[高一数学]不等式知识点归纳与总结

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授课教案

③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇, 1

-=

n n S S 偶

奇 (4)常用公式:①1+2+3 …+n =()2

1+n n ②()()6

1213212222++=+++n n n n

③()2

2

13213333⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=++n n n

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,…110-=⇒n n

a ;

5,55,555,…()1109

5-=⇒n n a .

2 等比数列 (1)性质

当m+n=p+q 时,a m a n =a p a q ,特例:a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…,当2n=p+q 时,a n 2

=a p a q ,数列{ka n },{

∑=k

1

i i

a

}成等比数列。

3 等差、等比数列的应用

(1)基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等;

(2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化计算; (3)若{a n }为等差数列,则{n a a }为等比数列(a>0且a ≠1);

若{a n }为正数等比数列,则{log a a n }为等差数列(a>0且a ≠1)。

典型例题

例1、已知数列{a n }为等差数列,公差d ≠0,其中1k a ,2k a ,…,n k a 恰为等比数列,若k 1=1,k 2=5,k 3=17,求k 1+k 2+…+k n 。

例2、设数列{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{

n

S n

}的前n 项和,求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ,且1a S 2n n +=,求: (1) 数列{a n }的通项公式;

(2)

设1n n n a a 1b +=

,数列{b n }的前n 项的和为B n ,求证:B n 2

1

<.

例4、等差数列{a n }中,前m 项的和为77(m 为奇数),其中偶数项的和为33,

且a 1-a m =18,求这个数列的通项公式。

例5、设{a n }是等差数列,n a n )21(b =,已知b 1+b 2+b 3=821,b 1b 2b 3=8

1

,求等差数列的通项a n 。

4 练习

1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2),则它的前n 项和

S n =______。

2 设等差数列{a n }共有3n 项,它的前2n 项之和为100,后2n 项之和为200,则该等差数列的中间n 项的和等于________。

3 若不等于1的三个正数a ,b ,c 成等比数列,则(2-log b a)(1+log c a)=________。

4 已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,求这个数列的公比和项数。

5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0,公比q>-1(q ≠1),设数列{b n }的通项

b n =a n+1+a n+2(n ∈N +),数列{a n },{b n }的前n 项和分别记为A n ,B n ,试比较A n 与B n 大小。

6 数列{a n }中,a 1=8,a 4=2且满足a n+2=2a n+1-a n (n ∈N +) (1) 求数列{a n }通项公式;

(2) 设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,求S n ;

(3)

设)

a 12(n 1

b n n -=

(n ∈N +)T n =b 1+b 2+…+b n ,是否存在最大的整数m ,

使得对于任意的n ∈N +,均有32

m

T n >成立?若存在,求出m 的值;若不

存在,说明理由。

二、不等式章节知识点 1、实数的大小比较法则:

设a ,b ∈R ,则a>b ⇔ ;a =b ⇔ ;ab ⇔

定理2(同向传递性) a>b ,b>c ⇒ 定理3 a>b ⇔a +c > b +c 推论 a>b ,c>d ⇒ 定理4 a>b ,c>0⇒ a>b ,c<0⇒ 推论1 (非负数同向相乘法) a>b≥0,c>d≥0⇒

推论2 a>b >0 ⇒n n b a > (n ∈N 且n>1) 定理5 a>b >0⇒>n a n b (n ∈N 且n>1) 3 均值不等式以及灵活变式

设a ,b ∈R ,则○1a 2》0;○2a 2+b 2》0 设a ,b ∈(0,+∞),则

2

b

a +》a

b 2,当且仅当 时等式成立。 灵活变式:○1)(2b a +2 2b a 2

2

+;○2ab 2

b a 2

2

+;○3ab )(2b a +2

4(a+b )2 4ab 当且仅当a=b 时,各式中等号成立。

4 例题

例1.设a 、b ∈R +

,试比较2

b

a +,

ab ,2

2

2b a +,b

a 112+的大小.

例2设x > 0, y > 0,y x y x a +++=

1, y

y

x x b +++=11, a 与b 的大小关系( )

A .a >b

B .a

C .a ≤b

D .a ≥b