第二章 抽样技术的基本概念

样本均值的抽样分布类型一般有三种： 1、正态分布的再生定理；
2、中心极限定理；
3、t分布定理；
对于样本比例，在重复抽样时服从二项分布，在 不重复抽样时服从超几何分布，它们的极限形式都是 正态分布。
正态分布是最重要、最常用的抽样分布。 我们可 以根据正态分布理论，在一定的概率保证下，以所抽 样本所给出的估计值为依据对总体指标作出区间估计。
4、在实践中，我们还经常要对总体中某 特定的组或类进行调查研究，这样的组或类就 称为研究域或子总体。
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二、调查单位与抽样单位
总体是由单位构成的，单位有调查单位与 抽样单位之分。
调查单位就是调查项目的承担者，即我们 想通过调查取得其观测值的单位，它通常是构 成总体的最基本单位。但有时调查单位与基本 单位并不相同。
标θ ，也就是要在一定的概率保证下，想办 法找出两个数值θ1和θ2（θ1≤θ2），使θ处
于这两个数值之间，即：
Pr(θ1 ≤ θ ≤ θ2 )=1- α
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区间（θ1,θ2）就被称为抽样的置信区 间或估计区间，θ1被称为置信区间的下限， θ2被称为置信区间的上限 。
在正态分布下，估计量关于总体指标对称
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二、抽样误差的表现形式
抽样误差的表现形式一般有三种：抽样实 际误差、抽样标准误和抽样极限误差。
抽样实际误差是指抽样估计值与总体指标 值之间的离差。
特点： 1、若估计量无偏，所有可能的实际误差 的总和为0； 2、每一次抽样的实际误差是不可知的； 3、抽样实际误差是随机变量。
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抽样标准误是衡量抽样误差大小的核心指标，是对总 体指标作出区间估计的一个重要因素，狭义上所指的抽样 误差就是抽样标准误。它就是抽样分布或抽样估计量的标 准差，是抽样分布方差或抽样估计量方差（均方误差）的 平方根。
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还需说明一点：
抽样分布曲线与估计量坐标轴之间的极限 面积为1，或者说抽样分布曲线涵盖所有可能 估计值的概率为100%。
估计量无偏时的方差或估计量偏差不大时 的均方误差越小，表明估计量分布就越集中， 估计值就越靠近总体指标，所抽样本给出的估 计值靠近总体指标的概率就越大。
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三、抽样分布定理
通过研究，人们发现了一些重要的抽样分布定理， 常用的有样本均值抽样分布定理和样本比例抽样分布 定理。
作为优良的估计量有三个基本标准：无偏、一致和 有效。
所谓无偏是指估计量的数学期望等于总体指标，即 由估计量给出的所有估计值的平均数等于总体指标值；
所谓一致也称相合，是指随着样本容量的扩大，估 计值会趋近于总体指标值。
所谓有效是指所选定的估计量比其它估计量有更小 的方差或均方误差。
有时无偏性与有效性之间可能会有矛盾，常常为了
如果总体（抽样框）中各单位被抽中入样的
概率不相等，则称为不等概率抽样。
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五、总体指标与样本指标
反映总体数量特征的指标称为总体指标，有时
也称为总体目标量或总体参数；在抽样中常用的总
体指标有：
总体总值 Y Yi
总体均值
Y Yi / N
总体比例 P N1 / N
总体方差
S 2 (Yi Y )2 /(N 1)或S 2 NP(1 P) /(1 N)
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样本的抽取方法有重复抽样与不重复抽样之 分。
所谓重复抽样也称为放回抽样或回置抽样， 就是允许总体（抽样框）中的单位被抽中两次或 两次以上的抽样。
所谓不重复抽样也称为不放回抽样或不回置 抽样，就是只允许总体（抽样框）中的单位最多 被抽取一次的抽样。
样本的抽取还有等概率抽样与不等概率抽样 之分。
如果总体（抽样框）中的每个单位被抽中入 样的概率相等，称为等概率抽样；
有效性而放弃无偏性 。
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根据构造的方法不同，抽样估计量有简单 估计量和复合估计量之分。
简单估计量也称直接估计量，就是直接以 调查变量的样本指标作为总体指标的估计量， 例如总体均值的估计量是样本均值，总体比例 的估计量就是样本比例，总体方差的估计量就 是样本方差等。
复合估计量也称间接估计量，就是在调查 变量的样本指标的基础上，再结合辅助变量来 构造一个新的估计量，常用的有比率估计量和 回归估计量两种，它们是有偏的，但通常更有 效。
②系统了解估计量、抽样分布、抽 样误差、估计精度、置信区间等概念的 内涵和作用，能够运用它们进行实际的 抽样估计；
③基本掌握和理解样本设计的内容、 原则和效果衡量指标。
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第一节 总体与样本
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一、总体——研究对象的全体
总体有目标总体与调查总体之分 。
（一）目标总体
目标总体也称全及总体，是由符合研究目 的的所有具有相同性质或特征的个体所组成的 集合。它是抽样推断的目标所在，即我们想通 过抽样来认识它的数量特征。
