《课题学习 最短路径问题》教案、导学案、同步练习

《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计
一、教材分析
1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。

这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。

初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。

2、目标和目标解析：
（1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.
（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.
3、教学重、难点
教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.
二、教学准备：多媒体课件、导学案
三、教学过程
二、自主探究合作交流建构新知
追问1：观察思考，抽象为数学问题
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
活动1：思考画图、得出数学问题
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
活动2：尝试解决数学问题
问题2 ：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
问题3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？
师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充
如果学生有困难，教师可作如下提示
方法提炼：
将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
问题4
练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”．问题5 造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
4、把桥平移到和B相连.
教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.
1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. 理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞
AM+MN+BN 如图所示：
A
B
三、巩固训练
（一）基础训练：1、最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l 的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．
2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
(1)若要使厂部到
(2)若要使厂部到
（三）综合训练：茅坪民族中学八
图a 图b 四、反思小结布置作业
《13.4 课题学习最短路径问题》导学案
学习目标：
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题
难点：利用轴对称解决简单的最短路径问题
一、知识链接
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
（1）三角形的三边关系：___________________________________；
(2)直角三角形中边的关系：______________________________ .
4.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
一、要点探究
探究点1：牧人饮马问题
实际问题:如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河
边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，
可使所走的路径最短？
数学问题:如图，点A、B在直线l的同一侧，在直线l上
求作一点C,使AC+BC最短.
想一想：
1.现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
2.如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
要点归纳：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求．如图所示.
你能用所学的知识证明你所作的点C使AC +BC最短吗？
证明：
要点归纳:在解决牧人饮马问题时，通常利用轴对称，把未知问题转化为已解决的问题，从而做出最短路径的选择.
典例精析
例1：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的
中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）
A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
例2：如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一
条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后
作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
探究点2：造桥选址问题
实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与
河垂直）？
数学问题：如图，假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
想一想：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
画一画：
（1）把A平移到岸边. （2）把B平移到岸边.
（3）把桥平移到和A 相连. （4）把桥平移到和B 相连.
比一比：（1）（2）（3）（4）中，哪种作法使得AM+MN+BN 最短？
要点归纳：如图，平移A 到A 1，使AA 1等于河宽，连接A 1B 交河岸于N 作桥
MN ，此时路径AM+MN+BN 最短.
证明：另任作桥M 1N 1，连接AM 1，BN 1，A 1N 1.
1.如图，直线l 是一条河，P 、Q 是两个村庄.欲在l 上的某处修建一个水泵站，向P 、Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的
是（ ）
2.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
想一想：
如何说明此时AM+MN+BN 最短
呢？
3.
如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供
水．
(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?
(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点
第1题图第2题图第3题图
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（）
A．10 B．15 C．20
D．30
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的
距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距
离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走
的最短距离是_____ 米.
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
拓展提升
6.（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．
《13.4 课题学习最短路径问题》导学案
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.
2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.
重点：作轴对称图形
难点：用轴对称知识解决相应的数学问题
学习过程：
一、复习旧知
1、动一动：如图，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形。

二、预习新课
2、[探究1]
如图（1）．要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在L上找几个点试一试，能发现什么规律吗？
[探究2]
为什么在点C的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？
过程：将实际问题转化为数学问题，
该问题就是证明．
已知：
求作：
证明过程：
三、随堂练习
1、任画一条直线L及直线L同旁两点M、N，画出从点M出发经过直线L上的某一点后，再到达N点的最短路
线。

.N .M
2、已知：两点A、B位于直线L的两侧，在直线L上求作一点C，使得AC-BC 最大。

A .
.B
四、课时小结
五、巩固提升
1、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

2、为保证2008北京奥运会顺利进行，奥组委在公路L的同侧修建你A，B两个日用品供应站，要在过路边建一个转运站C，使A,B两站到转运站C的距离之和最短，问这个转运站应建在公路的哪个位置上比较合理？
A .
B .
《13.4 课题学习最短路径问题》导学案
一、学习目标
①能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
②体会图形的变化在解决最值问题中的作用；
③能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想
二、预习内容
自学课本85页，完成下列问题：
追问1：观察思考，抽象为数学问题
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
活动1：思考画图、得出数学问题
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地
到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
三、探究学习
1、活动2：尝试解决数学问题
问题2 ：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问1 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充
如果学生有困难，教师可作如下提示
作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C，则点C 即为所求
四、巩固测评
（一）基础训练：1、最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点．
2.如图，A 和B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ.桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
（二）变式训练：.如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．
(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？
茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO )，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
图a 图b
五、学习心得 。

《13.4 课题学习 最短路径问题》同步练习
基础巩固
1．有两棵树位置如图，树脚分别为A ，B .地上有一只昆虫沿A —B 的路径在地面上爬行．小树顶D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小鸟飞至AB 之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB 内的P 点，乙站在OA 上，丙站在OB 上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、
最后丙到甲这一轮所用的时间（三）综合训练：
最少？
3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR 的周长最小．
4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?
能力提升
5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m.
(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最
短？在图中作出该处，并说明理由；
(2)最短路程是多少？
参考答案
1．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E 就是所求的点．
2．解：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2；
(2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N.
因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少．
3．解：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′；
(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．
4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP 于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.
5．解：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．
6．解：(1)作法：如图作点A关于CD的对称点A′；
连接A′B交CD于点M.则点M即为所求的点．
证明：在CD上任取一点M′，连接AM′，A′M′，BM′，AM，
因为直线CD是A，A′的对称轴，M，M′在CD上，
所以AM＝A′M，AM′＝A′M′，所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B，
在△A′M′B中，因为A′M′＋BM′＞A′B，
所以AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即AM＋BM最小．
(2)由(1)可得AM＝A′M，A′C＝AC＝BD，所以△A′CM≌△BDM，
即A′M＝BM，CM＝DM，所以M为CD的中点，且A′B＝2AM，
因为AM＝500 m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程为1000 m.。