变化率问题课件
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5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
4.8
.
计算运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度，发现了什么？ 49
用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 显然，在这段时间内， 49
运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态.
1.瞬时速度的概念：
1.999999
x 0
x
k Δx 2
0.01
2.01
0.001
2.001
0.0001
2.0001
0.00001
2.00001
0.000001
2.000001
……
……
当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边
无限趋近于 1 时，割线 P0 P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
给出 t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 v 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，
即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 都无限
趋近于 5 .
由
v
h(1 Δt) h(1) (1 Δt) 1
4.9Δt
5
发现，当
t
无限趋近于
0
时，
4.9Δt
也无限趋近于
0，
所以 v 无限趋近于 5 ，这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把
5
叫做“当
t
无限趋近于
0
时，
v
h(1
Δt) Δt
h(1)
的极限”，记为
h(1 Δt) h(1)
lim
5 .
课件1：5.1.1 变化率问题
∴ΔΔyx＝－ΔΔxx＋＋242，
∴k＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
－ΔxΔ＋x－242＝－44＝－1.
又 x＝2 时 y＝242＝1，
∴切线方程为 y－1＝－1×(x－2)，即 x＋y－3＝0.
【课堂小结】
1．函数 y＝f (x)在 x＝x0 处的切线斜率反映了函数在该点处的
瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：
【学以致用】
1．一物体的运动方程是 s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间
内的平均速度是( )
A．0.4
B．2
C．0.3
D．0.2
B [ v ＝s22.1.1－－s22＝4.02－.1 4＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v
＝lim Δt→0
率及瞬时速度的概念．(易混点) 及数学运算的核心素养.
1．平均变化率
【新知初探】
对于函数 y＝f (x)，从 x1 到 x2 的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝__x_2－__x_1_. (2)函数值的改变量：Δy＝__f_(_x_2_)－__f_(_x_1)__．
(3)平均变化率ΔΔyx＝
【例 2】 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关
系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
5.1.1 变化率问题
学习目标
核心素养
3.1.1变化率问题课件人教新课标2
r(1)－r(0)≈ 0.62 (dm)
气球的平均膨胀率为：
r 1 r 0 0.62dm / L
1 0
类似地：
当空气容量V从1加2L时，半径增加了
r(2)－r(1) ≈ 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为：
r 2 r 1 0.16dm / L
2 1
可以看出： 随着气球体积逐渐变大，它的
平均膨胀率逐渐变小.
问题1：气球膨胀率
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球 的过程.
发现：
随着气球内空气容量的增加，气球的 半径增加的越来越慢.
从数学的角度，如何描述这种现象呢？
气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之 间的函数关系是：
V (r) 4 r3 r(V ) 3 3V
3
4
当空气容量V从0增加1L时，半径增加了
平均变化率的几何意义就是两点间的斜率.
x2 x1
习惯上：用 x表示x2 -x1，即：x x2 x1
注意：x是一个整体符号，而不是 与x相乘。
可把x看作是相对于x1的一个增量， 可用x1 x代替x2;
“增量”：x x2 x1
令“增量” x x2 x1
f f x2 f x1
f f x2 f x1 f x1 x f x1
(1)运动员在这段时间里是静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态 有什么问题吗？
平均速度不能反应他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态.
探究活动
气球的平均膨胀率是一个特殊的情况， 我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得 出函数的平均变化率
r(V2 ) r(V1) f (x2 ) f (x1)
思 考 ？
当空气容量从V1增加到V2时，气球 的平均膨胀率是多少？
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1 变化率问题 【同步教学课件】
(1)分别求 s(t)在区间0，π4和π4，π2上的平均速度；
解
物体在区间0，π4上的平均速度为v－1＝s（t2）t2－－st1（t1）＝sπ4－π4－s（0 0）＝
22－0 π 4
＝2
2 π.
物体在区间π4，π2上的平均速度为
v－2＝sπ2π2－ －πs4π4＝1－π4
2 2 ＝4－π2
2 .
