有限单元法基本步骤-示例
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有限单元法-20130524
对该内积进行分部积分形成与其对应的另一个
内积
u, L
*
(v) ，如果 L 与 L* 在形式上相
同，则称算子 L( ) 为自共轭算子。
自共轭算子
如果一个线性算子形成一个方程组，
* L (u), v u, L (v) s F (v)G(u) F (u)G (v) ds *
L(u) 与 L*(v)在形式上完全相同
函数F(v), G(u), F(u), G*(v) 为是分部积分过程中
得到的对 u 和 v 的导数项。
函数 F(u) : 本征边界条件 (Essential boundary condition)
函数 G(u) : 自然边界条件 (Natural boundary condition)
连续函数空间
所有定义在区间[a, b] 上的连续函数集 合，按函数加法和数与函数乘法构成数域
R 上的线性空间，此线性空间称为连续函
数空间，记作 C [a, b]。 连续函数空间满足线性空间的八条计
算规律。
内积 (Inner Product)
连续函数空间C [a, b]中两个函数的内积可
定义为
1 , 2
du * dv 本征边界条件: F (v) v F (u ) u 自然边界条件: G (u ) G (v ) dx dx
例题解答
2. 判断算子的正定性
1 du du L (u), u 0 u 2 dx 0 ud dx dx 1 2
du du du du u dx dx 0 0 dx dx 0 0 dx dx
1 0 为空间R中的零元素
范数 (Normal Number)
第3章 平面问题的有限单元法
考虑到：
0 u [ L]u y v x
u N ae
x 其中： [ L] 0 y
0 y x
因此：
[L][N ]ae [B]ae
Li N i 1 (ai bi x ci y )
2A
3-2 单元位移函数
——以三角形单元为例
选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性 ，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题 的正确解答。
因此，选用的位移模式应当满足下列两方面的条件：
(1) 必须能反映单元的刚体位移和常量应变。 6个参数 a1到 a6反映了三个刚体位移和三个常量应变。 (2) 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。 (线性函数的特性)
3-2 单元位移模式
三结点三角形单元
——以三角形单元为例
为什么？
六个节点位移只能确 定六个多项式的系数。 所以平面问题的3结点三角形单元 的位移函数如下：
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
该位移函数为线性函数.
其中,β1-β6 为待定系数，可由单 元的6个结点位移来确定。
[ N ] [ IN i IN j IN m ] 1 (下标i，j，m轮换)， ae N i (ai bi x ci y ) 称为形函数， 2A
I是2乘2的单位矩阵，
3-2 单元位移函数
• 形函数具有如下性质:
• (1) 在结点上形函数的值有
0 i j N i ij 1 i j
ai 4 1 bi 5 2 A c 6 i
aj bj cj
am vi bm v j v cm m
0 u [ L]u y v x
u N ae
x 其中： [ L] 0 y
0 y x
因此：
[L][N ]ae [B]ae
Li N i 1 (ai bi x ci y )
2A
3-2 单元位移函数
——以三角形单元为例
选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性 ，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题 的正确解答。
因此，选用的位移模式应当满足下列两方面的条件：
(1) 必须能反映单元的刚体位移和常量应变。 6个参数 a1到 a6反映了三个刚体位移和三个常量应变。 (2) 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。 (线性函数的特性)
3-2 单元位移模式
三结点三角形单元
——以三角形单元为例
为什么？
六个节点位移只能确 定六个多项式的系数。 所以平面问题的3结点三角形单元 的位移函数如下：
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
该位移函数为线性函数.
其中,β1-β6 为待定系数，可由单 元的6个结点位移来确定。
[ N ] [ IN i IN j IN m ] 1 (下标i，j，m轮换)， ae N i (ai bi x ci y ) 称为形函数， 2A
I是2乘2的单位矩阵，
3-2 单元位移函数
• 形函数具有如下性质:
• (1) 在结点上形函数的值有
0 i j N i ij 1 i j
ai 4 1 bi 5 2 A c 6 i
aj bj cj
am vi bm v j v cm m
有限单元法
F2
x
1
2
e T
EP 0 eT e EP B T EAl B l e eT (F q( x)N dx) 0 0
