《基本不等式》PPT课件

答案：－2
3．设 0<x<32，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值． 解：∵0<x<32，∴3－2x>0， ∴y＝4x·(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤22x＋23－2x2＝92. 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立． ∵34∈0，32， ∴函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92.
ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)；(a＋2 b)2 ≤ a2＋2 b2(a，b∈R)．
三、算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 a＋b，几何平均 2
数为 ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不 小于它们的几何平均数 ．
四、利用基本不等式求最值问题
4．(1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大值． (2)x＜3，求 f(x)＝x－4 3＋x 的最大值． (3)已知 x>0，y>0，且 x＋y＝1，求3x＋4y的最小值．
解：(1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x2x＝ 2· x2－x≤ 2·x＋22－x＝ 2， 当且仅当 x＝2－x，即 x＝1 时取等号， ∴当 x＝1 时，函数 y＝ x4－2x的最大值是 2. (2)∵x＜3，∴x－3＜0，∴3－x＞0， ∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋(x－3)＋3
[归纳领悟] 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一 种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条件出发， 借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最 后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可 知”，逐步推向“未知”．
[题组自测] 1．下列函数中，最小值为 4 的函数是
A．y＝x＋4x B．y＝sinx＋si4nx(0＜x＜π) C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81
基本不等式
1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
[理 要 点] 一、基本不等式 ab≤a＋2 b 1．基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
二、几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab (a，b∈R)；ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)．
＝－[3－4 x＋(3－x)]＋3 ≤－2 3－4 x·3－x＋3＝－1， 当且仅当3－4 x＝3－x，即 x＝1 时，等号成立． 故 f(x)的最大值为－1. (3)∵x>0，y>0，且 x＋y＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)(x＋y)＝7＋3xy＋4yx
≥7＋2 3xy·4yx＝7＋4 3， 当且仅当3xy＝4yx，即 2x＝ 3y 时等号成立， ∴3x＋4y的最小值为 7＋4 3.
已知 x>0，y>0，则 1．如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有
最 小 值是 2 p.(简记：积定和最小)
2．如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有
最大
值是 p2 4
.(简记：和定积最大)
[究 疑 点] 1．二中四个重要不等式中，等号成立的条件是什么？
又因为a2b＋ab≥2 a2b·ab＝2 2， 当且仅当a2b＝ab 时等号成立， 所以a12＋b12＋ab≥a2b＋ab≥2 2，
当且仅当a12＝b12 a2b＝ab
，即 a＝b＝4 2时取等号．
3．(1)设 a，b，c 都是正数，求证：bac＋abc＋acb≥a＋b＋c. (2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.
xz＋yz≥2 zxy＞0.
∴(xy＋xz)(xy＋yz)(xz＋yz)≥8
yz· xz· xyz
xy＝8.
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
2．设 a，b 均为正实数，求证：a12＋b12＋ab≥2 2.
证明：由于 a，b 均为正实数， 所以a12＋b12≥2 a12·b12＝a2b， 当且仅当a12＝b12，即 a＝b 时等号成立，
(1)已知 a>0，b>0，则1a＋1b＋2 ab的最小值是
()
A．2
B．2 2
C．4
D．5
(2)设正数 x，y 满足 log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，则 x＋y 的
取值范围是________．
解析：(1)∵1a＋1b＋2 ab≥ 2ab＋2 ab≥2 2×2＝4. 当且仅当aab＝＝b1， 时，等号成立，即 a＝b＝1 时，不等式取最 小值 4. (2)原式等价于 x＋y＋3＝xy≤x＋2 y2(当且仅当 x＝y 时取等号)， 所以 x＋y＋3≤x＋4 y2，即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0， 所以 x＋y≥6 或 x＋y≤－2(舍去)，故 x＋y∈[6，＋∞)．
提示：当且仅当a＝b时取等号． 2．当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，
如何处理？
提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知 识来求解．
[题组自测] 1．已知 x>0，y>0，z>0.求证：(xy＋xz)(xy＋yz)(xz＋yz)≥8.
证明：∵x>0，y>0，z>0，
∴xy＋xz≥2 xyz＞0，xy＋yz≥2 yxz＞0，
证明：(1)∵a，b，c 都是正数，∴bac，cba，acb都是正数． ∴bac＋cba≥2c，当且仅当 a＝b 时等号成立， cba＋acb≥2a，当且仅当 b＝c 时等号成立， acb＋bac≥2b，当且仅当 a＝c 时等号成立． 三式相加，得 2(bac＋cba＋acb)≥2(a＋b＋c)，
即bac＋cba＋acb≥a＋b＋c， 当且仅当 a＝b＝c 时等号成立． (2)∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ba＋ab ≥2＋2 ba·ab＝4， 即1a＋1b≥4，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
()
解析：A 项，y＝x＋4x≥4 或 x＋4x≤－4， ∴A 不正确；B 项等号不能取到；D 项，y＝log3x＋ log43x与 A 项相同，所以只有 C 项正确．
答案：C
2．(2010·重庆高考)已知 t＞0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最 小值为________． 解析：依题意得 y＝t＋1t －4≥2 t ·1t －4＝－2，此时 t＝1，即函数 y＝t2－4tt＋1(t＞0)的最小值是－2.