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解 由(1)可知v－1－v－2＝4 2π－4>0，所以v－2<v－1.作出函数 s(t)＝sin t 在0，π2上的图 象，如图所示，可以发现，s(t)＝sin t 在0，π2上随着 t 的增大，函数值 s(t)变化 得越来越慢.
∴
lim
t 0
ΔΔst＝4a＝8，即
a＝2.
题型三 求曲线在某点处切线的斜率或方程
【例3】 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程. 解 由f（1＋ΔxΔ）x－f（1）
＝（1＋Δx）2－2（Δx1＋Δx）＋3－2＝Δx，
可得切线的斜率为k＝
lim
x0
Δx＝0.
所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
1.明确 3 个知识点
课堂小结
平均速度、瞬时速度、曲线切线的斜率.
2.掌握 1 个公式
k＝
lim
x0
ΔΔyx＝
lim
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝
lim
x x0
f（x）x－－xf（0 x0）.
3.注意瞬时速度与平均速度的区别与联系
区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体
变化率问题资料课件
详细描述
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
变化率问题 课件
解析：(1)∵Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝15， ∴该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度 v 1＝ΔΔst＝5(m/s)． (2)∵Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝7， ∴该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度 v 2＝ΔΔst＝7(m/s)． (3)∵Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝(2t0＋2)·Δt＋(Δt)2， ∴该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度 v ＝ΔΔst ＝2t0＋2＋ Δt.
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
(4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
点评：求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
考点二 求平均速度 例2 已知某物体的运动方程为s＝t2＋2t(s的单位：m，t的单位： s)．求： (1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度； (2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度； (3)该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度．
π 2
附近的平均变化率．
解析：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 fxx0＋ 0＋ΔΔxx－ －fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
高中数学选修2(人教A版)课件5.1.1变化率问题
为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：ΔΔst＝33＋ΔtΔ2t－3×32＝18＋3Δt，
s′＝li m Δt→0
ΔΔst ＝lΔit→m0
(18＋3Δt)＝18，故选 B.
答案：B
4．抛物线 f(x)＝x2 在点(－1,1)处切线的斜率为________．
解析：切线斜率为 k＝lim Δx→0
解析：－v ＝ΔΔst＝S22－－0S0＝3×2－222－0＝1 (m/s)． 答案：1 m/s
题型二 求瞬时速度——师生共研 例 2 如果某物体的运动路程 s 与时间 t 满足函数 s＝2(1＋t2)(s 的单位为 m，t 的单位为 s)，求此物体在 1.2 s 末的瞬时速度．
解析：Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt＋2(Δt)2，li m Δt→0
(2)取一时间段[2,2＋Δt]，所以 Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)
＝－Δt－(Δt)2，
ΔΔst ＝－Δt－Δt Δt2＝－1－Δt，
li m Δt→0
ΔΔst ＝liΔmt→0
(－1－Δt)＝－1，
所以当 t＝2 时，物体的瞬时速度为－1.
