第讲二次函数图象和性质知识点总结

第5讲 二次函数的图象和性质

一、知识点回顾

1. 二次函数解析式的几种形式：

①一般式：y ax bx c =++2

（a 、b 、c 为常数，a ≠0）

②顶点式：y a x h k =-+()2

（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：y a x x x x =--()()12，其中x x 12，是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一

元二次方程ax bx c 2

0++=的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。 2. 二次函数

y ax bx c =++2

的图象 ①二次函数

y ax bx c =++2的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相

同，只是位置不同。

②任意抛物线y a x h k =-+()2可以由抛物线y ax =2

经过适当的平移得到，移动规

律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画y ax bx c =++2的图象时，可以先配方成

y a x h k =-+()2

的形式，然后将y ax =2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是

将y ax bx c =++2配成y a x h k =-+()2

的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点

坐标。然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

①配方法：将解析式y ax bx c =++2化为y a x h k =-+()2

的形式，顶点坐标为（h ，

k ），对称轴为直线x h =，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，y k

最小值=；若a ＜0，y

有最大值，当x ＝h 时，

y k

最大值=。

②公式法：直接利用顶点坐标公式（

--b a ac b a 2442，），求其顶点；对称轴是直线x b

a =-

2，若a y x b a y ac b a >=-=-02442，有最小值，当时，；最小值若a <0，y 有最大值，当x b a y ac b a =-=

-2442

时，最大值

5. 抛物线与x 轴交点情况：

对于抛物线

y ax bx c a =++2

0()≠ ①当∆=->b ac 2

40时，抛物线与x 轴有两个交点，反之也成立。

②当∆=-=b ac 2

40时，抛物线与x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。

③当∆=-

40时，抛物线与x 轴无交点，反之也成立。

?二、考点归纳

考点一 求二次函数的解析式

例1.已知二次函数f （x ）满足f （2）＝－1，f （－1）＝－1，且f （x ）的最大值是8，试求f （x ）。

解答：

法一：利用二次函数的一般式方程

设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），由题意 故得f （x ）＝－4x 2＋4x ＋7。 法二：利用二次函数的顶点式方程 设f （x ）＝a （x －m ）2＋n

由f （2）＝f （－1）可知其对称轴方程为，故m ＝

；

又由f （x ）的最大值是8可知，a<0且n ＝8； 由f （2）＝－1可解得a ＝－4。 故

。

法三：利用二次函数的零点式方程

由f （2）＝－1，f （－1）＝－1可知f （x ）＝－1的两根为2和－1，故可设F （x ）＝f （x ）＋1＝a （x －2）（x ＋1）。又由f （x ）的最大值是8可知F （x ）的最大值是9，从而解得a ＝－4或0（舍）。

所以f （x ）＝－4x 2＋4x ＋7。

说明：求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。

考点二 二次函数的图像变换

例2.（2008年浙江卷）已知t 为常数，函数

在区间[0，3]上的最大值

为2，则t ＝ 。

解答：作出的图像，I 、若所有点都在x 轴上方，则y max ＝f （3）＝2可解得t ＝1；II 、若图像有部分在x 轴下方，把x 轴下方的部分对称地翻折到x 轴上方即可得到

的图像，则y max ＝f （1）或y max ＝f （3），解得t ＝－3或t ＝1，

经检验，t ＝1。综上所述，t ＝1。 考点三 二次函数的图像的应用

例3.已知函数f （x ）＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞]上是增函数，则f （1）的范围是（）

A. f （1）≥25

B. f （1）＝25

C. f （1）≤25

D. f （1）>25

解答：函数f （x ）＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞）上是增函数，则区间[－2，＋∞）必在对称轴的右侧，从而

，故f （1）＝9－m ≥25。选A 。

说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。 考点四 二次函数的性质的应用

例4.设的定义域是[n，n＋1]（n是自然数），试判断的值域中

共有多少个整数？

分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。

解答：的对称轴为，因为n是自然数，故，所以函

数在[n，n＋1]上是增函数。故

故知：值域中共有2n＋2个整数。

说明：本题利用了函数的单调性，很快求出了函数的值域，这是求函数值域的一个重要方法。

考点五二次函数的最值

例5.试求函数在区间[1，3]上的最值。

分析：本题需就对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论：<1，

∈[1，2]，∈（2，3]，>3。

解答：函数的对称轴

I、当<1即时：函数在[1，3]上是增函数，故

；

II、当∈[1，2]即时：

；

III、当∈（2，3]即时：

；

IV、当>3即时：函数在[1，3]上为减函数，故

综上所述：当时，；当

时，；当时，

；当时，

。

考点六方程的根或函数零点的分布问题

例6.已知二次方程的一个根比1大，另一个根比1小，试求的取值范围。

解答：设，则；

例7.当为何实数时，关于的方程

（I）有两个正实根；