单元是平衡的
eT T eT l e 0
eT T
k B
其中
EAl B
1 / l EAl 1 / l 1 / l 1/ l EA 1 1 l 1 1 --局部坐标系下的单元刚度矩阵
有限单元法初步
有限单元法是在矩阵位移法基础上发展起来的一种结构 分析方法，用于板壳、实体等结构的分析。 有限元分析的步骤与矩阵位移法基本相同，过程也相似。 2 离散化： 3 4 1 水坝 5 6
单元分析：
整体分析： 求应力：
§1 杆系结构的有限单元法
§1.1 泛函与变分
“最速落径问题”---质量为m的小环从A处自由滑下， 试选择一条曲线使所需时间最短。（不计摩擦）
§1.1 泛函与变分
y* ( x) y( x) y( x)
称 y ( x ) 为y（x）的变分，它是一个无穷小的任意函数。 变分运算在形式上与微分运算相同。
y 2 ( x) 2 y( x)y( x)
微分与变分运算次序可以交换。 d dy (y ) ( ) dx dx 积分与变分运算次序也可以交换。
杆中任一点应变
三、应力分析 ---用杆端位移表示杆中内力
杆中任一点应力
du dx d N e dx dN2 e dN 1 dx dx
E
EB
e
杆中任一截面的轴力
N A
B
B2
e
EAB
什么是有限元方法基本思想是什么基本步骤
u N i 0 v
简写为
N
ui v i i u j j v j m u m vm
e
ui v i 0 0 0 Nj Nm u j 0 0 Ni Nj Nm vj um i vm IN i IN j IN m j m
回顾第一讲
什么是有限元方法？ 基本思想是什么？ 基本步骤是什么？ 单元分析时的基本数学方法有哪些？
第二讲 弹性力学平面问题的 有限单元法
1、有限单元法的计算步骤 2、平面问题的常应变(三角形)单元 3、单元刚度矩阵 4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 5、平面问题的矩形单元 6、六节点三角形单元 7、单元载荷移置 8、整体分析 9、整体刚度矩阵的形成 10、支承条件的处理 11、整体刚度矩阵的特点
e
[I]是单位矩阵， [N]称为形函数矩阵， Ni 只与单元节点坐标有关，称为 单元的形状函数
2 平面问题的常应变(三角形)单元
• 据弹性力学几何方程得 的应变分量 单元
u x 2 x v y y 6 5 xy u v 3 x y • 由于三节点三角形单元的位移 函数为线性函数，则单元的应 变分量均为常量，故这类三角 形单元称为常应变单元（位移 在单元内和边界上为线性变化， 应变为常量）
再把上式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表 示的单元应力表达式：
DB
e
式中：
——单元内任一点的应力列阵； D ——单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）
简写为
N
ui v i i u j j v j m u m vm
e
ui v i 0 0 0 Nj Nm u j 0 0 Ni Nj Nm vj um i vm IN i IN j IN m j m
回顾第一讲
什么是有限元方法？ 基本思想是什么？ 基本步骤是什么？ 单元分析时的基本数学方法有哪些？
第二讲 弹性力学平面问题的 有限单元法
1、有限单元法的计算步骤 2、平面问题的常应变(三角形)单元 3、单元刚度矩阵 4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 5、平面问题的矩形单元 6、六节点三角形单元 7、单元载荷移置 8、整体分析 9、整体刚度矩阵的形成 10、支承条件的处理 11、整体刚度矩阵的特点
e
[I]是单位矩阵， [N]称为形函数矩阵， Ni 只与单元节点坐标有关，称为 单元的形状函数
2 平面问题的常应变(三角形)单元
• 据弹性力学几何方程得 的应变分量 单元
u x 2 x v y y 6 5 xy u v 3 x y • 由于三节点三角形单元的位移 函数为线性函数，则单元的应 变分量均为常量，故这类三角 形单元称为常应变单元（位移 在单元内和边界上为线性变化， 应变为常量）
再把上式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表 示的单元应力表达式：
DB
e
式中：
——单元内任一点的应力列阵； D ——单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
有限单元法基本步骤示例
有限单元法在电磁 场分析中用于求解 电磁场方程
通过对电磁场进行 离散化处理，将连 续的电磁场转换为 离散的有限单元
通过对有限单元进 行数学建模和求解 ，得到电磁场的分 布情况和相关参数
有限单元法在电磁 场分析中具有广泛 的应用，如电磁场 仿真、天线设计、 电磁兼容性分析等
06 总结与展望
总结有限单元法的优势和不足
关系等。
最小势能原理
定义：最小势能原理是指在物理系统中，系统的总势能总是趋向于最小 值 应用：有限单元法中，通过最小化总势能来求解物理问题
优势：能够考虑系统的约束条件，得到精确解
局限性：对于非线性问题，可能会出现求解困难的情况
虚功原理
定义：虚功原理是有限单元法的基本原则之一，它指出在结构分析中，如果结 构受到的载荷是虚的（即不真实的），则结构的位移和应力也将是虚的。