2．质点运动规律 s(t)＝t2＋3，则从 3 到 3.3 内，质点运动的平 均速度为( )
A．6.3 B．36.3 C．3.3 D．9.3
解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89 ∴－v ＝s33.3.3－ －s33＝10.8.39＝6.3，故选 A. 答案：A
3．如果质点 M 按照规律 s＝3t2 运动，则在 t＝3 时的瞬时速度
5.1.1 变化率问题
《变化率问题》课件
生物种群动态
研究生物种群数量随时间的变化情况，如繁殖率和死亡率的变化 率。
PART 05
变化率问题的挑战与展望
REPORTING
当前面临的主要挑战
数据获取难度大
变化率问题往往涉及到大量的数据，但由于数据源分散、数据格式不 统一等问题，导致数据获取难度较大。
模型选择与优化困难
变化率问题的建模需要选择合适的模型，并进行优化。然而，由于问 题的复杂性，如何选择和优化模型是一个挑战。
流体动力学
研究流体（如空气和水）在运动状态下的压力、速度和阻力等变化 率问题。
热传导
在能源、化工和建筑等领域，涉及热量传递和温度变化的速率。
自然科学领域的变化率问题
物理定律
如牛顿第二定律、动量守恒定律等，描述物体运动状态随时间的 变化率。
化学反应速率
研究化学反应的快慢，以及反应过程中物质浓度的变化率。
问题。
导数应用
导数是微积分中的基本概念，表 示函数在某一点的变化率。通过 求导，我们可以找到函数的最值
、拐点等关念， 它可以帮助我们计算面积、体积 等。在变化率问题中，积分可以 用来求解累积效应和长期趋势。
数值分析方法
定义与概念
数值分析是研究数值计算的数学分支，通过近似计算来求解数学问 题。
气候敏感性、碳排放量、温室气体浓 度等。
THANKS
感谢观看
REPORTING
变化率问题的历史与发展
早期研究
古希腊数学家阿基米德等人对变 化率问题进行了初步探讨。
近代发展
牛顿、莱布尼茨等科学家在微积分 学中系统地研究了变化率问题，奠 定了现代数学和物理学的基础。
现代应用
随着科学技术的发展，变化率问题 的应用领域不断扩大，如人工智能 、大数据分析、复杂系统模拟等。
研究生物种群数量随时间的变化情况，如繁殖率和死亡率的变化 率。
PART 05
变化率问题的挑战与展望
REPORTING
当前面临的主要挑战
数据获取难度大
变化率问题往往涉及到大量的数据，但由于数据源分散、数据格式不 统一等问题，导致数据获取难度较大。
模型选择与优化困难
变化率问题的建模需要选择合适的模型，并进行优化。然而，由于问 题的复杂性，如何选择和优化模型是一个挑战。
流体动力学
研究流体（如空气和水）在运动状态下的压力、速度和阻力等变化 率问题。
热传导
在能源、化工和建筑等领域，涉及热量传递和温度变化的速率。
自然科学领域的变化率问题
物理定律
如牛顿第二定律、动量守恒定律等，描述物体运动状态随时间的 变化率。
化学反应速率
研究化学反应的快慢，以及反应过程中物质浓度的变化率。
问题。
导数应用
导数是微积分中的基本概念，表 示函数在某一点的变化率。通过 求导，我们可以找到函数的最值
、拐点等关念， 它可以帮助我们计算面积、体积 等。在变化率问题中，积分可以 用来求解累积效应和长期趋势。
数值分析方法
定义与概念
数值分析是研究数值计算的数学分支，通过近似计算来求解数学问 题。
气候敏感性、碳排放量、温室气体浓 度等。
THANKS
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REPORTING
变化率问题的历史与发展
早期研究
古希腊数学家阿基米德等人对变 化率问题进行了初步探讨。
近代发展
牛顿、莱布尼茨等科学家在微积分 学中系统地研究了变化率问题，奠 定了现代数学和物理学的基础。
现代应用
随着科学技术的发展，变化率问题 的应用领域不断扩大，如人工智能 、大数据分析、复杂系统模拟等。
变化率问题PPT优秀课件
并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1) 表示 x2 x1
h(t)4.9t26.5t10 v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变？变 量的变化情
如果将半径r表示为体积V的函数, 况？
那么 r (V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r (V ) 3 3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
变化率问题通用课件
变化率问题解析方法
导数与微分解析法
