第讲二次函数图象和性质知识点总结
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第5讲 二次函数的图象和性质
一、知识点回顾
1. 二次函数解析式的几种形式:
①一般式:y ax bx c =++2
(a 、b 、c 为常数,a ≠0)
②顶点式:y a x h k =-+()2
(a 、h 、k 为常数,a ≠0),其中(h ,k )为顶点坐标。
③交点式:y a x x x x =--()()12,其中x x 12,是抛物线与x 轴交点的横坐标,即一
元二次方程ax bx c 2
0++=的两个根,且a ≠0,(也叫两根式)。 2. 二次函数
y ax bx c =++2
的图象 ①二次函数
y ax bx c =++2的图象是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线,几个不同的二次函数,如果a 相同,那么抛物线的开口方向,开口大小(即形状)完全相
同,只是位置不同。
②任意抛物线y a x h k =-+()2可以由抛物线y ax =2
经过适当的平移得到,移动规
律可简记为:[左加右减,上加下减],具体平移方法如下表所示。
③在画y ax bx c =++2的图象时,可以先配方成
y a x h k =-+()2
的形式,然后将y ax =2的图象上(下)左(右)平移得到所求图象,即平移法;也可用描点法:也是
将y ax bx c =++2配成y a x h k =-+()2
的形式,这样可以确定开口方向,对称轴及顶点
坐标。然后取图象与y 轴的交点(0,c ),及此点关于对称轴对称的点(2h ,c );如果图象与x 轴有两个交点,就直接取这两个点(x 1,0),(x 2,0)就行了;如果图象与x 轴只有一个交点或无交点,那应该在对称轴两侧取对称点,(这两点不是与y 轴交点及其对称点),一般画图象找5个点。
①配方法:将解析式y ax bx c =++2化为y a x h k =-+()2
的形式,顶点坐标为(h ,
k ),对称轴为直线x h =,若a >0,y 有最小值,当x =h 时,y k
最小值=;若a <0,y
有最大值,当x =h 时,
y k
最大值=。
②公式法:直接利用顶点坐标公式(
--b a ac b a 2442,),求其顶点;对称轴是直线x b
a =-
2,若a y x b a y ac b a >=-=-02442,有最小值,当时,;最小值若a <0,y 有最大值,当x b a y ac b a =-=
-2442
时,最大值
5. 抛物线与x 轴交点情况:
对于抛物线
y ax bx c a =++2
0()≠ ①当∆=->b ac 2
40时,抛物线与x 轴有两个交点,反之也成立。
②当∆=-=b ac 2
40时,抛物线与x 轴有一个交点,反之也成立,此交点即为顶点。
③当∆=-
40时,抛物线与x 轴无交点,反之也成立。
?二、考点归纳
考点一 求二次函数的解析式
例1.已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试求f (x )。
解答:
法一:利用二次函数的一般式方程
设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),由题意 故得f (x )=-4x 2+4x +7。 法二:利用二次函数的顶点式方程 设f (x )=a (x -m )2+n
由f (2)=f (-1)可知其对称轴方程为,故m =
;
又由f (x )的最大值是8可知,a<0且n =8; 由f (2)=-1可解得a =-4。 故
。
法三:利用二次函数的零点式方程
由f (2)=-1,f (-1)=-1可知f (x )=-1的两根为2和-1,故可设F (x )=f (x )+1=a (x -2)(x +1)。又由f (x )的最大值是8可知F (x )的最大值是9,从而解得a =-4或0(舍)。
所以f (x )=-4x 2+4x +7。
说明:求函数解析式一般采用待定系数法,即先按照需要设出函数方程,然后再代入求待定系数。
考点二 二次函数的图像变换
例2.(2008年浙江卷)已知t 为常数,函数
在区间[0,3]上的最大值
为2,则t = 。
解答:作出的图像,I 、若所有点都在x 轴上方,则y max =f (3)=2可解得t =1;II 、若图像有部分在x 轴下方,把x 轴下方的部分对称地翻折到x 轴上方即可得到
的图像,则y max =f (1)或y max =f (3),解得t =-3或t =1,
经检验,t =1。综上所述,t =1。 考点三 二次函数的图像的应用
例3.已知函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2,+∞]上是增函数,则f (1)的范围是()
A. f (1)≥25
B. f (1)=25
C. f (1)≤25
D. f (1)>25
解答:函数f (x )=4x 2-mx +5在区间[-2,+∞)上是增函数,则区间[-2,+∞)必在对称轴的右侧,从而
,故f (1)=9-m ≥25。选A 。
说明:解决此类问题结合函数图像显得直观。 考点四 二次函数的性质的应用
例4.设的定义域是[n,n+1](n是自然数),试判断的值域中
共有多少个整数?
分析:可以先求出值域,再研究其中可能有多少个整数。
解答:的对称轴为,因为n是自然数,故,所以函
数在[n,n+1]上是增函数。故
故知:值域中共有2n+2个整数。
说明:本题利用了函数的单调性,很快求出了函数的值域,这是求函数值域的一个重要方法。
考点五二次函数的最值
例5.试求函数在区间[1,3]上的最值。
分析:本题需就对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论:<1,
∈[1,2],∈(2,3],>3。
解答:函数的对称轴
I、当<1即时:函数在[1,3]上是增函数,故
;
II、当∈[1,2]即时:
;
III、当∈(2,3]即时:
;
IV、当>3即时:函数在[1,3]上为减函数,故
综上所述:当时,;当
时,;当时,
;当时,
。
考点六方程的根或函数零点的分布问题
例6.已知二次方程的一个根比1大,另一个根比1小,试求的取值范围。
解答:设,则;
例7.当为何实数时,关于的方程
(I)有两个正实根;