优势：适用于复杂形状 和边界条件的离散化， 能够解决各种工程问题。
不足：计算量大，需要 高性能计算机支持；对 初学者来说，掌握难度 较大。
展望有限单元法未来的发展方向和应用前景
研究方向：随着科技的不断进步，有限单元法在理论和应用方面将会有更多的突破和创新，例 如开发更加高效、精确的算法和模型，以解决更加复杂的问题。
进。
05 有限单元法的应用实例
结构分析中的应用
有限单元法在结构分析中用于建立离散化模型，将连续的结构离散为有限 个单元，以便进行数值计算和分析。
有限单元法在结构分析中可以模拟各种复杂的结构和边界条件，例如桥梁、 高层建筑和核反应堆等。
有限单元法在结构分析中可以用于评估结构的强度、刚度和稳定性等性能 指标，为结构设计提供依据。
应用领域：随着工业和科技的不断发展，有限单元法将会被应用到更多的领域中，例如航空航 天、汽车、建筑、生物医学等，解决各种复杂的问题和挑战。
第三章 有限单元法
第3章有限单元法在工程技术领域内，工程师常常运用数学和力学的知识将实际问题抽象成它们应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的边界条件。
对于大多数的工程技术问题，由于物体的几何形状和载荷作用方式是很复杂的，除了方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题之外，试图按经典的弹性力学和塑性力学方法获得解析解是十分困难的，甚至是不可能的。
为了克服这种困难，有两条解决途径：一是引入简化假设，将方程和边界条件简化为能够处理的问题，从而得到它在简化状态下的解答。
这种方法只在有限的情况下可行，因为过多的简化将可能导致不正确的甚至错误的答案。
另一条解决途径就是数值解法，如有限差分法、边界元法、有限单元法和离散元法等。
对于非线性问题，有限单元法更为有效，且已经出现了许多通用程序。
有限单元法的主要优点是：①建立于严格理论基础上的可靠性。
因为用于建立有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上已被证明是微分方程和边界条件的等效积分形式。
只要原问题的数学模型是正确的，同时用来求解有限元方程的算法是稳定、可靠的，如果单元满足收敛准则，则近似解最后收敛于原数学模型的精确解；②适应性强，应用范围广，不仅能成功地分析具有复杂边界条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可以推广到解答数学方程中的其它边值问题，如热传导、电磁场、流体力学等问题；③适合计算机实现的高效性。
由于有限元分析的各个步骤可以表达成规范化的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题，特别适合计算机的编程和执行。
已经出现了许多大型结构分析通用程序，如：NASTRAN、ASKA、ADINA、ANSYS、ABAQUS等，可以直接应用。
这些优点使有限单元法得到了广泛的应用和发展。
3.1有限单元法分析的基本步骤在工程或物理问题的数学模型（基本变量、基本方程、求解域和边界条件等）确定以后，有限单元法作为对其进行分析的数值计算方法的基本步骤如下：(1) 离散化一个复杂的弹性体可以看成是由无限个质点组成的连续体，它具有无限个自由度。
有限单元法讲义-Chapter2
Pn ( x) =
∑ ∏x
(
k =0 i =0 i≠k
n
n
x − xi ) yk k − xi
如果 n = 2 ，插值函数表示如下：
φ = ∑ l i(1) ( x)φi
i =1
2
其中， l1 ( x ) =
x − x2 x − x1 , l2 = x1 − x 2 x 2 − x1
z 若引入无量纲坐标
-1
0
1
ξ
则上述坐标为 ξ 1 = −1, ξ 2 = 1
(10)
以下参考署恒木教材 P27 页
例题 2：1D 杆拉伸变形有限元求解
1、虚功方程
Ω
∫ δε
T
σdΩ = ∫ δu T fdΩ + ∫ δu T Tds + ∑ δu T Pi
Ω Γσ i
2、1D 拉伸基本方程
位移： u ( x)
= 应变： ε ( x）
du dx
物理方程： σ = Eε
3、单元特性矩阵 ) u = a + bx = N i ui + N j u j
（1）
u i = a + bxi u j = a + bx j
（2）
解之得： a =
ui uj
xi xj
1 xi 1 xj
=
1 (u i x j − u j xi ), x j − xi
b=
1 ui 1 uj 1 xi 1 xj
=
1 (u j − u i ) x j − xi
代入式（2）整理得
u e = N i ui + N j u j
（1）有限元模型----单元划分 z 有限元模型是真实系统理想化的数学抽象
∑ ∏x
(
k =0 i =0 i≠k
n
n
x − xi ) yk k − xi
如果 n = 2 ，插值函数表示如下：
φ = ∑ l i(1) ( x)φi
i =1
2
其中， l1 ( x ) =
x − x2 x − x1 , l2 = x1 − x 2 x 2 − x1
z 若引入无量纲坐标
-1
0
1
ξ
则上述坐标为 ξ 1 = −1, ξ 2 = 1
(10)
以下参考署恒木教材 P27 页
例题 2：1D 杆拉伸变形有限元求解
1、虚功方程
Ω
∫ δε
T