总结词 详细描述
差分解析法
总结词 详细描述
近似解析法
总结词
近似解析法是通过建立近似函数来研究变化率问题的方法。
详细描述
当函数过于复杂或难以直接求解时，可以采用近似解析法，通过近似函数的性质和结论来研究原函数的变化率问 题。常用的近似解析法包括泰勒级数展开、幂级数展开等。
数值解析法
总结词
详细描述
变化率问题应用实例
经济领域应用
总结词
经济领域中变化率问题应用广泛，涉及 经济增长、通货膨胀、利率变化等方面。
VS
详细描述
在经济学中，变化率问题广泛应用于分析 经济增长、通货膨胀、利率变化等现象。 例如，研究国内生产总值的变化率可以了 解经济增速；分析通货膨胀率的变化有助 于制定货币政策和财政政策；研究利率变 化率则对投资和储蓄决策具有指导意义。
MATLAB具有友好的用户界面和图形化编程方式，使得用户可以更加便捷地进行数值计算和数据处理。
Python软件介绍
Python是一种解释型、高级编程语言，具有简单易学、语法简洁、可读 性强等特点。
Python拥有丰富的第三方库和框架，如NumPy、Pandas、SciPy等，可 以进行科学计算、数据分析、机器学习等多种任务。
工程领域应用
总结词
详细描述
生物领域应用
总结词 详细描述
物理领域应用
总结词
详细描述
变化率问题求解软件介绍
MATLAB软件介绍
MATLAB是一款由MathWorks公司开发的商业数学软件，广泛应用于算法开发、数据可视化、数据分 析以及数值计算等领域。
MATLAB提供了丰富的函数库和工具箱，支持多种编程语言和脚本语言，方便用户进行算法设计和数据 分析。
变化率问题 课件
rV 3
3V
4
.（气2）球当的空平气均容膨积胀率V从1L增加到2L时
（1）当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径显增然加了
r1 r0 0.62cm,
气球的平均膨胀率为
r
1
1
r0
0
0.62>0.16
0.62dm / L.
（2）类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径
增加了r2 r1 0.16dm,
问题4：用怎样的数学模型刻画函数 值变化的快慢程度？
比值称为函数在某一区间上的平均变化率
思考1：你能给出函数 f (x) 从x1到x2的平均变
化率的定义吗？
函数 f (x) 从x1到x2的平均变化率为
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
❖ 习惯上：Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
运动员的运动状态有什 h 么问题吗？
h( 65) h(0)
v 49 65 0 49
0(s / m)
O
t 65 98
65 49
t
练一练
一运动质点的位移S与时间t满足S(t)=t2,分别计算S(t)
在下列区间上的平均变化率.(位移单位为m,时间单位为s)
（1）[1, 3];
4
（2）[1, 2];
这4年我国人均GDP“猛增”？ 比值反映了在某一时间段内我国人均GDP变化的
快慢程度？
某小区近十年来的房价变化如下图所示
y y元/m2
11000
((1132,,1111000000))
情境2 8000
5500
(121,8000) (101,5500)
2400 (1,2400)
变化率问题 课件
【解题探究】1.函数平均变化率计算式子中，Δx,Δy分别表 示什么？ 2.求函数平均变化率的关键是什么？ 探究提示： 1.Δx是自变量的改变量，即Δx=x2-x1.Δy是函数值的改变 量，即Δy=f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1). 2.关键是求函数值的改变量与自变量的改变量之比, 即 y.
x0
2x
x0
2x
均为函数f(x)在x=a处的导数的表达式.
【类题试解】(2013·杭州高二检测)已知函数y=f(x)在区间
(a,b)内可导，且x0∈(a,b)，则 lim f (x0 h) f (x0 h)
h0
h
的值为( )
A.f′(x0) C.-2f′(x0)
B.2f′(x0) D.0
【解析】选B.方法一：由题意，得
2
2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明 它的意义(重力加速度为9.8 m/s2).
【解题探究】1.运动物体的平均速度与瞬时速度有什么关系? 2.题2中“下落3秒时的速度”的含义是什么？ 探究提示： 1.运动物体在某一时刻的瞬时速度是这一时刻平均速度的极 限. 2.其含义是求此小球在下落3秒时的瞬时速度.
