高中数学教案——指数-根式

课 题：2.5.1 指数-根式

教学目的：

1．掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中

2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力； 教学重点：根式的概念性质

教学难点：根式的概念

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教材分析： 指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛它是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数

为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质本节在此基础上学习的运算性质为下一节学习分数指数幂概念和性质做准备

教学过程： 一、复习引入：

1．整数指数幂的概念

*)(N n a a a a a a n n

∈⋅⋅=

个 )0(10≠=a a *),0(1N n a a a

n

n ∈≠=- 2．运算性质： )

()(),()()

,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+

3．注意

① n m a a ÷可看作n m a a -⋅ ∴n m a a ÷=n m a a -⋅=n m a -

② n b a )(可看作n n b a -⋅ ∴n b a )(=n n b a -⋅n n b

二、讲解新课：

1．根式：

⑴计算（可用计算器）

①23= 9 ，则3是9的平方根 ；

②3)5(-=－125 ，则－5是－125的立方根 ；

③若46=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ；

④5

7.3=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 .

⑵定义：

一般地，若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n 次方根 n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数

例如，27的3次方根表示为327，-32的5次方根表示为532-，6

a 的3次方根表示为36a ；16的4次方根表示为!416，即16的4次方根有两个，一个是416，另一个是-416，它们绝对值相等而符号相反.

⑶性质：

①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： n a x = ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作：

n a x ±= ③负数没有偶次方根，

④ 0的任何次方根为0

注：当a ≥0时，n a ≥0，表示算术根，所以类似416=2的写法是错误的. ⑷常用公式

根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：

①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32. ②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)

0()0(a a a a . 例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3.

⑶根式的基本性质：n m np m p a a =，

（a ≥0）. 注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3628)8(-≠-.

用语言叙述上面三个公式：

⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.

⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.

⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.

三、讲解例题：

例1（课本第71页 例1）求值 ①33)8(-= -8 ； ②2)10(-= |-10| = 10 ； ③44)3(π-= |π-3| = 3-π ； ④)()(2b a b a >-= |a- b| = a- b .

去掉‘a>b ’结果如何？

例2求值：

63125.132)2(;

246347625)1(⨯⨯---++

分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； 解：

负去掉绝对值符号。

上绝对值，然后根据正注意：此题开方后先带2

2)

22(3223|

22||32||23|)22()32())23(()2(2222)3(3222)2(232)3(2

46347625)1(2

22222222=---++=----++=---++=+⨯--+⨯-++∙+=---++

632322

332322

33232233212

5.132)2(62223

6262263623

63=⨯⋅⋅⋅⨯⋅⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝＝ 四、练习：

五、小结 本节课学习了以下内容：

1．根式的概念；

2．根式的运算性质：

①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.

②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a|=⎩⎨

⎧<-≥)0()0(a a a a . ⑶根式的基本性质：

n m np m p a a =，

（a ≥0）. 六、课后作业：

七、板书设计（略） 八、课后记：