有限单元法基本步骤-示例

讲稿提纲
1、有限单元法基本步骤
结构离散、单元分析、结构组装与求解
2、结构单元离散 3、单元位移模式----形函数
一、有限单元法基本步骤
一、有限单元法基本步骤
CAD模型 定型设计
基本思路
散单 元 离
系 成统
集
一、有限单元法基本步骤
基本思路
一、有限单元法基本步骤
基本思路
一、有限单元法基本步骤
生物学家达尔文在自传中写道： “我的成功源自复杂的心理素质。其中最重要的是
热爱科学——善于思考——勤于观察——以及具有相 当的发现能力和广博的知识。”
杂谈 -- 关于读书
学习资料
1、机电本科学习材料
[数学]全美经典丛书[1] - 有限元分析 Introduction to Computational Mechanics---中科大讲稿 身边的力学.CHM 有限元分析讲义.chm----清华大学曾攀教授
Ni (x) 具有下列性质： Ni (x j ) ij ,
1,
ij
定义为
ij


0,
i j i j
2
Ni (x) 1
i1
三、单元插值函数
一维单元
三、单元插值函数
一维单元
对于具有n个结点的一维单元，如果它的结点参数中只含有场函数的
结点值，则单元内的场函数插值可表示为
二、结构单元离散
基本原则--变网格密度
二、结构单元离散
基本原则--变网格密度
二、结构单元离散
单元形状及相互联结
二、结构单元离散
由于单元的尺寸及数目直接影响解的收敛性 与精度，所以要小心加以选择。一般来说， 单元尺寸越小，单元数目越多，得到的解越 精确，但需要的计算时间越长。但是，当单 元数目超过一定数目N。以后，再增加单元 数目，精度不会再有提高。
SWF
load = +[u]*fu+[v]*fv+[w]*fw-[funa]*f(1)-[funb]*f(2)-[func]*f(3) -[fund]*f(4)-[fune]*f(5)-[funf]*f(6)
Model results
Automatic source code generator
xx x
(x) 0 1x 2 x2 3x3 n xn
三、单元插值函数
图示典型的一维单元，单元的结点参 数中只包含场函数由的结点值。此单元 有两个自由度，插值多项式的系数应为 两个，
Φ(x) 0 1x
根据单元两端点的条件
x xi 0, i 0; x xj l, j 1l
一维单元
三、单元插值函数
一维单元
可解得 0 Φi , 1 (Φj Φi ) / l
Φ(x)
Φi
(Φ j
Φi )x / l

