计算力学概论_CSM

y x y 0
© 2011 Guoxin Cao, MAE/PKU
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2. Introduction to Variational Principle
6.泛函的驻值 （1）函数的驻值
如果函数y(x)在x=x0附近的任意点都不大（小）于y(x0)，即
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1. Introduction to computational mechanics
力学的研究目标： 结构分析，常常归结为求解常微分方程、偏微分方程、积分方程、或代数方程。
力学的研究方法：
解析法:即以公式表示的闭合形式解（Closed form solution） 数值法:即求解微分方程的数值解；建立在离散单元上的矩阵方法（Numerical） 复杂力学问题一般难以得出它们的分析解，而用数值方法求解则运算步骤繁复， 耗用人力很多，非不得已不用。 20世纪50年代以来，计算机的快速发展，使解复杂的力学问题成为可能。 计算力学是根据力学中的理论，利用现代电子计算机和各种数值方法，解决力 学中的实际问题的一门新兴学科。(Definition)
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2. Introduction to Variational Principle
5.泛函的变分 （1）泛函变分是泛函增量的线性主部 “泛函变分”可以认为是“函数微分”概念的推广 函数增量： y x y y x L y( x), y o( y) 展开成y的线性项和高阶非线性项o(y)小量。 泛函变分： L y( x), y （2）泛函变分的Lagrange定义 如果泛函变分 L y( x), y 存在，变分可以为：
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它不能给出函数形式的解析表达式，因此比较难以显示数值解的规律性。许多 非线性问题由于解的存在和唯一性缺乏严格证明，数值计算结果须作一些实验 或理论的验证。
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1. Introduction to computational mechanics
计算力学求解步骤： 用工程概念、力学理论建立计算模型；用数学寻求最恰当的数值计算方法；编 制计算程序进行数值计算，在计算机上求出答案；运用工程和力学的概念判断 和解释所得结果和意义，作出科学结论。 计算力学主要方法： 有限元法(Finite element）：1960首先提出把连续体力学问题化作离散的力学 模型，有限元法的物理实质是把一个连续体近似地用有限个在节点处相连接的 单元组成的组合体来代替，从而把连续体的分析转化为单元分析加上对这些单 元组合的分析问题。使过去不可能进行的一些大型复杂结构的静力分析变成了 常规的计算，固体力学中的动力问题和各种非线性问题也有了各种相应的解决 途径。 有限差分方法(Finite difference）：将自变量的定义域“离散化”，只需要算 自变量定义域中有限个点（称为网格点，间距称为步长）的未知函数的近似值 。把微分，偏微分及边界条件用差分表示，问题就转变为代数方程组。在流体 力学领域内运用的很多。
计算力学的优势： 能够研究多种复杂力学问题（无法得到解析解），给出各种数值结果；通过图像显 示力学过程，能多次重复进行数值模拟，比实验省时省钱。 不仅能从事结构分析：包括外载荷下结构的应力、变形、频率、极限承载能力等， 还可以进行结构优化设计——形成计算力学的一个重要分支，在一定约束条件下， 综合各种因素进行结构优化设计，例如寻求最经济、最轻或刚度最大的设计方案。 更加真实可靠的反映设计，减少假设，而且使解决问题的速度大大加快。 计算力学在应用中也提出了不少理论问题，如稳定性分析、误差估计、收敛性等， 吸引许多数学家去研究，从而推动了数值分析理论的发展。 计算力学的弱点：
的数与之对应，记为[y(x)]，则记[y(x)]是定义于集合{y(x)}上的一个泛函。 y(x)亦称为泛函的宗量
2. 变分（variation）：泛函[y(x)]的宗量y(x)的增量很小时，就称为变分。表
示为y或y(x), δy = y(x) = y(x) − y1 (x)。 变分和微分dx的区别是：变分反映的是函数的变化，微分反映的是同一函数 取不同x值而产生的差异. 变分学（Variational）:研究泛函的驻值问题（stationary value）
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1. Introduction to computational mechanics
计算力学其它方法： 边界元法（boundary element method）:边界元法是只在定义域的边界上划分单 元,用满足控制方程的函数去逼近边界条件。又称边界积分方程-边界元法。它以定 义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方 程组求解。适合求解对于边界变量变化梯度较大的问题 ，如应力集中问题 ，或边 界变量出现奇异性的裂纹问题。 离散元法（distinct element method）：Cundall于1971年提出，离散单元法也像 有限单元法那样，将区域划分成单元。但是单元因不连续面控制，在以后的运动 过程中，单元节点可以分离，即一个单元与其邻近单元可以接触，也可以分开。 单元之间相互作用的力可以根据力和位移的关系求出，而个别单元的运动则完全 根据单元所受的不平衡力和不平衡力矩的大小按牛顿运动定律确定。 无网格法（Mesh-less method）：是在数值计算中不需要生成网格，而是按照一 些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程，就可方便地模拟各种复杂形状 的流场。该法大致可分成两类：一类是以Lagrange方法为基础的粒子法（Particle method），另一类是以Euler方法为基础的无格子法（Gridless methods）。
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2. Introduction to Variational Principle
4.泛函的连续 当 有 泛函(y(x))就是连续的.
