利用几类经典的递推关系式求通项公式

【互动探究】
5．已知 a1＝1，an＝n(an＋1－an)，则数列{an}的通项公式( D ) A．2n－1 C．n2
n＋1 － n 1 B. n
D．n
an＋1 n＋1 解析：a1＝1，an＝n(an＋1－an)，∴ a ＝ n ，an＝n. n
1．求数列通项的常用数学思想有：(1)转化与化归思想；
∴an＋3＝4×2n－1⇒an＝2n＋1－3.
【互动探究】
2 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an－2，则数列{an}的通
2n－1 7×3 －6 项公式为____________.
2n－1 2 2 解析：an＋1＝3an－2⇒an＋1＋6＝3(an＋6)，∴an＝7×3 －6.
∴an＝3n－2n. an＋1 2 an 方法二：∵an＋1＝2an＋3 ，∴ 3n ＝3·n－1＋1. 3
n
2 an 令 n－1＝bn，则 bn＋1＝3bn＋1， 3 转化为“an＋1＝pan＋q”(解法略)．
【互动探究】
an＝n·n－1 2 3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n，则an＝__________.
解析：(1)方法一：(迭加法) ∵a1＝2，an＝an－1＋2n－1(n≥2)，∴an－an－1＝2n－1. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋„＋(a2－a1)＋ n2n－1＋1 2 a1＝(2n－1)＋(2n－3)＋(2n－5)＋„＋5＋3＋1＝ ＝n . 2 方法二：(迭代法)∵a1＝2，an＝an－1＋2n－1(n≥2)， ∴an＝an－1＋2n－1＝an－2＋(2n－3)＋(2n－1) ＝an－3＋(2n－5)＋(2n－3)＋(2n－1)＝„„ ＝1＋3＋5＋„＋(2n－5)＋(2n－3)＋(2n－1)＝n2. ∴an＝n2.

(1)证明：令an＋1＋A(n＋1)＋B＝4(an＋An＋B)，
即an＋1＝4an＋3An＋3B－A.比较系数，得A＝－1，B＝0. ∴an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，且a1－1＝1≠0.
∴数列{an－n}是等比数列，其公比为4，首项为1.
(2)解：由(1)得 an－n＝1×4n－1，an＝4n－1＋n， 4n－1 nn＋1 ∴数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 3 ＋ 2 . 4n＋1－1 n＋1n＋2 4n－1 nn＋1 ∴Sn＋1－4Sn＝ 3 ＋ －4 ＋ 2 3 2 1 2 ＝－2(3n ＋n－4)． 故 n＝1 时，Sn＋1－4Sn 最大，最大值为 0.
2 an＋1－an 是以 1 为首项， 又 a2－a1＝1≠0， ∴数列 公比为－3的

