基于辛数学方法的一维声子晶体禁带计算

摘 要 ：将一维声子晶体的原胞简化为有限多个自由度的弹簧振子结构， 在辛对偶变量体系下探讨晶格振动， 引
入辛数学方法确定波矢 与本证值 的色散关系 。通过本证值计数 法计算特征频率 ， 而得 到禁带 区间。与传统集 中质量法 从 相 比， 该算法 的计算结果与之吻合很好 ， 且提高 了计算精度和计算效率 ， 更重要的是 在低 频处 收敛性更好 。 关键词 ：声子晶体 ； 禁带 ； 辛方法 ； 色散关 系； 集中质量法
法。在简单弹簧振 子模 型的基础上 引入辛数学方法 ， 为一维 声子 晶体禁 带求解 提 供新 的思路 。
１ 一维声 子晶体 的力学模型
图 １中两 种不 同弹性 常数 和密 度 的无 限大平 板 材 料 和 Ｂ在 方 向上 交 替 排列 形 成 一 维 声 子 晶体 ， 其
原胞 是有 无 限多 自由度 的连 续 系统 ， 用 有 限元 法 ， 采 可
常） ｆ 格 数ｌ （ 晶
・ — — — — — — — —
图 １ 一维二组 元声 子晶体结构
Ｆｉ．１ ｇ Ｔｈ ｔｕｃｕｒ ｆ１一 ｐｈ ｎ ｎｉ ｒｓａｓ ｗｉｈ ｔ — ｌｍ ｅ ｅ ｓｒ ｔ ｅ ｏ Ｄ ｏ ｏ ｅ ｃｙ ｔｌ ｔ ｗｏ ｅ ｅ ｎｔ
提供新 的思路 。钟万 勰
集 中质量法 是基 于振动力 学 连 续 系统 离散 化 处 理 的思
／ ／
想提 出的 一 种 算 法 ， 敛 性 较好 ， 需 要 求 解 特 征 矩 收 但 阵 。遗 传 算 法 只 是 为 了对 声 子 晶体 的振 子 参 数 进 行
优化 。 近 年来辛 数学理 论 的发 展 已为 解决 应 用力 学 问题
（ ｏ ＿ ）
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口 晶格常数） （
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了基于对偶 体 系和辛几 何算 法 的声 子 晶体禁 带 计算 方
图 ２ 一维声子 晶体 的原胞可简化为 ｎ个 自由度的弹簧振子
基 金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 （０ ７ １２，０ ７ １７ １６２ ３ ） 国 家 基 １９ ２ ８ １７ ２ ４ ，０ ３ ０ ０ ；
胞， 计算 精度越 高 。
材料 材料
声 子 晶体 一样 的特 性 ， 易 于 获 得 较 宽 的带 隙 。一 且
维声子晶体 弹性波带 隙计算 方法主要有平 面波展开 法 ， 传递 矩 阵 法 、 中质 量 法 ， 遗 传 算 法 引、 集 和
等 。传递 矩 阵法 只 能计 算 有 限结 构 的 透 射 反 射 等 特 性， 无法进 行 周期 结 构 中 的禁 带 计 算 。平 面 波 展 开 法 应用 最为 广泛 ， 算 相 对 简 单 ， 存 在 收 敛 慢 的 问 题 。 计 但
Ｆ ｇ ２ Ｔ ｅ ｕ ｉ ｃ ｌ ｏ 一 ｈ ｎ ｎ ｃ ｃｙ ｔ ｓｃ ｎ ｂ ｉ ｌ ｅ ｉ ． ｈ ｎｔ ｅｌ ｆ １ Ｄ ｐ ｏ ｏ ｉ ｒ ｓ ａ ｅ ｓ ｌ ａ ｍｐｉ ｄ ｉ ｆ ｔ ｐ ｎ — ｓ ｓ ｉ ｔｒｗ ｔ ・ ｅ ｒ ｅ ｒｅ ｏ ｏ ｓ ｎ ｇ ｍａ ｓ ｏ ｃｌ ｏ ｉ ｎ ｄ ｇ ｅ ｓｆｅ ｄ ｍ ａ ｈ
在光子晶体中传播产生 的禁带， 即一定频率 范围的弹
性波传 播 被 抑 制 或 禁 止 。声 子 晶 体 的这 种 特 性 在 隔
声、 减振 等方 面具 有极 大 的理论价 值 和应 用前 景 。
一
维声子晶体虽然结构简单 ， 但是 同样具有多维
以将 其 离散 为有 限个 集 中质 量 ， 集 中质 量 间 的 连接 而 则 简化 为无 质 量 的 弹簧 连 接 。 由此 ， 胞 就 简化 为有 原 限多个 自由度 的 弹簧 振 子 结 构 ， 图 ２所 示 。 简化 的 如 弹簧振 子结构 的 自由度 数 目越 多 ， 接 近 于 实 际 的原 越
础 研 究 计 划 ９ ３ （Байду номын сангаас０ ６ Ｂ ０ ２２） ７ ２ ０ Ｃ ６ １０ ；教 育 部 博 士 点 基 金
（０ ７ ６９ ２ ） 西 北工 业 大 学 基 础 研 究 基 金 、 北 工 业 大 学 研 究 生 ２０ ０ ９０ ８ ； 西
创 业 种 子 基 金 （ ２ ０３ ； 连 理 工 大 学 工 业 装 备 结 构 分 析 国 家 重 Ｚ ０ ９０） 大 点 实 验 室 开 放基 金 （ Ｚ ８ ２ 资 助项 目 。 Ｇ ００ ）
振 第２ ９卷第 ｌ ２期
动
与
冲
击
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基 于辛数 学 方法 的一 维声 子 晶体 禁 带计算
刘铁权 ，邓子辰 ，周加喜
（ ． Ｌ－ 大学 力学与土木建筑学院 ， １西￣ ｑ业 － 西安 ７ ０ ２ ；． １ １９ ２ 大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室 ， 大连 １６２ ） １０４
中图 分 类 号 ：０ ０ ；３ １０ ８ ． ３ ２ ０ ２ ；４ １ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ
近年来 ， 子 晶 体 作 为周 期 性 复 合 结 构 中经 典 波 声
传播的典型例子受 到广泛关注－ Ｊ １ 。所谓声子 晶体就
是其 内部截止 弹性 常数 和密 度呈 周 期 性变 化 的复 合结 构介质 。 当弹性 波 在 其 中传 播 时 ， 产 生类 似 于 光 波 可
在研究 一 维周期 原 子链
振动 时 ， 在对偶 体 系下引 入 辛传 递矩 阵 ， 而求 得 晶格 从 振动 的色散 关 系 ， 用 于 分 析光 子 晶体 禁 带 。 声 子 晶 并
体是类 比于光 子 晶体 提 出 的周 期结 构 。本 文将 一 维声 子 晶体 原胞 简化 为 有 限多 个 自由度 的 弹簧 振 子 结 构 ， 从 而把 一维声子 晶体 的禁 带计 算 简 化为 求解 周 期 弹簧 振 子结构 的弹性 波能带 ， 过 引入 晶格振 动 理论 ， 造 通 构