全国初中数学竞赛试题(含答案)汇编

2013年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨

++=⎩

，，则222

ab bc ca

a b c ++++的值为（ ）． （A ）1

2

-

（B ）0

（C ）

12

（D ）1

【答案】A

【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故

2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以2221

2

ab bc ca a b c ++=-

++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程2

0ax bx c ++=有两个非零实根

1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以

211x ，22

1

x 为两个实根的是（ ）． （A ）2

2

2

2

(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2

2

2

2

(2)0c x b ac x a --+= （C ）2

2

2

2

(2)0c x b ac x a +--= （D ）2

2

2

2

(2)0c x b ac x a ---=

【答案】B

【解答】由于2

0ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12b

x x a

+=-

，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 2212122222

2

1212()2112x x x x b ac

x x x x c +--+==，2

2

221211a x x c

⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以

211x ，22

1x 为两个实根的一元二次方程是22

2

220b ac a x x c c

--

+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=．

3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，

（第3题）

垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定是有理数的为（ ）．

（A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC

【答案】D

【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝

2

AD BD

+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DO

DE OC

=都是有

理数，而AC ＝

·AD AB 不一定是有理数．

4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．

（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8

【答案】C

【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．

连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ． 因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：

()()

3223

33

3345

1160

x y x y xy x y x y +++*=

+++-，

且()x y z x y z **=**，则2013201232**

**的值为（ ）．

（A ）

607

967

（B ）

1821

967 （C ）

5463

967

（D ）

16389

967

【答案】C

【解答】设201320124m **

*=，则

（第3题答题）

（第4题答题）

（第4题）

()20132012433m **

**=*323233392745

93316460

m m m m m m ⨯+⨯+⨯+=

=++++-， 于是()201320123292****=*32233339239292455463

10360967

⨯⨯+⨯⨯+⨯+=

=+-．

二、填空题 6．设3

3a =

，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．

【答案】9

【解答】由于2

123a a <<<<，故3

2

292b a =-=

-，因此333(2)(9)9b +==．

7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．

【答案】

204

13

【解答】如图，连接AF ，则有：

45

=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，

35

4

AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，

解得10813AEF S ∆=

，9613

AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是204

13

．

8．已知正整数a ，b ，c 满足2

220+--=a b c ，2

380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．

【答案】2013

【解答】由已知2

220+--=a b c ，2

380-+=a b c 消去c ，并整理得

()

2

28666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．

若1a =，则()2

859b -=，无正整数解；

（第7题答题）

（第7题）