σdΩ = ∫ δu T fdΩ + ∫ δu T Tds + ∑ δu T Pi
Ω Γσ i
2、1D 拉伸基本方程
位移： u ( x)
= 应变： ε ( x）
du dx
物理方程： σ = Eε
3、单元特性矩阵 ) u = a + bx = N i ui + N j u j
（1）
u i = a + bxi u j = a + bx j
（2）
解之得： a =
ui uj
xi xj
1 xi 1 xj
=
1 (u i x j − u j xi ), x j − xi
b=
1 ui 1 uj 1 xi 1 xj
=
1 (u j − u i ) x j − xi
代入式（2）整理得
u e = N i ui + N j u j
（1）有限元模型----单元划分 z 有限元模型是真实系统理想化的数学抽象
第二章、结构静力分析有限单元法
将上述式子代入 dSa有：
ai bi
0 aj 0 bj
0 ak 0 bk
0ui
0vi
u v
21A10
x 0
y 0
0 1
0 x
0yc0i
0 ai
cj 0
0 aj
ck 0
a0k uvjj
0
bi
0 bj
0
bk
uk
或写成：
u x ,y N iu i N ju j N k u k v x ,y N iv i N jv j N k v k
可简写为：
d Nqe
NN 0i
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nk 0
0 Nk
上式为单元内某点的节点位移插值表示的 多项式，称N为形状函数，其中：
0 ci 0 cj 0 ck vk
任意点位移 任意点坐标
节点几何量
节点位移
u ( x ,y ) 2 1 A a i b i x c i y u i a j b j x c j y u j a k b k x c k y u k v ( x ,y ) 2 1 A a i b i x c i y v i a j b j x c j y v j a k b k x c k y v k
写成矩阵：
a1
a2
d
u
v
1 0
x 0
y 0
0 1
0 x
0 y
a3 a4
Sa
a5
a6
u(x,y)v,(x,y)既然是单元内某点的位移表达式，
有限元求解过程
Keae Fe [形式上与前面的一维弹簧相同]
e
e
与 1.2 节同样的思路可组集得到二维有限元的总体求解方
程 K a F ，其中 a 为 n 个结点的待求位移 ui ,vi
求解上述方程即可得到 n 个结点的位移 ui ,vi
（2）有限元求解的建模过程
绘制几何模型 施加位移边界条件 施加外力边界条件 建立材料库 选择本构模型 划分单元网格 计算求Байду номын сангаас 后处理及结果分析 ……
有限单元法求解基本过程
1 一维弹簧 1.1 弹簧单元方程
其中结点 1 和结点 2 的位移 u1, u2 为待求的基本未知量。
上述方程可进一步改写为：
求解此方程即可得到结点 1 和结点 2 的位移 u1, u2
1.2 多弹簧实例
该计算模型划分有结点 1、结点 2、结点 3、结点 4 共四个结点，相应的待求未知量为各结点的位
2 二维有限元分析示例
y x p
L
D
（1）有限元求解的基本思路（在有限元法课程中将详细讲述）
将该分析物体离散成单元网格
在每个单元上利用该单元各结点的位移 ui ,vi 得到单元
的插值函数 u Niui
根据最小势能与弹性力学基本方程的等价性，可推导得出
以 单元的 结点 位移 ui ,vi 为 未知 量的单 元刚 度方程
移 u1、u2、u3、u4 。
（1）各单元方程
将上述各单元按刚度贡献组集成一个整体刚度矩阵 K
（2）各结点自由度上的外力荷载贡献
组集即可得到整体荷载列阵 F
（3）各结点待求解的自由度向量
（4）总体求解方程
设四个弹簧的刚度均为 k (e) ，则本问题的总体求解方程为：
案例4 零件强度的有限元分析
1.1 有限单元法的概念 基本思想:借助于数学和力学知识，利用计 算机技术而解决工程技术问题。 Finite Element Method -_FEM
Finite Element Analysis
4
工程分析： 主要通过计算机，利用数值分析方法进行辅助工 程分析，是 CAD 中应用最早、卓有成效的领域之一。 分析的关键是在三维实体建模的基础上，从产品的方 案设计阶段开始，按照实际使用的条件进行仿真和结 构分析；按照性能要求进行设计和综合评价，以便从 多个设计方案中选择最佳方案。 计算机辅助工程分析: 通常包括有限元分析、优化设计、仿真（模拟分 析）可靠性分析、试验模态分析等。
后置处理内容： （1）数据输出： 将结点位移、单元应力按设计者的意图整理输出，还可从大量数据中筛选出 关键的有用数据，按用户要求的格式输出规格化的数据文件。 （2）图形显示： 图形显示和绘图可形象直观地表示有限元模型和计算结果，可帮助设计者迅 速了解研究对象的特征，从而对修改模型作出判断。图形显示包括有限元网格图、 结构变形图、等值线图以及振型图等。等值线有应力等值线图、位移等值线图、 等高线图和温度等值线图等，其中在工程结构分析中，以应力等值线图应用最多。 等值线图可在彩色屏幕上用不同的颜色加以形象化。下图所示为一曲面的彩色等 高线图。
有限元分析法
有限元分析法： 是力学与近代计算机技术相结合的产物，是一种 解决工程问题的数值计算方法，1960年美国Clogh教 授首次提出“有限元法（The Finite Element Method）”的概念。
