常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
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dt
解 令 L[x(t)] X (s) L( dx) L[x] L[e2t ] dt
sX (s) x(0) X (s) 1 s2
X (s)
1
1 1
(s 1)(s 2) s 2 s 1
x(t) L1[ X (s)] L1[ 1 ] L1[ 1 ] e2t et
0
F (n) (s) (1)n L[tn f (t)]
11
§3 拉普拉斯逆变换 已知象函数，求原函数
L1[F (s)] f (t)
也具有线性性质
L1[c1F1(s) c2F2 (s)] c1L1[F1(s)] c2L1[F2 (s)]
12
由线性性质可得
如果 f (t) 的拉普拉斯变换 F(s) 可分解为
例4 求 F (s) s 2 5s s 的Laplace 反变换 (s 1)(s 2)2
解 F (s) 1 1 s 1 (s 2)2
f
(t)
L1[
s
1
] 1
L1[
(s
1 2)2
]
et te2t (t 0)
15
4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 )
f (t)称为Laplace Transform 的原函数，F(s)称为f (t)的象
函数.
4
拉普拉斯变换法存在性
假若函数 f (t) 在 t 0 的每一个有限区间上 是分段连续的, 并且 常数 M 0 0
使对于所有的 t 0 都有 f (t) Me t 成立
则当 Re s 时, f (t) 的Laplace Transform
F (s) F1 (s) Fn (s)
并假定 Fi (s) 的拉普拉斯变换容易求得，即
Fi (s) L[ fi (t)] 则 L1[F (s)] L1[F1(s)] L1[Fn (s)]
f1(t) fn (t)
13
拉普拉斯逆变换实例
例3 求
23
步骤：
原函数
微分方程的解
取拉氏逆变换
象函数
解代数方程
微分方程
取拉氏变换
象函数的代 数方程
16
4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 )
x(n) a1x(n1) L an1x an x f (t)
x(0)
x0 ,
x(0)
x0 ,
x(0)
x0,
,
x(n1)
或
L[ f (n) (t)] sn L[ f (t)] sn1 f (0)
sn2 f (0) f (n1) (0)
10
3 象函数的微分性质
F(s) L[ f (t)]
F (s) test f (t)dt
0
F (n) (s) (1)n t nest f (t)dt
F (s)
s2
s3 3s
的Laplace
2
反变换
解
F (s)
s2
s3 3s
2
(s
s3 1)(s
2)
2 1 s 1 s 2
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 ] L1[ 1 ]
s 1
s2
2et e2t t 0
14
X (s) 1 1 1 1 s s 1 (s 1)2 (s 1)3
x(t) 1 et tet 1 t 2et 1 1 (t 2 2t 2)et
2
2
22
作业 求下列初值问题的解：
x 9x 6e3t , x(0) x(0) 0
(0)
x (n1) 0
a i 为常数
令 X (s) L[x(t)] est x(t)dt
0
L[x(t)] sX (s) x0
L[x(n) (t)]
sn X (s) sn1x0
sn2x0
sx0(n2)
x (n1) 0
17
wenku.baidu.com
x(n) a1x(n1) L an1x an x f (t)
拉普拉斯变换法 /Laplace Transform /
1
拉普拉斯变换
含义：
简称拉氏变换 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换
用途与优点
对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中进行运算，再 将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果， 往往比直接在实数域计算容易得多。
是存在的。
5
拉普拉斯变换实例
例1 f (t) 1 (t 0)
est 1dt
lim [ 1 est T ]
T s
0
0
lim [ 1 esT 1] 1
T s
ss
当 Re s 0
即 L[1] 1 (Re s 0) s
6
例2 f (t) ezt ( z是给定的实数或复数 )
3
1拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换)
对于在 [0, ) 上有定义的函数 f (t)
T
若
est f（t）dt lim est f（t）dt T
0
0
对于已给的S（一般为复数）存在，则称
F（s） e st f（t）dt Re s
0
为函数 f (t) 的拉普拉斯变换，记为 L[ f (t)] F(s)
L[ezt ] est ezt dt
0
e(sz)tdt
1
(Re(s z) 0)
sz
0
L[ezt ] 1 sz
(Res Re z)
7
常用函数拉氏变换表 利用拉氏变换进行计算时，可直接查变换表得
结果
8
§2 拉普拉斯变换的基本性质 1 线性性质
给(4.32)两端施行Laplace Transform
sn X (s) sn1x0
sn2 x0
sx0(n2)
x (n1) 0
a1[sn1X (s) sn2 x0
sn3x0
x (n2) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s) F (s)
应用：
求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合
2
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路：
对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
18
用拉氏变换求微分方程实例
例5 求 dx x e2t 满足初始条件 x(0) 0的特解
如果 f (t), g(t) 是原函数, 和
是任意两个常数(可以是复数)，则有
L[f (t) g(t)] L[ f (t)] L[g(t)]
9
2 原函数的微分性质
如果 f (t), f (t), , f (n) (t) 都是原函数，则有
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0)
s2
s 1
19
例 7 求 x 3x 3x x 1 满足初始条件
x(0) x(0) x(0) 0 的特解
解 令 X (s) L[x(t)]
s3 X (s) 3s2 X (s) 3sX (s) X (s) 1
1
s
X (s) s(s 1)3
解 令 L[x(t)] X (s) L( dx) L[x] L[e2t ] dt
sX (s) x(0) X (s) 1 s2
X (s)
1
1 1
(s 1)(s 2) s 2 s 1
x(t) L1[ X (s)] L1[ 1 ] L1[ 1 ] e2t et
0
F (n) (s) (1)n L[tn f (t)]
11
§3 拉普拉斯逆变换 已知象函数，求原函数
L1[F (s)] f (t)
也具有线性性质
L1[c1F1(s) c2F2 (s)] c1L1[F1(s)] c2L1[F2 (s)]
12
由线性性质可得
如果 f (t) 的拉普拉斯变换 F(s) 可分解为
例4 求 F (s) s 2 5s s 的Laplace 反变换 (s 1)(s 2)2
解 F (s) 1 1 s 1 (s 2)2
f
(t)
L1[
s
1
] 1
L1[
(s
1 2)2
]
et te2t (t 0)
15
4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 )
f (t)称为Laplace Transform 的原函数，F(s)称为f (t)的象
函数.
