(A∩B)∪(C∩D) 的元素个数是多少?2.已知函数 f(x)=x^2-2x+1,g(x)=2x-1,则 f(g(x)) 的值为多少?3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼。
图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是哪一个?4.若 a,b,c 是正整数,且 a^2+b^2=c^2,则 a+b+c 的值是多少?5.将 (2x-y+3z)^4 展开后,x^2y^2z^2 的系数是多少?6.平面直角坐标系中,直线与 x 轴交于 A,与 y 轴交于B,直线与 x 轴交于 C,与 y 轴交于 D。
点 P 在圆 x^2+y^2=1 上,且线段 AP 与线段 CD 相交于点 O。
则△AOD 的面积的取值范围是什么?7.已知函数 f(x)=x^3-3x,则 f(x+2)-f(x-2) 的图像大致是什么?8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率为 p,各成员的支付方式相互独立。
设 N 为该群体的成员数,X 为使用移动支付的人数,则 P(X=k) 的值是多少?9.△ABC 中,∠A=60°,BC=2,AD 是 BC 的中线,点 E 在 AB 上,使得 AE=AD。
若△ADE 为等边三角形且其面积为 1/3,则△ABC 的面积是多少?10.设 V 是半径为 R 的球的球面上四点 A,B,C,D 所构成的四面体的体积,V 的最大值是多少?11.双曲线 H 的左、右焦点分别为 F1(-c,0)、F2(c,0),坐标原点为 O,过 F1 作 H 的一条渐近线,垂足为 P。
若 OP=2c,则 H 的离心率是多少?12.设函数 f(x)=x^3-ax^2+bx-1,若 f(x) 在点 x=1 处的切线的斜率为 3,在 x=2 和抛物线 y=x^2+cx+d 的零点个数为 2,过点 (2,0) 的直线 y=kx+m 与 y=f(x) 的交点为 (3,4),则 a,b,c,d 的值分别是多少?13.已知向量 a=3i+2j,b=-2i+5j,则 a·b 的值是多少?14.曲线 y=2x^3-3x^2+6x-1 的切线在点 (1,4) 处的斜率是多少?15.函数 f(x)=x^2-2x+3 在区间 [-1,3] 上的最小值是多少?16.已知点 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(1,1,1),且 AD 与平面 BCD 垂直,AD 的长度为 2.则 BD 的长度是多少?17.等比数列 {an} 的首项为 a1=2,公比为 q=1/2.求 S10 的值和 a10 的值。
2018年高考真题——数学理(全国卷Ⅲ)(详解版)

2018年高考真题——数学理(全国卷Ⅲ)(详解版)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:由题意先解出集合A,进而得到结果。
详解:由集合A得,所以故答案选C.点睛:本题主要考查交集的运算,属于基础题。
2.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:由复数的乘法运算展开即可。
详解:故选D.点睛:本题主要考查复数的四则运算,属于基础题。
3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. AB. BC. CD. D【答案】A【解析】分析:观察图形可得。
详解:观擦图形图可知,俯视图为故答案为A.点睛:本题主要考擦空间几何体的三视图,考查学生的空间想象能力,属于基础题。
4. 若,则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:由公式可得。
详解:故答案为B.点睛:本题主要考查二倍角公式,属于基础题。
5. 的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析:写出,然后可得结果详解:由题可得令,则所以故选C.点睛:本题主要考查二项式定理,属于基础题。
6. 直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:先求出A,B两点坐标得到再计算圆心到直线距离,得到点P到直线距离范围,由面积公式计算即可详解:直线分别与轴,轴交于,两点,则点P在圆上圆心为(2,0),则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛:本题主要考查直线与圆,考查了点到直线的距离公式,三角形的面积公式,属于中档题。
7. 函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】D【解析】分析:由特殊值排除即可详解:当时,,排除A,B.,当时,,排除C故正确答案选D.点睛:本题考查函数的图像,考查了特殊值排除法,导数与函数图像的关系,属于中档题。
2018年全国卷3理科数学试题及参考答案

绝密★启用前试题类型:新课标Ⅲ2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|10A x x =-≥,{}0,1,2B =,则A B = ( ) A .{}0 B .{}1 C .{}1,2 D .{}0,1,2 【答案】C【解析】:1A x ≥,{}1,2A B ∴= 【考点】交集2.()()12i i +-=( )A .3i --B .3i -+C .3i -D .3i + 【答案】D【解析】()()21223i i i i i +-=+-=+【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫做榫头,凹进部分叫做卯眼,图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】注意咬合,通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中,嵌入后最多只能看到小长方体的一个面,而B 答案能看见小长方体的上面和左面,C 答案至少能看见小长方体的左面和前面,D 答案本身就不对,外围轮廓不可能有缺失 【考点】三视图 4.若1sin 3α=,则cos 2α=( ) A .89 B .79 C .79- D .89- 【答案】B【解析】27cos 212sin 9αα=-= 【考点】余弦的二倍角公式5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为( )A .10B .20C .40D .80 【答案】C【解析】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +项为:()521035522rr r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭,故令2r =,则10345240r r r C x x -=【考点】二项式定理俯视方向D.C. B.A.6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于点,A B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上,则ABP ∆面积的取值范围是( )A .[]2,6B .[]4,8 C. D.