l
l
x Φi

x l
Φ
j

NiΦi

N jΦj
[N][Φ]
{Φ}
Φi
Φ
j

为接点处场变量值列阵。
[N] [Ni N j ] [(l x) / l x / l] 为插值函数，也称为形函数。
有限元离散过程中，相邻单元在同一节点上场变量相同达到 连续，但未必在单元边界上任一点连续；
3. 在把载荷化为节点载荷的过程中，只是考虑单元总体平衡， 在单元内部和边界上不能保证每点都满足控制方程。
三、单元插值函数
一维单元
设一维问题中的场变量（位移、温度、势函数）为Φ（x），
单元的近似函数可式表示为：
有限单元法背景
设计与应用
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有限单元法背景
设计与应用
有限单元法背景
设计与应用
A Preliminary Finite Element Model of Active Crustal Deformation in the Western US
FEM 学习的3个层次
基本内容与架构
▲ FEM基础
结构离散技术复杂性
一个斜拉桥塔桥的振动模态分析
二、结构单元离散
几个基本原则
根据物理问题合理选择单元类型。 对于各种不同的实际结构，采用不同的单元。
对于输油管道和管架可采用杆单元; 对于具有圆孔的平板; 油罐角焊缝部位、盲板可用三角形单元; 矩形单元不能适应斜交边界和曲线边界，可以把矩形单元和 三角形单元混合使用。(也可采用非规则等参元)
二、结构单元离散
对称/非对称
二、结构单元离散
对称/非对称
二、结构单元离散
轴对称模型
二、结构单元离散
轴对称模型
二、结构单元离散
轴对称模型
二、结构单元离散
一阶与高阶单元
二、结构单元离散
结构离散技术复杂性
二、结构单元离散
结构离散技术复杂性
二、结构单元离散
结构离散技术复杂性
二、结构单元离散
有限单元法背景
课程建设
一个基础
有限元分析原理
两种能力
有限元分析的建模能力 实际问题的分析能力
三个环境
基于精品教材的学习环境 基于网络系统的交互环境 基于学生参与的研讨环境
有限单元法背景
Boeing777的“无纸化”设计
1990年10月美国波音公司开始在 计算机上对新型客机B-777进行 “无纸设计”，仅用了三年半的 时间，于1994年4月第一架B-777 便试飞成功，这是制造技术史上 划时代的成就，其中在结构设计 和评判中就大量采用有限元分析 这一重要手段。据有关资料，一 个新产品的问题有60％以上可以 在设计阶段消除。
n
Φ(x) NiΦi
i1
其中 Ni (x) 仍然具有以上性质。关于插值函数 Ni (x) 的构造，为
避免繁琐的推导，不必按上述步骤进行，而是直接采用熟知的 Lagrange插值多项式。
三、单元插值函数
一维单元
如果单元之间的公共结点上不仅保持场函数的连续性，还保持场 函数导数的连续性，则结点参数中还应包含场函数导数的结点值
有限单元法背景
机械类力学课程设置
理论力学(4学分） 新生研讨课(1-2学分) 材料力学(3学分) 基础力学实验(2学分) 工程热力学(4学分) 流体力学(4学分) 传热学(3学分) 有限元方法(2学分)
弹性力学(3学分) 有限元分析及应用(3学分) 工程中的有限元分析专题(2学分) 专业前沿课(2学分)
组，求解该代数方程组即得求解域场函数的近似解。
Data =>???
Physical model
PDEs
SWF
Data Grid (GEON and others)
func funa=+[u/x] ……… funf=+[u/y]+[v/x]
FEM Modeling Language
……… dist =+[funa;funa]*d(1,1)+[funa;funb]*d(1,2)+[funa;func]*d(1,3) +[funb;funa]*d(2,1)+[funb;funb]*d(2,2)+[funb;func]*d(2,3) +[func;funa]*d(3,1)+[func;funb]*d(3,2)+[func;func]*d(3,3) +[fund;fund]*d(4,4)+[fune;fune]*d(5,5)+[funf;funf]*d(6,6)
有限单元法课程系列讲稿
有限单元法基本概念 步骤
2009年11月
杂谈 -- 关于读书
杂谈 -- 关于读书
华罗庚读书心得 天才出于积累，聪明出于勤奋； 会读书，要把一本厚书读薄; 下棋找高手，弄斧到班门
郭沫若谈读书 人是活的，书是死的。 活人读死书，可以把书读活。 死书读活人，可以把人读死
杂谈 -- 关于读书
三、单元插值函数
其中插值函数为
N1

(l 3
3lx2

2x3) / l3

N 2 (l 2 x 2lx2 x3 ) / l 2
N3 (3lx2 2x3 ) / l 3
设计与应用
有限单元法背景
设计与应用
整体结构为双向拉索体系，上拉 索体系为传统的斜拉桥体系，下 拉索体系为主桥体下部与主塔下 部所形成的拉索体系，包括四种 下拉索结构体系，可使主塔内产 生的面内弯矩大幅度降低。
有限单元法背景
设计与应用 数字化分析与真实的实验
基于先进的计算软件和高性 能计算机，有限元分析的计 算结果可以精确到使其与真 实实验结果的相对误差控制 在10％以内。