4
拉普拉斯变换法存在性
假若函数 f (t) 在 t 0 的每一个有限区间上 是分段连续的, 并且 常数 M 0 0
使对于所有的 t 0 都有 f (t) Me t 成立
则当 Re s 时, f (t) 的Laplace Transform
F (s) F1 (s) Fn (s)
并假定 Fi (s) 的拉普拉斯变换容易求得，即
Fi (s) L[ fi (t)] 则 L1[F (s)] L1[F1(s)] L1[Fn (s)]
f1(t) fn (t)
13
拉普拉斯逆变换实例
例3 求
23
步骤：
原函数
微分方程的解
取拉氏逆变换
象函数
解代数方程
微分方程
取拉氏变换
象函数的代 数方程
16
4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 )
x(n) a1x(n1) L an1x an x f (t)
x(0)
x0 ,
x(0)
x0 ,
x(0)
x0,
,
x(n1)
或
L[ f (n) (t)] sn L[ f (t)] sn1 f (0)
sn2 f (0) f (n1) (0)
10
3 象函数的微分性质
F(s) L[ f (t)]
F (s) test f (t)dt
0
F (n) (s) (1)n t nest f (t)dt
F (s)
s2
s3 3s
的Laplace
2
反变换
解
F (s)
s2
s3 3s
2
(s
s3 1)(s
2)
2 1 s 1 s 2
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 ] L1[ 1 ]
s 1
s2
2et e2t t 0
14
X (s) 1 1 1 1 s s 1 (s 1)2 (s 1)3
x(t) 1 et tet 1 t 2et 1 1 (t 2 2t 2)et
2
2
22
作业 求下列初值问题的解：
x 9x 6e3t , x(0) x(0) 0
(0)
x (n1) 0
a i 为常数
令 X (s) L[x(t)] est x(t)dt
0
L[x(t)] sX (s) x0
L[x(n) (t)]
sn X (s) sn1x0
sn2x0
sx0(n2)
x (n1) 0
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x(n) a1x(n1) L an1x an x f (t)
拉普拉斯变换法 /Laplace Transform /
1
拉普拉斯变换
含义：
简称拉氏变换 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换
用途与优点
对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中进行运算，再 将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果， 往往比直接在实数域计算容易得多。
是存在的。
5
拉普拉斯变换实例
例1 f (t) 1 (t 0)
est 1dt
lim [ 1 est T ]
T s
0
0
lim [ 1 esT 1] 1
T s
ss
当 Re s 0
即 L[1] 1 (Re s 0) s
6
例2 f (t) ezt ( z是给定的实数或复数 )
3
1拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换)
对于在 [0, ) 上有定义的函数 f (t)
T
若
est f（t）dt lim est f（t）dt T
0
0
对于已给的S（一般为复数）存在，则称
F（s） e st f（t）dt Re s
0
为函数 f (t) 的拉普拉斯变换，记为 L[ f (t)] F(s)
L[ezt ] est ezt dt
0
e(sz)tdt
1
(Re(s z) 0)
sz
0
L[ezt ] 1 sz
(Res Re z)
7
常用函数拉氏变换表 利用拉氏变换进行计算时，可直接查变换表得
结果
8
§2 拉普拉斯变换的基本性质 1 线性性质
给(4.32)两端施行Laplace Transform
sn X (s) sn1x0
sn2 x0
sx0(n2)
x (n1) 0
a1[sn1X (s) sn2 x0
sn3x0
x (n2) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s) F (s)
应用：
求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合
2
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路：
对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
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用拉氏变换求微分方程实例
例5 求 dx x e2t 满足初始条件 x(0) 0的特解
如果 f (t), g(t) 是原函数, 和
是任意两个常数(可以是复数)，则有
L[f (t) g(t)] L[ f (t)] L[g(t)]
9
2 原函数的微分性质
如果 f (t), f (t), , f (n) (t) 都是原函数，则有
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0)
s2
s 1
19
例 7 求 x 3x 3x x 1 满足初始条件
x(0) x(0) x(0) 0 的特解
解 令 X (s) L[x(t)]
s3 X (s) 3s2 X (s) 3sX (s) X (s) 1
1
s
X (s) s(s 1)3