四章功率谱估计

2. 序列后面加零，FFT谱线变密，频率分辨 率并没有提高。
29
3. 周期图谱估计的 性能分析
30
(1) 均值
31
BT法谱估计
N 1
Pˆxx ej
rxx m w2N me jm
1
m N 1
其中，
w2N m
N
N
m
W2N e j
FTw2N m
1 N
ssinin((2N))
2
e j
W2M e j
三角窗长度的减少，主瓣变宽，频率分 辨率减少，因此平均周期图法是以牺牲频率 分辨率换取方差的减小。
55
如果数据是不相关的（白噪声），其偏移量、 方差如上面的两式所示。但实际信号存在关联性，
因此，在一般情况下，估计方差的减小少于 1 。 L
当 L , var Pˆxx e j 0 ，功率谱越平滑。
IN
1 X N
e j
2
1
N 1 N 1
x
k
N n0 k0
x n e jke jn
1
x
N n k
k
x
n
RN
n RN
k
e jk e jn
35
E
I N
1 N
n
k
E
x k x nRN
n RN
k e jnk
1 N n k
M
rxx m w2N m wm e jm mM
59
由于 w m 的长度M<数据长度N，因此
窗函数平滑周期图相当于加了一个短的截断 窗，使得频率分布率降低，偏移量上升，换 取方差的减小。
60
3. 修正周期图法 （Welch法）
61
Welch法对Bartlett法做了两方面的修正
（1）选择适当的窗函数，在计算各组周期 图之前加进去。
7
谱线
复杂振动用谱线表示时，代表各振动的 频率和振幅的一系列直线，谱线数反映了该 复杂振动所包含的谐振动的个数，各谱线的 长短。
8
考虑到 xn 是观测数据， Pxx e j 是随
机变量，取统计平均
Pxx
e j
lim E
1
N
2
x n e jn
N 2N 1 nN
9
二、谱估计方法的概述
N 2N 1 n0
忽略求统计平均运算
Pxx e j
1
N 1
x
n
2
e jn
N n0
用DFT计算功率谱
xn FFT X k Pˆxx k
1 N
X k2
27
2.与BT法的关系
Pˆxx
e j
1
N 1
x
n
2
e jn
1
N 1
x
k
N 1
e jk x
n
e jn
N n0
第四章 功率谱估计
1
谱估计的基本任务是根据有限个观测数 据，估计平稳随机过程的功率谱密度。
谱：频谱，功率谱 对于我们所研究的信号，随机平稳信号， 功率谱
2
4.1 引言
时钟, 日历: 经验谱 棱镜分解一束光:光谱 每一种谱估计的技术都可以认为是一种模型法， 具体地说，就是根据过程的先验知识，建立一个近 似实际过程的模型；其次利用观测数据或自相关函 数来估计函数的模型参数，最后做谱估计。
3
维纳——辛钦定理
Pxx e j
rxx m e jm
m
4
功率谱的另一种定义
rxx m E x n xn m
rxx
m
lim
N
1 2N 1
N nN
x
n
x
n
m
5
当信号具有遍历性时
Pxx e j
lim
1
N
x n x n m e jm
m N 2N 1 n N
10
现经代典谱谱估估计计非参方线数法性化线谱谱性估估谱计计估：以转计信化直号为间接模估接法型计法：为信：周基号B期础T模法图，型法问参题数
11
经典谱估计的缺点
频率分辩率低，这是由于有限个观测数据 加窗截断的影响。
主瓣：功率谱向附近频域扩展，谱模糊， 频率分辩率低。
旁瓣：谱间干扰，强信号的旁瓣影响弱信 号的检测，淹没弱信号；或者把旁瓣误以为信 号。
lim
N
N nN
x
n
e
j
n
N
x
nN
nm
e
j
nm
2
1 N
1
lim 1
N
2
x n e jn
N 2N 1 nN
6
辞海—谱
(1)按照事务的类别或系统编成的表册，年谱 (2)供示范或寻检用的图书、样本，如棋谱、画谱、
脸谱 (3)曲线：乐谱 (4)按歌词作曲，曲谱 (5)大致的依据、打算：心里有谱,做事没谱 (6)左右、大约：三十元之谱
nk pq
x(n) x(k ) x( p) x(q) e e j1 nk j2 ( pq)