⎡⎣【答案】A【解析】()()2,0,0,2A B --,AB ∴=,可设()2,P θθ+,则4P ABd πθ-⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭[]12,62ABP P AB P AB S AB d ∆--∴=⋅=∈ 注:P AB d -的范围也可以这样求:设圆心为O ,则()2,0O,故P AB O AB O AB d d d ---⎡∈+⎣,而O AB d -==,P AB d -∴∈ 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数) 7.422y x x =-++的图像大致为( )【答案】DxxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO111111【解析】()12f =,排除A 、B ;()32'42212y x x x x =-+=-,故函数在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单增,排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10为成员中使用移动支付的人数, 2.4DX =,()()46P X P X =<=,则p =( )A .0.7B .0.6C .0.4D .0.3 【答案】B【解析】由题意得X 服从二项分布,即()~10,X p ,由二项分布性质可得()101 2.4DX p p =-=,故0.4p =或0.6,而()()()()64446610104161P x C p p P x C p p ==-<==-即()221p p -<,故0.5p >0.6p ∴=【考点】二项分布及其方差公式9.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积为2224a b c+-,则C =( )A .2πB .3πC .4πD .6π【答案】C 【解析】2221sin 24ABCa b c S ab C ∆+-==,而222cos 2a b c C ab+-= 故12cos 1sin cos 242ab C ab C ab C ==,4C π∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点,ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -的体积最大值为( )A .B .C .D .【答案】B【解析】如图,O为球心,F为等边ABC∆的重心,易知OF⊥底面ABC,当,,D O F三点共线,即DF⊥底面ABC时,三棱锥D ABC-的高最大,体积也最大. 此时:6ABCABCABS∆∆⎫⎪⇒==等边,在等边ABC∆中,233BF BE AB===,在Rt OFB∆中,易知2OF=,6DF∴=,故()max163D ABCV-=⨯=【考点】外接球、椎体体积最值11.设12,F F是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左,右焦点,O是坐标原点,过2F作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若1PF=,则C的离心率为( )AB.2CD【答案】C【解析】渐近线OP的方程为:by xa=,利用点到直线的距离公式可求得2PF b=,(此结论可作为二级结论来记忆),在Rt ABC∆中,易得OP a=,1PF∴=,在1POF∆中,由余弦定理可得:22216cos2a c aPOFac+-∠=,又2cosaPOFc∠= 22262a c a aac c+-∴+=,故cea==【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形OF ECBAD12. 设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则( )A .0a b ab +<<B .0ab a b <+<C .0a b ab +<<D .0ab a b <<+ 【答案】B【解析】首先由0.2log y x =单调递减可知0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21a =<=<=,同理可知21b -<<-,0,0a b ab ∴+<<,排除C 、D 其次:利用作商法:0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b ab a b+=+=+=<(注意到0ab <) a b ab ∴+>【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知向量()1,2a = ,()2,2b =- ,()1,c λ=. 若()//2c a b + ,则_______.λ= 【答案】12【解析】()24,2a b +=,故24λ=【考点】向量平行的坐标运算14. 曲线()1xy ax e =+在点()0,1处的切线斜率为2-,则______.a =【答案】3-【解析】()'1x xy ae ax e =++,12k a ∴=+=-【考点】切线斜率的计算方法15.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为_________.【答案】3【解析】[]0,x π∈,3,3666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦,由cos y t =图像可知,当35,,222t πππ=时cos 0t =,即()f x 有三个零点 或者:令362x k πππ+=+,则93k x ππ=+,当0,1,2k =时,[]0,x π∈,故3个零点【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16. 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点,若90AMB ∠= ,则_______.k =【答案】2 【解析】(1) 常规解法:设直线方程为1x my =+,联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可求121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩,由()()12121212110MB MA y y y y x x x x ⋅=-++++++= ,可得12m =,故2k =(2) 二级结论:以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB 中点为N ,则由二级结论可知NM ⊥准线,1N M y y ∴==,故22A B N y y y +==,由点差法可得,42A B k y y ==+ 进一步可得二级结论:AB M k y p ⋅=【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三.解答题:共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题,每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17. (12分)等比数列{}n a 中,1531,4a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式;(2)记n S 为{}n a 的前n 项和. 若63m S =,求m . 【答案】(1)12n n a -=或()12n n a -=-;(2)6m =【解析】(1)25334a a a q ==,2q ∴=±,∴12n n a -=或()12n n a -=-(2) 当2q =时,()()112631mmS -==-,解得6m =当2q =-时,()()112633mm S --==,得()2188m-=-无解综上:6m =【考点】等比数列通项公式与前n 项和公式 18. (12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人. 第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:第一种生产方式第二种生产方式8655689 9 7 627012234 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3281445 2 11 009(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表:超过m不超过m第一种生产方式 第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,()2P K k ≥ 0.0500.010 0.