最新人教版高中数学选修1-2《合情推理与演绎推理》教材梳理

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知识·巧学

一、合情推理

1.推理的概念

根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理.推理一般由两部分组成:前提和结论.

2.合情推理

当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.合情推理中，当前提为真时，结论可能为真，也可能为假.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠,例如费马猜想就被大数学家欧拉推翻了.

方法点拨合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向，其推理过程为

3.归纳推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，或者由个别事实概括出一半结论的推理，叫做归纳推理(简称归纳).归纳推理是从部分到整体，从个别到一般的推理.应用归纳推理获得的新结论,一般只能作为猜想,虽然猜想是否正确还有待严格的证明,但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向.

归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.

由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验.因此，它不能作为数学证明的工具.

归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题.

方法点拨归纳推理的前提与结论只具有或然性联系，其结论不一定正确.结论的正确性还需要理论证明或实践检验.其一般步骤为:通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.

4.类比推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性和其中一类对象的某些已知特征，推测另一类事物具有与这些类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).类比推理是由特殊到特殊的推理.运用类比推理常常是先要寻找合适的类比对象,我们可以从不同角度出发确定类比对象,基本原则是根据当前的实际,选择适当的类比对象.

方法点拨类比推理的一般步骤为:找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).

二、演绎推理

1.演绎推理

根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，叫做演绎推理.演绎推理的特征是:当前提为真时，结论必然为真.演绎推理是由一般到特殊的推理.数学中的证明主要是通过演绎推理来进行的.常见的演绎推理包括:假言推理、三段论推理、关系推理、完全归纳推理等，演绎推理的一般形式是三段论推理.

2.假言推理

如果一个推理的规则能用符号表示为“如果p q，p真，则q真”，那么这种推理规则

叫做假言推理.假言推理的本质是，通过判断结论的充分条件为真，判断结论为真.

方法点拨假言推理的步骤可以概括为:确定命题p能够推出命题q；判断命题p是否为真，如果p为真，则q为真.

3.三段论推理

如果一个推理规则能用符号“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c”,那么这种推理规则叫做三段论推理.三段论推理都是由三个命题组成的，两个前提，一个结论；第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊对象，这两个判断结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题——结论.如在民事审判中，以现行有效的法律规定作为大前提，以经过法庭审理查明的事实作为小前提，按照三段论的推理规则，最后得出判决结论的方法，是增强判决书说理性的好方法.任何一个三段论推理都有而且仅有三个词项,每个词项在三个命题中重复出现一次.

三段论推理可以表示为,大前提:M是P；小前提:S是M；结论:S是P.在三段论推理中，尽可能少地选择原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理法.公理化方法的精髓是:利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.

深化升华用集合的观点来分析，三段论的推理依据是:如果集合M中的每一个元素都具有属性P，且S是M的子集，那么集合S中的每一个元素都具有属性P.

4.关系推理

如果一个推理规则可以用符号表示为“如果a≥b，b≥c，则a≥c”,那么这种推理规则叫做关系推理.

方法点拨关系推理的步骤:确定原式a和式子b存在关系a≥b；论证式子b和c存在关系b≥c，从而推出a≥c.

5.完全归纳推理

把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.

误区警示在数学中，证明命题的正确性，都是用演绎推理，而合情推理不能用作证明. 三、合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式.

从推理形式上看,合情推理是由局部到整体、个别到一般的推理(归纳),或是由特殊到特殊的推理(类比);而演绎推理是由一般到特殊的推理.

从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下,得到的结论一定正确.

方法点拨在数学中,证明命题的正确性,都是用演绎推理,而合情推理不能用作证明.

问题·探究

问题1 如何理解归纳推理?

导思:根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理(简称归纳).归纳推理是从部分到整体，从个别到一般的推理.

探究:归纳推理的基本形式是:

∵A1具有性质F,A2具有性质F,…,A n具有性质F,(A1,A2,…,A n都属于A)

∴A类事物都具有性质F.

归纳推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察,而缺乏对全体对象的考察,因而所得的结论具有偶然性,只能称之为归纳猜想,其正确与错误是需要严格论证的.

例如:f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)+2.

∵f(1)=2,f(2)=2,…,f(100)=2.