37
E[x(n)x(k)x( p)x(q)]
E[x(n)x(k)]E[x( p)x(q)] E[x(n)x( p)]E[x(k)x(q)]
x4 n k p q x2 n p k q x4 p k q n
估计的偏移量与方差是一对矛盾。偏移大小反 映的是频率分辨率。
当N确定，L ,需要M ，方差减小，频率分辨 率降低。
56
方差减小有明显效果
57
2. 窗函数法
58
选择一个适当的窗函数 wm与周期图卷
积，平滑周期图。
Pˆxx
e j
1
2
IN W
e j
d
M
rˆxx m wm e jm mM
计得到得自相关函数rˆxx m ，则
rˆxx m E xN n xN n m E x n x n m RN n RN n m rxx m w2N m
18
w2 N
m
N
m N
w2N
e j
1
sin
N
2
2
N
sin
2
Pˆxx e j
rxx m w2N m e jm
m
19
20
w2N (n) 是由于截断数据而产生的，为了减 少截断的影响，通常要增加一个窗函数进行 平滑处理。
设平滑窗为 wR (n) M n M .
21
功率谱
M
PˆBT e j
rˆxx mwR m e jm
mM
M
rxx mw2N m wR m e jm
(1)
mM
1
2
Pˆxx
12
现代谱估计
估计质量比经典谱估计质量有很大提高， 需要针对不同的信号，选择合适的模型，但 目前尚未有任何理论来指导模型的选择。一 般来说，AR模型适合有谱峰的信号，MA模 型适合有波谷的信号。
13
4.2 经典谱估计
14
一、BT法
15
1. 1958年，Blackman和Tukey提出，在 1965年FFT算法出现之前，BT法一直是 最常用的方法。
,
2 x
)为依据进行
推导的，其定性结果在一个相当宽的范围内立。
Cov(IN (1)IN (2 ))
E[IN (1)IN (2 )] E[IN (1)]E[IN (2 )]
4 x
sin
1
2
2
N
N
s
in
1
2
2
2
sin
1
2
2
N
N
s
in
1
2
2
2
43
若
2. 理论基础：维纳——辛钦定理
3. 自相关函数的估计 FT 功率谱的估
计
16
根据前面的分析已经知道，有偏自相关函数 的估计优于无偏自相关函数的估 计
rˆxx
m
1 N
N m 1
x
n0
n
xn m
17
实际上，根据有限个观测数据来估计自
相关函数的，假设信号为 xn ，进入自相
关函数估计的为xN n xn RN n ， 估
2
2
N
2
n0 k0
sin
1
2
2
40
1 2
E
I
2 N
4 x
2
1 N2
sin n sin
2
Var
I
N
E
I
2 N
E
2
I
N
4 x
1
1` N2
sin n sin
2
41
当N→∞时
VarI N
4 x
Px2x
周期图是非一致估计
42
上面的推导是以
x(n)
~
N
(mx
32
由(1)式可知
E Pˆxx
e j
1
2
Pxx
e j
W2 N
e j
因此，周期图是有偏估计
当 N 时，W2N m 1 ，其频谱趋近于
函数，周期图的估计属于渐近无偏估计
33
（2）方差
34
假设x(n)是实的、零均值、正态白噪声信号，
方差为 ，则x2 功率谱为常数
。 x2
令 IN Pˆxx e j N为数据长度
值
48
经典谱估计不可能获得良好的谱估计
rxx m FTPxx
1. m↑，参与求和项数↓，平均效果↓，m=N-1， 只有一项。→滞后量以较大的是不可靠的， 估计方差大。
49
经典谱估计不可能获得良好的谱估计
2. 周期图法用到了m=0~N-1的全部相关函数
的估计值 FTPxx 方差较大，BT
法虽然可以通过使相关函数的最大滞后量 M<N-1来去掉那些不可靠的相关函数估计 值，但 M ↓ ,将FT的求和范围缩短，变换 式本身的近似程度↑ 。
n
k
4 x
N 1 N 1
N 1 N 1
N e e 2
j(12 )(nk )