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高;(2)见解析;(3)有;【解析】(1)第二组生产方式效率更高;从茎叶图观察可知,第二组数据集中在70min~80min 之间,而第一组数据集中在80min~90min 之间,故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值,事实上168727677798283838485868787888990909191928420E +++++++++++++++++++==同理274.7E =,21E E < ,故第二组生产方式效率更高 (2)由茎叶图可知,中位数7981802m +==,且列联表为:超过m 不超过m第一种生产方式15 5 第二种生产方式515(3)由(2)可知()22224015510 6.63520202020K -==>⨯⨯⨯,故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19.(12分)如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在的平面垂直,M 是CD 上异于,C D 的点.(1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ;(2)当三棱锥M ABC -体积的最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析; 【解析】(1)ABCD CDM BC DCM BC DM DM BMC ADN BMC BC CD MC DM ⎫⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊥⎬⎭⎪⊥⎭(这边只给出了证明的逻辑结构,方便大家阅读,考试还需要写一些具体的内容)(2)ABC S ∆ 恒定,故要使M ABC V -最大,则M ABC d -最大,结合图象可知M 为弧 CD中点时,M ABC V -最大. 此时取CD 的中点O ,则MO DC ⊥,故MO ⊥面ABCD ,故可建立如图所示空间直角坐标系 则:()0,0,1M ,()2,1,0A -,()2,1,0B ,()0,1,0C ,()0,1,0D -MBCDA()()0,2,0,2,1,1AB MA ==--,∴平面MAB 的法向量为()11,0,2n = ,易知平面MCD 的法向量为()21,0,0n =,故12cos ,5n n <>== , ∴面MAB 与面MCD【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法 20. (12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点,线段AB 的中点为()()1,0M m m >.(1)证明:12k <-; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=. 证明,,FA FP FB 成等差数列,并求该数列的公差. 【答案】(1)见解析;(2)28d =±【解析】(1) 点差法:设()()1122,,,A x y B x y ,则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减化简可得: 1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+,34OM AB k k ⋅=-(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用),34m k ∴=-,易知中点M 在椭圆内,21143m +<,代入可得12k <-或12k >,又0m >,0k ∴<,综上12k <-联立法:设直线方程为y kx n =+,且()()1122,,,A x y B x y ,联立22143x y y kx n⎧⎪+=⎨⎪=+⎩可得,()2224384120k x knx n +++-=,则122212284341243kn x x k n x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,()121226243ny y k x x n k +=++=+224143343M M kn x k n y m k -⎧==⎪⎪+∴⎨⎪==⎪+⎩,两式相除可得34m k =-,后续过程和点差法一样(如果用∆算的话比较麻烦)(2) 0FP FA FB ++= ,20FP FM ∴+= ,即()1,2P m -,214143m ∴+=,()304m m ∴=>∴71,4k n m k =-=-=,由(1)得联立后方程为2171404x x -+=,1,2114x ∴=±, ()22121223c a c a cFA FB x x a x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫∴+=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(此处用了椭圆的第二定义,否则需要硬算,计算量太大)而32FP =2FA FB FP ∴+=故,,FA FP FB成等差数列.221212214c a c a c d FA FB x x x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫=±-=±---=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭28d ∴=±【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义21. (12分)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-.(1)若0a =,证明:当10x -<<时,()0f x <;当0x >,()0f x >; (2)若0x =是()f x 的极大值点,求a . 【答案】(1)见解析;(2)16a =-【解析】(1)常规方法:当0a =时,()()()()2ln 121f x x x x x =++->-,()()1'ln 111f x x x∴=++-+ ()()2''1xf x x ∴=+,当10x -<<时,()''0f x <;当0x >时,()''0f x >()'f x ∴在()1,0-上单调递减,在()0,+∞上单调递增,而()'00f =, ∴()'0f x ≥恒成立,()f x ∴单调递增,又()00f = ∴当10x -<<时,()0f x <;当0x >,()0f x >改进方法:若0a =,则()()()()()22ln 122ln 12x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦令()()2ln 12x g x x x =+-+,则()()()()22214'01212x g x x x x x =-=>++++ 所以()g x 在()0,+∞单增,又因为()00g = 故当10x -<<时,()()00g x g <=,即()0f x <; 当0x >时,()()00g x g >=,即()0f x >;方法对比:若直接求导,那么完全处理掉对数经常需要二次求导,而方法二提出()2x +之后对数单独存在,一次求导就可消掉对数(2) 方法一:极大值点的第二充要条件:已知函数y =()f x 在0x x =处各阶导数都存在且连续,0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前21n -阶导数等于0,第2n 阶导数小于0()()()22ln 12f x x ax x x =+++-()()()21'21ln 111ax f x ax x x +∴=+++-+,()'00f ∴=()()()2234''2ln 11ax ax xf x a x x ++∴=+++,()''00f ∴=()()232661'''1ax ax x a f x x +-++∴=+0x =是()f x 的极大值点,()'''0610f a ∴=+=,16a ∴=-,下证:当16a =-时,0x =是()f x 的极大值点,()()()3163'''1x x f x x -+=+,所以()''f x 在()1,0-单增,在()0,+∞单减 进而有()()''''00f x f ≤=,从而()'f x 在()1,-+∞单减,当()1,0x ∈-时,()()''00f x f >=,当()0,x ∈+∞时,()()''00f x f <= 从而()f x 在()1,0-单增,在()0,+∞单减,所以0x =是()f x 的极大值点.