2n－1 等比数列，∴an＋1－an＝－3 .
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋„＋(a2－a1)＋ 2n－2 2n－3 2 2 2 8 3 2n－1 a1＝－3 ＋－3 ＋„＋－3 ＋－3＋1＋1＝5－5－3 .
A．an＋1≤bn＋1
C．an＋1＜bn＋1
B．an＋1≥bn＋1
D．an＋1＞bn＋1
4．已知等差数列{an}的前三项分别为 a－1,2a＋1，a＋7，则 an＝4n－3 这个数列的通项公式为____________.
5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a6＝S3＝12，则 an＝
2n ____.
(选其中一种即
可)． ∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)． ∴数列{an＋1－an}是等比数列，∴an＋1－an＝2n－1. ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋„＋(a2－a1)＋ a1＝2n－2＋2n－3＋2n－4＋„＋2＋1＋1＝2n－1.
【互动探究】 4．已知数列{an}中，a1 ＝1，a2 ＝2,3an －an － 1 －2an － 2 ＝ 0(n≥3)，求数列{an}的通项公式． 1 2 解：由已知，得 an＝3an－1＋3an－2， 2 ∴an－an－1＝－3(an－1－an－2)(n≥3)．
1． 数列{an}中， 1＝1， a 对所有的 n≥2 都有 a1·2·3· an＝n2， a a „· 则 a3 等于( A ) 9 A.4 3 B.2 25 C. 9 25 D.16
an 2．在数列{an}中，若 an＋1＝ ，a ＝1，则 a6＝( D ) 2an＋1 1
A．13 1 B. 13 C．11 1 D. 11
(3)形如 an＋1－an＝f(n)的递推关系，利用累加法，即 an＝a1＋ (a2－a1)＋„＋(an－an－1)． an ＋1 (4) 形 如 a ＝ f(n) 的 递 推 关 系 ， 利 用 累 乘 法 ， 即 an ＝ n a2 a3 an a1· · „ a1 a2 an－1. (5)形如 an＋1＝pan＋f(n)的递推关系， 利用待定系数法， 需要根 据 f(n)的形式来确定．
考点2
递推关系形如“an＋1＝pan＋f源自文库n)”的数列求通项
1 1 1 例 2：已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋2n(n∈N*)．求数列 {an}的通项公式．
解析：令 an＋1＋A(n＋1)＋B＝p(an＋An＋B)， 即 an＋1＝pan＋pAn－A(n＋1)＋pB－B. 比较系数，得 A＝－1，B＝2. 1 3 ∴an＋1－(n＋1)＋2＝2(an－n＋2)，且 a1－1＋2＝2≠0. 1 3 ∴数列 an－n＋2 是等比数列，其公比为2，首项为2. 3 1 n－1 3 ∴an－n＋2＝2×(2) ，an＝2n＋n－2.
考点4 递推关系形如“an＋2＝pan＋1＋qan”的数列求通项 例4：已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an＋1－2an，
求数列{an}的通项公式． 解题思路：用待定系数法或特征根法求解．
解析：令 an＋2＋α·n＋1＝β(an＋1＋α·n)， a a
β－α＝3， 由 α· β＝－2 α＝－1， ⇒ β＝2， α＝－2， 或 β＝1
(1)迭加法适用于求递推关系形如“an ＋ 1 ＝an ＋ f(n)”；迭乘法适用于求递推关系形如“an＋1＝an· f(n)”． (2)迭加法、迭乘法公式：
①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋„＋(a2－a1)＋a1；
an an－1 an－2 a3 a2 ②an＝ · · · a · ·1. „· a a an－1 an－2 an－3 2 1
2an＋1 1 1 an 解析：由 an＋1＝ 得， ＝ a ＝a ＋2， 2an＋1 an＋1 n n 1 1 1 即a ＝1＋2(n－1)．即 an＝ .a ＝ . 2n－1 6 11 n
3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1 ＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，那么一定有( B )
第5讲 利用几类经典的递推关系式求通项公式
考纲要求 1.了解用通项公式表示数列的方
考纲研读 1.掌握等差数列、等比数列的
法．
项公式． 本思想求其他数列的通项公式.
通项公式是基础．
项公式． 典的递推关系式的通项公式.
2．掌握等差数列、等比数列的通 2．能用累差、累商的方法求通 3．能用等差数列、等比数列的基 3．能利用待定系数法求几类经
考点1
递推关系形如“ an＋1＝pan＋q
”的数列求通项
例1：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an} 的通项公式． 解题思路：递推关系形如“an＋1＝pan＋q”是一种常见题
型，适当变形转化为等比数列．
解析：∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)． ∴{an＋3}是以2为公比的等比数列，其首项为a1＋3＝4.
考点3 递推关系形如“an＋1＝pan＋qn”的数列求通项 例3：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求数列 {an}的通项公式． 解题思路：适当变形转化为可求和的数列．
an＋1 an 3n 解析：方法一：∵an＋1＝2an＋3 ，∴ 2n ＝ n－1＋2 . 2
考点5
应用迭加(迭乘、迭代)法求通项
例5：(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2n－1(n≥2)，
求数列{an}的通项公式；
(2)已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，Sn＝n2·n，求数列 a
{an}的通项公式． 解题思路：(1)已知关系式an＋1＝an＋f(n)，可利用迭加法 或迭代法； (2)已知关系式an＋1＝an· f(n)，可利用迭乘法．
(2)∵a1＝1，Sn＝n2·n， a ∴当 n≥2 时，Sn－1＝(n－1)2·n－1. a an n－1 ∴an＝Sn－Sn－1＝n an－(n－1) an－1⇒ ＝ . an－1 n＋1
2 2
an an－1 an－2 a3 a2 ∴an＝ · · · „· · · a an－1 an－2 an－3 a2 a1 1 n－1 n－2 n－3 2 1 2 ＝ · · · ·· „· 1＝ . n＋1 n n－1 4 3 nn＋1
n
3n an 令 n－1＝bn，则 bn＋1－bn＝2 . 2
∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋„＋(b2－b1)＋b1
3n－1 3n－2 3n－3 32 3 ＝2 ＋2 ＋2 ＋„＋2 ＋2＋1 3n ＝2×2 －2.
注意把握等差数列的概念和方法，如 an＋1－an＝n 并不是等差 数列(因为 n 不是常数)，应该用累加法求通项公式；注意把握等比 an＋1 an＋1 n n 数列的概念和方法， a ＝ 如 并不是等比数列(因为 a ＝ n＋1 n＋1 n n 不是常数)，应该用累乘法求通项公式，要特别注意分子分母所剩 项的对称性，即分子剩多少项则分母也剩多少项．
(2)整体(换元)思想；(3)方程思想． 2．求数列的通项公式常用的递推关系有：
(1)形如 f(Sn，an，n)＝0 的递推关系，利用退一相减法，即 an
S1n＝1， ＝ Sn－Sn－1n≥2.
(2)形如 Tn＝a1a2a3„an 的递推关系，利用退一相除法，即 an Tn ＝ (n≥2)． Tn－1

递推关系形如“an＋1＝p·n＋An＋B”等价转化为 a 1 an＋1＋A(n＋1)＋B＝2(an＋An＋B)，利用待定系数法求出 A，B 后， 进而转化为等比数列．
【互动探究】
2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列 an－n 是等比数列； (2)设数列{an}的前 n 项和 Sn，求 Sn＋1－4Sn 的最大值．
数列通项的常用方法
(1)利用观察法求数列的通项．
(2)利用公式法求数列的通项：①等差、等比数列{an}的通项
S1 公式；②an＝ Sn－Sn－1
n＝1， n≥2.
(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：①an＋1＝an＋f(n)； ②an＋1＝anf(n)．
(4)构造等差、等比数列求通项： ①an＋1＝pan＋q；②an＋1＝pan＋qn；③an＋1＝pan＋f(n)； ④an＋2＝p·n＋1＋q·n. a a