历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)
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（A） （B） （C） (D)
2.已知二面角 为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为 ，Q到α的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为（）
(A) (B)2 (C) (D)4
3.直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等于。
4. 如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， , ，点M在侧棱 上， =60°
CG=
GE=
cos∠CGE=
解法二： （I）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.
设A（0,0,t），由已知条件有
C(1,0,0), D(1, ,0), E(-1, ,0),
所以 ，得AD⊥CE
（II）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，
即
因此可取n=
设平面PBC的法向量为m，则
可取m=（0，-1， ）
故二面角A-PB-C的余弦值为
（二）
1.正方体ABCD- 中，B 与平面AC 所成角的余弦值为
A B C D
2.已知圆O的半径为1，PA 、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么 的最小值为
(A) (B) (C) (D)
3.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
（一）
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如
右图所示，则相应的俯视图可以为
2.已知矩形 的顶点都在半径为4的球 的球面上，且 ,则棱锥 的体积为。
3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
（一）
1.D2.
3.解：（Ⅰ）因为 ，由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BD AD
又PD 底面ABCD，可得BD PD
所以BD 平面PAD.故PA BD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为 轴的正半轴建立空间直角坐标系D- ，则
， ， ， 。
设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则
设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为 .
解法一：（I）作 ∥ 交 于点E，则 ∥ ， 平面SAD
连接AE，则四边形ABME为直角梯形
作 ，垂足为F，则AFME为矩形
设 ，则 ，
由
解得
即 ，从而
所以 为侧棱 的中点
（Ⅱ） ，又 ,所以 为等边三角形，
又由（Ⅰ）知M为SC中点
由此知 即 为直角三角形，故 .
又 ,
所以， .
作 ，
故 与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直
DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB
所以，SE=2EB
(Ⅱ)由 知
.
故 为等腰三角形.
取 中点F,连接 ,则 .
连接 ，则 .
所 以， 是二面角 的平面角.
连接AG,A G= wk.baidu.com ,
,
所以，二面角 的大小为120°.
由 ,得
，
故 .
令 ，则 .
由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,
故SE=2EB
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，取DE的中点F，则 ，
故 ，由此得
又 ，故 ，由此得 ，
向量 与 的夹角等于二面角 的平面角
于是
所以，二面角 的大小为
（三）
1.已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（）
解法二：
以D为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 ，
设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
（Ⅰ）
设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)
由 ，得
故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)
又设 ，则
设平面CDE的法向量m=(x,y,z)
（I）证明：M在侧棱 的中点
（II）求二面角 的余弦值。
（三）
1.解：设 的中点为D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D
2.解:如图分别作
，连
，
又
当且仅当 ，即 重合时取最小值。故答案选C。
3.解:在 中 , ,可得 ,由正弦定理,可得 外接圆半径r=2
作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE
故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°
由CE= ，得CF=
又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形
作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。
由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，
故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。
（四）
1．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（）
A． B． C． D．
2．等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于．
3．（本小题满分12分）四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 底面 ， ， ， ．
(A) (B) (C) (D)
4. 如图，四棱锥S-ABCD中，SD 底面ABCD，AB//DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC 平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.
（二）
1. D2. D3. B
4.解法一：
(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）设 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
（四）
1.B2.答案： .
3．解：(I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点，
由 知，Rt△OCD∽Rt△CDE，
从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，
由三垂线定理知，AD⊥CE
（II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE 侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧面ABC。
，故
取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则 ,由此知 为二面角 的平面角
连接 ，在 中，
所以
解法二:以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设 ，则
（Ⅰ）设 ,则
又
故
即
解得 ，即
所以M为侧棱SC的中点
（II）由 ，得AM的中点
又
所以
因此 等于二面角 的平面角
设F（x,0,z）则 =(x-1,0,z),
2.已知二面角 为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为 ，Q到α的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为（）
(A) (B)2 (C) (D)4
3.直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等于。
4. 如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， , ，点M在侧棱 上， =60°
CG=
GE=
cos∠CGE=
解法二： （I）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.