方法二: 0x =是()f x 的极大值点,所以存在0δ>,使得在()(),00,δδ- ,()()00f x f <=,即()()22ln 120x ax x x +++-<当()0,x δ∈时,()ln 10x +>,故()()()()2222ln 122ln 1ln 1xx x x x x a x x x +--+-++<=+,当(),0x δ∈-时,()ln 10x +<,故()()()222ln 1ln 1x x x a x x -++>+即()()()()()()()()()()()22000022ln 11ln 1limlimln 121ln 11ln 111lim lim 42642ln 144ln 141x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x x →→→→-++-++==++++--++===-++++++++(洛必达法则,极限思想)【考点】导数的应用(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22. 选修44-:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy 中,O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点.(1) 求α的取值范围;(2) 求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭;(2)23,,44222x y αππαα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎪⎩【解析】(1)当2πα=时,直线:0l x =,符合题意;当2πα≠时,设直线:l y kx =-1d =<,即()(),11,k ∈-∞-+∞ ,又tan k α=,3,,4224ππππα⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上,3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)可设直线参数方程为cos 3,44sin x t y t αππαα=⎧⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎪⎝⎭⎩,代入圆的方程可得:2sin 10t α-+=122P t t t α+∴==cos 3,44sin x y ααππααα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎪⎩即点P的轨迹的参数方程为23sin 2,,244x y ππααα⎧⎛⎫=⎪⎛⎫∈⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎩(也可以设直线的普通方程联立去做,但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率,轨迹方程23. 选修45-:不等式选讲(10分)已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像;(2)当[)0,x ∈+∞时,()f x ax b ≤+,求a b +的最小值. 【答案】(1)见解析;(2)5【解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩,图象如下(2)由题意得,当0x ≥时,ax b +的图象始终在()f x 图象的上方,结合(1)中图象可知,3,2a b ≥≥,当3,2a b ==时,a b +最小,最小值为5, 【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题xy21.531-0.5O。
2018年全国3卷理科数学真题(解析版)

18年全国3卷理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.1.已知集合AT x |x ・120}, B={0. 1. 2},贝iJACBA. {0JB. HIC. {1 . 2}D. (0. k 2}【答案】C【解析】分析:由题意先解出集合A.进而得到结果。
详解:由集合A 得X2 1,所以AOBTL2}故答案选C.2. (1 +A. -3rB. -3+iC. 3-iD. 3 + i【答案】D【解析】分析:由0数的乘法运算展开即可。
详解:(I + iX2 • i) = 2 . 1 + 2」.『=3 + l故选D.3.中国古建筑借助棵卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫桦头,凹进部分叫卯眼,图中 木构件右边的小长方体是桦头.若如留摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯限的木构件的俯视图可以是fS徵方向A C D. DC DA. AB. BC.【答案】A【解析】分析:观察图形可得。
详解:观擦图形图可知,俯视图为_____:故答案为A.4.若gma-,则cos2a7SA. B. C.— D.—99【答案】B【解析】分析:由公式脉2«=1”28静(1可得。
,27详解:cos2a•1-2sin"a■1--1■-99故答案为B.5.的展开式中的系数为A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】分析:与出然后可得结果详解:由鼬可得T"」C^x2)5'r(-)r C;2r-x10JrX令10.3r=4,则r=2所iUC;-2,=C^x2z=40故选C.6直线x+y+2=0分别与轴,轴交于,两点,点在圆(x-2)'y'=2上,则△ABP面积的取值范围是A.|2.6|B.[4.8]C.匝.^1D.[20.3因【答案】A【解析】分析:先求出A・B两点坐标得到|AB|•再计算圆心到直线距离,得到点P到直线距离范围・由而枳公式计算叩可详解:•・Fgr+2=0分别与轴,轴交于,两点•・•点P在圆&.2尸+广=2上12+0+21 l W 同心为(2, 0).则圆心到I • L .项小一f —"夕故点P 到立线x +y f =0的距离的范"I 为[也3卤则 S &AB P -*!AB|<i 2-^d,e[16]故答案选A.D. DC. C A. A B. B【答案】D 【解析】分析:由特殊值排除即可详解:% = 0时.y = 2,排除ABy ,= + ・2\(2^・ 1)•场丘• y AO,排除C故正确答案选D.8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,备成员的支付方式相互独立,设为该群体 的10位成员中使用移动支付的人数,DX = 24, P(X = 4)<P(X 6),则pA. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.3【答案】B【解析】分析;判断出为二项分布.利用公mx)=np(l・p)进行计算即可•IXX)二np(l・P)••・p=04或p=06P(X=4)=C加」(】.p)6<P(X=6)=C,y(1-p)1,.-.(I『)2<^,可知1>>。
2018年全国卷3高考理科数学试题解析版

C. 40
D. 80
【解析】分析:写出
,然后可得结果
详解:由题可得
令
,则
所以
故选 C.ຫໍສະໝຸດ 拓展:本题主要考查二项式定理,属于基础题。
6. 直线
分别与轴,轴交于,两点,点在圆
范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
上,则
面积的取值
【解析】分析:先求出 A,B 两点坐标得到 再计算圆心到直线距离,得到点 P 到直线距
详解:由题可得
,即
故答案为
拓展:本题主要考查向量的坐标运算,以及两向量共线的坐标关系,属于基础题。
14. 曲线
在点
处的切线的斜率为 ,则 ________.