变化率问题 导数的概念
一、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率
1.定义式: y = f (x2 ) f (x1) .
x
x2 x1
2.实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
3.意义:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
思考:(1)函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的大小与曲 线y=f(x)在区间[x1,x2]上的“陡峭”程度有什么关系? 提示:平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越 “陡峭”,否则相反. (2)平均变化率可以是零吗?举例说明. 提示:可以为零,如常数函数f(x)=a(a为常数).
5.1.1 变化率问题课件ppt
无限趋近于常数 v,即 t0 时刻
Δ
的瞬时速度.
探究二
求解曲线在某点处的割线、切线斜率
例3设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为(
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
分析利用定义及立方和公式化简求解.
解析 由题意知,斜率
f(1+x)-f(1)
k= lim
=
x
Δ→0
x→0
1
= lim (1+Δx+3Δx2)=1.
Δ→0
答案 B
1
1
(1+Δ)3 -2-( ×1-2)
3
3
Δ
方法点睛涉及解析式中含xα(α∈N且α≥2)的函数图象在某点处的切线斜
率问题的常见的公式
n 0
近于切线 P0T 的斜率 k0,即
Pn 沿着曲线无限接近点 P0 时,kn 无限趋
f(x 0 +x)-f(x 0 )
k0=
(Δx=xn-x0).
x
x→0
微练习
x
过曲线 f(x)=1-x 上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当
x
割线的斜率为
;曲线 f(x)= 在点(2,-2)处的切线斜率为
1-x
2
答案
1
3
解析 割线的斜率
f(2+x)-f(2)
x
x→0
f(2+x)-f(2)
Δ
的瞬时速度.
探究二
求解曲线在某点处的割线、切线斜率
例3设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为(
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
分析利用定义及立方和公式化简求解.
解析 由题意知,斜率
f(1+x)-f(1)
k= lim
=
x
Δ→0
x→0
1
= lim (1+Δx+3Δx2)=1.
Δ→0
答案 B
1
1
(1+Δ)3 -2-( ×1-2)
3
3
Δ
方法点睛涉及解析式中含xα(α∈N且α≥2)的函数图象在某点处的切线斜
率问题的常见的公式
n 0
近于切线 P0T 的斜率 k0,即
Pn 沿着曲线无限接近点 P0 时,kn 无限趋
f(x 0 +x)-f(x 0 )
k0=
(Δx=xn-x0).
x
x→0
微练习
x
过曲线 f(x)=1-x 上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当
x
割线的斜率为
;曲线 f(x)= 在点(2,-2)处的切线斜率为
1-x
2
答案
1
3
解析 割线的斜率
f(2+x)-f(2)
x
x→0
f(2+x)-f(2)
人教A版高中数学选修2-2课件变化率问题.pptx
观察：某城市3月18日——4月20日的温度T（ ℃）相对于
时间t（天）的变化情况，用曲线图表示为：
T (℃)
C (34, 33.4)
30
思考
2（0 注： 3月18日
为第一天）
10 A (1, 3.5)
2
02
10
B (32, 18.6)
20
30 34t(天)
你能从图中观察出各时间段的温度变化情况吗？ 温度快慢的变化情况怎么刻画？
h
65 计算运动员在0 t 这段时间
49
里的平均速度, 并思考下面的问题o :
t
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2你认为用平均速 度描述 运动员运动
状态有什么问题吗?
四．课堂小结
三个实际变 化率问题
函数的平均变化率
代数表示
意义（实际、
几何）
思想方法
从特殊到一般
平均速度
瞬时速度
如何求瞬时速度， 课下你怎么去做？
空白演示
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引言
我们这一章研究的内容是导数及其应用， 导数研究的问题就是变化率问题， 即研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢情况．
在我们的日常生活中丰富多彩的变化 率问题是随处可见的，我们就从现实中的 三个问题出发, 开始变化率与导数学习!
