初中经典几何证明题

证明（二）

1. 你能证明它们吗

一、主要知识点

1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS证,

直角三角形全等除上述外还有HL) 及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

2、等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高

互相重合。（三线合一）

3、等边三角形的有关知识点。

判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

三条边都相等的三角形是等边三角形；

三个角都是60°的三角形是等边三角形；

有两个叫是60°的三角形是等边三角形。性

质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。

4 、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知

条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法

二、重点例题分析

例1: 如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A 不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.

例2 如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：A E=C D.

第1 题第2 题第3 题

例3：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F 为垂足,

求证: ①AC＝AD；②CF＝D F。

例4 如图1、图2，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90o，（1））在图 1 中，AC与BD相等吗？请说明理由（ 4 分）

（2））若△C O D绕点O顺时针旋转一定角度后，到达力2 的位置，请问AC与BD还相等吗？

为什么？（8 分）

例5 如图，在△ABC中，AB=AC、D是AB上一点，E 是AC延长线上一点，且CE=BD，连结DE交BC于F。（1）猜想DF与EF的大小关系；（2）请证明你的猜想。

例6 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.

2. 直角三角形

一、主要知识点

1 、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、互逆命题、互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这

两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

A

A 1

B 1 B C

例 3 ：如图所示的一块地，∠ ADC=9°0 ， AD=12m ， CD=9m ，AB=39m ， BC=36m ，求这块地的 面积。

例 4：如图，一架 2.5 米长的梯子 AB ，斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯足 B 到墙底端 C 的

距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将向外移多少米？

例 5 ：如图 2-5 所示．在等边三角形△ ABC 中， AE=CD ，AD ， BE 交于 P 点， BQ ⊥AD 于 Q ．求 证： BP=2PQ ．

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为

互

逆定理，其中一个定理称为另一个定理的 逆定理.

二、典型例题分析

例 1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

（1） 四边形是多边形；

（2） 两直线平行，同旁内角互补；

（3）如果 ab=0, 那么 a=0,b=0 ；

（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等

例 2：如图，△ ABC 中，∠ C=90°，∠ 1=∠ 2，CD=1.5,BD=2.5，求 AC 的长。

3. 线段的垂直平分线

4. 角平分线

一、主要知识点

1、线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

2、角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为

互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

二、重点例题分析

例 1：（ 1）在△ ABC 中， AB ＝AC ， AB 的垂直平分线交 AB 于 N ，交 BC 的延长线于 M ，∠ A ＝ 40 0

，求∠ N M B 的大小

（2） 如果将（ 1）中∠ A 的度数改为 70 ，其余条件不变，再求∠ NMB 的大小

（3） 你发现有什么样的规律性？试证明之 .

（4） 将（ 1）中的∠ A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

A A

例 2：在△ ABC 中， AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F ，垂足为 D ，若 AC=6，BC A =4，求△ BCF 的周长。 例 3：如图所示， AC=AD ， BC=BD ，AB 与 CD 相交于点 E 。求证：N 直线 AB 是线段 CD 的垂直平 分线。 N N 例 4：如图所示，在△ ABC 中，B AB=AC ，∠ BAC=1C 20 B F 分别M 为 A B 、AC 的中点C ， ⊥ ， B C M

M ，D 、 DE AB FG ⊥ AC,E 、G 在 BC 上， BC=15cm ，求 EG 的长度。

例 5: ：如图所示， Rt △ABC 中，， D 是 AB 上一点， BD=BC ，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E ， CD 交 BE 于点 F 。求证： BE 垂直平分 C D 。 A

例 6: ：在⊿ ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点 O 作直线 MN ∥BC ，与

∠ACB 的角平分线交于点 E ，与∠ ACB 的外角平分线交于点 F ，求证： OE=OF

例 7、如图所示， AB>AC ，∠ A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D ，自 D 作 DE ⊥AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F, 求证： BE=CF 。 M E

相应练习

O F N 1、如图，在△ ABC 中， AB=AC=B ，C AE=CD ， AD 、BE 相交于A 点 P ，BQ ⊥AD 于 Q 。求证： BP=2PQ

2、如图，△ ABC 中， AB= AC ，P 、Q 、R 分别在 AB 、BC 、AC 上，且 BP=CQ ，BQ=C 。R

求证：点 Q 在 PR 的垂直平分线上。 P E B C

A A Q 3、如图，△ ABC 中， AD 为∠BAC 的平分线， AD 的垂直平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F ，连 接 AF 。

B

C 求证：∠ B=∠ CAF E

D 4、已知：如图， AB ∥CD ，R ∠ BAC 的角平分线与∠ DCA 的角平分线交于点 M ，经过 M 的直线 EF

与 AB 垂直，垂足为 F ，且 EF 与 C B D 交于 E D

C

F 求证：P 点 M 为 EF 的中点

E D 单元训练题

C B Q C

一、精心选一选，慧眼识金（每小题 3 分，共 30 分）

1. 如图 1, 某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片 , 现M 在他要到玻璃店去配一块完全一样形

状的玻璃 . 那么最省事的办法是带（ ）去配.

A. ①

B. ②

C. ③

D. ① 和② 2. 下列说法中，正确的是（ A ）. F B

A . 两腰对应相等的两个等腰三角形全等

B . 两角及其夹边对应相等的两个三角形全 等

C . 两锐角对应相等的两个直角三角形全等

D ．面积相等的两个三角形全等

3. 如图 2，AB ⊥CD ，△ ABD 、△ BCE 都是等腰三角形，如果 CD =8cm ，BE =3cm ，那么 AC 长为 （ ）.

A ．4cm

B ．5cm

C ．8cm

D ． 34 cm

4.

如图 3，在等边△ ABC 中， D, E 分别是 BC , AC 上的点，且 BD=C ，E AD 与 BE 相交于点 P ，

则∠ 1+∠2 的度数是（ ）.