j(12 )(nk )
N 2
n0 k0
n0 k0
39
N 1 N 1
e j1 2 nk
sin
1
2
2
N
2
n0 k0
sin
1
2
2
N 1 N 1
e j12 nk
sin
1
50
三.经典谱估计方法的改进
51
1. 窗口处理法：（FFT出现以前）选择适当 的窗函数作为加权平均。
2. 平均周期图法：数据分段 求出各段的
平均周期图 取平均
3. Welch法：改进的Bartlett法
52
1.平均周期图
xn 0 n N 1
分L组，每组有M个数据，N LM
第 i 组：
N k0
n0
1
N 1 N 1
x
k
x
n e jk n
N k0 n0
m k n
1
N 1 N 1
x n x n m e jm
N m N 1 n0
N 1
m N 1
1 N
N 1
x
n0
n
x
nm
e jm
N 1
rˆxx m e jm
m N 1
28
1. 周期图的谱估计与有偏自相关函数的估计 等价
2 x
n k RN
n
RN
k
e jnk
1 N
2 x
这里假设信号是实的白噪声信号，周期
图估计是无偏估计。
36
Var[
I
N
]
E[
I
2 N
]
E
2[
I
N
]
要计算周期图的均方值，先计算
EIN 1IN 2
E
I N 1 I N 2
E
1 N2
X e j1
2 X e j2
2
1 N2
RN nRN k RN pRN q
优点：无论什么样的窗函数，均可使
Pˆxx 0
62
Ii
1 U
ห้องสมุดไป่ตู้
M 1
xi
nwne
jn
2
n0
U
1
M 1
w2
n
M n0
归一化因子
Pˆxx e j
1 L
L
I
i
i1
63
2）在分组时，可使各组数据有重叠。方差
1
2
N
k,2
2
N
l,
，
k，l均为整数，则
2
2
CovI
N
1
I
N
(2
)
4 x
sink l
N sin k N
l
sink l
N
sin
k
N
l
44
当 k l 且k+l不是N的整数倍时,
CovIN 1IN 2 0
以
2
N
的整数倍为频率间距的周期图是
不相关的
N 协方差为零的功率谱样本之间的间
e j
WR
e j
1
4 2 Pxx
e j
W2 N
e j
WR
e j
22
设 wR n 的持续时间为 M n M ，需
要注意的是，考虑到功率的非负性，在选择 窗函数的时候，一定要保证功率谱是一个非 负值。
23
误差分析
E PˆBT
e j
1
2
Pˆxx
e j
WR
e j d
xi n xn iM M 0 n M 1, 1 i L
Ii
1 M
M 1
xi
n e jn
n0
2
53
Pˆxx
1 L
L
i 1
I
i
E
Pˆxx
E
1 L
L
i 1
I
i
EIi
var
Pˆxx
1 L
varIi
54
信号的功率谱
Pˆxx e j
1
2
Pxx
1
2
Pˆxx
e j
WR
e j
Var PBT
e j
1 N
Var
Pˆxx
e j
M
wR2
mM
m
24
可以看出，方差小
M小
偏移小
M大主瓣窄，频率分辩率高
通常Ｍ取数据长度的 1 ．i.e.
5
MN 5
25
二．周期图法
26
1.原理：
Pxx
e j
lim E
1
N 1
2
x n e jn
距↓，周期图的起伏增快。
45
46
BT法和周期图法的主要优点
计算量小 功率谱估计值正比于正弦波的功率 是一种良好的实用模型
47
主要缺点:
弱信号被强信号的旁瓣淹没 频率分辩率约为数据长度的倒数，且与数据的
特征或信噪比无关 出现旁瓣，使谱失真 需采用某种平滑或平均措施以改善谱估计的统
计特性 某些加窗的相关函数会使功率谱估计值出现负
4 x
0
n k, p q; n p, k q; p k, q n;
38
E[I N (1)I N (2 )]
4 x
[ RN2 (n) RN2 ( p) RN2 (n) RN2 (k)e j(12)(nk)
N 2 n
p
n
k
RN2 (n) RN2 (k)e j(12 )(nk) ]