esprit算法研究解析

课程设计报告

实验名称：ESPRIT算法研究

实验日期：

姓名：

学号：

哈尔滨工业大学（威海）

一、设计任务

实现空间谱估计算法，并考察算法性能。

二、方案设计

1）由均匀线阵形式，确定阵列的导向矢量；

2）由阵列导向矢量，对接收信号进行建模仿真；

3）由ESPRIT算法实现信号DOA估计；

4）考察算法性能与信噪比，采样率，观测时间等参数的关系。

三、设计原理

3.1空间谱估计数学模型

空间谱估计就是利用空间阵列实现空间信号的参数估计的一项专门技术。整个空间谱估计系统应该由三部分组成：空间信号入射、空间阵列接收及参数估计。相应地可分为三个空间，即目标空间、观察空间及估计空间，也就是说空间谱估计系统由这三个空间组成，其框图见图1。

图1 空间谱估计的系统结构

对于上述的系统结构，作以下几点说明。

(1)目标空间是一个由信号源的参数与复杂环境参数张成的空间。对于空间谱估计系统，就是利用特定的一些方法从这个复杂的目标空间中估计出信号的未知参数。

(2)观察空间是利用空间按一定方式排列的阵元，来接收目标空间的辐射信号。由于环境的复杂性，所以接收数据中包括信号特征(方位、距离、极化等)和空间环境特征(噪声、杂波、干扰等)。另外由于空间阵元的影响，接收数据中同样也含有空间阵列的某些特征(互耦、通道不一致、频带不一致等)。这里的观察空间是一个多维空间，即系统的接收数据是由多个通道组成，而传统的时域处理方法通常只有一个通道。特别需要指出的是：通道与阵元并不是一一对应，通道是由空间的一个、几个或所有阵元合成的(可用加权或不加权)，当然空间某个特定的阵元可包含在不同的通道内。

(3)估计空间是利用空间谱估计技术(包括阵列信号处理中的一些技术，如阵列校正、空域滤波等技术)从复杂的观察数据中提取信号的特征参数。

从系统框图中可以清晰的看出，估计空间相当于是对目标空间的一个重构过程，这个重构的精度由众多因素决定，如环境的复杂性、空间阵元间的互耦、通道不一致、频带不一

致等。

3.2 阵列信号处理

首先，考虑N 个远场的窄带信号入射到空间某阵列上，阵列天线由M 个阵元组成，这里假设阵元数等于通道数，即各阵元接收到信号后经过各自的传输信道送到处理器，也就是说处理器接收来自M 个通道的数据。

))((0)()(t t j i i e t u t s ϕω+=

))()((0)()(τϕτωττ++++=+t t j i i e t u t s (3.2-1) 式中，)(t u i 是接受信号的幅度，)(t ϕ是接收信号的相位，0ω是接收信号的频率。在窄带远场信号源的假设下，有

⎩⎨⎧≈+≈+)

()()()(t t t u t u i i ϕτϕτ (3.2-2) 根据式(3.2-1)和式(3.2-2)，显然有下式成立：

τωτ0)()(j i i e t s t s ≈+ (3.2-3)

则可以得到第L 个阵元接收信号为

∑=++=N

i l li i li l t n t s g t x 1)()()(τ M l ,,2,1 = (3.2-4)

式中，li g 为第L 个阵元对第i 个信号的增益，)(t n l 表示第L 个阵元在t 时刻的噪声，li τ表示第i 个信号到达第L 个阵元时相对参考阵元的时延。

将M 个阵元在特定时刻接收的信号排列成一个列矢量，可得

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()()()()()()(21212122221112112102010202202101012011

0t n t n t n t s t s t s e g e g e g e g e g e g e g e g e g t x t x t x M N j MN j M j M j N j j j N j j M M N M M N N

τωτωτωτωτωτωτωτωτω(3.2-5) 在理想情况下，假设阵列中各阵元是各向同性的且不存在通道不一致、互耦等因素的影响，则式(3.2-4)中的增益li g 可以省略(即归一化1)，在此假设下式(3.2-5)可以简化为

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()()()()()()(21212102010202202101012011

0t n t n t n t s t s t s e e e e e e

e e e t x t x t x M N j j j j j j j j j M M N M M N N τωτωτωτωτωτωτωτωτω (3.2-6) 将式(3.2-6)写成矢量形式如下：

)()()(t n t s A t x += (3.2-7)

式中，)(t x 为阵列的1⨯M 维快拍数据矢量，)(t n

为阵列的1⨯M 维噪声数据矢量，

)(t s 为空间信号的1⨯N 维矢量，A 为空间阵列的N M ⨯维流型矩阵(导向矢量阵)，且

[])()()(00201ωωωN a a a A = (3.2-8)

其中导向矢量

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=)exp()exp()exp()(020100Mi i i i j j j a τωτωτωω N i ,,2,1 = (3.2-9) 式中λππωc f 220==，c 为光速，λ为波长。

由上述的知识可知，一旦知道阵元间的延迟表达式τ，就很容易得出待定空间阵列的导向矢量或阵列流型。下面推导一下空间阵元间的延迟表达式。假设空间任意两个阵元，其中一个为参考阵元(位于原点)，另一个阵元的坐标为(x ,y, z)，两阵元的几何关系见图，图中“×”表示阵元。

图2 空间任意两阵元的几何关系

由几何关系可以推导出两阵元的波程差为

)sin cos sin cos cos (1ϕϕθϕθτz y x c

++= (3.2-10)

这里的波程差其实就是位于x 轴上两阵元间的延迟、位于y 轴上两阵元间的延迟和位于z 轴上两阵元间的延迟之和。

根据式(3.2-10)的结论，下面给出实际环境中常用的几种阵列及阵元间的相互延迟表达式。

(1)平面阵 设阵元的位置为),,2,1)(,(M k y x k k =，以原点为参考点，另假设信号入射参数为),,2,1)(,(N i i i =ϕθ，分别表示方位角与俯仰角，其中方位角表示与x 轴的夹角。

(2)线阵设 阵元的位置为),,2,1(M k x k =，以原点为参考点，另假设信号入射参