函数的极值与导数 课件

知识点二 函数的极值的求法
思考1 极大值一定比极小值大吗？ 答 极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也可 能大于另一点的极大值，如图所示.
f(a)为极大值，f(d)为极小值，但f(a)<f(d).
思考2 函数的极值与单调性有什么联系？
答 极值点两则单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函
函数的极值与导数
知识点一 函数的极值点和极值
思考1 观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.
答 极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)，极小值点为d，f，h， 极小值为f(d)，f(f)，f(h).
思考2 导数为0的点一定是极值点吗？ 答 不一定，如f(x)＝x3，尽管f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是 递增的，不满足在x＝0的左、右两侧符号相反，故x＝0，不是f(x)＝x3的 极值点. (1)极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都 小，f′(a)＝ 0 ，而且在点x＝a附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ， 就把 点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点， f(a) 叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)f(x)＝lnx
x .
类型二 已知函数极值求参数 例2 (1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝
________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝1 x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为(_－__∞__，__1_). 3
解析 f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实
数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.
类型三 函数极值的综合应用
例3 (1)函数f(x)＝1 x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点， 3
则实数a的取值范围是________.
(2)已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3ห้องสมุดไป่ตู้若函数y＝f(x)的图象与y＝ 1 f′(x)＋ 3
5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.
数的单调性. 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，那么f(x0)是 极小值 .
类型一 求函数的极值点和极值 例1 求下列函数的极值，并画出函数的草图： (1)f(x)＝(x2－1)3＋1；
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数 值都大，f′(b)＝ 0 ，而且在点x＝b附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，就把 点b 叫做函数y＝f(x)的极大值点， f(b) 叫做函数
y＝f(x)的极大值. (3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值.