分类 有限元法包括有限元建模和有限元分析两部分， 目前它们已成为建立分析模型、共享数据的有效途 径，是解决各种工程实际问题的便利工具和有效手 段。 应用 有限元法可以处理任何复杂形状、不同物理特性、 多变的边界条件和任何承载情况的工程问题，广泛 应用于场强（力场、电场、磁场、温度场、流体场 等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析 等研究领域中。
有限单元法基本步骤-示例
讲稿提纲
1、有限单元法基本步骤
结构离散、单元分析、结构组装与求解
2、结构单元离散 3、单元位移模式----形函数
一、有限单元法基本步骤
一、有限单元法基本步骤
CAD模型 定型设计
单元离散
系统集成
基本思路
一、有限单元法基本步骤
基本思路
一、有限单元法基本步骤
基本思路
一、有限单元法基本步骤
基本思路
有限单元法讲课提纲-08 CAE入门资料
2、学习网站
杂谈 -- 关于读书
学习资料
有限单元法背景
为什么学
1. 工程数值分析已成为科学研究和工程设计评判的重要手 段之一
2. 国内外的著名高等院校都将该课程列为最重要的专业基 础课之一
3. 在从事工程设计与优化、模拟与分析的学位论文中，约 有90％以上的论文采用有限元方法作为分析工具，在 其中80％的论文中起到关键作用
一、有限单元法基本步骤
基本思路
有限元方法的基本思想是将场函数的总体泛函或总体解域上 的弱形式积分看成是由于子域（单元）的泛函或弱形式积分所集 成。
建立起单元的插值函数，将场函数表示成单元节点的插 值形式；
利用数值积分计算出单元的泛函或弱形式积分； 通过单元集成形成以节点场函数值为未知量的代数方程
对于输油管道和管架可采用杆单元; 对于具有圆孔的平板; 油罐角焊缝部位、盲板可用三角形单元; 矩形单元不能适应斜交边界和曲线边界，可以把矩形单元和三 角形单元混合使用。(也可采用非规则等参元)
二、结构单元离散
基本原则--变网格密度
二、结构单元离散
基本原则--变网格密度
二、结构单元离散
单元形状及相互联结
有限单元法背景
有限单元法基础介绍
2021/2/2
23
平面有限元解法——编制计算机程序界面
2021/2/2
24
平面有限元解法——计算机程序计算结果
2021/2/2
25
通用有限元计算程序ANSYS计算结果
2021/2/2
26
通用有限元计算程序ANSYS计算结果
2021/2/2
27
有限元单元法基础理论（结构静力学问题）
矩阵分析法对杆系结构举例分析 水平杆单元刚度矩阵
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
2021/2/2
12
节点和单元 (续)
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
I L
I P
M L
I
J
三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
K
二维或轴对称实体单元
UX, UY
J
O
三维实体结构单元
N K
UX, UY, UZ
J
J
三维梁单元
UX, UY, UZ,
单元上节点处的结构内力
载荷
载荷
作用在单元节点上的外力
（集中力、分布力）
约束
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ
密度
约束
单元 节 点
节点力
2021/2/2
10
单元的自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
2021/2/2
3
有限单元法力学基础
各力学学科分支的关系
非变形体（刚体）
2021/2/2
变形体
4
有限单元法几种典型的分析对象
01-03有限单元法的分析步骤
§1-3有限单元法的分析步骤
（2009-11-12）
一、简例
为使大家有个感性的认识，我们先来考查一个最简单的平面桁架(图1-1)。设杆件的截面积均为A，弹性模量为E，长度分别为 、 。桁架的铰链处受到外力 、 、 、 、 、 ，在1点和3点固定铰支。求解内力。
a)集合体b)桁架单元
图1-1铰接桁架
由结构力学知，这是一个外一次静不定问题，三个平衡方程，四个支反力，要解之尚须补充一个变形协调条件或内力平衡条件。
3．建立外载荷与节点位移的关系
分析各个节点的受力情况，可以看到，各个节点除受外载荷外，还承受环绕着它的各个单元给它的作用力，这些力和图1-1中所示节点给单元节点力大小相等，方向相反，互为反作用力。
结构处于平衡状态时，各节点亦应处于平衡状态。
同时，还注意到，各单元在同一节点处的位移应相等，即为节点的位移。所以
(2)利用几何方程，由(1-10)式导出单元的应变表达式
(1-11)
(3)利用物理方程，由(1-11)式导出用节点位移表示的单元应力表达式
(1-12)
(4)利用平衡条件(方程)或虚功方程，建立作用于单元的节点力和节点位移之间的关系式
(1-13)
以上四步中，导出单元刚度矩阵是单元分析的核心内容。
3．整体分析
上面的1-4步就是单元分析，第5步就是整体2分析。
这些方程就是结构的力――位移关系。
写成矩阵形式，有
(1-7)
或简写成
(1-8)
这就是有限单元法所要建立的基本方程组。
式中 为作用在节点上的载荷组成的列阵，称为载荷列阵； 是由基本未知量节点位移所组成的列阵；矩阵 称为结构的整体刚度矩阵，由(1-8)式可知