2、抽样推断的结论只适合于说明调查总 体，但我们研究的目的是认识目标总体的数量 特征，因此在抽样之前尽量使调查总体与目标 总体保持一致十分重要。基本原则是，调查总 体由目标总体所决定，但在实践中，可以构造 的调查总体却有可能反过来决定调查中的目标 总体，即根据调查总体来调整目标总体。
3、调查总体通常是有限总体，它所包含 的调查单位个数称为总体容量，常用N表示。
这就是估计量方差V（ˆ）。若估计量ˆ有偏，即E（ˆ） ， 那么我们就把E（ˆ ）2定义为均方误差，用MSE（ˆ）来
表示。
如果令估计量的偏差为B，即B E（ˆ），那么估计量与
均方误差的关系为： MSE（ˆ） V（ˆ） B2
当偏差B不超过10%时，B2超过1%，均方误差与方差相差不大。
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（二）抽样分布的特征
如果以估计量为横坐标轴，以概率为纵坐标轴，就 可以形成抽样分布曲线图。
对于不同的总体，不同的样本容量、抽样方法和估 计量，就会有不同的抽样分布曲线图，即抽样分布形状 不同，最终表现为抽样分布特征不同。
为了进行区别和比较，我们必须用一定的指标来反 映其特征，那就是抽样分布的期望与方差。
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二、抽样分布
（一）抽样分布的形式 抽样分布就是抽样估计量的概率分布，它
由估计量的可能取值和与之对应的概率组成。 对于一个固定的总体，用相同的抽样方法
反复从中抽取容量为n的样本，就会产生m个估
计值，把这些估计值形成频率分布，即形成k
（k≤m）种不同估计值及其相应频率的分布，
就是抽样分布。 抽样分布的具体结果要依总体容量大小，
如果说总体是我们所要研究的对象，那么 样本就是我们所要观察的对象 。
样本中所包含的调查单位数称为样本容量， 常用n表示。
样本容量与总体容量之比称为抽样比，常 用f来表示。
对于同一个总体，用相同的抽样方法反复 从中抽样，可以构成一系列容量为n的样本。 从一个总体中最多可以抽取的容量为n的不同 样本数目，称为样本个数。
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35%
16
30%
14
12
25%
10
20%
8
`
15%
6
10%
4
2
5%
0
0%
50-60
70-80
90-100
第二章 抽样技术的基本概念
本章要点
本章对抽样技术的基本概念进行阐述 和介绍，为以后各章的学习奠定理论与 方法基础。具体要求：
①掌握总体、单位、抽样框、样本 等概念，理解它们之间的内在关系，熟 知常用的总体指标和样本指标；
要点：
1、抽样分布的方差或标准差越大（小），估计量的抽样 分布就越分散（集中），抽取样本估计总体的误差平均来 讲就越大（小）；
2、抽样标准误与实际抽样误差的关系是：若各个估计值 的实际误差越大（小），则抽样标准误也越大（小）；
3、影响抽样误差大小的因素有：（1）总体内在差异； （2）样本容量；（3）抽样方法、方式；（4）估计量。
3、抽样极限误差与抽样标准误之比的系 数称为抽样概率度，并用t来表示。
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三、置信区间
抽样估计从形式上看有两种：点估计和区 间估计。
所谓点估计也叫定值估计，就是以所抽样 本资料为依据，直接根据所选择的估计量对总 体指标作出一个确定值的估计；
所谓区间估计就是以点估计为依据，用一 个具有一定可靠程度的区间范围来估计总体指
知的，需要通过可知但非惟一的样本指标的值 来进行估计。
2、总体与样本的关系就转化为了总体指 标与样本指标的关系。
3、样本指标是构造总体指标估计量的基 础和依据。
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第二节 估计量与抽样分布
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一、估计量
所谓估计量就是以样本指标为基础构造的、用以估 计总体指标的规则或形式，是抽样估计必不可少的因素。 估计量是随机变量。估计量根据某一样本得到的具体结 果称为估计值。
抽样分布的期望实际上就是抽样估计量的期望，即 估计量所有可能值的平均数 。
抽样分布的方差实际上就是抽样估计量的方差，是
以估计量的期望为中心、用以反映抽样分布离散程度的
核心指标。它是估计量所有可能值与其期望的离差平方
的平均数 。
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这里需要说明方差与均方误差的区别：
若估计量ˆ无偏，即E（ˆ） ，则E（ˆ ）2 E ˆ E（ˆ）2，
目标总体根据所包含的个体数量是否有限， 可以分为有限总体与无限总体。
（二）调查总体
调查总体也称抽样总体或作业总体，是实 践中可以构造并据以从中抽样本的总体，它 通常能对所包含的单位进行编号或按一定的标 志进行排序。
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要注意以下几点：
1、从理论上说，调查总体与目标总体应 该完全一致，但在实践中两者往往存有差异。
样本容量大小和抽样方式、方法而定。
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抽样分布
设总体由2，4，6，8四个数字组成，用简单 随机抽样方法从中抽取三个构成样本，则重 复抽样下可能的样本均值有64个，10种取值。 不重复抽样下可能的样本均值有4个，4种取 值。