xy y

xz z

fx

0
xBaidu Nhomakorabea x

yy y

yz z

fy
0
xz x

yz y

zz z

fz
0
Complete source code
HPCC
二、结构单元离散
有限单元法解决实际问题时，首先用称为网格的分割线 将物体离散成若干个单元，网格越密，替代结构就越接近原物 体。
有限单元法讲课提纲-08 CAE入门资料
2、学习网站 www.science.net www.simwe.com
杂谈 -- 关于读书
学习资料
有限单元法背景
为什么学
1. 工程数值分析已成为科学研究和工程设计评判的重要手 段之一
2. 国内外的著名高等院校都将该课程列为最重要的专业基 础课之一
3. 在从事工程设计与优化、模拟与分析的学位论文中，约 有90％以上的论文采用有限元方法作为分析工具，在 其中80％的论文中起到关键作用
基本原则—单元密度
二、结构单元离散
基本原则-- 单元载荷
二、结构单元离散
单元节点编号优化
三、单元插值函数
基本思想
有限单元法的基本思想是分块逼近。 所谓分块就是物体的离散化，所谓逼近就是在各个单元中选择合 适的近似函数去替代求解函数。这样，有限单元法中的总体区域的解， 可以看作由所有单元上的近似解构成。所以，对单元内部选择近似函 数是有限单元分析中十分重要的步骤之一。
数字化分析手段
有限元分析及软件
有限单元法背景
总体目标和理念
1. 确立该课程的教学理念，充分体现出有限元分析原理这一 知识主体
2. 构建起能够支撑学生在该领域进行终身学习的知识基础， 能够引导学生了解该领域不断更新的内容
3. 以培养学生在有限元建模和研究综合能力 4. 搭建进行该课程系统教学的基础设施 5. 实践教育教学理念
FEM基本思想； 杆系结构----节点平衡/组装法形成单元平衡方程； 整体矩阵集合、约束处理； 2D平面弹性力学问题FEM分析过程； 商业FEM软件基本使用。
▲非线性FEM
连续介质力学基础、空间与物质坐标； 几何非线性、物理非线性； 非线性方程线性化； 求解非线性方程的N-R、增量迭代、线性收索、 误差控制。
结点是网格线的诸汇交点，用结点连接相邻单元。在进 行剖分时，单元的形状、大小和数目等都必须仔细选择，以使 解的精度较高。
二、结构单元离散
常用基本单元
二、结构单元离散
常用基本单元
二、结构单元离散
力学模型与FEM模型
二、结构单元离散
FEM模型
二、结构单元离散
规格与非规格单元
结构规格网格离散 非规格网格离散
有限元分析中，近似函数几乎全部采用不同幂次 的多项式。这是因为多项式易于计算和易于满足收敛 性要求，增加插值多项式的项数，可以提高解的精度
三、单元插值函数
基本思想
加权余量方法和变分法通过对未知场函数进行试函数近似， 能把连续问题化为离散问题，但求解能力有限，一个主要障 碍就是试函数是在全场范围内定义的;
FEM 研究的3个层次
基本内容与架构
▲ 高级FEM
理论、技术
PDE 等效转化理论（Galerkin法、泛函/变分）； 单元位移模式、形函数； 等参元概念； 误差估计； 编程技术；（独立开发、二次开发、图形拓扑、数据库）； 非结构、多场耦合分析
长期学习、积累与实践
课堂学习，建立概念； 软件系统学习练习建模； 习题/练习加深概念理解； 独立编程熟悉FEM技术环节； 拜师学习特殊技巧、难点、方法； 网上资源了解最新进展。
基本思路
一、有限单元法基本步骤
基本思路
有限元方法的基本思想是将场函数的总体泛函或总体解域上 的弱形式积分看成是由于子域（单元）的泛函或弱形式积分所集 成。
建立起单元的插值函数，将场函数表示成单元节点的插 值形式；
利用数值积分计算出单元的泛函或弱形式积分； 通过单元集成形成以节点场函数值为未知量的代数方程
因为单元有4个自由度 (x) 0 1x 2x2 3x3
根据单元两端点的条件
x xi 0, i 0, i 1
x x j l, j 0 1l 2l2 3l3, j 1 22l 33l2
Φ(x) N1Φi N2Φi N3Φj N4Φj [N]{Φ(e)}