【答案】
【解析】分析:求导,利用导数的几何意义计算即可。
详解:
则
所以
故答案为-3.
拓展:本题主要考查导数的计算和导数的几何意义,属于基础题。
15. 函数
【答案】2
【解析】分析:利用点差法进行计算即可。
详解:设
则
所以
所以
取 AB 中点 因为
,分别过点 A,B 作准线 ,
的垂线,垂足分别为
因为 M’为 AB 中点,
所以 MM’平行于 x 轴
因为 M(-1,1)
所以 ,则
即
故答案为 2.
拓展:本题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查了抛物线的性质,设
,利
详解:当 时, ,排除 A,B.
,当
时, ,排除 C
故正确答案选 D.
拓展:本题考查函数的图像,考查了特殊值排除法,导数与函数图像的关系,属于中档题。
8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体
(完整)2018年高考理科数学全国3卷(附答案)

(2)求 中点 的轨迹的参数方程.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
设函数 .
(1)画出 的图像;
(2)当 , ,求 的最小值.
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
A
B
C
A
D
B
C
B
C
B
二、填空题
三、解答题:共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
等比数列 中, .
(1)求 的通项公式;
(2)记 为 的前 项和.若 ,求 .
18.(12分)
某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
(2)由茎叶图知 .
列联表如下:
超过
不超过
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
(3)由于 ,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19.解:
(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC 平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
2018新课标全国卷Ⅲ高考理科数学试卷含答案

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x | x -1≥0},B ={0,1,2},则A ∩B = A .{0} B .{1} C . {1,2} D .{0,1,2} 【解析】由集合A 得,x ≥1,故A ∩B ={1,2},故答案选C . 2.(1+i)(2-i)=A .-3-iB .-3+iC .3-iD .3+i 【解析】(1+i)(2-i)=3+i ,故选D .3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A . AB . BC . CD . D【解析】由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,故是虚线,结合榫头的位置知选A .4.若sin α=13,则cos 2α=( )A .89B .79C .-79D .-89【解析】cos 2α=1-2sin 2α=1-2×(13)2=795.(x 2+2x)5的展开式中的系数为A . 10B . 20C . 40D . 80【解析】T r +1=C r 5(x 2)5-r⎝⎛⎭⎫2x r=C r 52r x 10-3r ,由10-3r =4,得r =2,所以x 4的系数为C 25×22=40. 6.直线x +y +2=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆(x -2)2+y 2=2上,则△ABP 面积的取值范围是( )A .[2,6]B .[4,8]C .[2,32]D .[22,32]【解析】由题意知圆心的坐标为(2,0),半径r =2,圆心到直线x +y +2=0的距离d =|2+2|1+1=22,故圆上的点到直线的最大距离是d +r =32,最小距离是d -r =2.易知A (-2,0),B (0,-2),故|AB |=22,故2≤S △ABP ≤6. 7.函数y =-x 4+x 2+2的图像大致为A . AB . BC . CD . D【解析】当x =0时,y =2,排除A ,B .f ′(x )=-4x 3+2x =-2x (2x 2-1),当x ∈(0,22)时,f ′(x )>0,排除C ,故正确答案选D .8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D (X )=2.4,P (X =4)<P (X =6),则p = A . 0.7 B . 0.6 C . 0.4 D . 0.3【解析】由题意知,该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布,故D (X )=10p (1-p )=2.4,故p =0.6或p =0.4.由P (X =4)<P (X =6),得C 410p 4(1-p )6<C 610p 6(1-p )4,即(1-p )2<p 2,故p >0.5,故p =0.6.9.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C =( )A .π2B .π3C .π4D .π6【解析】因S △ABC =12ab sin C ,故a 2+b 2-c 24=12ab sin C .由余弦定理a 2+b 2-c 2=2ab cos C ,得2ab cosC =2ab sin C ,即cos C =sin C .故在△ABC 中,C =π4.10.设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( ) A .12 3B .18 3C .24 3D .54 3【解析】设等边△ABC 的边长为x ,则12x 2sin 60°=93,得x =6.设△ABC 的外接圆半径为r ,则2r =6sin 60°,解得r =23,故球心到△ABC 所在平面的距离d =42-(23)2=2,则点D 到平面ABC 的最大距离d 1=d +4=6.故三棱锥D -ABC 体积的最大值V max =13S △ABC ×6=13×93×6=183.11.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若|PF 1|=6|OP |,则的离心率为A . 5B . 2C . 3D . 2【解析】不妨设一条渐近线的方程为y =b a x ,则F 2到y =b a x 的距离d =|bc |a 2+b 2=b ,在Rt △F 2PO中,|F 2O |=c ,故|PO |=a ,故|PF 1|=6a ,又|F 1O |=c ,故在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中,根据余弦定理得cos ∠POF 1=a 2+c 2-(6a )22ac =-cos ∠POF 2=-ac ,则3a 2+c 2-(6a )2=0,得3a 2=c 2,故e =ca=3. 12.设a =log 0.20.3,b =log 20.3,则( )A .a +b <ab <0B .ab <a +b <0C .a +b <0<abD .ab <0<a +b 【解】由a =log 0.20.3得,1a =log 0.30.2,由b =log 20.3得,1b =log 0.32,故1a +1b =log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4,故0<1a +1b <1得,0<a +b ab <1.又a >0,b <0,故ab <0,故ab <a +b<0.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ=________. 【解析】由题得,2a +b =(4,2),因c ∥(2a +b ),又c =(1,λ),故4λ-2=0,即λ=12.14.曲线y =(ax +1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a =________.【解析】f ′(x )=(ax +a +1)e x ,则f ′(0)=a +1=-2,故a =-3,故答案为-3. 15.函数f (x )=cos(3x +π6)在[0,π]的零点个数为________.【解析】由题意知,cos(3x +π6)=0,故3x +π6=π2+k π,k ∈Z ,故x =π9+k π3,k ∈Z ,当k =0时,x=π9;当k =1时,x =4π9;当k =2时,x =7π9,均满足题意,故函数f (x )在[0,π]的零点个数为3. 16.已知点M (-1,1)和抛物线C :y 2=4x ,过的焦点且斜率为的直线与交于A ,B 两点.若∠AMB =90°,则k =________.【解析】法一:由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为y =k (x -1)(k ≠0),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),y 2=4x ,消去y 得k 2(x -1)2=4x ,即k 2x 2-(2k 2+4)x +k 2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1.