第一章函数、极限与连续(答案)

第一章 函数、极限与连续

(一)

1．已知函数()x f y =的定义域是[]1,0，则()2x f 的定义域是[]1,1-。 2．若()x

x f -=

11

，则()[]=x f f x x 1-，()[]{}=x f f f x 。

3．函数1+=x e y 的反函数为1ln -=x y 。

4．设211x x x f ++=⎪⎭

⎫

⎝⎛，则()=x f 2111x x ++。

5．(

)

=--+∞

→13lim

n n

n x

2

3。 6．=++++++++

∞→n

n n 3

1913112141211lim 3

4。 7．=+→x x x ln lim 0

0 。

8．()()()=++-∞→50

3020152332lim x x x x 50

30

205

32⋅。 9．函数()⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-<≤-<=2,321,11,

x x x x x x x f 的不连续点为 1 。

10．=∞→n n n x

3sin

3lim x 。 11．函数()1

1

2-=x x f 的连续区间是()1,-∞-、()1,1-、()+∞-,1。

12．设()()⎩⎨⎧<++≥+=0

,

0,

2

x x x b a x b ax x f ()0≠+b a ，()x f 处处连续的充要条件是

=b 0 。

13．若()⎩

⎨⎧<-≥=0,10

,1x x x f ，()x x g sin =，复合函数()[]x g f 的连续区间是

()()ππ1,+k k ，2,1,0±=k 。

14．若01lim 2=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+-+∞→b ax x x x ，a ，b 均为常数，则=a 1 ，=b 2 。 15．设()()⎪⎩⎪

⎨⎧+∞<≤-<<∞-=x x x x x x f 0,10,sin 2，求()x f x 0

lim →。

解：()1sin lim lim 0

==-

-→→x

x

x f x x ()()11lim lim 2

=-=++→→x x f x x

故()1lim 0

=→x f x 。

16．设3212222n

n

n x n -+++= ，求n n x ∞→lim 。 解：()()⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→36121lim 321lim 222

2

2

n n n n n n n n n n ()2

16112lim 621211lim =+

+=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=∞→∞→n n n n n n 17．若()2

1x x f =

，求()()x x f x x f x ∆-∆+→∆0lim

。 解：()x

x x x x ∆-

∆+→∆2

2

11

lim

x

x

x x x x x ∆∆-∆⋅--=→∆22202lim

()

3

2

20

2

2lim

x x x x x x x -=

∆+∆--=→∆ 18．利用极限存在准则证明：11211lim 222=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 。 证：∵π

ππππ+≤⎪⎭⎫

⎝⎛++++++≤+2

22222

2111

n n n n n n n n n n

且1lim 22=+∞→πn n n n ，1lim 22

=+∞→πn n n ，由夹逼定理知 11211lim 222=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 19．求下列函数的间断点，并判别间断点的类型 (1)()2

1x x

y +=

，(2)2

21x

x

y -+=

，(3)x x y =，(4)[]x y = 解：(1)当1-=x 为第二类间断点；(2)2±=x 均为第二类间断点； (3)0=x ，为第一类断点；(4) ,2,1,0±±=x ，均为第一类间断点。

20．设()⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧<<=<<=2

1,11,211

0,x x x x x f ，问：

(1) ()x f x 1

lim →存在吗？

解：()x f x 1

lim →存在，事实上()1lim 1

=+→x f x ，()1lim 1

1

=-→x f x ，故()1lim 1

=→x f x 。 (2) ()x f 在1=x 处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。

解：不连续，1=x 为可去间断点，定义：()⎪⎩

⎪

⎨⎧<<=<<=21,11,11

0,*x x x x x f ，则()

x f

*

在1=x 处连续。

21．设()⎪

⎩⎪⎨⎧><<-±===2

,4 20

,42,0 ,2 2

x x x x x x f ，求出()x f 的间断点，并指出是哪一类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。

解：(1)由()4lim 0

=→x f x ，()20=f ，故0=x 为可去间断点，改变()x f 在0

=x 的定义为()40=f ，即可使()x f 在0=x 连续。