六年级初一竞赛培训：数论综合

数论综合篇（4.18）姓名：

一、数的整除性

【数的整除性性质】

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

（也就是说：如果a和b都是c的倍数，那么a+b与a-b也是c的倍数。）

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

【数的整除特征】

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？

解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。

再例如：判断13574是否是11的倍数？

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数？

解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。

再例如：判断3546725能否被13整除？

解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.

1、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是。

（2003年全国“希望杯”数学邀请赛）

2、下面这个199位整数：

1001001001 (1001)

199位

被13除，余数是多少？（1999年香港圣公会小学数学邀请赛）

3、三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小的三个数是、、。

（2003年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）

4、如果20052005…200501能被11整除，那么n的最小值是。

n个2005

（2005年全国小学数学奥林匹克）

5、包含0、1、2、3、4、5、

6、

7、

8、9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全数”同时满足下列要求：

（1）它能分别被1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12整除；

（2）它与2004的和能被13整除。

那么这样的“十全数”中最小的是。

（2004年北京市“迎春杯”数学邀请赛）

二、质数与合数

1、将2008写成三个质数之和，其中最大的质数的最大可能值是多少？

（2003年香港圣公会小学数学邀请赛）

2、九个连续自然数中，最多有个质数。（2001年全国小学数学奥林匹克）

3、如果某整数同时具备以下形状：

（1）这个数与1的差事质数；

（2）这个数除以2所得的商也是质数；

（3）这个数除以9所得的余数是5。

我们称这个整数为幸运数，那么在两位数中，最大的幸运数是。

（1994年全国小学数学奥林匹克）

4、小于10且分母为36的最简分数共有多少个？

(2005年“华杯赛”)

三、分解质因数

1、有10张标有

2、

3、、5、7、11、13、17、19、23、29的纸牌，从中抽出一张，记住其数字后放回去重洗，再抽出一张记住其数字后放回重洗……如此进行四次，记住的四个数的积为P，那么136,198,455,1925,2001五个数中不能等于P的是和。

（2002年《小学生数学报》数学邀请赛）

2、如图，你能在3×3的方格表中填入彼此不同的9个自然数（每个格子里只填一个数），使得每行、每列及两条对角线上三个数的乘积都等于2005吗？若能，请填出一例；若不能，请说明理由。(2005年“华杯赛”)

3、约数个数为9且不大于200的自然数的个数是多少？

（1997年全国小学数学奥林匹克）

四、约数与倍数

1、四个连续自然数，它们从小到大顺次是3的倍数、5的倍数、7的倍数、9的倍数，这四个连续自然数的和最小是。（2000年全国小学数学奥林匹克）

2、甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是。（1995 全国小学数学奥林匹克）

3、某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本。那么将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱？(1995年“华杯赛”)

数论综合测试题（4.18）

姓名成绩

1、若四位数9a8a能被15整除，则a代表的数字是。

（2004年全国“希望杯”数学邀请赛）

2、为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3。在密码中2的数目比3多，而且密码能被3或4整除。试求出这个密码。

（2003年俄罗斯数学奥林匹克）

3、六位自然数1082□□能被12整除，末两位数有种情况。

（2003年全国“希望杯”数学邀请赛）

4、设有三个不相同的质数，它们的和是40，这3个质数是。

（2003年福州市“迎春杯”小学数学邀请赛）

5、分子小于6而分母小于60的最简真分数有多少个？

(1988年“华杯赛”)

6、把156支铅笔分成n堆（n≥2），要求每一堆一样多且为偶数支，有分法。（2003年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）

7、小明用48元钱按零售价买了若干本练习本，如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本。问：零售价每本多少元？(2005年“华杯赛”)

8、56、195和273这三个数的最小公倍数是。（1995 “我爱数学”少年数学夏令营）

9、在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一个乘数中的数字5看成了8，由此乘积为1872，那么原来的乘积应是。（1995年全国小学数学奥林匹克）

10、能同时被5、7、17整除的最大四位数是。

（2005年全国小学数学奥林匹克）

11、有一位男同学要整理三种厚度分别为30毫米、24毫米和18毫米的一堆书，他只能将厚度相同的书叠成高度一样的三叠，且使书的高度尽可能小。这样的整理共用了多少本书？（1998 保良局城市小学数学邀请赛）

12、两个自然数a，b的最小公倍数等于50，问：a+b有多少种可能的数值？

(2005年“华杯赛”)

专题拓展

姓名

一、填空题：

（16）在小于91的自然数中，能被5或7整除的数共有（）个。

（17）岸上有867名学生，准备乘船过河，来了一批小船，每船载人人数相等，同学们分三次过河。有（）条船，每条船载（）人。

（18）把六个数：85、51、33、91、65、77分成两组，每组三个数，每组中三个数的乘积相等。写出其中一个组的三个数（）。

（20）一个数由一些0和1组成，如果这个数能被225整除，这个数最小是（）。

二：解答题：

21.李明是个中学生，参加了市数学竞赛，他说：我的名次、分数和我年龄的乘积是2910，你能算出他获得第几名、得了多少分和年龄吗？

22.用210块边长2厘米的小正方形拼成长方形，一共有哪几种不同的拼法？拼成的这些长方形中哪个周长最大？哪个周长最小？

23.一个班的同学买了310颗糖果，如果分给每个同学相同数量的糖果后还余下37颗，问这个班有多少个同学？

24.张爷爷今年84岁，他告诉人家：“我有3个孙子，他们三人年龄的乘积才有我这么大，而且这三个孙子中，有两个孙子年龄的和正好是另外一个孙子的年龄。”问：这三个孙子各几岁？

25.有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，他们年龄相乘的积等于3024，问这四个孩子中年龄最大的是几岁？他们的平均年龄是几岁？

（16）28 （17）17、17 （18）85、33、91或51、65、77 （19）123654、321654 （20）11111111100

21．解：2910=2×3×5×97=2×15×97

获第2名，得97分，15岁

22．解：共8种：

210=1×210=2×105=3×70=5×42=6×35=7×30=10×21=14×15 周长最大：1×210；周长最小：14×15

23．解：310-37=273(颗)

273=3×7×13

∵余37颗。

∴这个班有3×13=39个同学

24．解：84=2×2×3×7=3×4×7

∴三孙子各3、4、7岁。

25．解：3024=6×7×8×9最大9岁

(6+7+8+9)÷4=7.5(岁)