由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),y 2=4x ,消去x 得y 2=4⎝⎛⎭⎫1k y +1,即y 2-4k y -4=0,则y 1+y 2=4k,y 1y 2=-4,由∠AMB =90°,得MA →·MB →=(x 1+1,y 1-1)·(x 2+1,y 2-1)=x 1x 2+x 1+x 2+1+y 1y 2-(y 1+y 2)+1=0,将x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1与y 1+y 2=4k,y 1y 2=-4代入,得k =2.法二:设抛物线的焦点为F ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧y 21=4x 1,y 22=4x 2,所以y 21-y 22=4(x 1-x 2),则k =y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2,取AB 的中点M ′(x 0,y 0),分别过点A ,B 作准线x =-1的垂线,垂足分别为A ′,B ′,又∠AMB =90°,点M 在准线x =-1上,所以|MM ′|=12|AB |=12(|AF |+|BF |)=12(|AA ′|+|BB ′|).又M ′为AB 的中点,所以MM ′平行于x 轴,且y 0=1,所以y 1+y 2=2,所以k =2.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m .【解析】(1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n -1.由已知得q 4=4q 2,解得q =0(舍去),q =-2或q =2.故a n =(-2)n -1或a n =2n -1.(2)若a n =(-2)n -1,则S n =1-(-2)n3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解.若a n=2n -1,则S n =2n -1.由S m =63得2m =64,解得m =6. 综上,m =6.18. 某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min )绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表:超过不超过第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2≥k) 0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. (2)由茎叶图知m =12(79+81) =80.列联表如下:(3)由于K 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )=40(15×15-5×5)220×20×20×20=10>6.635,故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直,M 是CD ︵上异于C ,D 的点.(1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ;(2)当三棱锥M -ABC 体积最大时,求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值. 【解析】(1)证明 由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,故BC ⊥平面CMD ,又DM ⊂平面CDM ,故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ,D 的点,且DC 为直径,故DM ⊥CM .又BC ∩CM =C ,故DM ⊥平面BMC .由于DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC . (2)解 以D 为坐标原点,DA →的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .当三棱锥M -ABC 体积最大时,M 为CD ︵的中点.由题设得D (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),M (0,1,1),AM →=(-2,1,1),AB →=(0,2,0),DA →=(2,0,0).设n =(x ,y ,z )是平面MAB 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM ,→=0,n ·AB ,→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧-2x +y +z =0,2y =0.可取n =(1,0,2).又DA →是平面MCD的法向量,因此cos 〈n ,DA →〉=n ·DA ,→|n ||DA ,→|=55,sin 〈n ,DA →〉=255.故平面MAB 与平面MCD所成二面角的正弦值为255.20.已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m >0).超过 不超过 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515(1)证明:k <-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+F A →+FB →=0.证明:|F A →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差.【解析】(1)证明 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 214+y 213=1,x 224+y 223=1.两式相减,并由y 1-y 2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k =0.由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k =-34m ①.由于点M (1,m )(m >0)在椭圆x 24+y 23=1内,故14+m 23<1,解得0<m <32,故k <-12. (2)解 由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m <0.又点P 在C 上,故m =34,从而P (1,-32),|FP →|=32.于是|F A →|=(x 1-1)2+y 21=(x 1-1)2+3⎝⎛⎭⎫1-x 214=2-x 12.同理|FB →|=2-x 22.故|F A →|+|FB →|=4-12(x 1+x 2)=3.故2|FP →|=|F A →|+|FB →|,即|F A →|,|FP →|,|FB →|成等差数列.设该数列的公差为d ,则2|d |=||FB →|-|F A →||=12|x 1-x 2|=12(x 1+x 2)2-4x 1x 2②.将m =34代入①得k =-1.故l 的方程为y =-x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2-14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128,代入②解得|d |=32128.故该数列的公差为32128或-32128. 21.已知函数f (x )=(2+x +ax 2)·ln(1+x )-2x .(1)若a =0,证明:当-1<x <0时,f (x )<0;当x >0时,f (x )>0; (2)若x =0是f (x )的极大值点,求a .【解析】(1)证明 当a =0时,f (x )=(2+x )ln(1+x )-2x ,f ′(x )=ln(1+x )-x 1+x .设函数g (x )=f ′(x )=ln(1+x )-x 1+x ,则g ′(x )=x(1+x )2.当-1<x <0时,g ′(x )<0;当x >0时,g ′(x )>0.故g (x )在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故当x >-1时,g (x )≥g (0)=0,且仅当x =0时,g (x )=0,从而f ′(x )≥0,且仅当x =0时,f ′(x )=0.故f (x )在(-1,+∞)单调递增.又f (0)=0,故当-1<x <0时,f (x )<0;当x >0时,f (x )>0.(2)解 (ⅰ)若a ≥0,由(1)知,当x >0时,f (x )≥(2+x )ln(1+x )-2x >0=f (0),这与x =0是f (x )的极大值点矛盾.(ⅱ)若a <0,设函数h (x )=f (x )2+x +ax 2=ln(1+x )-2x2+x +ax 2.由于当|x |<min⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,1|a |时,2+x +ax 2>0,故h (x )与f (x )符号相同.