(1-9)
建立整个刚度矩阵是运用有限单元法解题的核心内容，一旦建立了整个刚度矩阵，就等同于列出了有限单元法的基本方程组。
（2009-11-12）
一、简例
为使大家有个感性的认识，我们先来考查一个最简单的平面桁架(图1-1)。设杆件的截面积均为A，弹性模量为E，长度分别为 、 。桁架的铰链处受到外力 、 、 、 、 、 ，在1点和3点固定铰支。求解内力。
a)集合体b)桁架单元
图1-1铰接桁架
由结构力学知，这是一个外一次静不定问题，三个平衡方程，四个支反力，要解之尚须补充一个变形协调条件或内力平衡条件。
3．建立外载荷与节点位移的关系
分析各个节点的受力情况，可以看到，各个节点除受外载荷外，还承受环绕着它的各个单元给它的作用力，这些力和图1-1中所示节点给单元节点力大小相等，方向相反，互为反作用力。
结构处于平衡状态时，各节点亦应处于平衡状态。
同时，还注意到，各单元在同一节点处的位移应相等，即为节点的位移。所以
(2)利用几何方程，由(1-10)式导出单元的应变表达式
(1-11)
(3)利用物理方程，由(1-11)式导出用节点位移表示的单元应力表达式
(1-12)
(4)利用平衡条件(方程)或虚功方程，建立作用于单元的节点力和节点位移之间的关系式
(1-13)
以上四步中，导出单元刚度矩阵是单元分析的核心内容。
3．整体分析
上面的1-4步就是单元分析，第5步就是整体2分析。
这些方程就是结构的力――位移关系。
写成矩阵形式，有
(1-7)
或简写成
(1-8)
这就是有限单元法所要建立的基本方程组。
式中 为作用在节点上的载荷组成的列阵，称为载荷列阵； 是由基本未知量节点位移所组成的列阵；矩阵 称为结构的整体刚度矩阵，由(1-8)式可知
(1-9)
建立整个刚度矩阵是运用有限单元法解题的核心内容，一旦建立了整个刚度矩阵，就等同于列出了有限单元法的基本方程组。
有限元法的基本步骤
有限元法的基本步骤有限元法是一种用于求解较为复杂的实际工程问题的数值分析方法。
它将一个连续的物体或系统划分为许多小的单元，然后通过建立在这些单元上的数学方程来模拟和求解实际问题。
在这篇文章中，我们将探讨有限元法的基本步骤，并深入讨论其原理和应用。
1. 确定问题的边界和几何形状在使用有限元法求解实际问题之前，需要先确定问题的边界和几何形状。
通常情况下，问题的边界需要定义为固定边界或自由边界，以便在数学模型中进行处理。
问题的几何形状也需要被建模和描述，这样才能得到准确的计算结果。
2. 划分网格划分网格是有限元法中非常重要的一步。
网格划分是将问题的几何形状划分为一系列小的单元。
这些小单元称为有限元，它们可以是三角形、四边形或其他形状。
网格的划分需要根据问题的几何形状和求解精度来确定，并且需要保证各个有限元之间具有充分的连续性和相互联系，以确保模拟结果的准确性和可靠性。
3. 建立数学模型和方程在确定问题的边界和划分网格之后，下一步是建立与物理现象相关的数学模型和方程。
根据问题的具体情况，可以使用不同类型的方程，如静力学方程、热传导方程、流体力学方程等。
这些方程将物理现象转化为数学表达式，并可以通过有限元法进行求解。
4. 应用边界条件在建立数学模型和方程之后，需要应用边界条件。
边界条件可以是物体的固定边界条件，如固定端或自由端；也可以是物体的外部边界条件，如外力、温度等。
边界条件的正确应用对于求解实际问题非常重要，它们将影响模拟结果的准确性和可靠性。
5. 求解数学方程一旦建立了数学模型、划分网格并应用了边界条件，下一步就是使用数值方法求解数学方程。
有限元法将整个问题转化为一个求解代数方程组的问题，并通过迭代方法求解。
求解过程中需要根据初始条件和边界条件进行迭代计算，直到得到收敛的解。
通过以上的基本步骤，我们可以使用有限元法对复杂的实际工程问题进行数值求解。
有限元法的优点在于可以模拟各种不同的物理现象，并且可以对复杂的几何形状进行建模和求解。
弹性力学平面问题的有限单元法
§2.3 三角形单元分析
从离散体系中任取一个单元，如图所示。三 个结点按反时针方向顺序编号为i、j、m。结点坐 标分别为(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)。
一、单元的结点位移和结点力向量
由弹性力学平面问题可知，一个连续体，每点
应有两个位移，因此每个结点应有两个位移分量，
则三角形共有六个自由度：ui,vi,uj,vj,um,vm 。如图 b所示。各结点位移向量可写成
入上式，同时考虑到矩阵相乘的转置规则，式（b）可改写为
({}e )T {P}e
({}e )T ([N]Tb ){Q}
{F}o K o{}o
式中，[K] o是6×6阶矩阵，称为单元刚度矩阵。 单元分析先要建立单元内的应变、应力分别与结点位
移的关系，这不光是推导上式的需要，也为最后求出 结点位移后再顺利求得单元内的应变和应力作好准备。
2-9
二、单元位移模式 有限单元法虽然对计算对象的整体作了物理近
似，但在每个单元内部，则仍然认为符合弹性力学 的基本假设，因此弹性力学的基本方程在每个单元 内部仍然适用。
ym
A为三角形单元的面积。
2-12
经过运算得用单元结点位移表示的单元位移模式为
{
f
}o
u(x, { v(x,
y) }
y)
Ni (x,
0
y)
0 Ni (x, y)
N j (x, y) 0
0 N j (x, y)
Nm (x, y) 0Biblioteka Nm0 (x,