1.1.1 变化率问题
问题一 温度变化率问题
相对于水面的高度h与起跳后的时间t
存在的函数关系：
h(t) 4.9t2 6.5t 10
实践操作
h(t) 4.9t2 6.5t 10
计算
在0 t 0.5这段时间里, v h 0.5 h 0 4.05m / s
0.5 0
在1 t 2这段时间里,
5.1.1变化率问题课件(人教版)
2 1
h(t ) h(t1 )
在t1 t t 2这段时间里, v 2
4.9(t1 t 2 ) 4.8(m / s )
t 2 t1
48
思考3：计算运动员在0≤t≤ 秒内的平均速度？你发现了什么？
49
48
运动员在这段时间里并
h
(
)
h
(
0
)
48
在0 t 49
这段时间里, v 4948
选修第二册
《第五章 一元函数的导数及其应用》
5.1 导数的概念及其意义
本章介绍
为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数；
在对函数的深入研究中，数学家创建了微积分(微分学和积分学)。
微积分的创建主要与四类问题的处理相关:
已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；
0(m / s ) 不处于静止状态.
49 1
即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态.
瞬时速度
问题1.高台跳水运动员的速度
思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区分？
你能否利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？
瞬时速度是某一时刻的速度；
平均速度是某一时间段内的速度.
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是ഥ
h(1 t ) h(1)
lim
lim (4.9t 5) 5
t 0
t 0
(1 t ) 1
t 0时, 在[1,1 t ]内 :
h(1 t ) h(1)
v
4.9t 5
(1 t ) 1
问题1.高台跳水运动员的速度
h(t ) h(t1 )
在t1 t t 2这段时间里, v 2
4.9(t1 t 2 ) 4.8(m / s )
t 2 t1
48
思考3：计算运动员在0≤t≤ 秒内的平均速度？你发现了什么？
49
48
运动员在这段时间里并
h
(
)
h
(
0
)
48
在0 t 49
这段时间里, v 4948
选修第二册
《第五章 一元函数的导数及其应用》
5.1 导数的概念及其意义
本章介绍
为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数；
在对函数的深入研究中，数学家创建了微积分(微分学和积分学)。
微积分的创建主要与四类问题的处理相关:
已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；
0(m / s ) 不处于静止状态.
49 1
即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态.
瞬时速度
问题1.高台跳水运动员的速度
思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区分？
你能否利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？
瞬时速度是某一时刻的速度；
平均速度是某一时间段内的速度.
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是ഥ
h(1 t ) h(1)
lim
lim (4.9t 5) 5
t 0
t 0
(1 t ) 1
t 0时, 在[1,1 t ]内 :
h(1 t ) h(1)
v
4.9t 5
(1 t ) 1
问题1.高台跳水运动员的速度
5.1.1变化率问题课件(人教版)
(1)设 P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线 y＝f (x)上任意不同两点，
则平均变化率fx－fx0＝fx0＋Δx－fx0为割线
x－x0
Δx
P0P
的__斜__率_．
(2)当 P 点逐渐靠近 P0 点，即Δx 逐渐变小，当Δx→0 时，瞬时变
化率
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0就 是 Δx
的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限
趋近于0.
ht0＋Δt－ht0
lim
Δt→0
Δt
思考：在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线 P0P有什么变化趋势？
提示 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置.
曲线的切线斜率
5.1.1 变化率问题
学习目标
1.通过实例，了解平均速度与瞬时速度. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.会求曲线在某一点处的切线方程.