设A（0,0,t），由已知条件有
C(1,0,0), D(1, ,0), E(-1, ,0),
所以 ，得AD⊥CE
（II）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，
即
因此可取n=
设平面PBC的法向量为m，则
可取m=（0，-1， ）
故二面角A-PB-C的余弦值为
（二）
1.正方体ABCD- 中，B 与平面AC 所成角的余弦值为
A B C D
2.已知圆O的半径为1，PA 、PB为该圆的两条切线，A、B为俩切点，那么 的最小值为
(A) (B) (C) (D)
3.已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
（一）
1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如
右图所示，则相应的俯视图可以为
2.已知矩形 的顶点都在半径为4的球 的球面上，且 ,则棱锥 的体积为。
3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
（一）
1.D2.
3.解：（Ⅰ）因为 ，由余弦定理得
从而BD2+AD2= AB2，故BD AD
又PD 底面ABCD，可得BD PD
所以BD 平面PAD.故PA BD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为 轴的正半轴建立空间直角坐标系D- ，则
， ， ， 。
设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则
设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为 .
解法一：（I）作 ∥ 交 于点E，则 ∥ ， 平面SAD
连接AE，则四边形ABME为直角梯形
作 ，垂足为F，则AFME为矩形
设 ，则 ，
由
解得
即 ，从而
所以 为侧棱 的中点
（Ⅱ） ，又 ,所以 为等边三角形，
又由（Ⅰ）知M为SC中点
由此知 即 为直角三角形，故 .
又 ,
所以， .
作 ，
故 与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直
DE⊥平面SBC，DE⊥EC,DE⊥SB
所以，SE=2EB
(Ⅱ)由 知
.
故 为等腰三角形.
取 中点F,连接 ,则 .
连接 ，则 .
所 以， 是二面角 的平面角.
连接AG,A G= wk.baidu.com ,
,
所以，二面角 的大小为120°.
由 ,得
，
故 .
令 ，则 .
由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,
故SE=2EB
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，取DE的中点F，则 ，
故 ，由此得
又 ，故 ，由此得 ，
向量 与 的夹角等于二面角 的平面角
于是
所以，二面角 的大小为
（三）
1.已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（）
解法二：
以D为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 ，
设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
（Ⅰ）
设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)
由 ，得
故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)
又设 ，则
设平面CDE的法向量m=(x,y,z)
（I）证明：M在侧棱 的中点
（II）求二面角 的余弦值。
（三）
1.解：设 的中点为D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D
2.解:如图分别作
，连
，
又
当且仅当 ，即 重合时取最小值。故答案选C。
3.解:在 中 , ,可得 ,由正弦定理,可得 外接圆半径r=2
作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE
故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°
由CE= ，得CF=
又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形
作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。
由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，
故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。
（四）
1．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（）
A． B． C． D．
2．等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于．
3．（本小题满分12分）四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 底面 ， ， ， ．
(A) (B) (C) (D)
4. 如图，四棱锥S-ABCD中，SD 底面ABCD，AB//DC，AD DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC 平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.
（二）
1. D2. D3. B
4.解法一：
(Ⅰ)连接BD,取DC的中点G，连接BG,
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）设 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值．
（四）
1.B2.答案： .
3．解：(I)作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点，
由 知，Rt△OCD∽Rt△CDE，
从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，
由三垂线定理知，AD⊥CE
（II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE 侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧面ABC。
，故
取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则 ,由此知 为二面角 的平面角
连接 ，在 中，
所以
解法二:以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设 ，则
（Ⅰ）设 ,则
又
故
即
解得 ，即
所以M为侧棱SC的中点
（II）由 ，得AM的中点
又
所以
因此 等于二面角 的平面角
设F（x,0,z）则 =(x-1,0,z),