y){}o
(2-1)
式中的Ni、Nj、Nm由下式轮换得出
{δΔ}o=[δui,δvi,δuj,δvj,δum,δvm]T 单元内的虚位移则为
有限单元法——安维士
有限单元法——安维士有限元法简单地说，就是将离散的有限个单元来代替整体的结构，单元的特性由有限个结点上的未知参数来表征，从而实现整体分析部分化、单元化。
使用合适的方式，组合包含未知参数的代数方程，这些方程包含各个单元的关系式子组成，利用插值函数，通过所构建的平衡方程组求得节点未知参数，求得插值函数的近似解。
以一个单向受拉杆为例，来介绍有限元的计算思想。
如图1所示，拉杆一端固定，另一端受外力P=10kN，拉杆长度L=400mm，横截面积A=100mm2，材料为Q235，，计算轴向变形。
图1根据材料力学胡克定律：即得图1拉杆右端的位移。
将公式1进行简单的移项可改写为公式2EA/L项即为单元刚度k。
下面开始推导有限元一维杆单元线性静力学典型方程，将图1轴向受拉杆划分成一个杆单元，一个杆单元分左右i、j两个节点，每个节点有一个自由度，即沿X方向的平动自由度。
图2 由图2可知，杆左右两侧均受拉力作用，左侧Pi和右侧Pj的内力由公式2推导如下：将公式（3）写成矩阵形式在公式4中有ui和uj两个未知量，若1个节点有1个广义未知量，1个一维杆单元包含两个节点，则1个单元共有两个广义位移未知量，最终构成的矩阵为2X2的方阵。
公式4可简写成公式5式中，公式5即为有限元线性静力学的典型方程。
公式4仅为1个单元的静力平衡方程，若将图1的轴向受力构件划分成两个单元，则需要将两个单元平衡方程进行组装。
下面就以图1的构件为例，将其划分成两个单元，计算其右侧的轴向位移。
单元划分如图3，左侧定义为1号单元，右侧定义为2号单元，共有3个节点，3个未知位移，故最终构成的矩阵应该是3X3的方阵。
图31号单元的静力平衡方程如公式7：在组装矩阵之前，需要扩充公式6和公式7，扩充矩阵的目的是将3个节点的位移全部纳入到总刚矩阵中便于后面矩阵叠加，扩充后的公式6和公式7如下：下面将扩充后的公式6和公式7合并、组装，如公式9：公式9中刚度矩阵K的行列式为0，无法求解图1中杆的位移，因此在使用有限元软件进行静力学分析时，由于结构约束不足，会给出报错提示。
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SWF
load = +[u]*fu+[v]*fv+[w]*fw-[funa]*f(1)-[funb]*f(2)-[func]*f(3) -[fund]*f(4)-[fune]*f(5)-[funf]*f(6)
Model results
Automatic source code generator
xx x
组，求解该代数方程组即得求解域场函数的近似解。
Data =>???
Physical model
PDEs
SWF
Data Grid (GEON and others)
func funa=+[u/x] ……… funf=+[u/y]+[v/x]
FEM Modeling Language
……… dist =+[funa;funa]*d(1,1)+[funa;funb]*d(1,2)+[funa;func]*d(1,3) +[funb;funa]*d(2,1)+[funb;funb]*d(2,2)+[funb;func]*d(2,3) +[func;funa]*d(3,1)+[func;funb]*d(3,2)+[func;func]*d(3,3) +[fund;fund]*d(4,4)+[fune;fune]*d(5,5)+[funf;funf]*d(6,6)
FEM 研究的3个层次
基本内容与架构
▲ 高级FEM
理论、技术
PDE 等效转化理论（Galerkin法、泛函/变分）； 单元位移模式、形函数； 等参元概念； 误差估计； 编程技术；（独立开发、二次开发、图形拓扑、数据库）； 非结构、多场耦合分析
长期学习、积累与实践
课堂学习，建立概念； 软件系统学习练习建模； 习题/练习加深概念理解； 独立编程熟悉FEM技术环节； 拜师学习特殊技巧、难点、方法； 网上资源了解最新进展。
二、结构单元离散
基本原则--变网格密度
二、结构单元离散
基本原则--变网格密度
二、结构单元离散
单元形状及相互联结
二、结构单元离散
由于单元的尺寸及数目直接影响解的收敛性 与精度，所以要小心加以选择。一般来说， 单元尺寸越小，单元数目越多，得到的解越 精确，但需要的计算时间越长。但是，当单 元数目超过一定数目N。以后，再增加单元 数目，精度不会再有提高。
生物学家达尔文在自传中写道： “我的成功源自复杂的心理素质。其中最重要的是
热爱科学——善于思考——勤于观察——以及具有相 当的发现能力和广博的知识。”
杂谈 -- 关于读书
学习资料
1、机电本科学习材料
[数学]全美经典丛书[1] - 有限元分析 Introduction to Computational Mechanics---中科大讲稿 身边的力学.CHM 有限元分析讲义.chm----清华大学曾攀教授
xy y
xz z
fx
0
xy x
yy y
yz z
fy
0
xz x
yz y
zz z
fz
0
Complete source code
HPCC
二、结构单元离散
有限单元法解决实际问题时，首先用称为网格的分割线 将物体离散成若干个单元，网格越密，替代结构就越接近原物 体。
数字化分析手段
有限元分析及软件