情境导入 在高台跳水中， 运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间存在函数关 系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10， 根据上述探究，你能求该运 动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2, 0≤t≤6459内的平均速度吗？
例 1 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系可 用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
提示 0≤t≤0.5 时， v ＝h00.5.5－ －h00＝4.05(m/s)；1≤t≤2 时， v ＝ h22－ －h11＝－8.2(m/s)；0≤t≤6459时， v ＝h46649559－－h00＝0(m/s)；
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3.变式 y f(x2)f(x1) f(x1x)f(x1)
x
x2 x1
x
变化率问题
9
观察函数f(x)的图象平均变化率 y f(x2)f(x1)
x
x2 x1
表示什么?
y f(x2) f(x2)-f(线AB 的斜率
f(x1) O
A
x2-x1=△xx
x1
x2
变化率问题
10
【例1】（1）求 y x2 在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率．
微积究分中的取奠得基了人丰是硕牛的顿成和果莱―布―尼―兹微，积他分们的分产别生从。运动学和几
何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成
为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的
应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，
天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连
第1章 导数及应用
1.1.1 变化率问题
变化率 问题
内容：函数平均变化率的概念,求函数平均 变化率的一般步骤.
应用
求函数在某区间上的平均 变化率
求函数在某点附近的平均 变化率
变化率问题
2
本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变 化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是 采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生 通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平 均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研 讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使 学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识, 获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法 给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化 率的重要性。
解：因为 y f (1 x) f (1)
，
所以割线 PQ 的斜率为 y (x)3 3(x)2 3x (x)2 3x 3.
x
x
当 x 0.1 时，设割线 PQ 的斜率为 k，
则 k y (0.1)2 3 0.1 3 3.31. x
变化率问题
14
变式训练2
已知曲线 y x2 1上两点 A(2,3), A(2 x,3 y). 当 x 1时，割线 AA 斜率是___5____； 当 x 0.1 时，割线 AA 斜率是__4_._1___．
历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生
活中所碰到的那些问题了。
变化率问题
4
高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单 位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
如何用运动员在某些时间段内的平均 速度粗略地描述其运动状态?
o
t
变化率问题
2 1
h
o
t
变化率问题
6
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度， 49
并思考以下问题：
h(65) h(0) 10 49
v h 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况 是运动员仍然运动，并非静止．
在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究 相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设 置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材 施教。
变化率问题
3
背景介绍
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场
的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了
科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研
5
请计算 0 t 0 .5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 v : h(t)=-4.9t2+6.5t+10
在 0 t 0.5这 段 时 间 里 ， v h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
0.5 0 在 1 t 2这 段 时 间 里 ， v h (2 ) h (1) 8 .2 (m / s )
所以平均速度为 s 12 12(m / s). t 1
变化率问题
12
变式训练1 （1）求
在到
之间的平均变化率．
（2）如果函数 则 __________．
在区间 上的平均变化率为3，
答案：（1）当自变量从 变到
时，函数的平均变化率为
；（2）3．
变化率问题
13
【例2】过曲线 y f (x) x3 上的两点 P(1,1) 和 Q(1 x,1 y) 作曲线 的割线，求出当 x 0.1 时割线的斜率．
直线运动，求： ①该质点在前3s 内的平均速度； ②该质点在前2s 到3s 内的平均速度．
解： ①由题意知 t 3， s s(3) s(0) 2 32 2 3 (2 02 2 0) 24 ，
所以平均速度为 s 24 8(m / s). t 3
②由题意知 t 3 2 1， s s(3) s(2) 2 32 2 3 (2 22 2 2) 12 ，
x
x2 x1
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δy=f(x2)-f(x1)
变化率问题
8
1.△x是一个整体符号，而不是△与x相乘； 式子中△x 、△ y的值可正、可负， 但△x值不能为0，△y的值可以为0; 因此，平均变化率可正，可负，也可为零；
2.若函数f(x)为常函数时，△y=0
解：当自变量从 x0 变到 x0 x 时，函数的平均变化率为
f
( x0
x) x
f
(x0 )
( x0
x)2 x
x02
2x0
x ．
当 x 取定值，x0 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样， 可以由图看出变化．
变化率问题
11
(2)已知某质点按规律 s 2t2 2t （s：单位为 m，t 单位为 s）做
变化率问题
15
【例3】某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，
4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天 时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运
动状态.
变化率问题
7
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f (x2) f (x1) 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为 y f (x2) f (x1)