数列中的数学思想

数列中的数学思想-中学数学论文

数列中的数学思想

江苏省常州市武进区礼嘉中学庄晓燕庄常澄

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光，数列问题中同样如此。

一、数列中的方程思想

等差数列有两个基本量a1，d，等比数列有两个基本量a1，q，等差与等比数列的两个基本问题an，Sn都可以用两个基本量来表示，所以列出关于两个关于基本量的方程组来求解，这种方法又可称为基本量法。

二、数列中的化归与转化思想

我们在处理数学问题时，常常将待解决的问题通过转化，化归成为一类我们比较熟悉问题来解决。

例2：已知数列{an}满足an+1=2an+1，且a1=1，（1）证明数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.

三、数列中的函数与数形结合思想

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数的思想进行分析，加以解决。

例3：已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，其公比q≠1，且bi（i=1，2，3，…），若a1=b1，a11=b11，则的大小关系为 .

分析：

（方法二）等差数列是定义在正整数集上的一次函数，等比数列（q≠1）时是定义在正整数集上的指数函数。由a1=b1，a11=b11知两函数有两个交点如图，显然a6＞b6，而且当1＜n＜11，n∈N时都有an＞bn，当n＞11时，an＜bn。

四、结束语

数列中的方程思想：基本量法是通法，要注意运算技巧；数列中的化归与转化思想：将非等差等比问题转化为等差等比数列问题求解是突破点；数列中的函数与数形结合思想：构造函数，用图象辅助，能起到出奇制胜的效果。“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

（责任编辑：吉静）