有限单元法背景
总体目标和理念
1. 确立该课程的教学理念，充分体现出有限元分析原理这一 知识主体
2. 构建起能够支撑学生在该领域进行终身学习的知识基础， 能够引导学生了解该领域不断更新的内容
3. 以培养学生在有限元建模和研究综合能力 4. 搭建进行该课程系统教学的基础设施 5. 实践教育教学理念
有限单元法背景
机械类力学课程设置
理论力学(4学分） 新生研讨课(1-2学分) 材料力学(3学分) 基础力学实验(2学分) 工程热力学(4学分) 流体力学(4学分) 传热学(3学分) 有限元方法(2学分)
弹性力学(3学分) 有限元分析及应用(3学分) 工程中的有限元分析专题(2学分) 专业前沿课(2学分)
讲稿提纲
1、有限单元法基本步骤
结构离散、单元分析、结构组装与求解
2、结构单元离散 3、单元位移模式----形函数
一、有限单元法基本步骤
一、有限单元法基本步骤
CAD模型 定型设计
基本思路
散单 元 离
系 成统
集
一、有限单元法基本步骤
基本思路
一、有限单元法基本步骤
基本思路
一、有限单元法基本步骤
有限元离散过程中，相邻单元在同一节点上场变量相同达到 连续，但未必在单元边界上任一点连续；
3. 在把载荷化为节点载荷的过程中，只是考虑单元总体平衡， 在单元内部和边界上不能保证每点都满足控制方程。
三、单元插值函数
一维单元
设一维问题中的场变量（位移、温度、势函数）为Φ（x），
单元的近似函数可式表示为：
(x) 0 1x 2 x2 3x3 n xn
三、单元插值函数
图示典型的一维单元，单元的结点参 数中只包含场函数由的结点值。此单元 有两个自由度，插值多项式的系数应为 两个，
Φ(x) 0 1x
根据单元两端点的条件
x xi 0, i 0; x xj l, j 1l
设计与应用
有限单元法背景
设计与应用
整体结构为双向拉索体系，上拉 索体系为传统的斜拉桥体系，下 拉索体系为主桥体下部与主塔下 部所形成的拉索体系，包括四种 下拉索结构体系，可使主塔内产 生的面内弯矩大幅度降低。
有限单元法背景
设计与应用 数字化分析与真实的实验
基于先进的计算软件和高性 能计算机，有限元分析的计 算结果可以精确到使其与真 实实验结果的相对误差控制 在10％以内。
有限元分析中，近似函数几乎全部采用不同幂次 的多项式。这是因为多项式易于计算和易于满足收敛 性要求，增加插值多项式的项数，可以提高解的精度
三、单元插值函数
基本思想
加权余量方法和变分法通过对未知场函数进行试函数近似， 能把连续问题化为离散问题，但求解能力有限，一个主要障 碍就是试函数是在全场范围内定义的;
结点是网格线的诸汇交点，用结点连接相邻单元。在进 行剖分时，单元的形状、大小和数目等都必须仔细选择，以使 解的精度较高。
二、结构单元离散
常用基本单元
二、结构单元离散
常用基本单元
二、结构单元离散
力学模型与FEM模型
二、结构单元离散
FEM模型
二、结构单元离散
规格与非规格单元
结构规格网格离散 非规格网格离散
基本原则—单元密度
二、结构单元离散
基本原则-- 单元载荷
二、结构单元离散
单元节点编号优化
三、单元插值函数
基本思想
有限单元法的基本思想是分块逼近。 所谓分块就是物体的离散化，所谓逼近就是在各个单元中选择合 适的近似函数去替代求解函数。这样，有限单元法中的总体区域的解， 可以看作由所有单元上的近似解构成。所以，对单元内部选择近似函 数是有限单元分析中十分重要的步骤之一。
一维单元
三、单元插值函数
一维单元
可解得 0 Φi , 1 (Φj Φi ) / l
Φ(x)
Φi
(Φ j
Φi )x / l
l
lx Φi Nhomakorabeax lΦ
j
NiΦi
N jΦj
[N][Φ]
{Φ}
Φi
Φ
j
为接点处场变量值列阵。
[N] [Ni N j ] [(l x) / l x / l] 为插值函数，也称为形函数。
n
Φ(x) NiΦi
i1
其中 Ni (x) 仍然具有以上性质。关于插值函数 Ni (x) 的构造，为
避免繁琐的推导，不必按上述步骤进行，而是直接采用熟知的 Lagrange插值多项式。
三、单元插值函数
一维单元
如果单元之间的公共结点上不仅保持场函数的连续性，还保持场 函数导数的连续性，则结点参数中还应包含场函数导数的结点值
三、单元插值函数
其中插值函数为
N1
(l 3
3lx2
2x3) / l3
N 2 (l 2 x 2lx2 x3 ) / l 2
N3 (3lx2 2x3 ) / l 3
结构离散技术复杂性
一个斜拉桥塔桥的振动模态分析
二、结构单元离散
几个基本原则
根据物理问题合理选择单元类型。 对于各种不同的实际结构，采用不同的单元。
对于输油管道和管架可采用杆单元; 对于具有圆孔的平板; 油罐角焊缝部位、盲板可用三角形单元; 矩形单元不能适应斜交边界和曲线边界，可以把矩形单元和 三角形单元混合使用。(也可采用非规则等参元)
基本思路
一、有限单元法基本步骤
基本思路
有限元方法的基本思想是将场函数的总体泛函或总体解域上 的弱形式积分看成是由于子域（单元）的泛函或弱形式积分所集 成。
建立起单元的插值函数，将场函数表示成单元节点的插 值形式；
利用数值积分计算出单元的泛函或弱形式积分； 通过单元集成形成以节点场函数值为未知量的代数方程
有限单元法讲课提纲-08 CAE入门资料
2、学习网站
杂谈 -- 关于读书
学习资料
有限单元法背景
为什么学
1. 工程数值分析已成为科学研究和工程设计评判的重要手 段之一