如果对于任意正，可以有一个，当 有 就认为泛函 (y(x)) 在y(x)=y1(x) 处k阶连续的.
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Peking University, Beijing, Spring/2015
Introduction to Computational Mechanics
计算力学概论
Course No. 08611510
Department of
Mechanics & Engineering Science
College of Engineering, Peking University,
Beijing 100871, China
曹国鑫
GUOXIN CAO
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第一章
(2hrs，03/03/2015)
Introduction to computational mechanics
基本内容
力学的研究目标，力学的研究方法；
什么是计算力学；计算力学的研究内容，优势，局限性； 计算力学的求解步骤；计算力学的基本方法，其它方法和新兴方法
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2. Introduction to Variational Principle
3.函数接近度的概念
零阶接近度: y = y(x)-y1(x)—很小，但y = y(x)-y1(x) —不一定很小 一阶接近度: y = y(x)-y1(x)—很小，而且y = y(x)-y1(x) —很小 k阶接近度: y = y(x)-y1(x)，…, y(k) = y(k) (x)- y1 (k) (x) —都很小 可以通过Lagrange极小量来表征k阶接近度： 0： y = y(x)-y1(x) = (x)， y = y(x)-y1(x) = (x),…, y(k) = y(k) (x)- y1 (k) (x) = (k)(x)
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第二章
(2hrs，02/19/2014)
有限元方法的基本数学力学原理
Fig. 2.1 有限元方法的发展过程 (曾攀，有限元分析及应用)
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第二章
(2hrs，03/05/2015)
Introduction to Variational Principle
计算力学的研究内容：主要进行数值方法的研究，如有限差分方法、有限元 法，对一些新的方法及基础理论问题进行探索等等。已扩大到固体力学、岩 土力学、水力学、流体力学、生物力学等领域。 (Contents)
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1. Introduction to computational mechanics
基本内容
泛函的一些基本概念
泛函，函数接近度，连续，变分，驻值，变分的基本计算
泛函的例子 变分法的几个重要问题
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2. Introduction to Variational Principle
1. 泛函（functional）:以函数为自变量的函数； y x 设{y(x)}是已给的函数集，如果对于这个函数集合中任一函数y(x)恒有某个确定
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1. Introduction to computational mechanics
计算力学新兴方法： 分子动力学（Molecular Dynamics）:是一门结合物理，数学和化学的综合技术。分 子动力学是一套分子模拟方法，该方法主要是依靠牛顿力学来模拟分子体系的运动 ，以在由分子体系的不同状态构成的系综中抽取样本，从而计算体系的构型积分， 并以构型积分的结果为基础进一步计算体系的宏观性质。 Monte Carlo method: 由Metropolis等进一步发展起来解决相关物理问题，是基于 统计力学的计算技术，根据体系的能量分布规律，引入粒子运动的随机过程，进而 获得体系有关信息的一些统计平均的结果。结果的准确性与所选取的随机过程的多 少有关。进一步发展的Kinetic Monte Carlo 方法可以用来研究材料的动力学问题。 多尺度模拟方法 (Multiscale simulation)：多尺度建模与计算是当代科学技术发展 的需求和前沿。在生物，材料，化学，流体和固体力学等科学中，许多重要问题的 本质都表现为多尺度现象，它们涉及从分子原子尺度到连续介质尺度上不同物理机 制的耦合和关联。核心问题是多过程耦合和跨尺度关联。基本可以分为分级多尺度 （Hierarchical）和共时多尺度（Concurrent）。
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1. Introduction to computational mechanics
差分法:
差分法是把原来求解物体内随空间、时间连续分布的场量，转化为求在时间 领域和空间领域内有限个离散点的变量值问题，再用这些离散点上的变量值 去逼近连续的变量分布。 差分法的解题基础是用差商来代替微商，这样就将偏微分微分方程转换为以 节点变量为未知量的线性代数方程组，得到各节点的数值解。 根据不同的差分格式分为：向前差分、向后差分、平均差分、中心差分、加 列金格式等。 缺点：要求规则边界，几何形状复杂时精度低。
y y x y x0 0 0
y(x)则在x=x0上达到极大（极小），在x=x0有dy=0。
使多元函数 f(x1,x2,…xn) 取极大或极小的条件：
f df dx 0 x
T
f 0 x
（2）泛函的驻值条件