又h (0)=f (0)=0,故x =0是f (x )的极大值点当且仅当x =0是h (x )的极大值点.h ′(x )=11+x -2(2+x +ax 2)-2x (1+2ax )(2+x +ax 2)2=x 2(a 2x 2+4ax +6a +1)(x +1)(ax 2+x +2)2.如果6a +1>0,则当0<x <-6a +14a ,且|x |<min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,1|a |时,h ′(x )>0,故x =0不是h (x )的极大值点.如果6a +1<0,则a 2x 2+4ax +6a +1=0存在根x 1<0,故当x ∈(x 1,0)且|x |<min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,1|a |时,h ′(x )<0,故x =0不是h (x )的极大值点.如果6a +1=0,则h ′(x )=x 3(x -24)(x +1)(x 2-6x -12)2.则当x ∈(-1,0)时,h ′(x )>0;当x ∈(0,1)时,h ′(x )<0.故x =0是h (x )的极大值点,从而x =0是f (x )的极大值点.综上,a =-16.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. 选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =cos θ,y =sin θ(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点. (1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【解析】(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1.当α=π2时,l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时,记tan α=k ,则l 的方程为y =kx -2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21+k 2<1,解得k <-1或k >1,即α∈⎝⎛⎭⎫π4,π2或α∈⎝⎛⎭⎫π2,3π4.综上,α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4,3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t cos α,y =-2+t sin α(t 为参数,π4<α<3π4).设A ,B ,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =t A +t B2,且t A ,t B 满足t 2-22t sin α+1=0.于是t A +t B =22sin α,t P =2sin α.又点P 的坐标(x ,y )满足⎩⎨⎧x =t Pcos α,y =-2+t Psin α,所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x =22sin 2α,y =-22-22cos 2α(α为参数,π4<α<3π4).23. 选修4—5:不等式选讲] 设函数f (x )=|2x +1|+|x -1|. (1)画出y =f (x )的图象;(2)当x ∈[0,+∞)时,f (x )≤ax +b ,求a +b 的最小值.【解析】(1)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-3x ,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.y =f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知,y =f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax +b 在[0,+∞)成立,因此a +b 的最小值为5.。
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2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标3卷理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}解析:选C2.(1+i)(2-i)=( )A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i解析:选D3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫棒头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是棒头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析:选A4.若sinα=13,则cos2α= ( )A.89B.79C.-79D.-89解析:选B cos2α=1-2sin2α=1-19 =895.(x2+2x)5的展开式中x4的系数为( )A.10 B.20 C.40 D.80解析:选C 展开式通项为T r+1=C5r x10-2r(2x)r= C5r2r x10-3r,r=2, T3= C5222x4,故选C6.直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ΔABP面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32]解析:选A,线心距d=22,P到直线的最大距离为32,最小距离为2,|AB|=22,S min=2, S max=67.函数y=-x4+x2+2的图像大致为( )解析:选D 原函数为偶函数,设t=x 2,t ≥0,f(t)=-t 2+t+2,故选D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立,设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( ) A .0.7 B .0.6 C .0.4 D .0.3解析:选B X ~B(10,p),DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6,p=0.4时,p(X=4)=C 104(0.4)4(0.6)6>P(X=6)= C 106(0.4)6(0.6)4,不合。
9.ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ΔABC 的面积为a 2+b 2-c24,则C=( )A .π2B .π3C .π4D .π6解析:选C a 2+b 2-c 2=2abcosC,S=12absinC=a 2+b 2-c 24=12abcosC tanC=110.设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,ΔABC 为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( ) A .12 3B .18 3C .24 3D .54 3解析:选B ,ΔABC 的边长为a=6, ΔABC 的高为33,球心O 到ΔABC 的距离=42-(23)2=2,当D 到ΔABC 的距离为R+2=6时,D-ABC 体积的最大,最大值=13×93×6=18 311.设F 1,F 2是双曲线C: x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若|PF 1|=6|OP|,则C 的离心率为( ) A . 5 B .2 C . 3 D . 2解析:选C 设P(t,- b a t),∵PF 2与y=- b a x 垂直,∴-bt a(t-c)=a b 解得t=a 2c 即P(a 2c ,- abc)∴|OP|=(a 2c )2+(-ab c)2=a ,|PF 1|=(a 2c +c)2+(-ab c )2,依题有(a 2c +c)2+(- ab c)2=6a 2, 化简得c 2=3a 2,故选C12.设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( ) A .a+b<ab<0 B .ab<a+b<0C .a+b<0<abD .ab<0<a+b解析:选B 0<a<1,b<-1,a+b<0,ab<0,0<a+b ab =1a +1b =1+log 20.2log 20.3=log 22+log 20.2log 20.3=log 20.4log 20.3<1,a+b>ab二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c//(2a+b),则λ=________. 解析:2a+b=(4,2), c//(2a+b)则4λ=2,λ=1214.曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=________.解析:f′(x)=(ax+a+1) e x,f′(0)=a+1=-2,a=-3 15.函数f(x)=cos(3x+π6)在[0,π]的零点个数为________.解析:由3x+π6=kπ+π2得x=kπ3+π9,k∈Z,π9,4π9,7π9为[0,π]的零点16.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=900,则k=________.解析:k=2三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23为选考题。
考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和.若S m=63,求m.解:(1)设{a n}的公比为q,由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故a n=(-2)n-1或a n=2n-1.(2)若a n=(-2)n-1,则S m=1-(-2)m3.由S m=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若a n=2n-1,则S m=2n-1.由S m=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的超过m 不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d),临界值表:P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828解:(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:(i)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(ii)由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.(iii )由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟,因此第二种生产方式的效率更高.(iv )由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少,因此第二种生产方式的效率更高.※以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.(2)由茎叶图知m=79+812=80.列联表如下:超过80 不超过80第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515(3)由于K 2=40(15×15-5×5)220×20×20×20=10>6.635,所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19.(12分)如图,边长为2的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD ⌢ 所在平面垂直,M 是CD ⌢上异于C ,D 的点. (1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ;(2)当三棱锥M-ABC 体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.19.解:(1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD ⌢上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以 DM ⊥CM . 又 BC ∩CM=C ,所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .(2)以D 为坐标原点,DA →的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz . 当三棱锥M −ABC 体积最大时,M 为CD ⌢的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1), AM →=(-2,1,1),AB →=(0,2,0),DA →=(2,0,0)设n=(x,y,z)是平面MAB 的法向量,则⎩⎨⎧-2x+y+z=0 2y=0可取n=(1,0,2).DA →是平面MCD 的法向量,因此cos<n, DA →>=55 ,sin<n, DA →>=255所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是25.20.(12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C: x 24+y23=1交于A ,B 两点.线段AB 的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<- 12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+FA →+FB →=0.证明:|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差.解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减,并由k=y 1-y 2x 1-x 2得x 1+x 24+y 1+y 23k=0由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k= - 34m .① 由题设得0<m<32,故k<- 12.(2)由题意得F(1,0),设P(x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+( x 1-1,y 1)+( x 2-1,y 2)=(0,0)由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0. 又点P 在C 上,所以m=34,从而P(1,- 32),|FP →|=32. 于是|FA →|=(x 1-1)2+y 12=(x 1-1)2+3(1-x 124)=2-x 12 同理|FB→|=2-x 22. 所以|FA→|+|FB →|=3. 故2|FP→|=|FA →|+|FB →|,即|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ,则2|d|=12|x 1-x 2|=12(x 1+x 2)2-4x 1x 2② 将m=34代入①得k=-1.所以l 的方程为y=-x+74,代入C 的方程,并整理得7x 2-14x+14=0.故x 1+x 2=2, x 1x 2=128,代入②解得|d|=32128. 所以该数列的公差为32128或-32128.21.(12分)已知函数f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x)-2x .(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0; (2)若x=0是f(x)的极大值点,求a . 解:(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x ,f′(x)=ln(1+x)- x1+x. 设函数g(x)= f′(x)=ln(1+x)-x 1+x ,则g ′(x)= x(1+x)2. 当-1<x<0时,g ′(x)<0;当x>0时,g ′(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f′(x)≥0,且仅当x=0时,f′(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)(i )若a ≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),与x=0是f(x)的极大值点矛盾. (ii )若a<0,设函数h(x)= f(x)2+x+ax 2=ln(1+x)- 2x 2+x+ax 2由于当|x|<min{1,1|a|}时,2+x+ax 2>0,故h(x)与f(x)符号相同. 又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点. h ′(x)= 11+x - 2(2+x+ax 2)-2x(1+2ax)(2+x+ax 2)2=x 2(a 2x 2+4ax+6a+1)(x+1)(2+x+ax 2)2如果6a+1>0,则当0<x<-6a+14a ,且|x|<min{1, 1|a|}时,h ′(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点. 如果6a+1<0,则a 2x 2+4ax+6a+1=0存在根x 1<0,故当x ∈(x 1,0),且|x|<min{1, 1|a|}时,h ′(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1=0,则h ′(x)= x 3(x-24)(x+1)(-12-6x+x 2)2.则当x ∈(-1,0)时,h ′(x)>0;当x ∈(0,1)时,h ′(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点综上,a= -16.(二)选考题:共10分。